Hibridização de Algoritimos Genéticos com Relaxação Lagrangeana Aplicada ao Job-Shop

(1)

Programa de Pós-graduação em Matemática Mestrado em Matemática

Ernesto de Souza Massa Neto

Hibridiza¸

c˜

ao de Algoritmos Gen´

eticos com Relaxa¸

c˜

ao

Lagrangeana Aplicada ao Job Shop

(2)

Ernesto de Souza Massa Neto

Hibridiza¸

c˜

ao de Algoritmos Gen´

eticos com Relaxa¸

c˜

ao

Lagrangeana Aplicada ao Job Shop

Disserta¸c˜ao apresentada ao Colegiado do Curso de

Pós-Gradua¸cão em Matemática da Universidade

Federal da Bahia, como requisito parcial para

ob-ten¸c˜ao do T´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

Professora Orientadora:

Doutora Isamara Carvalho Alves

(3)

Hibridiza¸

c˜

ao de Algoritmos Gen´

eticos com Relaxa¸

c˜

ao

Lagrangeana Aplicada ao Job Shop

Disserta¸cão apresentada ao colegiado do curso de Pós-Gradua¸cão em Matemática da

Universidade Federal da Bahia, como requisito parcial para obten¸c˜ao do T´ıtulo de

Mestre em Matem´atica.

Salvador, de de 2004.

Banca examinadora

Profa. Dra. Isamara Carvalho Alves (Orientadora) Universidade Federal da Bahia

Prof. Dr. Akebo Yamakami

Universidade Estadual de Campinas

Prof. Dr. Carlos Eduardo Nogueira Bahiano

(4)

`

A toda minha fam´ılia: os

presentes, os que j´a partiram

(5)

A minha m˜ae, minha mais convicta incentivadora.

Ao meu pai, meu amigo inesquec´ıvel e principal respons´avel pelo que sou hoje.

A Lyginha, minha companheira em todos os momentos.

A Mˆonica, minha irm˜a, que, como sempre, foi porto seguro quando mais precisava.

A Professora Ednalva Marinho, minha querida sogra, pela confian¸ca em meu trabalho e revis˜ao desta disserta¸c˜ao.

A minha orientadora, Professora Isamara Alves, que me apresentou o mundo da pesquisa.

Aos amigos Antônio e Reinaldo, fonte de tranqüilidade para minha dedica¸cão ao mestrado.

Aos amigos Alexander, Fábio, José Luiz e Renato, que me ajudaram, com alegria, a vencer todos os obstáculos.

(6)

Resumo

Os problemas de seqüenciamento de tarefas Job-Shop estão na classe dos mais dif´ıceis de serem resolvidos. Para estes problemas, geralmente são utilizados métodos heur´ısticos de resolu¸cão, que buscam encontrar respostas suficientemente próximas à me-lhor solu¸cão sem, no entanto, garantir que esta seja a solu¸cão ótima. Os algoritmos genéticos, heur´ıstica que tem sido aplicada com sucesso em diversos tipos de problemas combinatórios, baseiam seu método de busca na teoria da evolu¸cão de Charles Darwin. Apesar disto, as pesquisas realizadas até o momento não são capazes de explicar ade-quadamente porque, ou quando, estas heur´ısticas serão bem sucedidas ou poderão falhar em algum caso espec´ıfico. A performance de heur´ısticas adaptativas, como os algorit-mos genéticos, depende fortemente da configura¸cão do espa¸co de busca em questão. As instâncias mais dif´ıceis de problemas apresentam espa¸cos de busca mais planos, enquanto as instâncias mais fáceis possuem espa¸cos de busca mais acidentados. Entretanto, existe semelhan¸ca entre a suavidade em vizinhan¸cas das instâncias mais dif´ıceis e das instâncias mais fáceis. Isto leva a supor que os algoritmos genéticos tenham performance seme-lhante em pesquisas locais, independente de se tratar de uma instância fácil ou dif´ıcil. A proposta deste trabalho é mostrar que a heur´ıstica dos Algoritmos Genéticos hibridizada com a Relaxa¸cão Lagrangeana terá uma performance comparável às melhores heur´ısticas na resolu¸cão de problemas de seqüenciamento do tipo Job-Shop estáticos, quando estes forem devidamente decompostos pela tecnologia de grupos.

(7)

The Job-Shop Scheduling problems are in the class of the hardest problems to be solved. In this kind of problem, heuristic methods are usually used to search for answers sufficiently close to the best solution without, however, guarantee that the solution found is the best solution. A heuristic that has been successfully applied in many different types of combinatorial problems are the genetic algorithms, that base its search method on the Charles Darwin’s theory of evolution. In spite of that, current research is unable to explain adequately why, or when, such approaches are likely to succeed or fail in specific cases. The performance of adaptative heuristics, like genetic algorithms, strongly depends on the configuration of the search space. The structure of hard instances problems induce a more plain search space, while the structure of easy instances problems induce a more mountainous search space. However, there is a similar smoothness in the hard instances vicinities and in the easy instances vicinities. This leads to suppose that the genetic algorithms have similar performance in local searches, for an easy instance as well as a difficult one. This work proposal is to show that the genetic algorithms will be comparable to the best heuristics in the solution of Job-Shop Scheduling problems, since these first be decomposed properly by the groups technology.

(8)

Sum´

ario

INTRODUC¸ ˜AO 16

1 PROBLEMAS JOB SHOP 18

1.1 PROBLEMAS DE F ´ABRICA . . . 19

1.1.1 Classifica¸c˜ao de Problemas de F´abrica . . . 20

1.1.2 Problemas de F´abrica Cl´assicos. . . 21

1.1.3 Restri¸cões e Critérios de Sele¸cão . . . 22

1.1.4 Modelagens do Problema de F´abrica . . . 23

1.1.4.1 Modelagem por Grafos Disjuntivos . . . 23

1.1.4.2 Modelagem Matem´atica do Job Shop . . . 26

1.2 PROBLEMAS JOB SHOP . . . 28

1.2.1 Topologia do Job Shop . . . 28

1.2.1.1 Vizinhan¸cas em um Espa¸co de Busca . . . 29

1.2.1.2 Distˆancias em um Espa¸co de Busca . . . 30

1.2.1.3 Entropia de um Espa¸co de Busca . . . 30

(9)

1.2.1.4 Suavidade do Espa¸co de Busca . . . 31

1.2.1.5 Conclus˜oes sobre a Topologia do Job Shop . . . 32

1.2.2 Busca em Vizinhan¸cas . . . 33

1.2.3 Complexidade do Job Shop . . . 34

1.2.4 Decomposi¸c˜ao do Job Shop . . . 34

1.2.4.1 Tecnologia de Grupos . . . 35

2 ALGORITMOS GEN ´ETICOS 37 2.1 FUNCIONAMENTO DOS ALGORITMOS GEN´ETICOS . . . 38

2.2 CODIFICAÇ ÃO DOS GEN ÓTIPOS . . . 39

2.3 OPERADORES GEN´ETICOS . . . 40

2.3.1 Crossover . . . 41

2.3.1.1 Crossover de Um Ponto . . . 42

2.3.1.2 Crossover de Dois Pontos . . . 42

2.3.1.3 Crossover Uniforme . . . 43

2.3.2 Muta¸c˜ao . . . 44

2.3.3 Sele¸c˜ao . . . 45

2.4 ESPAÇ O DE SOLUÇ ÕES . . . 46

2.4.1 Algoritmos de Repara¸c˜ao . . . 46

(10)

10

2.4.3 Decodificadores . . . 47

3 METODOLOGIA DE RESOLUÇ ÃO 48 3.1 ESPAÇ O GENOTÍPICO PARA O JOB SHOP . . . 49

3.1.1 Cria¸c˜ao de um Espa¸co de Busca Convexo . . . 50

3.1.1.1 Fun¸c˜ao de Convers˜ao para o Espa¸co Irrestrito . . . 51

3.1.1.2 Fun¸c˜ao de Retorno ao Espa¸co Real . . . 52

3.2 DECOMPOSIÇ ÃO PELA RELAXAÇ ÃO LAGRANGEANA . . . 55

3.2.1 Relaxa¸c˜ao Lagrangeana . . . 56

3.2.2 M´etodo do Subgradiente . . . 58

3.3 APLICAÇ ÃO DE ALGORITMOS GENÉTICOS . . . 59

3.3.1 Algoritmos Gen´eticos e o Job Shop particionado . . . 60

3.3.2 Ado¸c˜ao de um Algoritmo Gen´etico . . . 61

3.3.3 Busca Local . . . 62

4 TESTES E RESULTADOS 64 4.1 PROGRAMA COMPUTACIONAL . . . 64

4.2 QUALIDADE DAS SOLUC¸ ˜OES . . . 67

4.3 TESTES REALIZADOS . . . 68

4.4 RESULTADOS . . . 70

(11)

4.4.2 Grupo B: Problemas 10_×10 com dois links . . . 71

4.4.3 Grupo C: Problemas 10_×15 com apenas um link . . . 72

4.4.4 Grupo D: Problemas 10_×15 com dois links . . . 73

4.4.5 Grupo E: Problemas 10_×15 com trˆes links . . . 74

4.4.6 Convergˆencia das Resolu¸c˜oes . . . 75

CONCLUS ˜AO 80

REFERˆENCIAS BIBLIOGR ´AFICAS 82

ANEXO I - PROBLEMAS TESTE 87

ANEXO II - EXEMPLO DE APLICAÇ ÃO DA RELAXAÇ ÃO

(12)

Lista de Figuras

1.1 Problema Job Shop modelado por um Grafo Disjuntivo. . . 24

1.2 Sele¸c˜ao completa consistente do grafo exibido na figura 1.1 . . . 25

1.3 Seqüência semi-ativa relativa à sele¸cão completa consistente apresentada na figura 1.2 com seu caminho cr´ıtico em destaque. . . 26

2.1 Crossover de Um Ponto. . . 42

2.2 Crossover de Dois Pontos. . . 43

2.3 Crossover Uniforme. . . 43

2.4 Muta¸c˜ao.. . . 44

2.5 M´etodo de sele¸c˜ao Roulette Wheel. . . 45

3.1 Espa¸co Fenot´ıpico _× Espa¸co Genot´ıpico. . . 50

3.2 Decodifica¸cão de um genótipo em seu fenótipo. . . 55

3.3 Grafo particionado de um problema Job Shop. . . 60

4.1 Programa Computacional. . . 65

(13)

4.2 Convergˆencia do problema de teste n.8 (problema 4.12 do ANEXO I), com

10 produtos e 10 máquinas, em 2 células de máquinas com 2 links . . . 76

10 produtos e 15 máquinas, em 3 células de máquinas com 6 links. . . 76

10 produtos e 15 máquinas, em 3 células de máquinas com 9 links. . . 77

4.5 Gap de Dualidade Relativa do problema de teste n.8 (problema 4.12 do

ANEXO I), com 10 produtos e 10 máquinas, em 2 células de máquinas

com 2 links. . . 78

com 6 links. . . 78

com 9 links. . . 79

4.8 Problema Job Shop utilizado como exemplo, modelado por Grafo Disjuntivo. 89

4.9 Grafo disjuntivo da decomposi¸c˜ao do problema apresentado na figura 4.8

(14)

Lista de Tabelas

4.1 Caracter´ısticas dos Problemas Testados. . . 69

4.2 Convergˆencia dos Problemas 10_×10 com 1 link. . . 71

4.3 Dura¸cão Média das Itera¸cões dos Problemas 10_×10 com 1 link, em um

computador com processador Intel Celeron 800 MHz e 64MB de mem´oria. . 71

4.4 Convergˆencia dos Problemas 10_×10 com 2 links. . . 72

4.5 Dura¸cão Média das Itera¸cões dos Problemas 10_×10 com 2 links, em um

4.6 Convergˆencia dos Problemas 10_×15 com 1 link. . . 73

4.7 Dura¸cão Média das Itera¸cões dos Problemas 10_×15 com 1 link, em um

(15)

4.12 Problema de teste n.8, com 10 produtos e 10 m´aquinas. . . 87

4.13 Problema de teste n.19, com 10 produtos e 15 m´aquinas. . . 88

(16)

INTRODUC

¸ ˜

AO

A otimiza¸cão é o ramo da matemática aplicada que tem por objetivo encontrar a melhor solu¸cão para problemas que admitam diversas solu¸cões poss´ıveis.

Problemas de otimiza¸cão, na sua forma geral, têm por objetivo maximizar ou minimizar uma fun¸cão em um dom´ınio restrito. Para que a resolu¸cão de problemas deste tipo seja poss´ıvel, eles devem ser modelados matematicamente, isto é, deve ser constru´ıda uma representa¸cão matemática do problema enfrentado, capturando a sua essência. Di-versos problemas da vida real podem ser encarados como problemas de otimiza¸cão, tais como o descobrimento de uma melhor rota entre cidades, a melhor forma de empacotar objetos, o seqüenciamento de tarefas, entre outros. Resolver tais problemas pode ser encarado como uma busca pela melhor solu¸cão em um espa¸co de solu¸cões potenciais.

Para espa¸cos de busca pequenos, os clássicos métodos exaustivos são usualmente suficientes. No entanto, para espa¸cos de busca extensos, técnicas de inteligência artificial devem ser empregadas, já que tais problemas são de dif´ıcil resolu¸cão por possu´ırem uma quantidade tamanha de solu¸cões que torna inviável a sua simples enumera¸cão.

Problemas de seqüenciamento de tarefas a serem realizadas, de um modo geral, são frequentes em indústrias e empresas, as quais buscam reduzir seu custo operacional e, conseqüentemente, alcan¸car uma maior produtividade. Os problemas de seqüenciamento Job Shop pertencem à classe NP-dif´ıcil [25] [13] [38], ou seja, não é conhecido algoritmo polinomial capaz de resolvê-los. Como alternativa, métodos heur´ısticos são estudados para uma resolu¸cão aproximada destes problemas, visto que o tempo para encontrar a

(17)

solu¸cão ótima através de um método exato pode vir a ser inviável.

A existência de semelhan¸ca entre a suavidade em vizinhan¸cas nas instâncias mais dif´ıceis e a suavidade em vizinhan¸cas nas instâncias mais fáceis de problemas do tipo Job-Shop [27] mostra uma tendência a boa performance dos Algoritmos Genéticos em problemas devidamente decompostos pela tecnologia de grupos. A hibridiza¸cão com a Relaxa¸cão Lagrangeana é uma escolha natural por ser uma técnica comprovadamente eficaz na solu¸cão de problemas decompostos.

Este trabalho, tendo como objetivo elaborar uma nova proposta para a resolu¸cão dos problemas de seqüenciamento de tarefas Job Shop, utilizando a heur´ıstica dos Al-goritmos Genéticos hibridizada com a Relaxa¸cão Lagrangeana, foi organizado conforme adiante se descreve.

No primeiro cap´ıtulo, Problemas Job Shop, são estudados os problemas de seqüenciamento, com maior destaque para as caracter´ısticas apresentadas em um Job Shop. São analisados o seu espa¸co de solu¸cões, a sua topologia, e sua complexidade.

O segundo cap´ıtulo, Algoritmos Genéticos, é dedicado à heur´ıstica dos Al-goritmos Genéticos, abordando-se o seu funcionamento, as formas de codifica¸cão de cro-mossomos mais utilizadas e os operadores genéticos tradicionais, além das caracter´ısticas necessárias para um bom desempenho e das estratégias utilizadas nos casos adversos.

No terceiro cap´ıtulo é apresentada a Metodologia de Resolu¸cãoproposta por este trabalho. Um espa¸co genot´ıpico de solu¸cões é criado, junto com as fun¸cões de con-versão entre este espa¸co e o espa¸co real. São apresentados a decomposi¸cão do problema Job Shop em subproblemas através da Relaxa¸cão Lagrangeana e o algoritmo genético elaborado para solu¸cão destes subproblemas.

O quarto cap´ıtulo refere-se aos Testes e Resultados, registrando-se o desenvol-vimento da resolu¸cão dos problemas e a conseqüente análise dos resultados obtidos.

(18)

Cap´ıtulo 1

PROBLEMAS JOB SHOP

São frequentes as ocasiões nas quais é preciso alocar recursos a atividades que competem entre si por estes mesmos recursos. Estas situa¸cões são conhecidas como

pro-blemas de seq¨uenciamentoe tˆem sido objeto de uma significante quantidade de artigos no

campo da pesquisa operacional, aparecendo nas mais variadas áreas, como na informática, na indústria e na administra¸cão geral.

Os componentes de um sistema de seqüenciamento são as tarefas, os recursos, a fun¸cão objetivo e as restri¸cões de potencialidade. As tarefas são o objeto principal do seqüenciamento, e devem ser ordenadas de modo a cumprir atividades, otimizando a fun¸cão objetivo do problema, sem extrapolar a utiliza¸cão dos recursos dispon´ıveis [18].

A execu¸cão das tarefas demandam a aloca¸cão de recursos, que podem ser mão-de-obra, tempo de máquinas, financiamentos, ou quaisquer outros recursos que sejam consumidos para a sua realiza¸cão. Os recursos podem ser de uso exclusivo, ou podem ser compartilhados pelas tarefas executadas, sendo os de uso exclusivo representados por res-tri¸cões disjuntivase os recursos compartilhados representados porrestri¸cões acumulativas

[34].

As restri¸cões de potencialidade podem ser divididas em restri¸cões de precedência

e em restri¸cões de localiza¸cão no tempo [18]. As restri¸cões de precedência determinam

(19)

que uma tarefa não deve ser iniciada antes do término de outra tarefa, enquanto que as restri¸cões de localiza¸cão no tempo determinam que uma tarefa não deve iniciar-se antes de determinado instante, ou deve estar conclu´ıda antes de determinado momento.

O objetivo principal de um sistema de seqüenciamento é otimizar uma fun¸cão objetivoque pode ter as mais diversas formas, de acordo com a área em que ele esteja sendo aplicado. Pode-se ressaltar como exemplos a conclusão total das atividades envolvidas, a utiliza¸cão eficaz de recursos, ou o cumprimento do prazo de entregas [3].

Na aplica¸cão do seqüenciamento em um processo industrial, chamado problema de fábrica, as tarefas são chamadas opera¸cões e são processadas por máquinas (recursos) para produzir produtos(atividades). Existem três tipos clássicos de problemas de fábrica:

o Flow Shop, em que todos os produtos passam em uma mesma ordem por todas as

máquinas; o Job Shop, em que cada produto passa pelas máquinas em uma determinada ordem, não necessariamente a mesma; e o Open Shop, em que opera¸cões são totalmente independentes [18]. Neste trabalho, será tratado exclusivamente o problema de seq¨ uenci-amento do tipo Job Shop, objeto deste cap´ıtulo.

1.1 PROBLEMAS DE F ´

ABRICA

Os problemas onde o seqüenciamento é aplicado a um conjunto de máquinas utilizadas para a confeçcão de produtos são conhecidos como problemas de fábrica. Os servi¸cos (jobs) representam as tarefas a serem realizadas na produ¸cão de cada produto e as máquinas são os recursos a serem compartilhados. O conjunto de tarefas necessárias à produ¸cão de um mesmo produto são geralmente referenciadas por gama operatória [34].

Um problema de fábrica pode ser entendido como um conjunto de n produtos a serem processados por m máquinas. O processamento do produto Pi pela máquina Mj é

denominado por opera¸c˜ao Oij e requer o uso exclusivo da m´aquina Mj por um per´ıodo

de tempo Tij, necessário ao seu processamento. Além das opera¸cões reais mencionadas,

(20)

Problemas de F´abrica 20

executadas, respectivamente, antes e após todas as demais opera¸cões [18] [45], delimitando o intervalo de tempo em que todas as opera¸cões serão processadas.

1.1.1 Classifica¸

c˜

ao de Problemas de F´

abrica

Em um problema de fábrica real, pode ser que nem todos os produtos estejam dispon´ıveis para serem processados no instante inicial. Neste caso, os produtos possuem tempos de partida que definem a sua data de chegada ao chão da fábrica. Os tempos de partida dos produtos são eventos que não podem ser previstos, portanto seus requisitos de processamento também não podem ser conhecidos com antecedência. O controle de um problema de seqüenciamento deste tipo pode ser referenciado como resseqüenciamento, pois eventos imprevis´ıveis requerem frequentes revisões no seqüenciamento. Neste caso, o seqüenciamento de tarefas torna-se um problema não-determin´ıstico que deve ser realizado em um per´ıodo de tempo totalmente aberto, sendo definido como um problemadinâmico.

Por outro lado, um problema de seqüenciamento estático caracteriza-se pelo fato de que, uma vez iniciado o processo de produ¸cão, os recursos utilizados para cada atividade não podem mais ser alterados até que todos os produtos estejam conclu´ıdos. Neste sistema ideal, todos os recursos estão sempre dispon´ıveis ao in´ıcio do per´ıodo de seqüenciamento e não existe a possibilidade de interrup¸cão (preemp¸cão). Os tempos entre a utiliza¸cão de uma máquina e outra não são considerados, tampouco qualquer tempo gasto com prepara¸cões [43].

(21)

1.1.2 Problemas de F´

abrica Cl´

assicos

Nos problemas de fábrica, as opera¸cões utilizam cada máquina de forma exclusiva. Assim, um problema de fábrica reside basicamente na busca de um seqüenciamento das opera¸cões que utilizam uma mesma máquina, o qual deve ser planejado de tal forma que as máquinas não tenham mais de uma opera¸cão a tratar por vez. Esta representa¸cão é feita por restri¸cões disjuntivas que indicam a possibilidade de apenas uma ou outra opera¸cão estar sendo realizada em um dado momento.

Entre os diversos tipos de problemas de fábrica há alguns casos particulares, como o caso da fábrica com máquinas especializadas, em que cada opera¸cão deve ser executada em uma máquina determinada; o caso dafábrica com máquinas paralelas, onde uma opera¸cão pode ser executada em qualquer máquina de um mesmo tipo; e o caso da

fábrica com uma única máquina, onde todas as opera¸cões são executadas em uma mesma

m´aquina [34].

Existem três tipos de problemas clássicos em uma fábrica com máquinas especi-alizadas [18]. Eles são classificados de acordo com as restri¸cões de precedência entre as opera¸cões do problema:

• Flow Shop: Todos os produtos passam em uma mesma ordem por todas as m´aquinas.

Nos casos onde existem restri¸cões que evitam a espera entre duas opera¸cões conse-cutivas de uma mesma gama operatória, o problema é denominado flow shop sem

espera. Para o caso onde existem múltiplas máquinas de cada tipo, o problema é

denominado flow shop flex´ıvel.

• Job Shop: Cada produto passa pelas m´aquinas em uma determinada ordem, n˜ao

necessariamente a mesma. As máquinas podem não ser utilizadas por todos os produtos e alguns produtos podem utilizar várias vezes a mesma máquina, sendo este último caso chamado de job shop com recircula¸cão.

(22)

Para ilustrar os tipos de problemas citados, podemos classificar comoFlow Shop

uma indústria automotiva, produtora de diversos modelos de automóveis, tendo que re-alizar, para cada modelo, as mesmas opera¸cões na mesma seqüência, mas com pequenas altera¸cões (que caracterizam cada modelo). Como Job Shop pode ser classificada uma fábrica de sapatos, onde todos os modelos passam por opera¸cões semelhantes em máquinas em comum, mas possuem opera¸cões peculiares para cada modelo, como máquinas es-pec´ıficas para coloca¸cão de salto alto em modelos femininos e outras eses-pec´ıficas para coloca¸cão do solado de tênis. Como exemplo de Open Shoppode-se citar uma fábrica de pré-moldados, onde um móvel é composto de pe¸cas que podem ser produzidas de forma totalmente independente, em qualquer ordem, e somente serem unidas ao final do processo produtivo.

Em uma fábrica com máquinas paralelas, estas podem seridênticasoudiferentes. Se as máquinas forem idênticas, o tempo de execu¸cão Tij de uma opera¸cão Oij será o

mesmo para todas as m´aquinas Mj, mas se elas forem diferentes, o tempo de execu¸c˜ao

Tij da opera¸cão será diferente para cada máquina Mj.

1.1.3 Restri¸

c˜

oes e Crit´

erios de Sele¸

c˜

ao

A execu¸cão das opera¸cões em problemas de fábricas utilizam máquinas de forma exclusiva; por isto são representados porrestri¸cões disjuntivasque indicam a possibilidade ´

unica de uma ou de outra opera¸cão ser realizada em um dado momento. Para o caso de recursos limitados que sejam compartilhados, como o tempo total gasto na produ¸cão ou insumos utilizados, estes são representados por restri¸cões acumulativas que indicam um valor máximo que não pode ser ultrapassado pela soma dos recursos consumidos pelas opera¸cões realizadas.

(23)

devem ser processados pelas máquinas. As restri¸cões de localiza¸cão no tempo impõem limites inferiores e superiores de tempo, for¸cando que uma opera¸cão não inicie antes de determinado momento (quando seus insumos estarão dispon´ıveis), ou esteja conclu´ıda antes de determinado instante (prazo de entrega).

O objetivo principal de um problema de fábrica é a otimiza¸cão de uma fun¸cão objetivo, também chamada de critério de sele¸cão, que pode variar de acordo com as ne-cessidades do sistema de produ¸cão. Como exemplo de algumas fun¸cões objetivo frequen-temente utilizadas, pode-se citar [34]: a dura¸cão total do seqüenciamento (makespan); o somatório dos tempos de in´ıcio das opera¸cões; o ciclo de produ¸cão médio; o ciclo de produ¸cão médio ponderado; o atraso algébrico máximo; o atraso médio; atraso médio ponderado; e, o número de produtos em atraso.

Para que um problema seja eficientemente estudado, deve ser devidamente mo-delado de forma a n˜ao permitir interpreta¸c˜oes amb´ıguas.

1.1.4 Modelagens do Problema de F´

abrica

Várias formas diferentes de modelagem já foram propostas, dentre as quais dá-se destaque à Modelagem por Grafos Disjuntivos e à Modelagem Matemática de Manne.

1.1.4.1 Modelagem por Grafos Disjuntivos

Uma abordagem gráfica de um situa¸cão permite que esta seja mais facilmente compreendida. Além disto, podem ser previstos os impactos de pequenas altera¸cões na situa¸cão original, pois os relacionamentos entre os componentes podem ser visualizados em um único contexto.

(24)

especiais, fonte (O0) e sorvedouro (O∗). C, o conjunto de arcos conjuntivos, representa a

seqüência tecnológica das opera¸cões dentro de um mesmo produto, ou seja, a ordem em que as opera¸cões Oij de um mesmo produtoPi devem ser processadas. Esta seqüência de

opera¸cões é também conhecida como a gama operatória do produto. D, o conjunto dos arcos disjuntivos, representa os pares de opera¸cões (Oij, Okj) que devem ser realizadas

na mesma máquina Mj. O tempo de processamento de cada opera¸cão Tij é um valor de

pondera¸c˜ao associado ao n´o correspondente.

O

₁₁

O

₁₂

O

_*

O

₂₂

O

₂₁

O

₂₄

O

₃₃

O

₃₄

O

₄₄

O

₄₃

O

₀

Legenda:

: Arcos Disjuntivos : Arcos Conjuntivos

T₁₁=4 _T

12=2

T₂₂=2 T₂₁=1 T₂₄=5

T33=3 T34=4

T₄₄=1

T43=2 T₀=0

T_*=0

O

₁₁

O

₁₂

O

_*

O

₂₂

O

₂₁

O

₂₄

O

₃₃

O

₃₄

O

₄₄

O

₄₃

O

₀

Legenda:

: Arcos Disjuntivos : Arcos Conjuntivos

T₁₁=4 _T

12=2

T₂₂=2 T₂₁=1 T₂₄=5

T33=3 T34=4

T₄₄=1

T43=2 T₀=0

T_*=0

Figura 1.1: Problema Job Shop modelado por um Grafo Disjuntivo.

Os problemas de Job Shop também podem ser vistos como a defini¸cão da ordem entre todas as opera¸cões que devem ser processadas na mesma máquina; isto é, determinar a precedência entre estas opera¸cões. No modelo de grafo disjuntivo, isto é realizado definindo dire¸cões para todos os arcos disjuntivos.

Umasele¸cãoé um conjunto de arcos direcionados selecionados de arcos disjunti-vos. Por defini¸cão, uma sele¸cão écompletase todas as disjun¸cões forem selecionadas. Esta sele¸cão será consistente se o grafo direcionado resultante for ac´ıclico. Pode-se observar uma sele¸cão completa consistente na figura 1.2.

(25)

O

₁₁

O

₁₂

O

_*

O

₂₂

O

₂₁

O

₂₄

O

₃₃

O

₃₄

O

₄₄

O

₄₃

O

₀

T₁₁=4 _T

12=2

T₂₂=2 T

21=1 T24=5

T₃₃=3 T34=4

T₄₄=1

T 43=2 T

0=0

T_*=0

O

₁₁

O

₁₂

O

_*

O

₂₂

O

₂₁

O

₂₄

O

₃₃

O

₃₄

O

₄₄

O

₄₃

O

₀

T₁₁=4 _T

12=2

T₂₂=2 T

21=1 T24=5

T₃₃=3 T34=4

T₄₄=1

T 43=2 T

0=0

T_*=0

Figura 1.2: Sele¸c˜ao completa consistente do grafo exibido na figura 1.1 .

seqüenciamento de opera¸cões tão logo quanto poss´ıvel é chamada de seqüênciasemi-ativa. Neste tipo de seqüência, nenhuma opera¸cão pode ser antecipada sem que a ordem de pro-cessamento dentro de uma máquina seja alterada. Uma sele¸cão completa consistente e sua seqüência semi-ativa correspondente podem ser representadas pelo mesmo s´ımbolo S

sem confusão. O makespan Lé dado pelo maior caminho ponderado no grafo que leva da fonte ao sorvedouro. Este caminho P, chamado de um caminho cr´ıtico, é composto por uma seqüência de opera¸cões cr´ıticas, cujas opera¸cões, se consecutivas na mesma máquina, identificam um bloco cr´ıtico. A distância entre duas seqüências S e T pode ser medida pelo número de diferen¸cas na ordem de processamento das opera¸cões em cada máquina [33]. Em outras palavras, a distância pode ser calculada pela soma dos arcos disjuntivos que possuem dire¸cões diferentes em S eT, sendo esta distância denominada de distância do grafo disjuntivo (DG). Pode-se ver a seqüência semi-ativa da sele¸cão completa con-sistente apresentada na figura 1.2, e o seu respectivo caminho cr´ıtico, representados na figura 1.3.

(26)

Problemas de F´abrica 26 15 O₄₃ 14 O₁₂ O₁₁ O₄₄ 13 12 11 O₃₄ O₂₄ 10 9 8 7 O₃₃ P1 P4 P3 O₂₁ O₂₂ P2 6 5 4 3 2 1 15 O₄₃ 14 O₁₂ O₁₁ O₄₄ 13 12 11 O₃₄ O₂₄ 10 9 8 7 O₃₃ P1 P4 P3 O₂₁ O₂₂ P2 6 5 4 3 2 1 tempo

Figura 1.3: Seqüência semi-ativa relativa à sele¸cão completa consistente apresentada na figura 1.2 com seu caminho cr´ıtico em destaque.

para a esquerda poss´ıveis, constitui uma seqüência ativa. Uma seqüência ótima é sempre uma seqüência ativa [45], de modo que o espa¸co de busca pode ser seguramente limitado ao conjunto de todas as seqüências ativas.

1.1.4.2 Modelagem Matem´atica do Job Shop

Outra forma de modelar um problema é descrevê-lo utilizando nota¸cões ma-temáticas e rela¸cões de equivalência. Diversas formula¸cões mama-temáticas para se descrever problemas da classe dos Job-Shop já foram propostas. Uma delas foi feita por A. S. Manne [32], na qual é definida uma variável binária (yikj) para cada par de opera¸cões (Oij, Okj)

que são processadas por uma mesma máquina Mj. Esta variável em 0−1 é escrita, da

seguinte forma:

yikj =







0, se Oij precedeOkj sobre Mj

1, seOkj precede Oij sobre Mj.

(27)

BS =

n

X

i=1

m

X

j=1

Tij. (1.1)

As restri¸c˜oes do problema podem ser expressas pelas equa¸c˜oes:

Iu+1,i ≥Iui+Tui;∀((u, i),(u+ 1, i))∈ Ci (1.2)

Iij ≥ Ikj+Tkj−BS(yikj);∀((i, j),(k, j))∈ Dj (1.3)

Ikj ≥Iij +Tij −BS(1−yikj);∀((i, j),(k, j))∈ Dj (1.4)

onde Iij ´e o tempo de in´ıcio da opera¸c˜ao Oij.

As restri¸cões (1.2) representam as restri¸cões da seqüência tecnológica referentes às opera¸cões do produto Pi (restri¸cões conjuntivas). As restri¸cões (1.3) e (1.4) representam

as restri¸cões disjuntivas. Neste modelo, para cada par arbitrário de arcos disjuntivos, somente uma das restri¸cões (1.3) e (1.4) é ativada. Assim, quando a arbitragem fizer Okj

antes de Oij, yikj vale 0, e a restri¸cão (1.4) é então inativa já que [Ikj ≥Iij+pij−BS],

pois da forma que BS foi definida(BS =Pn

i=1

Pm

j=1Tij), faria com que a opera¸c˜ao Okj

tivesse um tempo de in´ıcio Ikj bastante alto, ou mais especificamente, seria igual a, no

m´ınimo, à soma das dura¸cões de todas as opera¸cões, menos a dura¸cão da opera¸cão Tkj.

Matematicamente ter-se-ia:

Ikj ≥Iij +Tij − n

X

i=1

m

X

j=1

Tij (1.5)

Assim, a equa¸c˜ao (1.5) tornar-se-ia invi´avel, pois o tempo de in´ıcio Iij teria

(28)

Problemas de Job Shop 28

Iij ≥ Ikj+Tkj. (1.6)

1.2 PROBLEMAS JOB SHOP

Um problema da classe Job Shop pode ser entendido como um conjunto de n

produtos a serem processados por m máquinas, onde cada produto deve passar pelas máquinas em uma seqüência tecnológica pré-definida. O processamento do produto Pi

pela máquinaMj é denominado de opera¸cãoOij, e requer o uso exclusivo da máquinaMj

por um per´ıodo de tempo Tij, necess´ario ao seu processamento.

Assim, o objetivo de um problema Job Shop é produzir uma seqüência ordenada de opera¸cões para ser processada em cada máquina. O tempo de in´ıcio de cada opera¸cão

Iij é atribu´ıdo de acordo com a referida seqüência, de forma a otimizar uma fun¸cão

objetivo desejada, sempre satisfazendo às restri¸cões do problema, conforme se trata na se¸cão a seguir.

1.2.1 Topologia do Job Shop

A no¸cão de topologia de adapta¸cão tem a sua origem nas ciências biológicas. A idéia básica é ver o espa¸co de solu¸cões como um espa¸co topológico onde estas solu¸cões relacionadas ocupam localidades próximas. Os valores de uma fun¸cão adapta¸cão em todas as solu¸cões poss´ıveis de um Job Shop formam uma superf´ıcie chamada superf´ıcie

de aptid˜ao, criando um modelo de espa¸co formado por picos, vales, cumes e platˆos. Este

modelo de topologia é bem utilizado para descrever a evolu¸cão de uma espécie fixando-se em regiões de melhor adapta¸cão [27].

(29)

elemento de N(s) pode ser transformado em s através de uma única inversão na ordem de precedência de duas opera¸cões em uma mesma máquina. Se elementos arbitrários de

S podem ser transformados em qualquer outro elemento de S através de uma seqüência finita de movimenta¸cões em vizinhan¸cas, N é chamado de uma vizinhan¸ca conexa.

Neste caso, a fun¸cão 1.7 é chamada de superf´ıcie de aptidão com respeito a N, onde f(s) denota o valor objetivo de s. Mais geralmente, uma superf´ıcie (landscape) refere-se a uma fun¸cão que leva um conjunto finito e estruturado (espa¸co de busca) em um número real [44].

f :S _{7→ ℜ},

s_7→f(s) (1.7)

A superf´ıcie de um Job Shop pode ser analisada a partir de dois diferentes pontos de vista. A primeira, com rela¸cão às diferen¸cas estruturais entre a superf´ıcie de aptidão do Job Shop e de outros problemas combinatórios. A segunda, em rela¸cão às diferen¸cas significantes entre as superf´ıcies de aptidão de problemas Job Shop de fácil solu¸cão e de dif´ıcil solu¸cão.

1.2.1.1 Vizinhan¸cas em um Espa¸co de Busca

A defini¸cão básica de vizinhan¸cas em um espa¸co de busca foi proposta por Van Laarhoven et al. [24]. Seja S o conjunto de todas as solu¸cões fact´ıveis para uma instância de um problema. Uma solu¸cão s1 ∈ S é transformada em uma solu¸cão s2 pela reversão

(30)

1.2.1.2 Distˆancias em um Espa¸co de Busca

A distância entre duas solu¸cões é determinada pelo número de rela¸cões de pre-cedência invertidas em opera¸cões em máquinas. Esta diferen¸ca inteira define a distância Hamming de duas strings binárias. Logo, H(s1, s2) = h reflete a situa¸cão onde s1 pode

ser transformada em s2 por um n´umero m´ınimo de h movimenta¸c˜oes de vizinhan¸ca

sub-sequentes, e vice-versa. A distância média medida em um conjunto de solu¸cões reflete a extensão do espa¸co de busca que foi configurado. Comparando os espa¸cos P e S, pode-se esperar uma extensão muito menor deP. Experimentos similares registrados por Mühlenbein [31] para um outro problema clássico de seqüenciamento, como o problema do caixeiro viajante (TSP), confirmam aquela expectativa. Mas para o Job Shop isto não é verdadeiro. Apesar do tamanho de P ser consideravelmente menor que o tamanho de

S, a extensão de ambos os espa¸cos são quase iguais. Pode-se então concluir que os ótimos locais estão espalhados por toda a superf´ıcie de aptidão.

1.2.1.3 Entropia de um Espa¸co de Busca

A entropia, medida que caracteriza o grau de desordem de um sistema, é um bom indicador para a distribui¸cão das rela¸cões de precedência entre as opera¸cões em um conjunto finito de solu¸cões como um espa¸co de busca. Para um conjunto gerado randomicamente é esperada uma entropia próxima de um (E = 1), enquanto que ótimos globais possuem uma entropia tendendo a zero [27].

Seja wi a quantidade de solu¸cões observadas com a rela¸cão de precedência i em

um conjunto de µ solu¸cões, pode-se calcular a entropia (E) relativa a esta rela¸cão de precedência através da fórmula 1.8, e a entropia de um conjunto espec´ıfico de n rela¸cões de precedência pode ser calculada por 1.9 [27].

Ei = −

1

log√2.

wi

µ.log wi

(31)

E = 1

n

X

i=1

Ei (1.9)

Para os Job Shop observam-se entropias significativamente menores do que um, indicando que as rela¸cões de precedência não estão uniformemente distribu´ıdas, mesmo sendo geradas randomicamente. Além disto, a entropia das instâncias dif´ıceis são apro-ximadamente 1₃ maiores do que a entropia das instâncias fáceis [27]. As restri¸cões tec-nológicas das instâncias fáceis conduzem à fixa¸cão de um grande número de rela¸cões de precedências, e quanto mais restri¸cões possui um Job Shop, menor é o número de solu¸cões fact´ıveis que ele possui, reduzindo o tamanho do seu espa¸co de busca.

Neste caminho, a entropia d´a uma pista da dificuldade da instˆancia do problema. ´

Otimos locais de um Job Shop não compartilham um número considerável de rela¸cões de precedência. Para o problema do caixeiro viajante (TSP) foram obtidos resultados completamente diferentes, pois, por causa às instâncias simétricas, duas rotas ótimas compartilham em torno de trinta por cento de seus limites [16]. Este resultado confirma a idéia de que os ótimos locais estão localizados distantes entre si.

1.2.1.4 Suavidade do Espa¸co de Busca

De acordo com a opinião predominante, a suavidade de uma superf´ıcie é o pré-requisito central para o sucesso de uma busca adaptativa [27]. A suavidade de um espa¸co de busca, ou o seu enrugamento, é expresso pelo valor esperado do diferencial de ap-tidão D(f1, f2)/H(s1, s2). Exemplos deste diferencial podem ser produzidos tra¸cando-se

caminhos pela superf´ıcie, sem levar em considera¸cão a entropia, portanto pode-se assumir que a superf´ıcie é estatisticamente isotrópica, isto é, a média do diferencial de aptidão observado não depende do caminho realizado [44].

(32)

plana. Em um Job Shop, a medida do tamanho da correla¸cão indica uma superf´ıcie mais suave para as instâncias mais dif´ıceis em rela¸cão às instâncias mais fáceis. Enquanto uma correla¸cão pequena torna mais eficaz uma busca local, as correla¸cões maiores podem provocar uma perda da capacidade de se proceder à busca de maneira eficaz. A rela¸cão entre correla¸cão da superf´ıcie e do grau de facilidade do problema também pode ser confirmada em Kauffman [20].

A suficiência da correla¸cão pequena, tanto para instâncias fáceis como para instâncias dif´ıceis, é mostrada pela compara¸cão de movimentos dentro de vizinhan¸cas em busca de ótimos locais. Para este propósito, foi utilizada a heur´ıstica Hill-Climbing e a melhora relativa em cada passo serviu como uma aproxima¸cão do diferencial de aptidão em pequenas vizinhan¸cas da superf´ıcie. Os valores encontrados foram quase idênticos para as instâncias fáceis e dif´ıceis, comprovando uma suavidade similar em cada vizinhan¸ca em ambos os tipos de instâncias [27].

1.2.1.5 Conclus˜oes sobre a Topologia do Job Shop

Pode-se concluir que as instâncias mais fáceis possuem uma superf´ıcie mais mon-tanhosa, enquanto as instâncias mais dif´ıceis apresentam superf´ıcie mais plana e de maior extensão, exigindo mais passos para atravessá-la. Além disto, as instâncias mais dif´ıceis demandam um maior número de solu¸cões que as instâncias mais fáceis, pois ocorre uma maior varia¸cão nas caracter´ısticas das solu¸cões (entropia) nas mais dif´ıceis. Isto conduz à evidência de que o direcionamento da pesquisa em instâncias mais fáceis pode identificar, mais propriamente, solu¸cões favoráveis.

(33)

efetivo da busca.

1.2.2 Busca em Vizinhan¸

cas

Uma técnica largamente utilizada de busca local para resolver problemas de oti-miza¸cão combinatória é abusca em vizinhan¸cas. Uma solu¸cão xé representada como um ponto do espa¸co de busca, e a vizinhan¸ca N(x) é definida como todas as solu¸cões com distância hamming de x exatamente igual a um (H(x) = 1).

De uma forma geral, o algoritmo de uma busca em vizinhan¸cas segue os seguintes passos:

1. Selecione uma solu¸c˜ao x=xbest de partida.

2. Fa¸ca at´e que alguma condi¸c˜ao de parada seja satisfeita:

(a) Selecione uma solu¸c˜ao y_∈N(x) de acordo com um crit´erio de escolha

baseado no valor f(y). (b) Fa¸ca x=y.

(c) Se f(x)< f(xbest), ent˜ao fa¸caxbest =x.

A possibilidade de varia¸cões no critério de escolha adotado permite que as buscas em vizinhan¸cas sejam separadas em categorias, como o método descendente

Selecione y _∈N(x), tal que f(y)< f(x),

e o m´etodo estoc´astico

(34)

onde P(y) = exp((f(x)₋f(y))/T), com o parâmetro T tendendo a zero conforme o aumento do número de itera¸cões.

1.2.3 Complexidade do Job Shop

O problema de seqüenciamento Job Shop é conhecido como sendo um dos piores membros dos problemas de ordena¸cão NP-dif´ıceis a serem resolvidos [25] [13] [38], sendo, inclusive, muito mais dif´ıcil que o tradicional problema do Caixeiro Viajante. O problema de seqüenciamento Flow Shop, que é um caso espec´ıfico do Job Shop, é equivalente ao pro-blema do Caixeiro Viajante assimétrico [22]. Métodos que comprovadamente obtêm bons resultados em outras classes de problemas combinatórios ainda possuem bastante espa¸co para serem melhorados quando aplicados à classe dos problemas Job Shop estáticos [11]. Uma indica¸cão disto é dada pelo fato de que um problema 10x10 (dez produtos diferentes sendo processados em dez máquinas diferentes) formulado por Muth e Thompson [32] permaneceu sem resposta por mais de 20 anos [45].

Em um sistema de produ¸cão do tipo Job Shop podem ser identificados alguns fatores que contribuem para a dificuldade do processo de seqüenciamento [25]: a comple-xidade, as restri¸cões e a incerteza. A complexidade está evidenciada na quantidade de produtos com diferentes gamas de processamento e na quantidade de máquinas para pro-cessá-los. As restri¸cões podem ser temporais, como datas de entrega, precedências entre as opera¸cões, tempos de prepara¸cão das máquinas e tempos de transporte, podendo ser f´ısicas como a capacidade dos recursos e a capacidade do n´ıvel de estoque. Por fim, a incer-teza, quando as decisões têm que ser tomadas, muitas vezes, com informa¸cão incompleta e incerta sobre o estado futuro do ambiente de produ¸cão.

1.2.4 Decomposi¸

c˜

ao do Job Shop

(35)

de um grande volume de cálculos concentrados em um único problema, por cálculos lo-cais de menor dimensão, que podem ser vistos como subproblemas do problema original. A decomposi¸cão tem por objetivo identificar estruturas que levem a um desacoplamento máximo entre subproblemas. Como dificilmente os subproblemas são totalmente disjun-tos, os res´ıduos existentes são tratados por um n´ıvel coordenador, chamado programa

mestre, que supervisiona o acoplamento existente.

A abordagem do n´ıvel coordenador quanto à resolu¸cão dos subproblemas pode ser realizada de forma sequencial ou paralela, de acordo com a estratégia adotada. Ao término de cada itera¸cão, os subproblemas trocam parâmetros com o problema mestre e este realiza ajustes para a próxima itera¸cão dos subproblemas. Este processo repete-se até que alguma condi¸cão de parada seja atingida.

A aplica¸cão de uma técnica de decomposi¸cão em um problema de fábrica propicia a redu¸cão das linhas de produ¸cão acélulas de fabrica¸cão, que são menos complexas e mais simples de ser estudadas. Assim, um problema de seqüenciamento do tipo Job-Shop pode ser decomposto em subproblemas, sendo estes também do tipo Job-Shop, porém com dimensão inferior.

Neste trabalho, aplica-se a Relaxa¸cão Lagrangeana, a qual será tratada na se¸cão 3.2.1, como ferramenta para decompor e resolver problemas previamente particionados pela Tecnologia de Grupos.

1.2.4.1 Tecnologia de Grupos

(36)

(37)

ALGORITMOS GEN´

ETICOS

Nas duas últimas décadas, houve um crescente interesse em rela¸cão aos algoritmos adaptativos, motivados biologicamente, baseados nos princ´ıpios da evolu¸cão de Charles Darwin [6] (adapta¸cão e sele¸cão natural). Estes métodos estão posicionados como um subitem da inteligência artificial, sendo genericamente referenciados por Algoritmos Evo-lutivos.

Os Algoritmos Evolutivos não garantem encontrar a melhor solu¸cão para um determinado problema. No entanto, com o aumento da instância deste problema, quase sempre alcan¸cam uma boa aproxima¸cão para a sua solu¸cão ótima com um tempo de crescimento inferior ao exponencial.

No grupo dos melhores Algoritmos Evolutivos estão a Programa¸cão Evolucionária, as Estratégias Evolucionárias, a Programa¸cão Genética e os Algoritmos Genéticos, sendo estes últimos os mais conhecidos e, muitas vezes, conforme explica Michalewicz [30], são utilizados como sinônimos para Algoritmos Evolutivos.

Os Algoritmos Genéticos já foram aplicados com sucesso em diversas áreas [15], entre elas a Otimiza¸cão de Problemas, na qual o cromossomo é utilizado como repre-senta¸cão dos diferentes parâmetros a serem otimizados. A sua utiliza¸cão para resolver problemas da classe dos Job Shop foi feita pela primeira vez por Davis [8] em 1985.

(38)

Funcionamento dos Algoritmos Gen´eticos 38

Ressalte-se que a origem dos Algoritmos Genéticos pode ser tra¸cada a partir do in´ıcio dos anos 50, quando um grupo de biólogos utilizaram computadores para a simula¸cão de sistemas biológicos [15]. Todavia, o trabalho realizado no final dos anos 60 e in´ıcio dos anos 70, na Universidade de Michigan sob a dire¸cão de John Holland [17], deu aos Algoritmos Genéticos a forma com que são conhecidos atualmente.

2.1 FUNCIONAMENTO DOS ALGORITMOS

GEN´

ETICOS

Os Algoritmos Genéticos são uma heur´ıstica cujo modelo de comportamento de-riva de alguns dos mecanismos evolutivos existentes na natureza. O seu comportamento é simulado com a cria¸cão de um modelo formado por uma popula¸cão de solu¸cões potenciais composta por indiv´ıduos, os quais são representados por estruturas de dados chamadas cromossomos, análogos aos cromossomos do DNA e compostos por caracteres (genes) que representam os parâmetros de uma solu¸cão. Os indiv´ıduos que compõem a popula¸cão inicial entram, então, em um processo de evolu¸cão simulada.

(39)

• Avalia¸cão dos cromossomos de todos os indiv´ıduos da gera¸cão atual em rela¸cão à fun¸cão objetivo do problema, sendo o resultado obtido chamado defitness do indiv´ıduo.

• Sele¸c˜ao dos indiv´ıduos com melhor fitness.

• Cria¸cão de uma nova popula¸cão de solu¸cões através da aplica¸cão dos opera-dores genéticos, tais como o crossover(recombina¸cão genética) e amuta¸cão

nos indiv´ıduos selecionados.

• Desconsidera¸cão da popula¸cão anterior e repeti¸cão dos passos acima utili-zando a nova popula¸cão, até que uma determinada condi¸cão seja satisfeita.

Cada itera¸cão de um algoritmo genético é chamada de gera¸cãoe, apesar de não haver uma correspondência exata com o comportamento das gera¸cões na natureza (na natureza elas não são pontuais), esta defini¸cão é bastante conveniente.

A popula¸cão inicial é escolhida aleatoriamente, ou de forma direcionada por al-gum conhecimento adquirido em experiência prévia. A partir de então, os operadores genéticos trabalham com o objetivo de melhorar a popula¸cão de acordo com a avalia¸cão do fitness de cada indiv´ıduo.

2.2 CODIFICAC

¸ ˜

AO DOS GEN ´

OTIPOS

(40)

Operadores Gen´eticos 40

variável e, para cada codifica¸cão, devem ser aplicadas formas diferentes dos operadores genéticos.

O genótipo ideal é aquele que, embora se apresente mais simples, consegue conter todas as informa¸cões necessárias para caracteriza¸cão única de cada solu¸cão do espa¸co de busca real do problema a ser resolvido, cujo espa¸co recebe a denomina¸cão de fenótipo

para completar a no¸cão de causa e efeito com o genótipo. A aplica¸cão dos operadores genéticos em espa¸cos de busca não-convexos pode gerar indiv´ıduos infact´ıveis para as gera¸cões posteriores. Por este motivo, também é de grande importância que o conjunto dos genótipos gere um espa¸co de busca convexo, ou com um m´ınimo de restri¸cões.

A grande maioria dos trabalhos realizados com algoritmos genéticos utilizam cro-mossomos com tamanho fixo, embora, ultimamente, tenham sido utilizados crocro-mossomos com tamanho variável em um número considerável de pesquisas. Os genes mais utilizados são os inteiros e os binários, que propiciam a utiliza¸cão dos operadores genéticos tradi-cionais. Para o uso de cromossomos com tamanho variável ou genes inteiros, é necessário a aplica¸cão de operadores menos convencionais, como o crossover aritmético [28] ou o

crossover geom´etrico [29].

2.3 OPERADORES GEN´

ETICOS

Os operadores genéticos são mecanismos utilizados pelos Algoritmos Genéticos para transformar uma determinada popula¸cão em uma gera¸cão subsequente, criando novos indiv´ıduos com qualidade superior aos seus antecessores (melhor fitness).

(41)

2.3.1 Crossover

Conceitualmente, o crossover é uma transforma¸cão binária (2.1) que cria novos indiv´ıduos através da combina¸cão de partes dos cromossomos de dois indiv´ıduos (pais) da gera¸cão anterior.

mi :SxS −→ S (2.1)

Existem alguns estudos [9] [14] nos quais foram investigadas “orgias”, onde o crossover passa a ser uma transforma¸cão de n-ésima ordem (2.2) criando novos indiv´ıduos através da combina¸cão de partes dos cromossomos, neste caso, de mais de dois indiv´ıduos da gera¸cão anterior.

mi :SxSx· · ·xS −→ S (2.2)

O operador de recombina¸cão (crossover) concentra o seu poder de a¸cão na com-bina¸cão das informa¸cões existentes nos cromossomos de um par de indiv´ıduos selecionados, os “cromossomos pais”, buscando a constru¸cão de um novo indiv´ıduo de qualidade su-perior [42]. Este mecanismo permite a preserva¸cão do código genético dos indiv´ıduos selecionados (melhores indiv´ıduos), mas restringe o espa¸co de busca. Desde que o crosso-ver requer a combina¸cão de cromossomos pais, a sua capacidade exploratória depende das diferen¸cas entre esses cromossomos e, conforme a popula¸cão converge, o espa¸co que pode ser explorado pela combina¸cão deste material genético torna-se limitado e, conseq¨ uen-temente, pontos de ótimo ficam fora do alcance do operador. Com a convergência da popula¸cão, as diferen¸cas entre os cromossomos integrantes das gera¸cões mais avan¸cadas tendem a diminuir e o poder exploratório do crossover também se reduz [35].

(42)

2.3.1.1 Crossover de Um Ponto

No crossover de um ponto (figura 2.1), são escolhidos dois “cromossomos pais”, pertencentes à gera¸cão atual, que darão origem a dois descendentes, componentes da próxima gera¸cão. Para proceder a gera¸cão dos filhos escolhe-se, aleatoriamente, um ponto de corte no cromossomo dos pais, a partir de onde o material genético será trocado. Desta forma, cada cromossomo filho será composto pelo material genético de um pai até o ponto de corte e, a partir da´ı, pelo material genético do outro pai.

1 0 1 1 0 0

G1 1 0 1 1 0 0

G1

0 1 0 1 1 1

G2 0 1 0 1 1 1

G2

1 0 0 1 1 1

G3 1 0 0 1 1 1

G3

0 1 1 1 0 0

G4 0 1 1 1 0 0

G4

Figura 2.1: Crossover de Um Ponto.

Apesar de não haver consenso sobre o melhor tipo de crossover, o crossover de um ponto é tido, de uma forma geral, como o de pior performance [10]. O que contribui fortemente para este fato é a existência de diferentes probabilidades de manuten¸cão de genes de um cromossomo pai em um mesmo cromossomo filho para cada diferente posi¸cão dos genes no cromossomo.

2.3.1.2 Crossover de Dois Pontos

(43)

dos genes que se situam nas extremidades dos cromossomos em um mesmo filho.

1 0 1 1 0 0

G1 1 0 1 1 0 0

G1

0 1 0 1 1 1

G2 0 1 0 1 1 1

G2

1 0 0 1 1 0

G3 1 0 0 1 1 0

G3

0 1 1 1 0 1

G4 0 1 1 1 0 1

G4

Figura 2.2: Crossover de Dois Pontos.

2.3.1.3 Crossover Uniforme

No crossover uniforme (figura 2.3) não existem pontos de corte. A permanência de cada gene em um dado filho é decidida independentemente da permanência dos demais genes. Este procedimento acarreta o benef´ıcio direto de a sobrevivência de dois genes em um mesmo cromossomo filho ser totalmente independente das posi¸cões que os genes ocupam no cromossomo pai [42].

1 1 1 1 0 1

G1 1 1 1 1 0 1

G1

0 0 1 1 1 0

G2 0 0 1 1 1 0

G2

1 0 1 1 0 0

G3 1 0 1 1 0 0

G3

0 1 1 1 1 1

G4 0 1 1 1 1 1

G4

Figura 2.3: Crossover Uniforme.

(44)

2.3.2 Muta¸

c˜

ao

A muta¸cão (figura 2.4), diferentemente do crossover, é uma transforma¸cão unária (2.3) que cria novos indiv´ıduos através da modifica¸cão aleatória de um ou mais genes do cromossomo de um único indiv´ıduo da gera¸cão anterior.

mi :S −→ S (2.3)

O operador de muta¸cão realiza pequenas varia¸cões no cromossomo original; por-tanto, comporta-se como uma perturba¸cão de alcance local, provocando uma varia¸cão adicional à popula¸cão. Geralmente, é atribu´ıda uma pequena probabilidade à ocorrência de muta¸cão em um gene (taxa de muta¸cão).

1 1 1 1 0 1

G1 1 1 1 1 0 1

G1

1 0 1 1 0 1

G1 1 0 1 1 0 1

G1

Figura 2.4: Muta¸c˜ao.

Embora a muta¸cão seja freqüentemente utilizada como um operador auxiliar do crossover, em diversos estudos feitos por Fogel et al.(1966)[12], Rechenberg(1973)[36], Schwefel(1977)[40], Schaffer et al.(1989)[39] e, mais recentemente, Baeck et al. (1991)[2], é imputada à muta¸cão a responsabilidade de ser o operador genético principal [41].

(45)

2.3.3 Sele¸

c˜

ao

A sele¸cão é o operador genético responsável pela escolha dos indiv´ıduos que irão participar da cria¸cão das futuras gera¸cões. Ela é vital ao funcionamento dos Algoritmos Genéticos, restringindo o processo aos melhores espécimes. Assim, o foco do trabalho é direcionado às regiões do espa¸co de busca com um melhor fitness potencial [35].

Existem vários poss´ıveis esquemas de sele¸cão, como asele¸cão baseada em rank, a

sele¸cão por diversidade, ou a purasele¸cão aleatória. Porém, o Algoritmo Genético clássico utiliza o esquema de sele¸cão chamado Roulette Wheel [15]. Este esquema associa, a cada indiv´ıduo, uma probabilidade de passar para a próxima gera¸cão a qual é proporcional à razão do seu fitness pelo somatório do fitness de todos os elementos da popula¸cão atual. Assim, existe uma maior probabilidade de os indiv´ıduos com um melhor fitness (melhor adaptados ao ambiente) serem mantidos para a próxima gera¸cão (figura 2.5).

Genótipo 1

Genótipo 2

Genótipo 3 Genótipo 4

Genótipo 5

Genótipo 1

Genótipo 2

Genótipo 3 Genótipo 4

Genótipo 5

Figura 2.5: M´etodo de sele¸c˜ao Roulette Wheel.

(46)

Espa¸co de Solu¸c˜oes 46

2.4 ESPAC

¸ O DE SOLUC

¸ ˜

OES

O mecanismo dos algoritmos genéticos é baseado na constru¸cão de novos in-div´ıduos (solu¸cões) a partir da recombina¸cão das informa¸cões contidas nos genes das popula¸cões anteriores. Este procedimento, no caso de problemas com restri¸cões, pode propiciar que os novos indiv´ıduos gerados não correspondam a uma solu¸cão fact´ıvel para o problema a ser resolvido. As técnicas adotadas para trabalhar com algoritmos genéticos em espa¸cos com restri¸cões são os algoritmos de repara¸cão, asfun¸cões com penalidade e os

decodificadores [5].

2.4.1 Algoritmos de Repara¸

c˜

ao

Os algoritmos de repara¸cão são instrumentos frequentemente utilizados na solu¸cão de problemas de otimiza¸cão que utilizam computa¸cão evolutiva [30]. Esta técnica con-siste na busca local pela solu¸cão fact´ıvel mais próxima ao redor de uma solu¸cão infact´ıvel dada. Desta forma, após a aplica¸cão dos operadores genéticos, é realizada a repara¸cão dos indiv´ıduos infact´ıveis gerados, transformando-os em fact´ıveis.

A maior desvantagem deste método é a dependência do problema estudado [5], ou seja, para cada problema deve ser elaborado um algoritmo de repara¸cão particular. Além disto, a substitui¸cão de um indiv´ıduo infact´ıvel por outro fact´ıvel representa uma altera¸cão das informa¸cões genéticas contidas no genótipo da solu¸cão, o que altera a composi¸cão do material genético cuja sobrevivência fora determinada pelo operador de sele¸cão.

2.4.2 Fun¸

c˜

oes com Penalidades

(47)

O problema mais evidente na utiliza¸cão de fun¸cões de penalidade é a dificuldade que uma popula¸cão têm de atravessar regiões infact´ıveis para atingir ilhas onde podem residir candidatas para uma solu¸cão ótima. Para problemas onde a solu¸cão se localiza próxima à fronteira de factibilidade, uma penalidade muito severa pode dificultar o pro-cesso de busca do algoritmo.

2.4.3 Decodificadores

Um decodificador é um mapeamento do espa¸co genot´ıpico (sem restri¸cões) no espa¸co fenot´ıpico (com restri¸cões). É importante considerar que este mapeamento deve satisfazer as seguintes condi¸cões [5]:

• Para todo indiv´ıduo no espa¸co fenot´ıpico, existe pelo menos uma representa¸c˜ao no espa¸co genot´ıpico.

• Para toda representa¸c˜ao no espa¸co genot´ıpico, existe um ´unico indiv´ıduo fact´ıvel no espa¸co fenot´ıpico.

Além destas caracter´ısticas, é desejável que uma vizinhan¸ca do espa¸co genot´ıpico seja mapeada em uma vizinhan¸ca do espa¸co fenot´ıpico.

(48)

Cap´ıtulo 3

METODOLOGIA DE RESOLUC

¸ ˜

AO

Diversos métodos exatos e heur´ısticos propõem-se a encontrar uma melhor solu¸cão para problemas de otimiza¸cão. Cada um deles possui vantagens e desvantagens, de acordo com as caracter´ısticas do problema abordado.

Alguns problemas de otimiza¸cão podem favorecer a ado¸cão de dois ou mais métodos, em etapas distintas da busca pela melhor solu¸cão. Nestes casos, métodos dis-tintos podem ser combinados para a cria¸cão de um algoritmo de melhor performance. Esta técnica tem a finalidade de obter um resultado melhor do que a aplica¸cão isolada de algum método. Estes modelos são de dif´ıcil classifica¸cão, sendo chamados de sistemas h´ıbridos.

O estudo ora apresentado, de acordo com os objetivos estabelecidos, aplica a Re-laxa¸cão Lagrangeana (se¸cão 3.2.1), hibridizada com a heur´ıstica dos Algoritmos Genéticos (se¸cão 2), na resolu¸cão de problemas Job Shop previamente particionados pela Tecnologia de Grupos [23].

(49)

3.1 ESPAC

¸ O GENOT´

IPICO PARA O JOB SHOP

Conforme se registra no cap´ıtulo primeiro, um problema Job Shop pode ser en-tendido como um conjunto de n produtos a serem processados por m máquinas. Cada produto Pi deve ser construido por uma seqüência de opera¸cões Oij, cada uma feita por

uma máquina Mj em uma seqüência tecnológica pré-definida. Assim, uma solu¸cão para

um problema Job Shop consiste nos tempos de in´ıcio em que cada opera¸c˜ao Oij, deve ser

iniciada, sendo que, como visto na se¸cão 1.1.3, estes tempos precisam atender às diversas restri¸cões do problema.

Problemas que possuem condi¸cões que devem ser simultaneamente atendidas para que uma solu¸cão seja considerada fact´ıvel são classificados como restritivos. A resolu¸cão destes problemas possui um item a mais de dificuldade, pois eles restringem o seu espa¸co de busca podendo transformá-lo em um espa¸co não-convexo. Desta forma, o Job Shop é um problema restritivo e o seu espa¸co de busca não-convexo [28].

Embora os algoritmos genéticos sejam heur´ısticas robustas e detenham o equil´ıbrio entre a eficiência e a eficácia, necessário à sobrevivência em ambientes diversos [15], a aplica¸cão dos operadores genéticos (se¸cão 2.3) em espa¸cos de busca não-convexos pode gerar indiv´ıduos infact´ıveis. O crossover e a muta¸cão garantem uma descendência fact´ıvel em espa¸cos de busca convexos mas, em espa¸cos de busca não-convexos, existe a possibili-dade de descendência infact´ıvel mesmo esta sendo oriunda de indiv´ıduos fact´ıveis.

(50)

Espa¸co Genot´ıpico para o Job Shop 50

A viabilidade da aplica¸cão de algoritmos genéticos em problemas com espa¸cos de busca não-convexos pode ser conseguida com a utiliza¸cão de recursos que evitem a permanência de indiv´ıduos em regiões infact´ıveis. Pode-se citar, entre outros recursos, a utiliza¸cão de fun¸cões de penalidade (se¸cão 2.4.2) e de fun¸cões de repara¸cão (se¸cão 2.4.1) [5]. As fun¸cões de penalidade alteram o critério de otimiza¸cão utilizado, penalizando as solu¸cões localizadas em regiões infact´ıveis e dificultando a sobrevivência destes in-div´ıduos durante a aplica¸cão do operador genético da sele¸cão (se¸cão 2.3). As fun¸cões de repara¸cão atuam alterando o indiv´ıduo infact´ıvel, convertendo-o para um indiv´ıduo fact´ıvel próximo.

3.1.1 Cria¸

c˜

ao de um Espa¸

co de Busca Convexo

A alternativa utilizada para este trabalho foi a cria¸cão de um espa¸co de busca convexo, no qual todos os operadores genéticos pudessem ser aplicados em um indiv´ıduo fact´ıvel, com a garantia de factibilidade da sua descendência. Este espa¸co foi criado com base em uma representa¸cão genot´ıpica das solu¸cões que não possui restri¸cões, sendo, portanto, um espa¸co irrestrito e convexo, como exemplificado na figura 3.1.

Espaço Irrestrito Espaço com Restrições

Figura 3.1: Espa¸co Fenot´ıpico _× Espa¸co Genot´ıpico.

(51)

Um problema Job Shop consiste basicamente na ordena¸c˜ao das opera¸c˜oesOij,∀i=

1. . . n, que devem ser executadas pela m´aquinaMj, uma vez que a ordem de precedˆencia

dentro de cada gama operatória já é pré-definida. Pode-se, então, pensar na seqüência de execu¸cão das opera¸cões sendo definida, não pela compara¸cão dos seus tempos de in´ıcio, mas pela simples indica¸cão de que uma dada opera¸cão Oij será realizada antes ou após

uma outra opera¸c˜ao Okj, dentro de uma mesma m´aquinaMj.

Esta no¸cão de solu¸cão está de acordo com a modelagem por grafos disjuntivos (se¸cão 1.1.4), quando um problema Job Shop é representado por um grafoG= (V, C_∪D), onde V é um conjunto de nós que representam as opera¸cõesOij de cada máquina Mj; C

´e o conjunto de arcos conjuntivos que representa a gama operat´oria de um produto Pi;

e, D´e o conjunto dos arcos disjuntivos que representam os pares de opera¸c˜oes (Oij, Okj)

que devem ser realizadas na mesma m´aquina Mj. O tempo de processamento de cada

opera¸cão Tij é um valor de pondera¸cão associado ao nó correspondente (opera¸cãoOij).

Seguindo a modelagem acima, cada arco disjuntivo (arco_∈ D) ´e codificado por um gene (geneikj) no cromossomo do gen´otipo. Desta forma, cada gene pode assumir

apenas o valor 0, indicando que a opera¸c˜ao Oij deve ser realizada antes da opera¸c˜ao Okj

na máquinaMj (ondei < k), ou o valor 1 para o caso contrário. Este genótipo, utilizando

uma codifica¸cão binária, foi proposto por Nakano e Yamada [33], em cujo trabalho foi adotado um processo reparador para evitar as inconsistências poss´ıveis em decorrência dos operadores genéticos. No presente estudo, a solu¸cão de poss´ıveis inconsistências foi feita durante a aplica¸cão da fun¸cão de decodifica¸cão do genótipo para o espa¸co de busca real, como se descreve ainda nesta se¸cão.

3.1.1.1 Fun¸c˜ao de Convers˜ao para o Espa¸co Irrestrito

(52)

Para isto foi formulado o seguinte algoritmo:

1. Para todo par de opera¸c˜oes (Oij,Okj), com i < k, que s˜ao processadas em

uma mesma m´aquinaMj, fa¸ca:

(a) Se Iij < Ikj fa¸ca geneikj = 0

caso contr´ario fa¸cageneikj = 1

Desta forma, sabendo que o espa¸co de busca real de um problema Job Shop é formado exclusivamente por seqüências ativas (se¸cão 1.1.4), pode-se obter uma única representa¸cão genot´ıpica no espa¸co de busca irrestrito para cada fenótipo dado.

3.1.1.2 Fun¸c˜ao de Retorno ao Espa¸co Real

(53)

Primeiramente foi realizada a conversão do genótipo em seqüências ordenadas de opera¸cões a serem executadas em cada máquina.

Seja maqj uma seqüência (inicialmente contendo apenas as opera¸cões in´ıcio

(Oinicio) e fim (Of im) ) de opera¸c˜oes a serem executadas na m´aquina Mj.

Considere as seguintes nota¸c˜oes em maqj:

• Oij−: Opera¸c˜ao a ser executada imediatamente antes da opera¸c˜ao Oij na

m´aquina Mj.

• Oij+: Opera¸cão a ser executada imediatamente após a opera¸cão Oij na

m´aquina Mj.

• indprod(Oij): ´Indicei do produto Pi a que pertence a opera¸c˜ao Oij.

Para toda m´aquina Mj fa¸ca:

1. Inclua a opera¸cãoO1j na seqüênciamaqj, entre as opera¸cõesOinicio eOf im;

2. Para toda opera¸c˜ao Okj, com k= 2. . . n:

(a) Fa¸ca i= 1;

(b) Se geneikj = 0 fa¸ca:

i. Fa¸ca i=indprod(Oij+), at´e que geneikj = 1 ouOij =Of im;

ii. Inclua a opera¸cãoOkj na seqüênciamaqj imediatamente antes da

opera¸c˜ao Oij;

(c) Se geneikj = 1 fa¸ca:

i. Fa¸ca i=indprod(Oij−), at´e quegeneikj = 0 ou Oij =Oinicio;

ii. Inclua a opera¸cão Okj na seqüência maqj imediatamente após a

(54)

Após a obten¸cão das seqüênciasmaqj em que as opera¸cões deverão ser executadas

em cada uma das m´aquinas Mj , pode-se calcular o tempo de in´ıcioIij de cada opera¸c˜ao

Oij da solu¸c˜ao codificada.

Sejaprodi a seqüência ordenada de opera¸cões, seguindo as restri¸cões tecnológicas

das gamas operat´orias, a serem executadas para a produ¸c˜ao do produto Pi.

Sejammaqj(lj) alj-ésima opera¸cão da seqüênciamaqj, etermino(Oij) =Iij+Tij.

Repita os passos abaixo enquanto houver alguma opera¸c˜ao emprodi ou emmaqj:

1. Fa¸calj = 1,∀j = 1. . . n; (ou seja, para todo produto)

2. Fa¸ca para todas as seq¨uˆencias maqj,∀j = 1. . . m: (ou seja, para toda

m´aquina)

(a) Seja Oij a lj-ésima opera¸cão da seqüência maqj;

(b) Se a opera¸cão Oij for a primeira opera¸cão da seqüência prodi, então:

i. Se a opera¸cão Oig, que precede a opera¸cão Oij na gama operatória

Pi, terminar após a opera¸cão Okj, que precede a opera¸cão Oij na

m´aquina Mj, ent˜ao Iij =termino(Oig).

ii. Caso contr´ario, Iij =termino(Okj).

iii. Retire a opera¸c˜ao Oij de prodi e de maqj;

3. Se nenhuma opera¸c˜ao pode ser retirada deprodi e demaqj no item anterior,

fa¸ca lj =lj + 1,∀j = 1. . . n;

Através deste algoritmo, é poss´ıvel calcular o tempo de in´ıcioIij de toda opera¸cão