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Texto

(1)UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE ´ ˜ EM PROGRAMA DE POS-GRADUAC ¸ AO ´ ˜ ENGENHARIA ELETRICA E COMPUTAC ¸ AO. Fernando Ten´ orio de Miranda Filho. PROJETO EVOLUTIVO DE CIRCUITOS ˆ COMBINACIONAIS QUANTICOS. Texto de mestrado apresentado ao Programa de Pós-Gradua¸caõ em Engenharia Elétrica e Computa¸caõ como requisito das exigências do exame para obten¸caõ do t´ıtulo de Mestre em Engenharia Elétrica.. Orientador: Prof. Dr. Pedro Paulo Balbi de Oliveira. São Paulo 2020.

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(5) Agradecimentos Agrade¸co à CAPES pela bolsa de mestrado concedida, e registro o apoio da CAPES e do CNPq a meu orientador, pelos projetos de que participa, respectivamente, Mackenzie PrInt 88887.310281/2018-00 e CNPq-PQ 305199/2019-6. Agrade¸co também ao meu orientador, PP, pelo enorme apoio durante essa jornada. Por fim, agrade¸co também ao Pedro Contino, membro da banca e dono de um profundo conhecimento na área de informa¸cão quântica..

(6) RESUMO Enquanto os avan¸cos em hardware quântico ocorrem em passos modestos, simuladores rodando em computadores clássicos permitem um avan¸co um pouco mais rápido na constru¸caõ de algoritmos quânticos. Dada uma matriz unitária que efetue determinada opera¸caõ, obter o circuito quântico equivalente é uma tarefa não trivial que pode ser modelada como um problema de busca. Uma abordagem genérica que torne poss´ıvel a s´ıntese automática destes circuitos permitiria não só o estudo e desenvolvimento de novos algoritmos, mas também avaliar o custo-benef´ıcio relacionado ao tamanho e complexidade do circuito. Um problema comum encontrado em trabalhos anteriores é o uso de portas quânticas controladas de unitárias gerais, em razão da dificuldade de implementa¸caõ f´ısica de tais portas. Neste trabalho apenas portas controladas do tipo CNOT são utilizadas, resultando em circuitos mais próximos da realidade f´ısica. Um algoritmo evolutivo é proposto para decompor uma matriz unitária em uma sequência equivalente de portas quânticas. O método é testado para encontrar decomposi¸co˜es das unitárias de Toffoli, da transformada quântica de Fourier de dois qubits e da moeda para o caminhante quântico. Os resultados mostram que o algoritmo é eficiente em encontrar as solu¸cões, e que o problema da convergência prematura é evitado ao se utilizar popula¸co˜es que evoluem em paralelo. Palavras-chave: Computa¸cão quântica, circuitos quânticos, matriz unitária, algoritmos evolutivos. i.

(7) ABSTRACT While advances in quantum hardware occur in modest steps, simulators running on classical computers allow a slightly faster advance in the construction of quantum algorithms. Given a unitary matrix that performs a given operation, obtaining the equivalent quantum circuit is a non-trivial task that can be modeled as a search problem. A generic approach that makes possible the automatic synthesis of these circuits would allow not only the study and development of new algorithms, but also to evaluate the cost-benefit related to the size and complexity of the circuit. A common problem found in previous works is the use of quantum controlled gates from general unitaries, due to the difficulty of physically implementing such gates. In this work, only CNOT controlled gates are used, resulting in circuits closer to physical reality. An evolutionary algorithm is proposed to decompose a unitary matrix into an equivalent sequence of quantum gates. The method is tested to find decompositions of the Toffoli unitary, the two qubits quantum Fourier transform and the coin for the quantum walker. The results show that the algorithm is efficient in finding the solutions, and that the problem of premature convergence is avoided when populations are evolved in parallel. Keywords: quantum computing, quantum circuits, unitary matrices, evolutionary algorithms. i.

(8) Sum´ ario 1 Introdu¸c˜ ao 2 Introdu¸c˜ ao ` a Computa¸c˜ ao Quˆ antica 2.1 Bits e Qubits . . . . . . . . . . . . . 2.2 A esfera de Bloch . . . . . . . . . . . 2.3 Sistema com m´ ultiplos qubits . . . . 2.4 Portas quânticas de um u ńico qubit . 2.5 Portas quânticas de m´ ultiplos qubits 2.6 Circuitos quânticos . . . . . . . . . .. 2 . . . . . .. . . . . . .. 3 Introdu¸c˜ ao aos Algoritmos Gen´ eticos 3.1 Algoritmos genéticos . . . . . . . . . . . 3.2 Representa¸cão do cromossomo . . . . . . 3.3 Crossover . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Sele¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Muta¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Algoritmo Genético - abordagem clássica 3.7 Algoritmo Genético - modelo em Ilhas .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. 4 Algoritmos Gen´ eticos para a s´ıntese de circuitos quˆ anticos 4.1 Portas quânticas universais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Fun¸caõ objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Representa¸cão do cromossomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Representa¸cão dos genes: arquitetura em blocos unitários . . . 4.4.1 Tipos de bloco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Algoritmo GLO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Crossover . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Crossover intra-popula¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2 Crossover inter-popula¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Muta¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Resultados experimentais 5.1 Parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Moeda para o caminhante quântico . . . . . . . 5.3 Transformada quântica de Fourier de dois qubits 5.4 A porta de Toffoli . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. 5 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . 10. . . . . . . .. . . . . . . .. 13 13 14 14 15 15 16 16. . . . . . . . . . .. 18 18 18 19 20 20 22 22 23 24 24. . . . .. 26 26 26 27 28. . . . . . . . . . . . . . .. 6 Conclus˜ oes. 30. Apˆ endice A Portas quˆ anticas. 32. Apˆ endice B Blocos pr´ e-definidos. 34. ˆ ´ REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS. 36.

(9) Lista de Figuras 1. Esfera de Bloch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 2. Porta CNOT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. 3. Circuito Swap.. 4. Circuito com portas CNOT, Pauli-Z e Hadamard. . . . . . . . . . . . . . . 12. 5. Crossover de 1 ponto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. 6. Pseudocódigo para um AG clássico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. 7. Pseudocódigo para um AG em Ilhas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17. 8. Circuito com portas CNOT, Pauli-Z e Hadamard. . . . . . . . . . . . . . . 19. 9. Sequência de blocos NCB, CB, NCB e PDB. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21. 10. Fluxograma do algoritmo Group Leaders Optimization. . . . . . . . . . . . 22. 11. Indiv´ıduo atual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. 12. Indiv´ıduo l´ıder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. 13. Indiv´ıduo aleatório. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. 14. Novo indiv´ıduo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. 15. Solu¸caõ para a moeda do caminhante quântico. . . . . . . . . . . . . . . . 26. 16. Evolu¸cão para a moeda do caminhante quântico. . . . . . . . . . . . . . . . 27. 17. Solu¸caõ para a transformada quântica de Fourier de dois qubits. . . . . . . 27. 18. Evolu¸cão para a transformada quântica de Fourier de dois qubits. . . . . . 28. 19. Solu¸caõ para a unitária de Toffoli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29. 20. Evolu¸cão para a unitária de Toffoli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29. 21. Bloco H controlado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34. 22. Bloco Z controlado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34. 23. Bloco Y controlado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34. 24. Bloco X 1/2 controlado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34. 25. Bloco T controlado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34. 26. Bloco S controlado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35. 27. Bloco swap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. 1.

(10) 1. Introdu¸c˜ ao Uma das promessas da computa¸cão quântica é tornar viável a solu¸caõ de problemas até. então intratáveis por um computador clássico. Como exemplo mais dramático, podemos citar o algoritmo quântico de Shor, que fornece uma base para a fatora¸caõ de n´ umeros inteiros grandes em tempo polinomial. Em alguns outros casos, como no algoritmo de Grover, o ganho computacional é mais modesto, de ordem quadrática. O algoritmo de Grover encontra com alta probabilidade a entrada para uma fun¸cão de caixa preta que produz um valor de sa´ıda espec´ıfico, usando apenas avalia¸cões da fun¸caõ. A aplica¸caõ imediata afeta a seguran¸ca de muitos criptosistemas. De qualquer maneira, o uso de fenômenos de mecânica quântica como sobreposi¸cão e entrela¸camento quântico fornecem um novo modelo de computa¸caõ que promete revolucionar a maneira na qual a informa¸caõ é processada. Segundo (Loceff, 2015), apesar de o hardware que impulsionará a computa¸caõ quântica ainda estar em fase de desenvolvimento, toda a base teórica sobre a qual este hardware irá funcionar já existe (mecânica quântica), o que já torna poss´ıvel a constru¸caõ de algoritmos, independentemente da implementa¸caõ f´ısica destes componentes. O mesmo autor propõe duas categorias diferentes no que diz respeito a` constru¸cão de algoritmos quânticos: • Design de circuitos Complexidade e custo do circuito são fatores importantes a serem considerados, já que podem tornar a implementa¸caõ f´ısica muito dif´ıcil ou até imposs´ıvel. • Design de algoritmos Dada a natureza probabil´ıstica da mecânica quântica, nem sempre teremos um algoritmo determin´ıstico, o que pode demandar uma análise mais profunda das propriedades convergência do algoritmo em questão, assim como o erro máximo associado. Em particular, a decomposi¸cão de uma matriz unitária em uma sequência de portas quânticas pode ser representada como um problema de otimiza¸cão. Este trabalho lida exclusivamente com o design de circuitos e as propriedades de convergência associadas ao algoritmo de busca. Williams and Gray (1999) sugeriram o uso de programa¸caõ genética para encontrar novas solu¸cões para o problema do teleporte quântico. A abordagem seguida é genérica, 2.

(11) porém mais exemplos permitiriam avaliar melhor a abordagem seguida. Os autores defendem o uso de programa¸cão genética notando a importância de se codificar as solu¸co˜es em estruturas que possuam tamanho variável. Yabuki and Iba (2000) usaram algoritmos genéticos para evoluir uma solu¸caõ para o mesmo problema, utilizando uma codifica¸caõ espec´ıfica para o problema do teleporte quântico, não sendo portanto aplicável em outros problemas. Lukac and Perkowski (2002) propõem uma algoritmo genético clássico para a s´ıntese de circuitos quânticos, obtendo sucesso, porém limitando-se a circuitos pequenos. Spector (2006) explora o uso de programa¸caõ genética para evolu¸caõ de diversos algoritmos quânticos, discutindo as limita¸co˜es associadas a este tipo de abordagem, assim como os avan¸cos obtidos na a´rea. Daskin and Kais (2011) utilizam um algoritmo evolutivo denominado Group Leader Optimization (GLO) para evoluir circuitos quânticos. Aplica¸co˜es para as simula¸co˜es das Hamiltonianas das moléculas e água e hidrogênio são apresentadas. A abordagem é genérica, porém, os circuitos apresentados apresentam componentes dif´ıceis de serem implementados, como componente controlados de portas gerais. Poto˘cek, Reynolds, Fedrizzi, and Corne (2018) exploram o uso de um algoritmo evolutivo multi-objetivo, incorporando na fun¸caõ objetivo aspectos reais de projeto, ou seja, n´ umero de portas, profundidade do circuito e acurácia. Resultados são apresentados para a busca de Grover e a transformada quântica de Fourier, mostrando que uma diversidade de circuitos podem ser encontrados para o mesmo problema, e cada solu¸caõ apresentando um balan¸co espec´ıfico entre as variáveis otimizadas. Uma outra aplica¸caõ poss´ıvel, é o uso de algoritmos genéticos quânticos para a s´ıntese de circuitos quânticos (Krylov & Lukac, 2018). Os autores concluem que o modelo evolucionário quântico mostrou uma performance pior que o modelo evolucionário clássico, devido as in´ umeras simplifica¸co˜es e restri¸co˜es adotadas. O algoritmo evolutivo adotado neste trabalho é uma implementa¸cão do algoritmo GLO descrito em Daskin and Kais (2011), adaptada para refletir a representa¸caõ de cromossomo escolhida e os tipos de operadores genéticos poss´ıveis de serem aplicados em tal representa¸caõ. A evolu¸cão de circuitos quânticos apresenta duas dificuldades principais: o tamanho e complexidade do espa¸co de busca, e o custo computacional associado. Além disso, uma. 3.

(12) abordagem clássica de algoritmos genéticos se mostra ineficiente, pois a convergência prematura da popula¸cão para um m´ınimo local costuma ocorrer com frequência, mesmo utilizando-se operadores que combatam esse tipo de problema, como o crossover uniforme ou uma baixa taxa de muta¸caõ (Kalyanmoy & Samir, 1999). Portanto, um dos objetivos deste trabalho é apresentar um algoritmo evolutivo que evite este tipo de inconveniente. Modelos evolutivos baseados no conceito de ilhas de popula¸cão são uma solu¸caõ popular para contornar o problema descrito acima (Timothy, Darrell, and Keith (1990)). Neste tipo de modelo, popula¸co˜es diferentes são evolu´ıdas separadamente (possivelmente em paralelo), e em seguida, ocorre troca de material genético, em um processo denominado migra¸cão. Tanto o intervalo de migra¸caõ, quanto a taxa em que essa migra¸cão ocorrem são parâmetros importantes e dependentes do problema em questão. O algoritmo GLO citado acima e sua implementa¸cão adotada neste trabalho, se apoiam justamente neste conceito. Por fim, o texto se organiza da seguinte maneira: o segundo cap´ıtulo fornece uma introdu¸caõ básica sobre computa¸caõ quântica, abordando os conceitos elementares de qubits, portas e circuitos quânticos. No terceiro cap´ıtulo, algoritmos genéticos serão abordados, e o algoritmo evolutivo adotado será explicado. Em seguida, os circuitos de teste serão expostos, assim como uma discussão de cada solu¸caõ encontrada. Finalmente, conclusões e novas linhas de pesquisa serão discutidas.. 4.

(13) 2. Introdu¸c˜ ao ` a Computa¸ c˜ ao Quˆ antica. 2.1. Bits e Qubits. O bit é o conceito fundamental da computa¸cão clássica, podendo ser definido como uma variável que assume o valor 0 ou 1. A computa¸cão quântica é desenvolvida com base em um conceito similar, o bit quântico, ou de maneira abreviada, qubit. Podemos definir um qubit como um sistema de mecânica quântica de dois n´ıveis, que é descrito por um vetor de estado bidimensional sobre os n´ umeros complexos. De maneira geral, um qubit pode ser expresso da seguinte forma:. |Ψi = α |0i + β |1i .. (1).   α  . β. (2). Ou, na forma matricial,. Podemos dizer então, que o qubit é uma combina¸cão linear ou sobreposi¸cão dos estados ortonormais |0i e |1i, que formam a sua base vetorial. Esses estados são geralmente denotados por |0i = 10 e |1i = 01 , podendo-se escrever também: |Ψi = α. 1 0. +β. 0 1 .. (3). O s´ımbolo |0i está associado ao estado clássico 0, enquanto |1i corresponde ao estado clássico 1. Os s´ımbolos α e β são n´ umeros complexos que representam as amplitudes de probabilidade, ou seja, ao se medir o qubit obteremos 0 com probabilidade |α|2 e 1 com probabilidade |β|2 , satisfazendo. |α|2 + |β|2 = 1.. (4). Ao contrário do bit clássico, onde podemos examinar seu estado para determinar se o valor é 0 ou 1, não podemos inspecionar diretamente um qubit para determinar seu estado quântico representado por α e β. Em outras palavras, o estado de um qubit é desconhecido até o momento em que ele é medido, onde ocorre o colapso do sistema para os estados 0 ou 1 de acordo com as probabilidades acima. Como exemplo, consideremos. 5.

(14) o qubit representado por √ 1 3 |Ψi = |0i + |1i . 2 2 Neste caso, α =. 1 2. √. e β =. 3 . 2. Ao se medir esse qubit, obter´ıamos o valor 0 com. probabilidade ( 12 )2 = 25% e o valor 1 com probabilidade (. 2.2. (5). √. 3 2 ) 2. = 75%.. A esfera de Bloch. Uma interpreta¸caõ geométrica do qubit é poss´ıvel por meio da esfera de Bloch, que fornece uma maneira muito u ´til de se visualizar o estado de um u ńico qubit, servindo muitas vezes como uma excelente ferramenta para se testar novas idéias sobre computa¸caõ quântica (Nielsen & Chuang, 2010). Observando a Equa¸caõ (1), e expressando α e β na forma polar:. α = r0 eiφ0 .. (6). β = r1 eiφ1 .. (7). e substituindo as Equa¸co˜es 6 e 7 em 1, obtemos:. |Ψi = eiφ0 [r0 |0i + r1 ei(φ1 −φ0 ) |1i].. (8). Chamando (φ1 − φ0 ) de φ e lembrando que r02 + r12 = 1, podemos escrever: θ r0 = cos . 2. (9). θ r1 = sin . 2. (10). Substituindo as Equa¸cões 9 e 10 em 8, obtemos:. iφ0. |Ψi = e. θ θ iφ cos |0i + e sin |1i . 2 2. (11). onde 0 ≤ θ ≤ π e 0 ≤ φ ≤ 2π são n´ umeros reais. O fator global eiφ0 não apresenta nenhum efeito observável ao se medir o sistema, uma vez que |eiφ0 | = 1, podendo portanto ser. 6.

(15) ˆ z = |0i |ψi θ y ˆ φ x ˆ −ˆ z = |1i Figura 1: Esfera de Bloch.. ignorado. Obtemos finalmente:. |Ψi = cos. θ θ |0i + eiφ sin |1i . 2 2. (12). Os n´ umeros reais θ e φ são parâmetros que definem o estado de um qubit em um ponto da superf´ıcie de uma esfera tridimensional, denominada esfera de Bloch. Essa representa¸cão, mostrada na Figura 1, fornece uma intui¸cão geométrica e nos permite visualizar o efeito das opera¸cões poss´ıveis em um u ńico qubit. Devemos lembrar que essa representa¸cão é intuitiva apenas para um u ńico qubit, não existindo uma maneira satisfatória de se representar graficamente um sistema de m´ ultiplos qubits pela esfera de Bloch.. 2.3. Sistema com m´ ultiplos qubits. Supondo um sistema composto por 2 bits clássicos, quatro estados são poss´ıveis: (0, 0), (0, 1), (1, 0) e (1, 1). Analogamente, um sistema de 2 qubits possui quatro bases computacionais denominadas |00i, |01i, |10i e |11i. De maneira similar a um u ńico qubit, um par de qubits pode existir em qualquer sobreposi¸caõ destas quatro bases computacionais:. |Ψi = α00 |00i + α01 |01i + α10 |10i + α11 |11i .. (13). |α00 |2 + |α01 |2 + |α10 |2 + |α10 |2 = 1.. (14). obedecendo. 7.

(16) Considere os qubits |Ψ1 i = α |0i + β |1i e |Ψ2 i = γ |0i + δ |1i. A sobreposi¸cão de |Ψ1 i e |Ψ2 i é representada pelo produto tensorial entre |Ψ1 i e |Ψ2 i:. |Ψ12 i = |Ψ1 i ⊗ |Ψ2 i .. (15). |Ψ12 i = (α |0i + β |1i) ⊗ (γ |0i + δ |1i).. (16). |Ψ12 i = αγ |00i + αδ |01i + βγ |10i + βδ |11i .. (17). De maneira geral, a sobreposi¸cão de um sistema de n qubits pode ser expressa por. |Ψ123...n i = |Ψ1 i ⊗ |Ψ2 i ⊗ |Ψ3 i ⊗ ... ⊗ |Ψn i .. (18). O conceito de espa¸co de Hilbert é fundamental para a descri¸cão formal de um sistema quântico, sendo um espa¸co vetorial dotado de produto interno, ou seja, com no¸cões de distância e aˆngulos. Além disso, esse espa¸co obedece uma rela¸caõ de completude, o que significa que toda sequência de Cauchy é convergente. Formalmente, para um sistema com n qubits, associamos o espa¸co complexo de Hilbert C2n . Em outras palavras, um sistema de n qubits é descrito por 2n vetores ortogonais complexos, onde cada vetor é um ponto no espa¸co complexo de Hilbert de 2 dimensões (Nielsen & Chuang, 2010).. 2.4. Portas quˆ anticas de um u ´ nico qubit. Um circuito clássico pode ser descrito por um conjunto de operadores lógicos conectados por fios. Os fios transportam a informa¸caõ e as portas lógicas são responsáveis por transformar essa informa¸cão (Nielsen & Chuang, 2010). A porta lógica NOT, por exemplo, atua em um u ńico bit e é definido pela opera¸caõ 0 → 1 e 1 → 0. Por analogia, uma porta quântica NOT faria a transforma¸caõ |0i → |1i e |1i → |0i. Entretanto, é preciso especificar como esta porta agiria em uma sobreposi¸cão dos estados |0i e |1i. Segundo Loceff (2015), uma porta quântica de um u ńico qubit pode ser definida como uma transforma¸caõ linear que mapeia um vetor unitário (normalizado) para outro vetor unitário. Como exemplo, consideremos uma porta quântica NOT, representado por X:  X=. 0 1 1 0. 8.  .. (19).

(17) Ao se aplicar X no qubit |Ψi = α |0i + β |1i, obtemos o novo estado |Ψi0.     β α   =   |Ψi0 =  α β 1 0 . 0 1. = β |0i + α |1i . Observando a Equa¸cão 4, onde |α|2 + |β|2 = 1, o mesmo deve ser verdade para o estado |Ψi0 . Consequentemente, a condi¸caõ necessária e suficiente para que a matriz U represente uma porta quântica é que ela seja unitária, ou seja U † U = U U † = I, onde U † é a matriz adjunta de U (obtida pela transposta conjugada de U), e I é a matriz identidade. Como exemplo adicional, considere a porta de Hadamard, representado por H:   1 1 1 . H=√  2 1 −1. (20). Ao se aplicar H no qubit |Ψi = α |0i + β |1i, obtemos o novo estado |Ψi0.      α+β √ 1 1 α 1   =  2  |Ψi0 = √  α−β 2 1 −1 √ β 2 α+β α−β = √ |0i + √ |1i . 2 2. 2.5. Portas quˆ anticas de m´ ultiplos qubits. Considere os qubits |Ψ1 i = α |0i + β |1i e |Ψ2 i = γ |0i + δ |1i. A sobreposi¸cão de |Ψ1 i e |Ψ2 i, representada por |Ψ1 i ⊗ |Ψ2 i é dada por. |Ψ12 i = αγ |00i + αδ |01i + βγ |10i + βδ |11i .. (21). Como exemplo de porta quântica atuando em dois qubits, considere a porta CNOT. 9.

(18) (NOT controlado), representada pela matriz:  1 0 0 0     0 1 0 0 .  CN OT =   0 0 0 1   0 0 1 0 . (22). Pela matriz, notamos que esta porta mapeia os estados da seguinte forma: |00i → |00i, |01i → |01i, |10i → |11i, |11i → |10i. Ou seja, o segundo qubit é invertido somente se o primeiro qubit for igual a 1. Dizemos que o primeiro qubit do par |abi atua como controle, e o segundo atua como alvo do operador (neste caso o operador NOT). Ao aplicar esta porta na sobreposi¸caõ |Ψ12 i obtemos.     αγ αγ 1 0 0 0           0 1 0 0  αδ   αδ    =    CN OT |Ψ12 i =      0 0 0 1 βγ   βδ       βγ βδ 0 0 1 0 . = αγ |00i + αδ |01i + βδ |10i + βγ |11i .. De maneira geral, uma porta quântica que atua em n qubits é representado por uma matriz unitária de ordem 2n × 2n . Dado que a inversa de uma matriz unitária também é unitária, dizemos que as transforma¸co˜es dos operadores quânticos são revers´ıveis, sendo essa uma das propriedades fundamentais que alavancam o potencial da computa¸caõ quântica.. 2.6. Circuitos quˆ anticos. Um exemplo simples de circuito quântico de dois qubits é mostrado na Figura 2. Neste circuito o ponto escuro representa o qubit de controle para a porta em que está diretamente ligado. Neste exemplo, a porta CNOT (NOT controlado) é ilustrada: o operador X no fio 2 só será aplicado se o qubit de controle no fio 1 for igual a 1. Em princ´ıpio, qualquer porta de um u ńico qubit poderia ser utilizado no lugar de X, obtendo-se assim a versão controlada desta porta. 10.

(19) Figura 2: Porta controlada CNOT (MIT Media Lab, 2019).. O circuito da Figura 3 é bastante simples, apresentando três portas CNOT em sequência, onde o qubit de controle varia ao longo do circuito. Este circuito executa uma tarefa bastante simples, fazendo a troca (swap) dos qubits de input.. Figura 3: Circuito Swap.. Matematicamente: |a, bi → |a, a ⊕ bi → |a ⊕ (a ⊕ b), a ⊕ bi = |b, a ⊕ bi. (23). → |b, (a ⊕ b) ⊕ bi = |b, ai Na passagem acima, a e b representam os inteiros {0, 1}, e não os estados base. Em geral, o circuito é lido da esquerda para a direita, onde cada linha representa um fio que pode ser interpretado como a passagem do tempo, ou como uma part´ıcula f´ısica (por exemplo um fóton). Por conven¸caõ, quando o estado de entrada do circuito não for especificado, assumimos-se que o input do circuito é estado base |0i em todos os fios. O s´ımbolo ⊕ indica a soma módulo 2, ou simplesmente a opera¸cão XOR entre os bits. A Figura 4 acima mostra um circuito um pouco mais complexo. Vale notar que algumas caracter´ısticas encontradas em circuitos clássicos não aparecem em circuitos quânticos, devido a`s restri¸co˜es impostas pela mecânica quântica: loops internos, opera¸co˜es 11.

(20) Figura 4: Circuito com portas CNOT, Pauli-Z e Hadamard.. irrevers´ıveis ou que criem cópias de qubits não são permitidas em circuitos quânticos. Definimos a profundidade do circuito como sendo o seu comprimento horizontal (n´ umero de colunas). O circuito da Figura 4 possui profundidade 7 e atua em 3 qubits. Por representar uma sequência de transforma¸co˜es lineares, o efeito global de qualquer circuito quântico pode ser descrito por uma u ńica matriz unitária U. A decomposi¸cão de U no circuito quântico equivalente pode ser formulada como um problema de otimiza¸cão, e determinar a sequência e configura¸caõ das portas deste circuito é o foco principal deste trabalho, assim como investigar aspectos relevantes relacionados ao problema da busca em si. O próximo cap´ıtulo fornece uma breve introdu¸caõ aos algoritmos evolutivos, em particular aos algoritmos genéticos.. 12.

(21) 3. Introdu¸c˜ ao aos Algoritmos Gen´ eticos. 3.1. Algoritmos gen´ eticos. O uso de algoritmos genéticos (AG) para a resolu¸caõ de problemas não é algo novo. O trabalho pioneiro de J. H. Holland nos anos 70 provou-se como uma grande contribui¸caõ para as aplica¸cões em ciência e engenharia. Inicialmente limitada a meios acadêmicos, somente nas décadas recentes um n´ umero maior de aplica¸co˜es industriais vem sendo observadas (Man, Tang, & Kwong, 1996). Um dos obstáculos iniciais para a utiliza¸caõ de AG era justamente o alto custo computacional, mas com os avan¸cos cont´ınuos em hardware e capacidade de processamento em paralelo, este problema foi consideravelmente aliviado. Apesar de não ser uma abordagem matematicamente guiada, mas sim estocástica, discreta e não-linear, a literatura na área é extremamente vasta. As se¸cões seguintes apresentam os conceitos básicos empregados na técnica, assim como suas vantagens e limita¸cões. Os princ´ıpios básicos dos algoritmos genéticos (Holland, 1975) foram inspirados pela teoria da evolu¸cão de Darwin. Assumimos que um indiv´ıduo represente uma solu¸cão potencial para o problema em questão e possa ser representado por um conjunto de parâmetros. Por analogia, estes parâmetros podem ser interpretados como genes de um cromossomo, e representam o material genético do indiv´ıduo. De acordo com a qualidade deste cromossomo para resolver determinado problema, um valor de aptidão pode ser associado. Partindo de uma popula¸caõ inicial aleatória e através de operadores genéticos de reprodu¸cão e muta¸caõ, indiv´ıduos trocam material genético com a esperan¸ca de se gerar uma nova popula¸cão mais bem adaptada, ou seja, solu¸cões cada vez melhores. A descri¸cão acima não especifica ou impõe restri¸cões na maneira em que os cromossomos ou operadores genéticos são implementados: do ponto de vista computacional um cromossomo pode ser uma simples string binária, onde cada gene é um bit, ou pode ser um array de objetos complexos. Esta flexibilidade se traduz em uma enorme gama de aplica¸co˜es de algoritmos genéticos em dom´ınios discretos, cont´ınuos ou combinatórios. As próximas se¸co˜es introduzem de maneira breve o framework clássico do AG, expondo os principais operadores e mecanismos de evolu¸caõ. As principais limita¸cões associadas também serão discutidas, assim como as técnicas mais comuns para contorná-las.. 13.

(22) 3.2. Representa¸ c˜ ao do cromossomo. Uma string binária é uma representa¸cão clássica mais utilizada, apesar de sua simplicidade. Uma das desvantagens desta abordagem se torna o´bvia ao lidar com problemas de otimiza¸caõ com valores reais: o tamanho da string pode aumentar significativamente dependendo da precisão desejada. Neste caso, um cromossomo de valores reais costuma ser uma solu¸cão poss´ıvel. Um exemplo claro disso é encontrar as ra´ızes reais de um polinômio de grau n: cada gene do cromossomo representa uma raiz, e temos assim um mapeamento direto entre cromossomo e solu¸caõ. Para problemas de natureza combinatória, um cromossomo de valores inteiros (dependendo do caso, uma permuta¸cão) costuma ser utilizado. De maneira geral, o mapeamento o´timo cromossomo → solu¸cão vai depender do problema e do grau de erro aceitável, já que mapeamentos diferentes levam a solu¸cões diferentes.. 3.3. Crossover. Durante o processo de evolu¸caõ indiv´ıduos irão trocar material genético a uma certa taxa, e o mecanismo no qual essa troca ocorre recebe o nome de recombina¸caõ (crossover). Qualquer operador que receba um par de cromossomos (pais) e retorne um ou mais cromossomos filhos que sejam fun¸cão dos pais, pode ser empregado. A Figura 5 a seguir ilustra o crossover de 1 ponto, onde os cromossomos pais trocam material genético a partir de um ponto de corte escolhido aleatoriamente:. Figura 5: Crossover de 1 ponto.. A codifica¸cão Bi p representa um bloco de informa¸cão genética, onde i é o ´ındice do gene e p indica a qual pai esse gene pertence. Abordagens mais sofisticadas são poss´ıveis dependendo do problema. A defini¸caõ dos operadores de crossover pode influenciar tanto 14.

(23) na velocidade de convergência quanto na qualidade das solu¸co˜es obtidas, já que promove a troca de material genético entre indiv´ıduos da popula¸cão. Um balan¸co entre custo computacional e eficácia deste operador se torna um fator de aten¸cão na cria¸caõ do algoritmo.. 3.4. Sele¸ c˜ ao. O operador de sele¸caõ é responsável por decidir quais indiv´ıduos trocarão material genético entre si durante o crossover. De acordo com a teoria de Darwin sobre a evolu¸caõ das espécies, indiv´ıduos que herdarem caracter´ısticas genéticas favoráveis a` sua sobrevivência e reprodu¸caõ, tenderão a ter mais filhos, aumentando assim sua presen¸ca genética na popula¸caõ. A maneira clássica de implementar esse operador consiste em selecionar indiv´ıduos com uma probabilidade proporcional ao seu valor de aptidão, mecanismo esse denominado sele¸cão por roleta. Outras formas de sele¸cão podem ser aplicadas dependendo do problema. A sele¸cão por torneio seleciona pequenos subconjuntos da popula¸cão, escolhendo-se o indiv´ıduo de maior aptidão de cada um dos subconjuntos. A sele¸cão por truncamento simplesmente escolhe os N melhores indiv´ıduos da popula¸cão, descartando-se os outros. In´ umeros mecanismos são poss´ıveis, e novamente, um balan¸co entre custo computacional e eficácia do operador se torna um ponto de aten¸cão.. 3.5. Muta¸ c˜ ao. Novos indiv´ıduos estão suscet´ıveis a sofrer muta¸caõ em seu material genético. Qualquer operador que perturbe o cromossomo a uma taxa (fixa ou não) pode ser utilizado. Em geral, esta perturba¸caõ ocorre no gene. Para uma string binária, simplesmente inverter o bit com uma probabilidade p já é o suficiente. Para cromossomos de valores reais, uma pequena perturba¸caõ gaussiana pode ser utilizada. Esquemas mais elaborados, como sempre, podem ser adotados e terão forte influência na velocidade de convergência e qualidade das solu¸cões.. 15.

(24) 3.6. Algoritmo Gen´ etico - abordagem cl´ assica. O pseudocódigo abaixo mostra a estrutura básica de um algoritmo genético:. Figura 6: Pseudocódigo para um AG clássico.. O critério de parada pode ser definido por um n´ umero máximo de gera¸co˜es, ou até uma solu¸caõ minimamente viável for obtida.. 3.7. Algoritmo Gen´ etico - modelo em Ilhas. Como discutido anteriormente, uma das principais limita¸co˜es encontradas na abordagem clássica, é a convergência prematura da popula¸caõ, resultando em solu¸cões subo´timas. Uma estratégia comumente adotada para aliviar esse problema é o uso do chamado Modelo em Ilhas, conhecido também como algoritmo genético em paralelo. Nesse modelo, a ideia principal é evoluir popula¸cões separadamente, para, em seguida, efetuar a troca de material genético entre essas popula¸co˜es, num processo denominado migra¸cão, que ocorre a uma certa taxa controlada. De maneira intuitiva, cada popula¸caõ (inicialmente isolada), pode seguir uma linhagem evolutiva diferente, aumentando assim a diversidade genética e consequentemente a eficácia da busca (Whitley, Rana, & Heckendorn, 1997). O pseudocódigo abaixo mostra a estrutura básica de um algoritmo genético em Ilhas:. 16.

(25) Figura 7: Pseudocódigo para um AG em Ilhas.. O critério de parada é definido de maneira análoga ao caso clássico. O algoritmo evolutivo usado neste trabalho é uma versão ligeiramente modificada do algoritmo acima, e será detalhado posteriormente.. 17.

(26) 4. Algoritmos Gen´ eticos para a s´ıntese de circuitos quˆ anticos. 4.1. Portas quˆ anticas universais. Sabemos que um conjunto pequeno de portas (AND, OR, NOT) bastam para computar qualquer fun¸caõ clássica. Dizemos que este conjunto é Universal para a computa¸caõ clássica. Um resultado similar pode ser obtido para a computa¸caõ quântica, onde um conjunto de portas é Universal para a computa¸cão quântica caso qualquer opera¸caõ unitária possa ser aproximada, com precisão arbitrária, por um circuito envolvendo estas portas (Nielsen & Chuang, 2010). Uma discussão aprofundada sobre a universalidade de portas quânticas pode ser encontrada em Dawson and Nielsen (2005). Neste trabalho o conjunto de portas utilizada é universal, ou seja, qualquer circuito pode ser aproximado com precisão arbitrária por uma configura¸caõ destas portas. O fato desta aproxima¸cão ser garantida não nos diz nada a respeito da eficiência com que isso pode ser feito. De fato, dada uma matriz unitária U atuando em n qubits, nem sempre podemos encontrar um circuito de tamanho polinomial em n que aproxime U: a maioria destas transforma¸co˜es são exponenciais em n.. 4.2. Fun¸ c˜ ao objetivo. Dada uma matriz unitária U buscamos o circuito de portas quânticas que produza essa matriz com a maior fidelidade poss´ıvel. Para quantificar este aproxima¸caõ, definimos a fidelidade do tra¸co pela expressão abaixo:. f=. 1 | Tr(Ua Ut† )| 2n. (24). onde Ua é a unitária do circuito em questão, Ut é a unitária alvo, n é o n´ umero de qubits, e Tr é o tra¸co da matriz (Ua Ut† ). Notamos que para uma solu¸caõ exata, ou seja, quando ´ importante notar que no caso em que Ut e Ua diferem apenas Ua = Ut , obtemos f = 1. E em suas fases globais, obtemos também f = 1 (Daskin & Kais, 2011). Neste trabalho, a princ´ıpio não nos preocuparemos com o custo do circuito, que pode ser expresso como fun¸caõ da profundidade e da complexidade das portas individuais. A qualidade de um indiv´ıduo será medida levando-se em conta apenas sua fidelidade. Essa 18.

(27) decisão pode ser justificada baseando-se na representa¸caõ adotada para o cromossomo: circuitos de tamanho diferente serão permitidos e competirão entre si de maneira natural. No caso de circuitos diferentes possu´ırem a mesma fidelidade, o circuito de menor profundidade será considerado a melhor solu¸cão.. 4.3. Representa¸ c˜ ao do cromossomo. Uma representa¸caõ de circuito linearizada foi adotada neste trabalho. Por exemplo, seja o circuito da figura abaixo. Figura 8: Circuito com portas CNOT, Pauli-Z e Hadamard.. cuja representa¸caõ em linearizada é dada por ( { 1 : ( ‘H’ , −1, None ) } , { 1 : ( ‘X’ , 0 , None ) } , { 2 : ( ‘X’ , 1 , None ) } , { 1 : ( ‘X’ , 0 , None ) } , { 0 : ( ‘H’ , −1, None ) , 2 : ( ‘X’ , 1 , None ) } , { 0 : ( ‘ Z ’ , 2 , None ) } , { 0 : ( ‘H’ , −1, None ) } ) Notamos que cada item desta lista representa uma ‘coluna’ do circuito, e dentro de cada coluna o mapeamento qubit-alvo: (opera¸cão, qubit-controle, parâmetro) indica o qubit alvo, a opera¸caõ, o qubit de controle e o parâmetro, respectivamente. A ausência de controle é indicada por -1 e a ausência de parâmetros por None. Os ´ındices são mapeados de cima para baixo, com 0 indicando o primeiro qubit (ou primeiro fio), 1 indicando o segundo, etc. Como exemplo, observemos a quinta coluna do circuito, representada por ( 0 : ( ‘H’ , −1, None ) , 2 : ( ‘X’ , 1 , None ) ) 19.

(28) Nesta representa¸caõ, uma porta H atua no qubit 0, sem controle e sem parâmetros. Além disso, uma porta X atua no qubit 2, sendo controlado pelo qubit 1 e não possuindo nenhum parâmetro. Um restri¸caõ importante adotada neste trabalho diz respeito aos qubits de controle: apenas um controle será permitido por coluna. Essa restri¸cão dificulta a convergência do algoritmo, mas permite a obten¸cão de circuitos mais realistas, tendo em vista a dificuldade inerente encontrada na implementa¸caõ f´ısica destes componentes com mais de um controle.. 4.4. Representa¸ c˜ ao dos genes: arquitetura em blocos unit´ arios. A fim de se obter um ganho de performance na busca evolutiva dos circuitos e um maior grau de controle sobre os tipos de portas quânticas permitidas, uma arquitetura em blocos foi adotada. O esquema adotado permite o reaproveitamento do cálculo das matrizes unitárias para cada bloco, sendo necessário calcular novamente a unitária somente no caso em que tal bloco foi modificado. Isso permite obter a matriz unitária para o circuito total de maneira muito mais eficiente. As se¸co˜es seguintes explicam esta estratégia com mais detalhes. 4.4.1. Tipos de bloco. Quatro tipos básicos de blocos foram definidos: bloco não-controlado (NCB), bloco controlado (CB), bloco pré-definido (PDB) e bloco composto (COMPB). Um bloco NCB consiste em uma u ńica coluna de portas quânticas não controladas. As portas poss´ıveis são as mesmas encontradas no Apêndice A. Um bloco CB consiste em uma u ńica coluna onde uma das portas possui necessariamente um controle. Neste trabalho, somente portas controlados do tipo CNOT foram permitidas. Além disso, um u ńico ponto de controle foi permitido. Em outras palavras, um bloco CB consiste em uma u ńica coluna de portas quânticas, onde uma das portas é do tipo CNOT. As outras portas poss´ıveis são as mesmas encontradas no Apêndice A. Um bloco PBD consiste em uma sequência pré-definida de blocos NCB e CB. A idéia por trás dos blocos PDB é representar decomposi¸co˜es já conhecidas de portas controladas gerais, facilitando a convergência do algoritmo. Uma lista dos blocos pré-definidos poss´ıveis se encontra no apêndice B. Os blocos do tipo BPD são imutáveis. Um bloco COMPB é simplesmente uma composi¸caõ de blocos NCB e CB. Um circuito 20.

(29) quântico é definido como uma sequência de blocos dos tipos definidos acima. A Figura 9 ilustra um circuito composto por cinco blocos: o primeiro bloco NCB consiste em uma u ńica porta H, o segundo bloco CB define uma porta CNOT, o terceiro bloco NCB consiste em duas portas H, o quarto bloco PDB representa uma porta H controlada, com o controle no primeiro qubit, e o u ´ltimo bloco COMPB representa um bloco composto, formado por uma porta H e um CNOT. Todo bloco PDB é composto. Um bloco PDB pode sofrer muta¸cão e perder sua defini¸caõ original, tornando-se apenas composto.. Figura 9: Sequência de blocos NCB, CB, NCB e PDB.. A representa¸caõ linearizada de cada bloco é listada a seguir: B1 = ( { 0 : ( H, −1, None }) B2 = ( { 1 : ( X, 0 , None ) } ) B3 = ( { 0 : ( H, −1, None ) , 1 : ( H, −1, None ) } ) B4 = ( { 1 : ( Ry , −1, −p i / 4 ) } , { 1 : (X, 0 , None ) } , { 1 : ( Ry , −1, p i / 4 ) } ) B5 = ( { 0 : ( H, −1, None ) } , { 1 : (X, 0 , None ) } ). A unitária para um circuito composto por n blocos é dada por:. U = Bn .Bn−1 .Bn−2 . . . B2 .B1. (25). onde Bn é a unitária do u ´ltimo bloco e B1 é a unitária do primeiro bloco, obtidas pelo produto tensorial entre as unitárias das portas da respectiva coluna.. 21.

(30) 4.5. Algoritmo GLO. O algoritmo evolutivo adotado é uma adapta¸caõ da estrutura geral apresentada em Daskin and Kais (2011). A Figura 10 abaixo apresenta o fluxograma do algoritmo:. Figura 10: Fluxograma do algoritmo Group Leaders Optimization.. O conceito de l´ıder é utilizado para se introduzir elitismo em cada popula¸cão. Notase que na segunda etapa do algoritmo, popula¸cões diferentes trocam material genético, aliviando o problema da convergência prematura. As próximas se¸cões ilustram o funcionamento dos operadores de crossover e muta¸caõ e os parâmetros que afetam o algoritmo.. 4.6. Crossover. Neste algoritmo o crossover ocorre em duas etapas distintas: dentro de uma popula¸caõ e entre indiv´ıduos de popula¸co˜es diferentes. As subse¸co˜es seguintes ilustram cada operador. 22.

(31) 4.6.1. Crossover intra-popula¸c˜ ao. Cada etapa do crossover conta com a participa¸cão de três indiv´ıduos: o indiv´ıduo atual, o l´ıder, e um indiv´ıduo criado aleatoriamente. O resultado da opera¸caõ é um novo indiv´ıduo. O operador é controlado por três parâmetros: rt, rl e rr, representando respectivamente a fra¸cão dos indiv´ıduos atual, l´ıder e aleatório, que estarão presentes no indiv´ıduo resultante. As figuras abaixo ilustram o processo:. Figura 11: Indiv´ıduo atual.. Figura 12: Indiv´ıduo l´ıder.. Figura 13: Indiv´ıduo aleatório.. Assumindo rt = 0.5, rl = 0.3 e rr = 0.2, obtemos um novo indiv´ıduo:. Figura 14: Novo indiv´ıduo.. O indiv´ıduo resultante é composto tomando-se 50% dos primeiros blocos do indiv´ıduo atual, 30% dos primeiros blocos do l´ıder e 20% dos primeiros blocos do indiv´ıduo aleatório. 23.

(32) Neste exemplo, isso corresponde a dois blocos do indiv´ıduo atual, um bloco do indiv´ıduo l´ıder e um bloco do indiv´ıduo aleatório. 4.6.2. Crossover inter-popula¸c˜ ao. Dados dois cromossomos pais, o crossover de 1 ponto é aplicado de acordo com a Figura 5: um ponto de corte é escolhido aleatoriamente e os blocos são trocados entre os dois indiv´ıduos, gerando dois indiv´ıduos filhos, conforme ilustrado.. 4.7. Muta¸ c˜ ao. A fim de maximizar a explora¸cão do espa¸co de solu¸cões, diversos operadores de muta¸caõ foram implementados. Conforme descrito no Fluxograma da Figura 10, uma u ńica muta¸cão é aplicada por indiv´ıduo. Os diferentes mecanismos de muta¸cão são listados abaixo: • Troca controle e seu alvo Inverte as fun¸co˜es controle-alvo de portas controladas: o controle passa a ser o alvo, e o alvo passa a ser o controle. • Troca de porta Altera o tipo de opera¸caõ unitária, escolhendo uma nova porta de maneira uniforme. • Remo¸caõ de controle Remove o controle de portas controladas. • Adi¸caõ de controle Insere um controle em portas não-controladas. • Altera posi¸cão vertical Altera a posi¸caõ vertical da porta no circuito. • Altera posi¸cão horizontal Altera a posi¸caõ horizontal da porta no circuito. • Altera ângulo de rota¸caõ Altera o ângulo de rota¸caõ em portas que possuam este parâmetro, introduzindo-se. 24.

(33) uma pequena perturba¸caõ gaussiana com média de 0.00174533 radianos (0.1 grau) e variância de 0.0174533 radianos (1 grau). Cada circuito será submetido a uma u ńica muta¸cão em um bloco escolhido aleatoriamente. Um bloco sofre apenas muta¸co˜es que não modifiquem seu tipo: por exemplo, um bloco controlado pode ter sua posi¸caõ de controle alterada, mas não pode ter seu controle removido. Um bloco não-controlado não pode ter controles inseridos. Em outras palavras, cada tipo de bloco possui uma lista de muta¸cões poss´ıveis, sendo que uma é sorteada de maneira aleatória. No caso de um bloco composto, um sub-bloco é escolhido aleatoriamente, e o mesmo procedimento acima é adotado para este sub-bloco.. 25.

(34) 5. Resultados experimentais. 5.1. Parˆ ametros. Em todos os experimentos fixamos os valores rt = 0 .5 , rl = 0 .3 e rr = 0 .2 . O n´ umero de grupos adotado foi g = 20 e a popula¸caõ de cada grupo n = 30. O n´ umero máximo de itera¸co˜es permitido foi de 2000. Para todos os problemas, os n´ umeros m´ınimo e máximo de blocos permitidos foram definidos em 4 e 15, respectivamente. Um erro inferior a 1 × 10−6 foi usado como critério de parada. As portas quânticas dispon´ıveis para a busca são o conjunto de portas listadas no Apêndice A, aliadas aos blocos pré-definidos do Apêndice B.. 5.2. Moeda para o caminhante quˆ antico . 1   0 u=  0  0. 0. 0. √1 2 1 √ 2. √1 2 − √12. 0. 0. 0. .   0   0  1. (26). A unitária definida acima possui aplica¸co˜es importantes na simula¸caõ de passeios aleatórios e autômatos celulares quânticos. Costa, Portugal, and de Melo (2018) abordam o tema em detalhes. As Figuras 15 e 16 mostram o melhor circuito encontrado e a curva de evolu¸caõ.. Figura 15: Solu¸caõ para a moeda do caminhante quântico.. A unitária encontrada apresenta um erro inferior a 3.3 × 10−16 e é apresentada abaixo.. 26.

(35) Figura 16: Evolu¸caõ para a moeda do caminhante quântico.. . −17. −17. 1.000 00 + 0j 3.925 23 × 10 + 0j 3.925 23 × 10 + 0j   5.551 11 × 10−17 + 0j 7.071 06 × 10−1 + 0j 7.071 06 × 10−1 + 0j    0.000 00 + 0j 7.071 06 × 10−1 + 0j −7.071 06 × 10−1 + 0j  0.000 00 + 0j 0.000 00 + 0j 0.000 00 + 0j. 5.3. 0.000 00 + 0j. .   0.000 00 + 0j    0.000 00 + 0j   1.000 00 + 0j. Transformada quˆ antica de Fourier de dois qubits . . 1 1 1 1     1 i −1 −i  1  QF T =   2 1 −1 1 −1   1 −i −1 i. (27). A transformada quântica de Fourier (QFT) possui um papel importante em diversos algoritmos, notavelmente no algoritmo de Shor para fatora¸caõ. As Figuras 17 e 18 mostram o melhor circuito encontrado e a curva de evolu¸cão.. Figura 17: Solu¸caõ para a transformada quântica de Fourier de dois qubits.. A unitária encontrada apresenta um erro inferior a 5.5 × 10−16 e é apresentada abaixo.. 27.

(36) Figura 18: Evolu¸caõ para a transformada quântica de Fourier de dois qubits.. . . 0.5 + 0j 0.5 + 0j 0.5 + 0j 0.5 + 0j     0.5 + 0j 0. + 0.5j −0.5 + 0j 0. − 0.5j      0.5 + 0j −0.5 + 0j 0.5 + 0j −0.5 + 0j    0.5 + 0j 0. − 0.5j −0.5 + 0j 0. + 0.5j. 5.4. A porta de Toffoli. A porta de Toffoli é universal e atua em três qubits, sendo que os dois primeiros atuam como controle e o terceiro como alvo. Ou seja, se os dois primeiros qubits forem 1, o terceiro qubit tem o seu valor invertido, caso contrário permanece o mesmo. A matriz unitária alvo é representada abaixo: . 1 0 0 0 0 0 0 0.   0   0   0   0   0   0  0. 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1. .   0   0   0   0   0   1  0. (28). As figuras 19 e 20 mostram o melhor circuito encontrado e a curva de evolu¸cão. A unitária encontrada apresenta um erro inferior a 2.2 × 10−16 e é apresentada abaixo.. 28.

(37) Figura 19: Solu¸caõ para a unitária de Toffoli.. Figura 20: Evolu¸caõ para a unitária de Toffoli.. . 1. + 0j. 0. + 0j.   0. + 0j 1. + 0j   0. + 0j 0. + 0j   0. + 0j 0. + 0j   0. + 0j 0. + 0j   0. + 0j 0. + 1.11 × 10−16 j   0. + 0j 0. + 0j  0. + 0j 0. + 0j. 0. + 0j 0. + 0j 0. + 0j. 0. + 0j. 0. + 0j 0. + 0j. 0. + 0j 0. + 0j 0. + 0j. 0. + 0j. 0. + 0j. 1. + 0j 0. + 0j 0. + 0j. 0. + 0j. 0. + 0j. 0. + 0j 1. + 0j 0. + 0j. 0. + 0j. 0. + 0j. 0. + 0j 0. + 0j 1. + 0j 0. − 1.11 × 10−16 j 0. + 0j 0. + 0j 0. + 0j 0. + 0j. 1. + 0j. 0. + 0j. 0. + 0j 0. + 0j 0. + 0j. 0. + 0j. 0. + 0j. 0. + 0j 0. + 0j 0. + 0j. 0. + 0j. 1. + 0j. 29. .   0. + 0j    0. + 0j    0. + 0j    0. + 0j    0. + 0j    1. + 0j   0. + 0j.

(38) 6. Conclus˜ oes A s´ıntese automática de circuitos quânticos é um problema aberto e importante para. o desenvolvimento de algoritmos quânticos. Este trabalho explora o uso de um algoritmo de busca evolutivo que utiliza grupos de popula¸co˜es que evoluem de forma separada, trocando material genético entre si posteriormente. Para os problemas abordados, algoritmos genéticos clássicos apresentaram o problema da convergência prematura, com os membros da popula¸caõ se tornando muito similares ou iguais, levando a um m´ınimo local na maioria das vezes. A abordagem utilizando popula¸cões separadas, também conhecida na literatura como Island models se mostrou eficiente na decomposi¸cão das unitárias apresentadas, porém, nem sempre o circuito m´ınimo foi encontrado. No caso da unitária de Toffoli por exemplo, são conhecidas decomposi¸co˜es de profundidade 12, em contraste com a solu¸cão apresentada de profundidade 18. ´ preciso ressaltar que a velocidade de convergência é extremamente dependente da E profundidade, n´ umero de qubits e complexidade do circuito em questão, assim como dos parâmetros de busca e portas poss´ıveis. Observando-se a curva de evolu¸caõ, notamos que circuitos limitados a portas sem aˆngulo de rota¸caõ parametrizado apresentam evolu¸caõ em passos discretos com longos per´ıodos de estagna¸caõ, o que é explicado pela ausência de parâmetros cont´ınuos guiando a busca e pela irregularidade do espa¸co. Contrastando-se os resultados obtidos com trabalhos similares encontrados na literatura, dois aspectos se destacam positivamente: o caráter genérico da abordagem descrita e a flexibilidade das solu¸co˜es obtidas. O algoritmo apresentado é prontamente aplicável para qualquer unitária, bastando especificar a unitária alvo e o conjunto de portas dispon´ıveis para a busca, caso seja desejável impor alguma limita¸caõ. Por evoluir popula¸co˜es em paralelo, solu¸co˜es estruturalmente distintas são encontradas, tanto no conjunto e arranjo das portas, como no tamanho e complexidade do circuito. Essa flexibilidade é obtida com um custo computacional relativamente menor ao se comparar com uma otimiza¸caõ multi-objetivo. Por outro lado, a implementa¸caõ apresentada possui limita¸co˜es quanto a` escalabilidade: evoluir circuitos com mais de 10 qubits pode ser problemático, já que a dimensão das matrizes cresce na forma 2n , onde n é o n´ umero de qubits. Uma implementa¸cão utilizando-se matrizes esparsas e bibliotecas especializadas em cálculo matricial pode 30.

(39) aliviar consideravelmente este problema, sendo um objeto de pesquisa futura. Dadas as considera¸co˜es acima, uma investiga¸caõ mais profunda sobre a rela¸caõ entre as portas dispon´ıveis e a velocidade de convergência se torna interessante. Limitar o n´ umero de portas não só diminuiria o espa¸co de busca, mas permitiria encontrar circuitos m´ınimos, fator importante ao se considerar a implementa¸caõ f´ısica destes componentes. Por fim, este trabalho é uma evolu¸caõ do artigo (De Oliveira, Miranda, & Costa, 2019), que explora dois dos problemas aqui mostrados, utilizando-se uma abordagem mais simples na representa¸caõ do circuito e na fun¸cão objetivo. O código para reprodu¸caõ dos resultados se encontra no github do autor, em https://github.com/fernandotenorio/ QuantB.. 31.

(40) A. Portas quˆ anticas. 1. Porta Identidade Não realiza nenhuma transforma¸caõ.  I=. 1 0 0 1.  (29). . 2. Porta de Hadamard Realiza uma rota¸caõ de π radianos sobre o eixo Z seguido de uma rota¸cão de radianos sobre o eixo Y.. . 1. 1. π 2. . 1  H=√  2 1 −1. (30). 3. Porta X de Pauli Equivalente quântico do gate NOT clássico e performa uma rota¸caõ sobre o eixo X de π radianos..  X=. 0 1 1 0.  . (31). 4. Porta Y de Pauli Realiza uma rota¸cão de π radianos sobre o eixo Y.   0 −i  Y = i 0. (32). 5. Porta Z de Pauli Realiza uma rota¸cão de i radianos sobre o eixo Z.   1 0  Z= 0 −1. (33). 6. Porta S Porta de fase ou Z90, realiza uma rota¸caõ de π2 sobre o eixo Z.   1 0  S= 0 i. (34). 7. Porta S −1 Transposta conjugada da porta S.  S −1 =  32. 1. 0. 0 −i.  . (35).

(41) 8. Porta T Realiza uma rota¸cão de. π 8. sobre o eixo Z.  1 T = 0. 0 1+i √ 2.  (36). . 9. Porta T −1 Transposta conjugada da porta T.  T −1 = . 1. 0. 0. 1−i √ 2.  (37). . 10. Porta X 1/2 Raiz quadrada da porta NOT. . X 1/2.  1 1 + i 1 − i =  2 1−i 1+i. (38). 11. X −1/2 Transposta conjugada da porta X 1/2 . . X −1/2 =. . 1 1 − i 1 + i  2 1+i 1−i. (39). 12. Porta Rx Realiza uma rota¸cão de θ radianos sobre o eixo X.   cos( 2θ ) i sin( 2θ )  Rx =  θ θ i sin( 2 ) cos( 2 ). (40). 13. Porta Ry Realiza uma rota¸cão de θ radianos sobre o eixo Y.   θ θ cos( 2 ) sin( 2 )  Ry =  − sin( 2θ ) cos( 2θ ). (41). 14. Porta Rz Realiza uma rota¸cão de θ radianos sobre o eixo Z.   1 0  Rz =  0 exp(iθ). 33. (42).

(42) B. Blocos pr´ e-definidos. Figura 21: Bloco H controlado. Figura 22: Bloco Z controlado. Figura 23: Bloco Y controlado. Figura 24: Bloco X 1/2 controlado. Figura 25: Bloco T controlado. 34.

(43) Figura 26: Bloco S controlado. Figura 27: Bloco swap. 35.

(44) ˆ ´ REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS Costa, P. C., Portugal, R., & de Melo, F. (2018). Quantum walks via quantum cellular automata. Quantum Information Processing, 17 (9), 226. Daskin, A., & Kais, S. (2011, 04). Decomposition of unitary matrices for finding quantum circuits: Application to molecular hamiltonians. The Journal of chemical physics, 134 , 144112. doi: 10.1063/1.3575402 Dawson, C. M., & Nielsen, M. A. (2005). The solovay-kitaev algorithm. De Oliveira, P. P. B., Miranda, F. T., & Costa, P. C. (2019). Dois exemplos de projeto automático de circuitos combinacionais quânticos. XIV Conferência Brasileira de Dinâmica, Controle e Aplica¸cões. Retrieved from http://soac.eesc.usp.br/ index.php/dincon/xivdincon/paper/view/1958/1209 Holland, J. H. (1975). Adaptation in natural and artificial systems. Ann Arbor, MI: University of Michigan Press. (second edition, 1992) Kalyanmoy, D., & Samir, A. (1999). Understanding interactions among genetic algorithm parameters. In in foundations of genetic algorithms 5 (p. 265-286). Morgan Kaufmann. Krylov, G., & Lukac, M. (2018). Quantum encoded quantum evolutionary algorithm for the design of quantum circuits. In Proceedings of the 16th acm international conference on computing frontiers. Loceff, M. (2015). A course in quantum computing. Foothill College. Lukac, M., & Perkowski, M. (2002, July). Evolving quantum circuits using genetic algorithm. In Proceedings 2002 nasa/dod conference on evolvable hardware (p. 177185). doi: 10.1109/EH.2002.1029883 Man, K., Tang, W. K., & Kwong, S. (1996, 11). Genetic algorithms: Concepts and applications. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 43 , 519 - 534. doi: 10.1109/41.538609 MIT Media Lab. (2019). Quantum circuit viewer: qasm2circ. Retrieved 2019-06-10, from http://www.media.mit.edu/quanta/qasm2circ/ Nielsen, M. A., & Chuang, I. L. (2010). Quantum computation and quantum information: 10th anniversary edition. Cambridge University Press. doi: 10.1017/ CBO9780511976667. 36.

(45) Poto˘cek, V., Reynolds, A. P., Fedrizzi, A., & Corne, D. W. (2018). Multi-objective evolutionary algorithms for quantum circuit discovery. Spector, L. (2006). Automatic quantum computer programming: A genetic programming approach (genetic programming). Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. Timothy, S., Darrell, W., & Keith, M. (1990). Optimization using distributed genetic algorithms. Parallel Problem Solving from Nature, 176-185. Whitley, D., Rana, S., & Heckendorn, R. B. (1997). Island model genetic algorithms and linearly separable problems. In D. Corne & J. L. Shapiro (Eds.), Evolutionary computing (pp. 109–125). Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. Williams, C. P., & Gray, A. G. (1999). Quantum computing and quantum communication. Lecture Notes in Computer Science, 1509 , 113-125. Yabuki, T., & Iba, H. (2000). Genetic algorithms for quantum circuit design - evolving a simpler teleportation circuit. In Late Breaking Papers at GECCO 2000 , 421-425.. 37.

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