Tópicos de álgebra linear aplicados a equações diferenciais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA Centro de Ciências Físicas e Matemáticas

Curso de Licenciatura em Matemática

Tópicos de Álgebra Linear Aplicados a Equações

Diferenciais

Autora: Daniela Francisco

Orientador: Prof. Dr. Gustavo Adolfo Torres Fernandes da Costa Florianópolis

Daniela Francisco

Tópicos de Álgebra Linear Aplicados a Equações

Diferenciais

Trabalho acadêmico de graduação apresentado à disciplina Trabalho de Conclusão de Curso II, do Curso de Matemática - Habilitação Licenciatura, do Centro de Ciências Físicas e Matemáticas da Universidade Federal de Santa Catarina

Professora: Carmem Suzane Comitre Gimenez

Florianópolis Fevereiro 2009

Agradecimentos

Agradeço, em primeiro lugar, a Deus, por ter me dado fé, sabedoria, perseverança e força de vontade para conseguir completar mais esta etapa em minha vida.

Agradeço a minha família pelo amor e estímulo que sempre me deram, em especial a minha mãe Nilza, meu irmão Dorli e minha irmã Madalena, que foram essenciais em minha jornada.

Agradeço a meu marido Guilherme pelo carinho, força, estímulo, compreensão e paciência, já que meus horários de estudar e trabalhar nem sempre eram comuns, e muitas vezes não pudemos ficar juntos tanto tempo quanto queríamos, agradeço também por ter me dado este presente tão lindo que estou esperando que é nosso primeiro filho.

Agradeço a todos os mestres com quem tive o prazer de estudar durante minha permanência no curso, obrigada por todas as lições aprendidas, em especial ao meu orientador, professor Gustavo Torres, por todo o tempo e dedicação, você foi uma pessoa muito marcante em minha vida e ao professor Danilo Royer, com quem aprendi muitas coisas e de quem sempre recebi um grande estímulo nesta jornada.

Agradeço a todos os amigos e colegas que tive o prazer de conhecer ao longo da caminhada, alguns que já se foram, e outros ainda presentes, guardo de todos alguma recordação muito especial, seja dos momentos de estudo ou de conversas sobre a vida, com todos aprendi algo que levarei comigo durante minha vida, agradeço em especial a minha “dinda” Cinthia por ser essa amiga maravilhosa, obrigada por tudo.

Sumário

Introdução. . . .6

1 Autovalores e Autovetores. . . 8

1.1 Definições e Propriedades. . . 8

1.2 Forma Canônica de Jordan. . . .18

2 Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª e 2ª ordem. . . 30

2.1 Equações Diferenciais de 1ª ordem . . . 30

2.2 Equações Diferenciais de 2ª ordem. . . 32

2.3 Equações Diferenciais de 2ª ordem Não Homogêneas . . . 38

2.3.1 Solução Geral . . . 38

2.3.2 Método da Variação das Constantes . . . .38

3 Sistema de Equações Lineares de 1ª ordem. . . .42

3.1 Matrizes e Sistemas de Equações Lineares de 1ª ordem. . . 42

3.2 Sistemas Homogêneos. . . ..45

3.3 Sistemas Não Homogêneos. . . 53

3.4 Método da Solução Exponencial. . . .. . . 57

3.5 Equações Diferenciais Ordinárias de ordem n>2 . . . .66

Apêndice. . . 71

Introdução

Neste trabalho de conclusão de curso aplicaremos determinados tópicos de Álgebra Linear na resolução de Equações Diferenciais Ordinárias.

No primeiro capítulo abordaremos o assunto de Autovalores e Autovetores, que são tópicos da Álgebra Linear. Iniciaremos com algumas definições e propriedades sobre o tema, já em um segundo momento, abordaremos a forma canônica de Jordan, pois sabemos que toda matriz é similar a uma matriz que esteja na forma canônica de Jordan.

No segundo capítulo nos fixaremos nas Equações Diferenciais Ordinárias (EDO’s) de primeira e segunda ordem. Sabemos que o estudo das EDO’s teve início com os criadores do Cálculo, Newton e Leibniz, no fim do século XVIII, que foram motivados por problemas da área de Física. Desde aquela época até meados do século XIX, a maior preocupação era obter soluções das equações em forma explícita. A priori, tentava-se expressar as soluções em forma de funções elementares, porém, logo se verificou que o número de equações que podiam ser resolvidas desta forma era muito pequeno, gerando assim a busca de novos métodos. Neste contexto surgiu o uso de séries de funções, no século XIX. Com o rigor que a Análise ganhava nesse período, surgiram os teoremas de existência e unicidade de solução, iniciando-se a fase moderna de estudos nessa área, com destaque para Poincaré no fim do século XIX. Hoje as equações diferenciais são muito utilizadas para descrever fenômenos em Física, Química, Biologia, Economia, entre outros.

Para finalizar, no terceiro capítulo iremos utilizar os conhecimentos adquiridos nos capítulos anteriores e aplicá-los na resolução de sistemas de equações diferenciais ordinárias lineares de primeira ordem com

coeficientes constantes. Com base nesses sistemas determinaremos a solução geral de uma equação diferencial ordinária linear com coeficientes constantes de ordem arbitrária

No apêndice, encontram-se propriedades, que foram utilizadas no decorrer do trabalho, de derivadas e integrais de matizes.

Capítulo 1

Autovalores e Autovetores

Neste capítulo serão apresentadas algumas definições e propriedades básicas sobre autovalores e autovetores de uma matriz. Não provaremos todos os resultados, porém serão enfatizados através de exemplos. Para este capítulo, a referência em que os resultados foram pesquisados foi a [1].

1.1 Definições e Propriedades

Definição 1.1.1: Seja A uma matriz n n. Um autovalor de A é um número , real ou complexo, que satisfaz a equação

x

Ax (1.1) para alguma matriz x de ordem n 1, não nula, chamada de autovetor de A associado a .

A equação (1.1) pode ser escrita na forma

, 0

x I

A (1.2) em que I é a matriz identidade n n.

Teorema 1.1.1: Seja A uma matriz n n. Então i. é um autovalor de A se, e somente se,

, 0 )

det(A I (1.3) ii. det(A I) é um polinômio de grau n em , com 1 como coeficiente de n_,

chamado polinômio característico, de forma geral , det 1 2 2 1 p r p r r I A  (1.4)

em que 1,, p são os autovalores distintos de A e p i i n r 1 . O número r_i é

chamado de multiplicidade do autovalor _i,

iii. A tem precisamente n autovalores, contando as multiplicidades.

Os possíveis autovalores de A são, portanto, raízes de um polinômio de grau n, chamado polinômio característico, determinado por (1.3). Assim, A tem precisamente n autovalores, não necessariamente distintos.

Exemplo 1.1.1: Considere a matriz

1 2 2 1 A . Temos que 3 1 3 2 4 1 1 2 2 1 ) det(A I 2 2 .

Pelo teorema acima, -1 e 3 são autovalores de A. Para encontrar os autovetores associados a -1 resolvemos a equação A I x 0 com

2 1 x x x e 1: x x I A 2 2 2 2 1 0 ,

o que implica x1 x2 0 ou x2 x1. Portanto, para todo x1 0, os autovetores de

A associados a -1 são múltiplos escalares de

1 1

Resolvendo a equação para 3, obtém-se que os autovetores de A associados a 3 são múltiplos escalares de

1 1

w .

Exemplo 1.1.2: Considere a matriz

8 1 4 1 8 4 4 4 7 A .

Neste caso, temos

2 9 9 8 1 4 1 8 4 4 4 7 ) det(A I

Então 9 e -9 são os autovalores de A com multiplicidade 1 e 2, respectivamente. Procedendo como no exemplo anterior, os autovetores de A associados a 9 são todos

os múltiplos escalares não nulos de

1 1 4 u . Para 9, a equação 3 2 1 1 1 4 1 1 4 4 4 16 0 9 x x x x I A

implica em 4x₁ x₂ x₃ 0. Tomando x3 4x1 x2 encontramos

1 1 0 4 0 1 4 2 1 2 1 2 1 2 3 2 1 x x x x x x x x x x x .

Então, para escalares x₁ e x₂ não simultaneamente nulos, os autovetores de A associados a -9 são todas as combinações lineares não nulas dos vetores

4 0 1 w e 1 1 0 v .

Exemplo 1.1.3: Seja 0 1 1 0 A . Temos i i I A 1 1 1 ) det( 2 .

Então, i e –i são os autovalores de A. Procedendo como antes, os autovetores de A, associados com i, são todos múltiplos complexos não nulos de

i

u 1 .

Da mesma forma os autovetores de A, associados a –i, são todos múltiplos complexos não nulos de

1

i

w .

Teorema 1.1.2: O determinante de uma matriz A, n n, é igual ao produto de seus autovalores.

Prova: Vimos que os autovalores de uma matriz A, n n, são as n raízes do polinômio característico det(A I) 0. Sejam ₁, ₂,, _n os autovalores de A. Então podemos escrever

n I A ) _{1 2}  det( . Para 0, n A) 1 2 det( .

Corolário 1.1.1: Uma matriz A, n n, é não singular se, e somente se, todos os seus autovalores são não nulos.

Exemplo 1.1.4: No exemplo 1.1.1, vimos que ₁ 1 e ₂ 3 são autovalores de

. 1 2 2 1 A

Note que det(A) 3 _{1 2}.

Exemplo 1.1.5: No exemplo 1.2 encontramos os autovalores ₁ 9, ₂ 9 e 9 3 da matriz . 8 1 4 1 8 4 4 4 7 A

Efetuando os devidos cálculos temos det(A) 729 _{1 2 3}.

Exemplo 1.1.6: Os autovalores de 0 1 1 0 A , do exercício 1.3, são 1 i e i

2 . Note que det(A) 1 1 2.

Pode-se observar nos exemplos que a soma dos autovalores de uma matriz é igual à soma dos elementos da diagonal da matriz. Isso não é uma coincidência, mas uma propriedade geral. A soma dos elementos, que formam a diagonal de uma matriz A, n n, é chamada de traço de A e indicada por tr( A).

Teorema 1.1.3: Sejam ₁, ₂,, _n os autovalores de uma matriz A, n n. Então, .

)

(A _{1 2 n}

tr  (1.5)

Teorema 1.1.4: Seja A uma matriz n n com autovalores ₁, ₂,, _n. Então, i. A e t

A tem os mesmos autovalores, e ii. Se A é não singular, os autovalores de 1

A são ₁1, ₂ 1,, _n 1.

Definição 1.1.2: Diz-se que a matriz B é similar à matriz A se existe uma matriz P não singular tal que

.

1

AP P

Teorema 1.1.5: Seja B similar à A. Então:

i. A e B tem o mesmo polinômio característico e, portanto, os mesmos autovalores, e

ii. Se x é um autovetor de A, entãoP 1x é autovetor de B. Prova: Temos que

P I A P P P AP P I B det 1 1 det 1 det .

Usando a propriedade dos determinantes segundo a qual det(CD) detC.detD, segue I A I A P P P I A P I

B det det det det( )det det

det 1 1 .

Então, se é autovalor de A, temos que det(A I) 0 e, logo, det(B I) 0, provando que também é autovalor de B. Seja x autovetor de A, Ax x. Então,

) ( 1 1 1 1 1 x P Ax P x APP P x BP , ou seja, P 1x é autovetor de B.

Definição 1.1.3: Uma matriz A, n n, é dita ser diagonalizável se existe uma matriz diagonal D similar à A, ou seja, existe uma matriz não singular P tal que

.

1

D AP

P (1.7)

Teorema 1.1.6: Uma matriz A, n n, é diagonalizável se, e somente se, A tem n autovetores linearmente independentes.

Teorema 1.1.7: Sejam 1, 2,, m os m autovalores distintos de uma matriz A,

n

n , e v1,v2,,vm os autovetores correspondentes. Então v1,v2,,vm são

Prova: Suponha que v₁,v₂,,v_m é linearmente dependente. Desse modo, satisfazem a equação m i i iv c 1 0

em que as constantes c1,c2,,cm não são todas nulas. Sem perda de generalidade,

suponha c_m 0. Então, multiplicando a matriz A pela esquerda, obtemos

m i i i i m i i i m i i iv c Av c v c A 1 1 1 0 . Em seguida, subtraia 0 1 1 m i i iv c deste resultado: m i i i i m i i i i m i i i m i i i i v c v c v c v c 2 1 1 1 1 1 1 0 ,

e multiplique o obtido por A 2I. Segue-se que

m i i i i i m i i i i i m i i i i v c v c v c I A 3 2 1 2 2 1 2 1 2 ) ( .

Continuando, multiplique este resultado por A 3I , depois por A 4I, e assim

por diante. Conclui-se que

m m m m m m m v c _{1 2 1} 0  ,

o que contradiz a hipótese de que c_m 0 já que v_m 0e os autovalores são todos distintos entre si. Logo, a hipótese de que v1,v2,,vm são linearmente dependentes

não pode ser mantida.

Teorema 1.1.8: Se uma matriz A, n n, tem n autovetores linearmente independentes v1,v2,,vn com autovalores associados 1, 2,, n, e P é matriz com

n

v v

v₁, ₂,, como suas colunas, então

,

1

D AP

P (1.8) em que D é a matriz diagonal com ₁, ₂,, _n como seus elementos.

Exemplo 1.1.7: A seqüência (p_k)_{k 1} de números em que 1 2 1 p p e 2 1 k k k p p p

para k 3, é conhecida pelo nome de seqüência de Fibonacci. A fórmula que define p_k pode ser expressa matricialmente como

1 k k AP P , k 2 em que k k k p p P 1 , 1 1 1 0 A e 1 1 2 P . Observe que 2 2 2 2 3 4 2 3 P A P P A AP P AP P k k  .

Os autovalores de A são dados pelas raízes do polinômio característico 0 1 1 1 1 1 1 ) det(A I 2 , ou seja, 2 5 1 1 e 2 5 1 2 .

Vamos, agora, determinar os autovetores correspondentes. Substitua 1 na equação

0 x I A : 0 0 2 5 1 1 1 2 5 1 2 1 x x o que nos dá

. 0 2 5 1 2 1 x x

Então, os autovetores associados a ₁ são da forma

2 5 1 1 1 x u ,

um para cada x1 . Usando argumento similar,

2 1

1

x w

são os autovetores de A associados a 2, um para cada x1 . Como 1 2, o

conjunto u,w é linearmente independente.

Aplicando, agora, o teorema acima sabemos que A é diagonalizável. Portanto, temos

D AP P 1 , em que 2 1 1 1 P e 2 1 0 0 D . Então, 1 PDP A 1 2 1 1 2 .A PDP PDP PD P A A 1 3 1 2 1 2 2 .A PDP PD P PD P A A  _ 1 2 2 P PD Ak k . Mas, 2 2 2 1 2 0 0 k k k D e . 1 1 1 1 2 1 2 1 P Logo, 1 1 1 1 _{2 1} 2 P PD A P_k k k

1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 k k . Multiplicando as matrizes, segue que

1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 k k k k k P . Então, 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 k k k k k p ₁ 1 ₂ 1 ₁ 1 ₂ 1 2 5 1 2 5 1 5 1 k k k k ₁k 1 ₂k 1 ₁k ₂k 5 1 2 5 1 2 5 1 5 1 = k k 2 5 1 5 1 2 5 1 5 1 .

Definição 1.1.4: Seja um autovalor de uma matriz A, n n. O conjunto

v Av v

A : é chamado autoespaço de A associado a .

Exemplo 1.1.8: No exemplo 1.3 vimos que a matriz

8 1 4 1 8 4 4 4 7 A

tem -9,-9 e 9 como seus autovalores.

Os autovetores associados com 9 são os múltiplos escalares não nulos de

1 1 4

u ,

enquanto os autovalores de A associados com -9 são todas combinações lineares não nulas de

4 0 1 1 v e 1 1 0 2 v .

Portanto, A₉ consiste em todos os múltiplos escalares de u e A₉ consiste em todas as combinações lineares de v1 e v2.

Teorema 1.1.9: Seja um autovalor de uma matriz A, n n. Então, A é um espaço vetorial com respeito às operações usuais de adição e multiplicação por escalares . Além disso, se v A , então Av A .

Prova: Por definição, v A se Av v. Seja , então A( v) (Av) v, portanto, A( v) ( v) e v A . Seja w A e . Temos que

w v w v Aw Av w v A . Portanto, v w A . Uma

vez que v A , , tomando segue que Av v A .

Teorema 1.1.10: Seja A matriz n n e um autovalor de A com multiplicidade n. Então, dimA n.

1.2 Forma Canônica de Jordan

Definição 1.2.1: Uma matriz n n da forma

a a a a 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1           (1.9)

é chamada de matriz bloco de Jordan. Uma matriz n n é dita estar na forma canônica de Jordan se é uma matriz diagonal da forma

, ,..., , ₂ 1 J Jk J diag (1.10)

em que J₁,J₂,,J_k são :

i. Matrizes blocos de Jordan, ou

ii. J1 é uma matriz diagonal e J2,J3,,Jk são blocos de Jordan.

Vimos anteriormente que se uma matriz A, n n, tem n autovetores linearmente independentes v1,v2,,vncom autovalores associados 1, 2,, n, e P é matriz com

n

v v

v₁, ₂,, como suas colunas, então P 1AP D, em que D é matriz diagonal com

n

, , , ₂

1  como seus elementos. No caso em que A não tem n autovetores

linearmente independentes, ainda é possível obter uma matriz M tal que M 1AMtem uma forma bastante simples, chamada forma canônica de Jordan, apresentada a seguir.

Teorema 1.2.1: Toda matriz A n n é similar a uma matriz na forma canônica de Jordan.

Definição 1.2.2: Seja uma matriz A, n n, e autovalor de A. Diz-se que x, matriz 1

n não nula, é autovetor gerado de posto r associado com se A I rx 0 e

0

1

x I

A r . Note que o autovetor gerado de posto 1 é um autovetor de A associado a .

Teorema 1.2.2: Se é um autovalor de multiplicidade m de uma matriz A, n n, então, existem exatamente m autovetores gerados linearmente independentes associados a .

Exemplo 1.2.1: Considere a matriz

4 0 0 1 4 0 2 1 4 A

que tem 4 como autovalor com multiplicidade 3. Pelo teorema 1.2.2, existem três autovetores gerados linearmente independentes associados a 4. Por cálculo direto,

0 0 0 1 0 0 2 1 0 ) 4 (A I , 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ) 4 (A I 2 e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) 4 (A I 3 .

Vamos determinar os autovetores gerados, de posto k 1,2,3. Resolvemos as equações (A 4I)kx 0 e (A 4I)k 1x 0.

Segue que um autovetor gerado de posto 1 tem a forma

0 0

a ,

com a 0, um autovetor gerado de posto 2 tem a forma

0

b a

,

com b 0, e um autovetor gerado de posto 3 tem a forma

c b a

,

com c 0.

Escolhendo, por exemplo, a 1, no primeiro caso, a 0 b, 1, no segundo caso, e 1

, 0 c

b

a , no terceiro caso, obtemos

1 0 0 , 0 1 0 , 0 0 1

um conjunto de autovetores gerados linearmente independentes sendo um de posto 1, um de posto 2 e um de posto 3, associados ao autovalor 4 com multiplicidade 3.

Definição 1.2.3: Seja x_r um autovetor gerado de posto r associado a , isto é, 0 r r x I A e 1 r 0 r x I

A . O conjunto de vetores x₁,x₂,...,x_r definidos por

r r A I x x ₁ r r r A I x A I x x _{2 1} 2 (1.11) r r r A I x A I x x _{3 2} 3   r r x I A x I A x_{1 2} 1

é chamado de cadeia gerada por xr. Note que r k r k A I x x e que 0 r r k k x I A x I

A . Portanto, x_k é um autovetor gerado de posto k associado a .

Teorema 1.2.3: Os vetores x1,x2,...,xr são linearmente independentes.

Exemplo 1.2.2: No exemplo 1.2.1, 1 0 0 3 x

é solução de (A 4I)3x 0. A cadeia gerada por x₃ é o conjunto x1,x2,x3 em que

0 1 2 ) 4 ( 3 2 A I x x e 0 0 1 ) 4 ( 2 1 A I x x .

Pelo teorema anterior, x₁, x₂ e x ₃ são linearmente independentes.

Definição 1.2.4: Um conjunto S de autovetores gerados associados a é chamado de conjunto canônico se:

i. o número de elementos em S é a multiplicidade de ; ii. S é linearmente independente e

iii. S consiste na cadeia de autovetores gerados associados a .

Para obter-se o conjunto S , convém saber qual é o número de autovetores gerados de cada posto presentes no conjunto canônico. Essa informação é dada pelo seguinte teorema:

Teorema 1.2.4: O número de autovetores gerados linearmente independentes de posto k no conjunto canônico de autovetores gerados de é

k k

k posto A I posto A I

r ( ) 1 ( )

, k 1,2,...,m,

em que m é a multiplicidade de . Note que posto(A I)0 posto(I) n.

Exemplo 1.2.3: Considere a matriz

3 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 1 1 2 A .

O autovalores de A são 2, com multiplicidade 6, e 3, com multiplicidade 2. Por cálculo direto, obtemos que o posto de A é 8-6=2,

1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 2I A , 1 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 ) 2 (A I 2 1 0 0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 ) 2 (A I 3 , 1 0 0 0 0 0 0 0 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) 2 (A I 4 .

Então, 4 é o menor inteiro r tal que r

I

A 2 )

( tem posto 8-6=2. Além disso,

1 2 3 ) 2 ( ) 2 ( 1 3 4 ) 2 ( ) 2 ( 2 4 6 ) 2 ( ) 2 ( 2 6 8 ) 2 ( ) 2 ( 4 3 4 3 2 3 2 1 2 1 0 1 I A posto I A posto r I A posto I A posto r I A posto I A posto r I A posto I A posto r .

O conjunto canônico de autovetores gerados do autovalor 2 tem i. 1 autovetor gerado de posto 4,

ii. 1 autovetor gerado de posto 3, iii. 2 autovetores gerados de posto 2 e iv. 2 autovetores gerados de posto 1. Note que,

0 0 0 0 1 0 0 0 4 x

é o autovetor gerado de posto 4. A cadeia gerada por x₄ é:

0 0 0 0 0 1 0 0 ) 2 ( ₄ 3 A I x x , 0 0 0 0 0 0 1 1 ) 2 ( ₃ 2 A I x x , e 0 0 0 0 0 0 0 1 ) 2 ( ₂ 1 A I x x .

Encontramos, assim, a cadeia x1,x2,x3,x4 de autovetores gerados de postos 1,2,3 e

4. Qualquer conjunto canônico contendo esta cadeia vai conter outra cadeia com dois vetores.

Um autovetor gerado y2 de posto 2 que não é uma combinação linear da cadeia

encontrada anteriormente é o seguinte

0 0 1 0 2 1 0 0 2 y .

0 0 0 1 0 1 1 1 ) 2 ( 2 1 A I y y .

Então x1,x2,x3,x4,y1,y2 é o conjunto canônico de autovetores gerados do

autovalor 2.

Definição 1.2.5: Um conjunto ordenado linearmente independente v1,v2,,vn

consistindo da cadeia de autovetores gerados da matriz A, n n, é chamado uma base de Jordan relativa a A se

i. toda cadeia é o começo de uma cadeia maior,

ii. todos vetores em uma cadeia aparecem consecutivamente, e

iii. cada cadeia aparece na ordem de aumentar o posto. Ou seja, o autovetor gerado de posto 1 em uma cadeia aparece antes do autovetor gerado na cadeia de posto 2, que por sua vez aparece antes do autovetor gerado na cadeia de posto 3, etc.

O teorema 1.2.5 seguinte estabelece como uma base de Jordan relativa a uma matriz A está associada aos seus autovalores.

Teorema 1.2.5: Seja ₁, ₂,, _s os distintos autovalores de A e sejam S₁,S₂,,S_s

os conjuntos canônicos de autovetores gerados correspondentes. Depois de um apropriado reordenamento, se necessário, o conjunto



s i i S S 1 é uma base de Jordan relativa a A.

Exemplo 1.2.4: Neste exemplo obteremos uma base de Jordan relativa à matriz de ordem 8 8 do exemplo 1.2.3. Naquele exemplo encontramos um conjunto canônico de autovetores gerados do autovalor 2. Neste exemplo faremos o mesmo para o autovalor 3, que tem multiplicidade 2. Para começar devemos encontrar um r pequeno e inteiro tal que (A 3I)r tenha posto 8-2=6.

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 ) 3 (A I , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 2 1 2 1 0 0 0 1 1 1 1 2 1 ) 3 (A I 2 .

Então r 2. Note que

1 0 0 0 0 0 0 0 2 z

0 1 0 0 0 0 0 0 ) 3 ( 2 1 A I z z

é a cadeia gerada de z2. Sejam x1,x2,x3,x4,y1,y2 os autovetores gerados obtidos no

exemplo 1.2.3. Então o conjunto x1,x2,x3,x4,y1,y2,z1,z2 é uma base de Jordan

relativa a matriz A do exemplo 1.2.3.

Teorema 1.2.6: Seja S uma base de Jordan relativa a uma matriz A, n n, e seja M uma matriz tendo os vetores de S como suas colunas. Então, M 1AM esta na forma canônica de Jordan.

De fato, podemos determinar a forma da matriz que está na forma canônica de Jordan M 1AM relativa a base de Jordan S. Se vk,vk 1,,vk ré uma cadeia em S

de autovetores gerados de posto r associados ao autovalor de A, então o bloco r r de Jordan 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1          

aparece na matriz M 1AM ocupando as k-ésima e (k+r)-ésima colunas e as k-ésima e (k+r)-ésima linhas.

                        0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 coluna k coluna k+r linha k linha k+r

Exemplo 1.2.5: No exemplo 1.2.4 encontramos a base de Jordan

2 1 2 1 4 3 2 1,x ,x ,x ,y ,y ,z ,z

x da matriz 8x8 dada no exemplo 1.2.3. Considere a matriz M que possui os vetores de S como suas colunas. Então, teremos

1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 M

após calcular sua inversa, 1

M , basta fazermos o produto M 1AM, obtendo assim a matriz

3 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1                  AM M .

Capítulo 2

Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª e 2ª ordem

Chama-se de equação diferencial uma equação envolvendo uma função incógnita e algumas de suas derivadas.

As equações diferenciais lineares com coeficientes constantes são equações da forma ) ( ) ( ) ( ... ) ( ) ( 0 1 1 ) 1 ( 1 ) ( x g x f a x f a x f a x f a n n n n ,

em que f(i)(x), i 1,2,...,n, denota a i-ésima derivada da função f(x), x I , I um intervalo aberto e g(x) uma função contínua dada, em I. Os coeficientes

n

a a

a₀, ₁,..., são constantes reais. A equação é chamada de homogênea se g(x) 0,

x I. A ordem da equação é a ordem da maior derivada na equação. Se a_n 0, então, a equação tem ordem n.

Neste capítulo, serão consideradas as equações de ordem n 1 e n 2, bem como suas resoluções. O caso geral será tratado no capítulo 3.

A referência em que os resultados foram pesquisados é a [2].

2.1 Equações Diferenciais de Primeira Ordem

dx df

+ af = g(x) , x I (2.1) com a uma constante e g uma função definida g: I , contínua no intervalo aberto I. Uma solução de (2.1) é uma função contínua e diferenciável f: I que satisfaz a EDO acima.

Teorema 2.1.1: Uma função f(x)é solução da equação (2.1) se, e somente se,

f(x)= ke ax +e ax eaxg(x)dx (2.2) em que k é uma constante real.

Prova: Suponha que f(x) é solução. Então, f'(x) af g. Queremos mostrar que, nesse caso, f é da forma (2.2). De fato, observe que multiplicando a equação por eax

obtemos ) ( ' x f eax + a f(x)eax = g(x) eax. como ) ( ' x f eax + a f(x)eax = ( f(x)eax)’ então, ( f(x)eax)’= eax g(x). Integrando ambos os membros desta última relação, temos

f(x)= k ax

e + ax

e eaxg(x)dx.

Provaremos, agora, a recíproca deste resultado, ou seja, toda função da forma (2.2) é solução da equação. Para verificar isso, basta derivar a expressão (2.2) com respeito a x. Isso conclui a prova do teorema.

A função f(x) dada pela expressão (2.2) é chamada de solução geral da equação (2.1), pois sendo k uma constante arbitrária, a cada k correspem que uma solução particular da equação e o conjunto destas soluções particulares inclui todas as soluções possíveis.

Exemplo 2.1.1: Considere a equação f'(x) 3f(x) x, x . Pelo teorema anterior, a solução geral desta equação é da forma

xdx e e ke x f( ) 3x 3x 3x . Resolvendo a integral obtemos

f(x) = k 3x e + 3x e xe e c x x 9 3 3 3 ,

em que c é uma constante arbitrária. Tome c k c₀, então a solução geral é f(x) = 3x 0e c + 9 1 3 x .

2.2 Equações Diferenciais de Segunda Ordem Homogêneas

Nesta seção vamos estudar as EDO’s lineares de segunda ordem com coeficientes constantes da forma

2 2 dx f d + b dx df + c f = g, (2.3) com b e c constantes reais e g: I uma função contínua no aberto I .

Consideremos, primeiramente, a equação homogênea associada a (2.3), isto é, . 0 ) ( ) ( ' ) ( " x bf x cf x f (2.4) O polinômio p( ) = 2_{+ b +c (2.5)}

é dito polinômio característico associado à equação homogênea (2.4).

Teorema 2.2.1: Sejam ₁ e ₂ raízes reais do polinômio característico (2.5), então: i. Se _{1 2}, uma função f(x) é solução da equação homogênea (2.4) se, e

somente se,

f (x) = A x

e 1 + B_e 2x,

ii. Se ₁ = ₂, uma função f(x) é solução da equação homogênea (2.4) se, e somente se,

f (x) = A x

e 1 + Bx_e 1x,

em que A e B são constantes reais. Prova: As raízes de

2_{+ b +c = 0}

são dadas por

1 = 2 4 2 c b b e 2 = 2 4 2 c b b satisfazendo - 1- 2 = b e 1 2 = c.

Logo, a equação (2.4)pode ser reescrita como

0 = f" x( ) + (- ₁- ₂) f' x( ) + ( _{1 2}) f(x) = f" x( )- ₁ f' x( )- ₂ f' x( ) + ( _{1 2}) f(x) ou ainda,

0 = ( f' x( )- 1 f(x))’ - 2 ( f' x( )- 1 f(x)).

Portanto, f é solução de (2.4) se, e somente se, ) ( ' x f - 1 f(x) for solução de u’(x) - 2 u(x) = 0.

Pelo resultado da seção anterior, sabemos que a solução geral da equação é u(x) = k₂ e 2x

Então, f é solução de (2.4)se, e somente se, satisfaz )

( ' x

f - ₁ f(x) = k₂ e 2x.

A solução geral da equação acima é ) (x f =k1 x e 1 _+e 1x _e 1x_{k e} 2x_dx 2 =k₁e 1x_+e 1x 2 k e 1xe 2xdx

=k1 x e 1 ₊ 2 k e 1x _e( 2 1)x_dx. No caso de ₁ = ₂, dx e( 2 1)x = e0dx 1dx x c1.

Então f₍x₎ Ae 1x Bxe 1x_{, com A =}

1 1 c k e B = k2. No caso de 1 2 dx e( 2 1)x = ₂ 1 2 ) ( 2 1 c e x Então, y(x)=k1 x e 1 ₊ 1 2 2 k _x e 1 _e( 2 1)x₌ 1 k e 1x₊ 1 2 2 k _{x x x} e 1 1 2 _=Ae 1x_+Be 2x com A = k1+c2 e B = 1 2 2 k . Finalizando assim a prova.

Exemplo 2.2.1: Considere a EDO "

f + 5 f' + 6 f = 0 e as condições iniciais f'(0) = 4 = f (0).

O polinômio característico associado a equação considerada será p( ) = 2_{+ 5 +6}

com raízes reais

1 = -2 e 2 = -3.

Como 1 2 , a solução geral de f"+ 5f' + 6 f = 0 será

f = A x

e 2 + B x

e 3 ,

em que A e B são constantes arbitrárias. Para cada par destas constantes obtemos uma solução particular da equação.

4 B A 4 3 2A B do qual segue A 16 e B 12 Logo, f(x)= 16e 2x - 12e 3x.

Exemplo 2.2.2: Considere a EDO ) ( " x

f - 6 f' x( ) + 9 f(x) = 0 e as condições f(0) = 3 e f'(0) = 2.

O polinômio característico associado a equação acima é p( ) = 2 - 6 + 9, sendo as raízes

1 = 3 = 2.

Portanto, a solução geral de f" x( )- 6 f' x( ) + 9 f(x) = 0 será da forma f = A e 1x_{+ Bxe} 1x_.

Impondo as condições f(0) = 3 e f'(0) = 2, e realizando os devidos cálculos, obtemos

f = 3e 1x_{- 7xe} 1x_.

Teorema 2.2.2: Seja a equação (2.4), com b,c , e suponha que o polinômio característico tenha raízes complexas i, com

2 b e 2 4 2 c b . Então a solução geral de (2.5)será

f = e x[Acos( x)+ Bsen( x)], com A,B . (2.6)

Prova: Tome as funções h, j definidas em , em que x

h(x) = x

b

Iremos mostrar que h(x) será solução da equação f"(x) bf'(x) cf(x) 0 se, e somente se, j for solução de

" f + 4 f = 0, (2.8) em que c b2 4 _{. (2.9)} De fato, se h for solução de (2.8) tem-se que, para todo x ,

h”(x) + b h ’(x) + c h(x) = 0 ou " 2 _j(x) e x b + b ' 2 _j(x) e x b + c _e 2x_j(_x) b = 0. (2.10) Desenvolvendo os termos, ' 2 _j(x) e x b = x b x b e x j x j e b _{2 2} ) ( ' ) ( 2 (2.11) e " 2 _j(x) e x b = ( ) "( ) '( ) . 4 2 2 2 2 b_x x b x b be x j e x j x j e b (2.12) Substituindo em (2.11) e (2.12) em (2.10), e simplificando, segue

) ( 4 4 )" ( 2 2 _{j x} b c _{j x} e x b = 0 Usando (2.9), segue que

0 ) ( 4 ) ( " x j x j .

Portanto, j é solução de (2.8), se h é solução de (2.4). Sendo j solução de (2.8),então

j(x) = A cos( x) + B sen ( x) (2.13) com

= .

Segue, então, que h(x) = x e [A cos( x) + B sen ( x)] (2.15) em que . 2 b (2.16) Reciprocamente, suponha que j é solução de (2.8). Nesse caso, j é dada por (2.13) e, assim, a função h(x) dada por (2.7), satisfaz a equação (2.4). A verificação é direta. Isso conclui a prova.

Exemplo 2.2.3: Considere a equação

f ” + f ’ + 2f = 0. O polinômio característico associado a EDO acima será

p( ) = 2_{+ + 2.} Resolvendo 2 + + 2 = 0 tem-se 1 = 2 2 . 4 1 1 2 = 2 7 1 = 2 7 1 i e 2 = 2 2 . 4 1 1 2 = 2 7 1 = 2 7 1 i com 2 1 e 2 7 .

Como as raízes são complexas as soluções serão da forma abaixo

f(x) = e x A x Bsen x 2 7 2 7 cos 2 1 .

2.3 Equações Diferenciais de Segunda Ordem Não Homogêneas

2.3.1 Solução Geral

Consideremos, agora, a equação não-homogênea

f”(x) + b f’(x) + c f(x) = g(x) . (2.17) Suponhamos que f₁ e f₂são soluções da equação acima. Nesse caso, f₁- f₂ é solução da equação homogênea associada

f”(x) + b f’(x) + c f(x) = 0, pois

( f1- f2)” + b ( f1- f2)’ + c ( f1- f2) = g(x) - g(x) = 0.

A partir da afirmação pode-se dizer que f₁- f₂= f_h é solução da equação homogênea.

Seja fp uma solução particular da equação (2.17) e f uma solução qualquer de

(2.17). Pelo que foi visto anteriormente,

f(x) - fp(x)

é uma solução da equação homogênea associada. Chame-a f_h(x). Então uma solução qualquer e, portanto, a solução geral da equação não-homogênea é da forma

f(x) = f_h(x) + f_p(x), em que f_h(x) é solução geral da equação homogênea.

2.3.2 Método da Variação das Constantes

A seguir, apresentaremos um método para se calcular uma solução particular de uma EDO não-homogênea. O método é conhecido pelo nome de “Método da variação das constantes”.

O método consiste em determinar uma solução de (2.17) da forma

em que g₁(x) e g₂(x) são sol uções linearmente independentes da equação homogênea associada, satisfazendo a condição w g₁g'₂ g₂g'₁ 0, e A e B precisam ser calculados. Derivando f(x): ) ( ' x f = A'(x)g₁(x) A(x)g₁'(x) B'(x)g₂(x) B(x)g₂'(x). Em seguida, imponha que

) ( ) ( ' x g1 x A +B'(x)g2(x)= 0. (2.19) Obtém-se f’(x)=A(x)g₁'(x) B(x)g₂'(x) (2.20) e, por conseguinte, f”(x) = A'(x)g1'(x) A(x)g1''(x) B(x)'g2'(x)+B(x)g2 ''(x). (2.21)

O objetivo é que f(x) = A(x)g1(x) B(x)g2(x)seja solução de (2.17). Então,

substituindo (2.21),(2.20) e (2.19) na equação (2.17), resulta

g(x)= A x g₁'' x bg₁' x cg₁ x +B x g₂'' x bg₂' x cg₂ x +A' x g₁' x B' x g₂' x .

Como, por hipótese, g1(x) e g2(x) são soluções da equação homogênea segue que

0 ' ' ' _{1 1} 1 x bg x cg x g e 0 ' ' ' 2 2 2 x bg x cg x g Logo, g(x) = A' x g₁' x B' x g₂' x. (2.22) Obtém-se, então, o sistema

g(x) = A' x g1' x B' x g2' x 0 = A' x g1 x B' x g2 x Na forma matricial

) ( ' ) ( 1 1 x g x g ) ( ' ) ( 2 2 x g x g ) ( ' ) ( ' x B x A = ) ( 0 x g .

Utilizando a condição, já imposta, de que w(x) g1g'2 g2g'1 0, podemos inverter o

sistema: ) ( ' ) ( ' x B x A = ) ( ' ) ( ' ) ( 1 1 2 x g x g x w ( ) ) ( 1 2 x g x g ) ( 0 x g . Portanto, A’(x) = ) ( ) ( ) ( 2 x w x g x g e B’(x) = ) ( ) ( ) ( 1 x w x g x g . Integrando, A(x) = dx x w x g x g ) ( ) ( ) ( 2 _{e B(x) =} . ) ( ) ( ) ( 1 dx x w x g x g (2.23) Exemplo 2.3.1: Considere f”(x) + 6 f’(x) + 9 f(x) = e 3x, x . A equação homogênea será

f”(x) + 6 f’(x) + 9 f(x) = 0, com o polinômio característico

p( ) = 2_{+ 6 + 9,}

cujas raízes são

1 = 2 9 . 4 6 6 2 = -3 e 2 = 2 9 . 4 6 6 2 = -3 Sendo ₁ e ₂ raízes reais e iguais a solução geral da equação homogênea é

.

3

3x x

h Ae Bxe

f (2.24) Sejam g₁(x) e 3x e g₂(x) xe 3x, temos que w(x) g₁g'₂ g₂g'₁ e 6x 0, x . Pelo método da variação das constantes, com

A(x) = - dx e e xe x x x 6 3 3 = - dx e xe x x 6 6 = - xdx = -2 2 x e

B(x) = dx e e e x x x 6 3 3 = dx e e x x 6 6 = 1dx = x obtemos a solução particular da equação

) (x fp = x x e x e x 3 2 3 2 2 .

Portanto, a solução geral é

f(x) = f_h(x) + f_p(x) f(x) = Ae x Bxe x x e x x e 3x 2 3 2 3 3 2 .

Capítulo 3

Sistema de Equações Lineares de Primeira Ordem

Neste capítulo consideraremos um sistema de n equações diferenciais lineares de primeira ordem, da forma

) ( ) ( ) ( ) ( _{1 12 2 1 1} 11 1 x f y x a y x a y x a dx dy n n  ) ( ) ( ) ( ) ( _{1 22 2 2 2} 21 2 x f y x a y x a y x a dx dy n n  (3.1)   ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 2 1 x y a x y a x y f x a dx dy n n n n n n _

em que os coeficientes a_ij(x)e as funções y_i(x) e f_i(x), i,j 1,2,...,n, são funções contínuas em um intervalo aberto comum I. O sistema é chamado homogêneo se

0

x

f_i , i 1,2,...,n, em I. Caso isso não ocorra o sistema é chamado de não-homogêneo. O conteúdo deste capítulo baseia-se nas referências [3] e [4].

3.1 Matrizes e Sistemas de Equações Lineares de Primeira Ordem

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ₃ 2 1 x y x y x y x y x Y n  , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 22 21 1 12 11 x a x a x a x a x a x a x a x a x a x A nn n n n n            e ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ₃ 2 1 x f x f x f x f x F n  . (3.2)

Em termos destas funções, o sistema (3.1) pode ser expresso em forma matricial como: ) ( ). (x Y F x A dx dY . (3.3)

Veja o apêndice para a definição de derivada e integral de uma matriz.

Exemplo 3.1.1: Considere o sistema abaixo:

x e xz y x dx dy x 2 5 2 2 x x z y x dx dz 10 3 ) cos( 4 , com x , .

Podemos reescrevê-lo na forma matricial (3.3), tomando

z y Y , x x x x x A 3 ) cos( 4 5 2 ) ( 2 e x x e x F x 10 2 ) ( .

Definição 3.1.1: A função Y(x), x I, dada pela matriz coluna,

) ( ) ( ) ( ) ( 3 2 1 x y x y x y x y Y n  , (3.4)

é chamada de vetor solução da equação matricial (3.3) se é diferenciável em I e verifica a equação (3.3) em todo x I, ou, equivalentemente, se as funções

) ( , ), ( 1 x y x

y  n são diferenciáveis em I e verificam o sistema (3.1).

Exemplo 3.1.2: Os vetores x x e e Y 2 2 1 e _x x e e Y 6 6 2 5 3

são vetores soluções da equação matricial Y' AY, no intervalo , , para

3 5 3 1 A . De fato, x x x x e e e e Y 2 2 2 2 1 2 2 )' ( )' ( ' e x x x x x x x x e e e e e e e e AY ₂ 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 3 5 3 3 5 3 1 . Da mesma forma, x x x x e e e e Y 6 6 6 6 2 30 18 )' 5 ( )' 3 ( ' e x x x x x x x x e e e e e e e e AY 6 6 6 6 6 6 6 6 2 30 18 15 15 15 3 5 3 3 5 3 1

Definição 3.1.2: O problema que consiste em determinar uma solução da equação ) ( ) ( ). ( ' A x Y x F x Y ,x I (3.5) sujeita à condição

0 0) (x Y Y com n Y  2 1 0 , x0 I (3.6)

é chamado de problema de valor inicial (PVI) ou problema de Cauchy.

Teorema 3.1.1: Sejam A(x) e F(x) funções matriciais contínuas e x₀ I. Então, o PVI (3.5-3.6) tem solução única.

Observação: Daqui por diante admitiremos sempre que as funções ai(x) no sistema (3.1), são constantes e, portanto, a matriz A é constante e F(x) é uma função matricial contínua no intervalo I.

3.2 Sistemas Homogêneos

Teorema 3.2.1: (Princípio de superposição) Sejam Y1,Y2,,Yk vetores solução do

sistema homogêneo Y A dx dY . (3.7) em um intervalo I. Tome c_i, i= 1,2,...,k, constantes quaisquer. A combinação linear

k kY c Y c Y c Y _{1 1 2 2}  (3.8) também é uma solução do sistema no intervalo I.

Prova: Da linearidade da derivada, segue que

dx dY c dx dY c dx dY c dx dY k k  2 2 1 1 .

Mas Y1,Y2,,Yk são vetores solução; logo, i i AY dx dY , i 1,...,k e

) ( ) ( ) ( 1 1AY x c AY x c dx x dY k k  A(c₁Y₁(x)  c_kY_k(x)) AY(x).

Exemplo 3.2.1: Considere a equação Y' AY em que

1 0 2 0 1 1 1 0 1 A . As funções ) ( ) cos( ) ( 2 1 ) cos( 2 1 ) cos( 1 x sen x x sen x x Y e 0 0 2 x e Y

são soluções da equação dada pois:

) ( ) cos( ) ( 2 1 ) cos( 2 1 ) cos( 1 x sen x x sen x x dx d dx dY = ) cos( ) ( ) cos( 2 1 ) ( 2 1 ) ( x x sen x x sen x sen e 1 0 2 0 1 1 1 0 1 1 AY ) ( ) cos( ) ( 2 1 ) cos( 2 1 ) cos( x sen x x sen x x ) ( ) cos( ) ( 2 1 ) cos( 2 1 ) ( x sen x x sen x x sen . Da mesma forma, 0 0 0 0 2 x x e e dx d dx dY e

0 0 0 0 1 0 2 0 1 1 1 0 1 2 x x e e AY .

Pelo principio de superposição,

0 0 ) ( ) cos( ) ( 2 1 ) cos( 2 1 ) ( 2 1 2 2 1 1 x e c x sen x x sen x x sen c Y c Y c Y

também é solução da equação dada, quaisquer que sejam as constantes c1 e c2.

Definição 3.2.1: Sejam Y₁,Y₂,,Y_k soluções do sistema homogêneo (3.7) em um intervalo I. Caso existam constantes, não simultaneamente nulas, c1,c2,,ck, tais

que 0 2 2 1 1Y c Y ckYk c  , x I (3.9) então as soluções são ditas linearmente dependentes em I. Caso isso ocorra somente se c₁ c₂  c_k 0, então as soluções são ditas linearmente independentes. Exemplo 3.2.2: O sistema Y Y 2 3 3 2 ' , x , (3.10) admite as soluções x e x Y 1 3 ) ( 1 , x e x Y 1 1 ) ( 2 e . ) cos( ) cos( 3 hx hx e Y x Considere a equação 0 1 1 1 3 2 1 x x e c e c , ou ainda,

0 3 1 2 x x e c e c 0 2 1 x x e c e c .

Resolvendo o sistema, verifica-se que ele admite solução única c₁ c₂ 0,

,

x .

Portanto, Y₁ e Y₂ são linearmente independentes em , . Contudo os vetores solução Y1, Y2 e Y3 são linearmente dependentes, pois 3 1 2

2 1 2 1 Y Y Y .

Teorema 3.2.2: Seja A uma matriz n n contínua no intervalo I. Então, as soluções do sistema

AY

Y' , x I (3.11) em que A é matriz constante, formam um espaço vetorial de dimensão n.

Definição 3.2.2: Chama-se conjunto fundamental de soluções do sistema homogêneo (3.7) qualquer conjunto de n vetores solução linearmente independentes.

Exemplo 3.2.3: No exemplo anterior, as soluções Y₁(x) e Y₂(x), formam um conjunto fundamental de soluções do sistema (3.10).

Definição 3.2.3: Considere um conjunto fundamental de n vetores solução do sistema homogêneo Y' A.Y, A matriz n n,

1 21 11 1 n y y y Y  , 2 22 12 2 n y y y Y  , ..., . 2 1 nn n n n y y y Y  (3.12) A matriz

x nn n n n n y y y y y y y y y        2 1 2 22 21 1 12 11 (3.13)

chama-se matriz fundamental do sistema.

Exemplo 3.2.4: Considere o sistema Y' AY em que

2 3

3 2

A .

Já se sabe, pelo exemplo 3.2.2, que

x e Y 1 3 1 e x e Y 1 1 2

formam um conjunto fundamental de soluções do sistema em I = , . Então x x x x x e e e e 3

é uma matriz fundamental do sistema em , .

Teorema 3.2.3: Uma matriz fundamental do sistema (3.7) é não singular.

Prova: Seja (x) matriz fundamental do sistema (3.7) e Y1,Y2,...,Yn conjunto

fundamental de soluções do sistema (3.7), conjunto este que forma as colunas de . Seja C a matriz coluna constante com os elementos a₁,a₂,...,a_n. A equação

0 ) ( Cx , é equivalente a ter 0 ) ( ... ) ( ) ( _{2 2} 1 1Y x a Y x a Y x a _{n n} .

Como Y1,Y2,...,Yn são linearmente independentes em I, então a1 a2 ... an 0.

Então, a única solução possível da equação ( Cx) 0 é C=0. Logo, devemos ter que

I x

x) 0,

(

Teorema 3.2.4: Seja x matriz fundamental do sistema homogêneoY' AY, x I. Então, Y(x) é solução do sistema se, e somente se,

C x x

Y( ) (3.14) em que C é uma matriz coluna constante com n linhas. A função Y C é chamada de solução geral do sistema homogêneo. Se Y(x₀) Y₀, x₀ I, _então

0 0 1 ) (x x x Y Y . (3.15) Prova: Suponha Y(x) solução do sistema. Sejam Y₁ x,Y₂ x ,,Y_n x , um conjunto fundamental de soluções do sistema. Então, existem constantes c₁,c₂,,c_n tais que

x Y c x Y c x Y c x Y( ) 1 1 2 2  n n .

Seja C a matriz coluna formada com os coeficientes c1,c2,,cn, ou seja,

n c c c C  2 1 .

Seja x matriz fundamental com Y₁ x,Y₂ x ,,Y_n x como colunas. Então,

nn n n n n n n n n nn n n n n y c y c y c y c y c y c y c y c y c c c c y y y y y y y y y C x ... ... ... 2 2 1 1 2 22 2 21 1 1 12 2 11 1 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11         =c₁Y₁ x c₂Y₂ x  c_nY_n x Y(x).

Provemos a recíproca, ou seja, se x é matriz fundamental do sistema e C é matriz coluna constante, então x C é solução do sistema. De fato, seja Y(x):= (x)C. Então, x Y c x Y c C x x Y'( ) ( ( ) )' 1 '1  n 'n c₁A(x)Y₁ x  c_nA(x)Y_n x A(x)(c₁Y₁ x  c_nY_n x ) A(x)Y(x).

Definição 3.2.4: Será chamada matriz solução do sistema homogêneo (3.7) a uma matriz, n n, cujas colunas são solução do sistema.

Teorema 3.2.5: (Fórmula de Abel) Seja S(x), x I , matriz solução do sistema homogêneo Y' AY, A n n. Então, TrA x x x S x S( ) det ( )exp ( ) det _{0 0} (3.16)

para todo x I e x₀ I, em que Tr(A)=

n i ii a 1 .

Observação: Segue da fórmula de Abel a importante conseqüência que se ,

0 ) (

detS x₀ para algum x₀ I, então detS(x) 0 em todo x I; se 0

) (

detS x₀ em algum x₀ I, então detS(x) 0, em todo intervalo I.

Teorema 3.2.6: Uma matriz solução S(x) do sistema Y' AY, x I, é uma matriz fundamental em I se, e somente se, detS(x) 0, x I.

Prova: Suponha que S é uma matriz fundamental. Então pelo teorema 3.2.3, 0

) (

detS x , x I. Suponha, agora, que a matriz solução tem detS(x) 0, x I. Considere a equação 0 ) ( Cx S em que n a a a C  2 1

é uma matriz coluna constante. Como detS(x) 0, x I, existe a inversa S 1(x) e, portanto, 0 0 1 1 S C SC S .

Logo, C 0 e a₁ a₂  a_n 0 é a única solução possível da equação. Como a equação S( Cx) 0 é equivalente a 0 ) ( ... ) ( 1 1S x a S x a n n ,

em que S ,...,₁ S_n são soluções da equação Y' AY que formam as colunas da matriz )

(x

S , segue do resultado anterior que S ,...,₁ S_n são linearmente independentes e S é uma matriz fundamental.

Teorema 3.2.7: O sistema homogêneo AY dx dY

. , x I, tem um conjunto fundamental de soluções no intervalo I.

Definição 3.2.5: Chama-se solução geral do sistema homogêneo (3.7), no intervalo I, a função n nY c Y c Y c Y 1 1 2 2  (3.17)

em que c1,c2,,cn são constantes arbitrárias e Y1,Y2,,Yn é um conjunto

fundamental de soluções do sistema.

Exemplo 3.2.4: Por cálculos já efetuados, no exemplo 3.1.2, observou-se que

x e Y₁ 2 1 1 e x e Y₂ 6 5 3

são soluções linearmente independentes de

3 5 3 1 ' Y Y

em , . Portanto, pode-se formar com Y₁ e Y₂um conjunto fundamental de soluções no intervalo considerado. Assim, a solução geral do sistema é

2 2 1 1Y c Y c Y = c1 _x x e e 2 2 + _x x e e c ₆ 6 2 5 3 .