APLICAÇÃO DOS MÉTODOS QUASE-NEWTON NA ANÁLISE DE VASOS DE PRESSÃO AXISSIMÊTRÍCOS

N° 39

TESE DE MESTRADO

PRONUCLEAR

APLICAÇÃO DOS MÉTODOS QUASE-NEWTON NA ANÁLISE

DE VASOS DE PRESSÃO AXISSIMÊTRÍCOS

DÉBORA ATTILA COSTA PARISI

DÉBORA ATTILA COSTA PARISI

APLICAÇÃO DOS MÉTODOS CÜASE-NEWTON

MA ANALISE DE VASOS DE PRESSÃO

AXISSIMÊTRICOS

Dissertação apresentada ao Curso

de Mestrado em Ciências e Tecnolo

gia Nuclear da Universidade Fede

ral de Pernambuco, em cumprimento

das exigências para obtenção do

Grau de Mestre.

AREA DE CONCENTRAÇÃO: Engenharia Nuclear

Orientador: Bernardo Horowitz

Co-orientador: Ezio da Rocha Araújo

Dissertação apresentada ao Departamento de Energia Nuclear da

Uni-versidade Federal de Pernambuco, fazendo parte da Comissão

Exami-nadora os seguintes professores :

G^TULIOljZIDORO KATZ - Ph.D. em Matemática

Departamento de Matemática da Universidade

Federal de Pernambuco - UFPE

JÚLIO ALVES HERMlNIO - Doutor

Departamento de Engenharia Mecânica da Uni

versidade Federal do Rio Grande do Norte

UFRN

PAULO JOSÉ CHAVES ARAtJJO E S^LVA - Doutor

Departamento de Engenharia Civil da Univer

sidade federal de Pernambuco - UFPE

Visto e permitida a impressão

Recife, março de 1987.

Coord' iador do Curso de Mestrado em

Ciên-cia e Vecnologia Nuclear do Departamento

de Energia Nuclear da Universidade

Fede-ral de Pernambuco.

A meus pais, meu

63poso Gerlando e

meus filhos Gerlando

e Painel] c.

AGRADECIMENTOS

Ao Professor Bernardo Horowitz pela sugestão e orientação deste trabalho.

Ar» Professor Ezio da Rocha Araújo pela inestimá

vel colaboração.

A ffltiU . pais Costa e Ma th i Ide pela cooperação e ceio apoio que roe of' eceram.

A Kátia pela colaboração na datilografia deste t_

A todos os colegas e amigos que,, de alguma for

RESUMO

Esta tese trata da aplicação de métodos Quase - Newton

na análise não-linear física de vasos de pressão axissimétri

cos pelo método dos elementos finitos.

Na formulação o comportamento do material é descrito

por um modelo elastoplastico isotrõpico com endurecimento por

deformação. O domínio é discretizado por elementos finitos

triangulares de sólido axissimétrico com interpolação linear pa

ra o campo de deslocamentos. As equações incrementais que gove£

nam o problema são obtidas do princípio dos trabalhos virtuais.

A solução do sistema de equações não lineares resultan

te são resolvidas iterativamente pelo método BFGS. O desempenho

do método implementado é comparado com o método de Newton-Raph

son e algumas de suas variantes, mediante alguns exemplos de

aplicação selecionados.

ABSTRACT

This work studies the application of Quasi—Newton tech niques to material nonlinear analysis of axisymmetrical pressu re vessels by the finite element method.

In the formulation the material behavior is described by an isotropic elastoplastic model with strain hardening. The continum is discretized through triangular finite elements of axisymmetrical solids with linear interpolation of the displa cement field. The incremental governing equations are derived by the virtual work.

The solution of the system of simultaneous nonlinear equations is solved iteratively by the Quasi-Newton method em ploying the BFGS update. The numerical performace of the propo sed method is compared with the Newton-Raphson method and some of its variants through some selected examples.

Í N D I C E

Páginas

I - INTRODUÇÃO 1

1.1 - Considerações Gerais 1

1.2» Objetivo é Abrangência 4

1.3 - Breve Descrição da Tese , 4

II - DECLARAÇÃO DO PROB'*"*" . 6

2 . 1 - Introdução 6

2.2 - Equações Gerais da Mecânica do Continuo e

Linearizações 7

2.2.1 - Deslocamentos e Deformações 7

2.2.2 - Equações de Equilíbrio 8

2.2.3 - Principio dos Trabalhos Virtuais. 9

2.3 - Relações Constitutivas na Elastoplastici

dade 10

2.3.1 - Princípios Gerais 10

2.3.2 - A Função de Fluência 13

2.3.3 - Endurecimento 17

2.4 - Expressões Básicas para o Problema Axissi

métrico 20

2.5 - Discretização do Continuo pelo Método dos

Elementos Finitos 22

2.5.1 - O Elemento Utilizado 73

2.5.2 - Equações de Equilíbrio do Sólido.. 28

III - SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO

Páginas 3.2 - O Processo Incremental-Iterativo 32 3.3 - O Né iodo de Newton-Raphson 33 3.4 - O Método de Newton-Raphson Modificado .... 37 3.5 - Outros Métodos 38 IV - C MÉTODO QÜASE-NEWTON 40 4 . 1 - Introdução 40 4.2 - A Equação Quase—Newton 41 4.3 - As Atualizações Quase-Newton '... 43 4 . 4 - 0 Método BFGS 48 4.4.1 - Desenvolvimento do Método 49 4.4.2 - Outras Implementações 54 V - IMPLEMENTAÇÃO E DESEMPENHO 57 5.1 - Introdução 57 5 . 2 - 0 Elemento Finito Triangular Axissimétrico 57 5 . 3 - 0 Algoritmo de Elastoplasticidade 59 5.4 - Os Métodos de Análise Não-Linear 64 5.5 - Aplicações Numéricas 65 5.5.1 - Cilindro de Paredes Grossas 55 5.5.2 - Vaso de Pressão Esférico 72

CONCLUSÕES 78 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 79 APÊNDICES

A - DESCRIÇÃO DO PROGRAMA 82 B - MANUAL DE ENTRADA DE DADOS 86 C ' LISTAGEM DO PROGRAMA 92

ÍNDICE DE FIGURAS

FIGURA ' . PAGINA

(2.3.2.1) Representação geométrica das superfícies de

escoamento de Tresca e Von Mises n o - espaço

das tensões principais 15

(2.3.2.2) Representação dos critérios de escoamento

de Tresca e Von Mises no plano (o-, - o

) e

(o

- ó

) 16

(2.5.1.1) Elemento Finito triangular axissimétrico

(a) Elemento de um sólido axissimétrico ... 24

(b) Convenção de tensões e deformações .... 24

(c) Representação bidimensional 24

(3.1.1) Matriz de rigidez secante para uma dimen

-são 32

(3.3.1) Método de Newton-Raphson para o caso unidi

mensional 35

(4.1.1) Método Quase-Newton no caso unidimensional- 42

(5.3.1) Mudança incrementai nas tensões

(a) Em um elemento já plastificado 61

(b) Em um elemento elástico 61

(5.3.2) Processo de sub-incremento, para reduzir um

ponto de tensão ã superfície de fluência .. 63

(5.5.1.1) Cilindro de Paredes Grossas - m a l h a e p r o p r i e

dades do material empregado 66

FIGURA PAGINA

í5.5.1.2) Curva pressão interna x deslocamento r a d i

-al (r = a) 67

(5.5.1.3) Distribuição d a s tensões n o cilindro d e pa

redes grossas.

(a) Tensões radiais 69

(b) Tensões circunferenciai. 69

(5.5.2.1) Malhas utilizadas para modelar o vaso de

pressão esférico.

(a) Setor de 909 com 72 elementos 73

(b) Setor de 909 com 144 elementos 73

(c) Setor de 7,59 com 16 elementos 73

(5.5.2.2) Curva pressão x deslocamento radial de um

ponto na face interna para as três malhas

utilizadas 74

(5.5.2.3) Distribuição d a s tensões no vaso de pressão

esférico.

(a) Tensões radiais , 75

(b) Tensões circunferênciais , 75

ÍNDICE DE TABEiAS

TABELA PAGINA

(5.1) Deslocamentos (mm) na face interna do cilin

dro de paredes grossas pelos 5 métodos (32

elementos) 67

(5.2) Desempenho dos métodos para o exemplo do c.i

.lindro de paredes grossas 68

(5.3) Tensões radiais (o

) para uma pressão

P = 16 dN/mm

no cilindro de paredes gros

sas, utilizando os 5 métodos 70

(5.4) Tensões circunferenciais (og) para uma

são P = 16 dN/mm

no cilindro de paredes

grossas, utilizando os 5 métodos 71

(5.5) Desempenho dos métodos para o exemplo do

SIMBOLOGIA

x^ . - componentes do vetor posição de um ponto do corpo no estado indeformado.

x. - componentes do vetor posição de um ponto do corpo na posição deformada.

u., u - componentes do vetor e vetor deslocamen to de um ponto.

ds - segmento de reta definido por dois pon tos infinitamente próximos na configura ção indeformada.

dS - segmento de reta definido por dois pontos infinitamente próximos na configuração deformada.

e?., e?,, e,. - componentes do tensor de deformação elas tica, plástica e total.

o.. - componentes do tensor de tensões.

b^ , b - componentes do vetor e vetor de forças de

massa.

t. , t - componentes do vetor e vetor de forças de superfície,

n. - cosseno do ângulo entre a normal ã super

fie.

'ijkl

"a

Vi °kk

dA

dV

W

resultante dai; forças que atuam na área

dA.

campo virtual de deslocamentos infinite

sintais.

- campo de deformações oriundo dé

- componentes do tensor de elasticidade.

- componentes do tensor elastoplastico.

- componentes do tensor desviador.

- componente hidrostática do tensor de ten

soes.

l:

1 se i = j, delta de Kronecker.

0 se i + j

X«E v/(l + v) (1 - V)

Vi * E/2 (1 + v)

- elemento de área.

- elemento de volume.

- tensão de escoamento ã tração do material

- deformação plástica efetiva.

- volume.

- trabalho virtual.

- trabalho plástico total.

E - modulo de elasticidade de Young. v - coeficiente de Poisson.

h - parâmetro de endurecimento. dX - multiplicador plástico.

Jl» ^ 2 ' J3 ~ invariantes do tensor de tensões.

A - tangente a curva ov - e_ do ensaio uni

axial de tração.

a - raio interno do cilindro ou esfera, b - raio externo do cilindro ou esfera, p - pressão aplicada.

F(Oj- h) - função de fluência. g - tensor de tensões. - tensões longitudinais. 0 0 0 Z, X, 4 tr - tensão de cizalhamento. § - tensor de deformações. e2, er, es - deformações longitudinais. - deformação transversal. a - vetor de fluxo.

- motriz identidade.

- operador linear.

- :r.e.triz de deformação.

- -ensor de elasticidade.

- tensor elastopiástico.

- forças nodais equivalentes de massa do elemento.

- forças nodais equivalentes de superfície

do elemento.

- forças internas nodais do elmento.

..' - reúne todas as fore ÍS nodais equivalen tes do elemento.

- forças nodais equivalentes aplicadas a estrutura.

~ forças nodais internas da estrutura.

- vetor de resíduos nodais.

- matriz de rigidez do elemento.

- matriz de rigidez da estrutura.

- 3ií>/3u . Jacobiano.

;>,. - aproximação para o Jacobiano. -r

u. - - u. - diferença entre os vetores deslocamentos em duas iterações consecutivas.

•jc+l"~ •jt ~ diferença entre os vetores resíduos no

dais em duas iterações consecutivas.

Xe - matriz de rotação.

CAPITULO I

INTRODUÇÃO

1.1 - Considerações Gerais

Os requisitos de economia dentro de padrões exigentes de segurança têm estimulado a engenharia estrutural moderna na bus ca de representações mais realistas de componentes estruturais. Para Usinas Nucleares em particular o alto padrão de segurança desejado requer análises especiais detalhadas,que frequentemen te levam o modelo a um nível de sofisticação muito além do nor malmente exigido para estruturas convencionais. Na simulação de acidentes e condições extremas de cargas algum tipo de não 1^ nearidade é freqüentemente introduzida, sem a qual fica sem sen tido a predição da resposta estrutural.

Quando a estrutura é levada a condições extremas de car ga o seu comportamento estrutural torna-se não-linear,devido ã sua mudança de forma e pela alteração das leia do comportamen to do material que a compõe.

Os procedimentos analíticos de solução de problemas es truturais não-lineares mostram-se bastante limitados, ou seja, a gama de problemas para os quais se pode estabelecer equações

e obter sua solução exata é suite pequena. A &aa abordagem me diante métodos numéricos aproximados com o uso de computadores digitais tem-se mostrado mais eficaz.

Dentre rs métodos numéricos disponíveis aquele que mais atenção ter. recebido por parte dos pesquisadores é sem dúvida o método dos elementos finitos. C sucesso do método deve - se principalmente .» forma sistemática e simples de se construir funções de interpolação locais,para as variáveis do problema, bem como à sua habilidade para tratar quaisquer condições de forma e de contorno.

A análise de problemas lineares pelo Método dos Elemen tos Finitos resulta geralmente na solução de um sistema de equa_ ções algébricas lineares simultâneas. Para a solução desses sis temas já se dispõe de técnicas que permitem a solução eficien te de sistemas com dezenas de milhares de incógnitas, tornando possível a solução de problemas relativamente complexos,a eus tos admissíveis ã engenharia atual.

As primeiras aplicações do método dos elementos finitos à análise não linear tinham base intuitiva e consistiam de su cessivas análises lineares para a obtenção de soluções de pro blemas particulares conhecidos [22]. Desde então a análise não linear tem sido continuamente aperfeiçoada e nos dias de hoje já se dispõe de grandes programas gerais para a análise não li. near de problemas da Mecânica do Contínuo, ^om grandes biblio tecas de elementos finitos e de modelos de materiais, ou mesmo pondo à disposição do usuário alguns métodos de solução de equa ções não lineares.

A solução de problemas não lineares sempre requer proce diroentos iterativos, e quando fortes não linearidades estão pre sentes o custo pode suplantar algumas dezenas de vezes oda aná lise linear. Isto atualmente restringe consideravelmente o uso de modelos não lineares na engenharia estrutural.

A literatura registra una abundância de métodos de solu ções de sistema de equações não lineares, a maioria dos quais de alguma forma já usadas no método dos elementos finitos. Ca da método .possui em geral alguma vantagem quando usado em al^ gum tipo especifico de problema. Nenhum método parece impor-se aos demais em toda categoria de problema. Porém, em geral,o me todo de Newton-Raphson, ou slguma variação dele tem tido gran de aceitação por parte da grande maioria dos usuãiros de ele mentos finitos, principalmente pelas suas fortes característ_i cas de convergência e sua possibilidade de bem aproveitar a es parsidade das matrizes envolvidas no método dos elementos fini tos.

Um dos problemas mais pertinentes ao projeto estrutural de centrais nucleares é a análise de vasos de pressão. A maio ria dos vasos de pressão são axissimétricos ou podem ser consi^ derados como tal. São exemplo de vasos de pressão o próprio va so do reator nuclear, as tubulações dos circuitos primários e secundários e a própria casca envolvente do prédio do reator. As leis constitutivas do material são geralmente modeladas coro base na teoria da Plasticidade Incrementai. Isto introduz for tes não linearidades nas ralações tensões - deformações,tornan do impossível sua consideração no projeto de vasos de reatores, nucleares, mediante procedimento que acompanha o traçado do áía grama carga x deformação, desde o inicio do escoamento até o colapso do vaso.

A estabilidade dos algoritmos elastoplásticos é dependen te do tamanho dos incrementos de carga utilizados na análise. Pequenos incrementos são em geral necessários para garantia de estabilidade daqueles algoritmos. Isto faz aumentar o custo da análise não linear, enfraquecendo as vantagens dos métodos de solução de equações não lineares,em especial o método de Newton - Raphson, geralmente o empregado.

1.2 - Cbjetivo e Abrangência

Ultimamente una nova classe de métodos para solução de sistemas de equações não lineares denominados de Métodos Quase - Newton surgiu na literatura como resultado de pesquisas na área de otimização. Estes métodos vem sendo aplicado com suces so no contexto de Elementos-*initos.

O presente trabalho tem por objetivo a implementação e a aplicação do método BPGSr pertencente ã categoria dos Métodos

Quase-Newton,na análise não linear de vasos de Pressão - Axissi métricos, pelo Método dos Elementos Finitos. Na formulação usa da o comportamento não linear do material é descrito pela teo ria Matemática da Plasticidade Incrementai. O desempenho do mé todo BFGS é comparado com métodos do tipo Newton-Raphson.

1.3 - Breve Descrição da Tese

O Capitulo II apresenta as equações da Mecânica do Con tinuo empregadas, enfatizando-se as linearizações geométricas efetuadas. As relações Constitutivas da Elastoplasticidade são a seguir descritas de uma forma bastante geral. Elas são justa mente a fonte de não linearidade considerada no trabalho. Em seguida as expressões genéricas são particularizadas para o pro blema axissimétrico e então efetuada a discretização do conti nuo pelo Método dos Elementos Finitos, utilizando-se o elemento triangular com três noa e dois graus de liberdade por nó com função de interpolação linear para o campo de deslocamentos em seu interior. As equações de equilíbrio do sólido são então es tabelecidas com base no Principio dos Trabalhos Virturais.

No Capitulo IIJ discute-se os procedimentos geralmente utilizados na solução do sietama de equações não lineares re

sultante da discretização do continuo pelo método dos elementos finitos, com ênfase aos processos incrementais - iterativos. O método de Newton-Raphson é reapresentado bem como algumas de suas variantes que mais tarde serão usadas para comparação de desempenho.

No Capitulo IV discute-se os aétodos Quase-Newton a par tir do método de Broyden, e outros julgados relevantes. O meto do de Broyden é então usado como base para a formulação e di£ cussão do método BP6S em uma maior riqueza de detalhes. Discu te-se suas características de implementação, e suas proprieda des de convergência bem como suas vantagens e desvantagens f ren te aos métodos do tipc Newton-Raphson.

No Capitulo V compara-se o desempenho do método propôs to com os métodos do tipo Newton-Raphson através de exemplos de aplicação.

Encerra-se esta tese sumarizando-se as principais con clusões e sugerindo áreas para pesquisas posteriores.

Uma .listagem completa do programa fonte elaborado em 7.in guagem FORTRAN é colocada no Apêndice C.

CAPITULO II

DECLARAÇÃO DO PROBLEMA

2.1 - Introdução

A análise estrutural de vasos de pressão axissinétricos é um problema bidimensional da Mecânica dos Meios Contínuos. 0 principal interesse deste trabalho é portanto a determinação dos campos de tensões e de deformações nos sólidos de geometria e cargas axissimétricas.

Considera-se apenas os processos estáticos de deformação, ou seja, aqueles que não envolvem velocidades e acelerações a preciáveis. Matematicamente o problema resultante é um proble ma de valor do contorno não linear. A única fonte de não linea ridade considerada é aquela proveniente das relações constitu tivas do material.

Neste capítulo são inicialmente expostos os princípios ge rais da Mecânica dos Meios Contínuos, em que se fundamenta es ta tese, evidenciando-se as linearizações geométricas efetua das. Na formulação das leis constitutivas do material descreve - se os princípios usados da Teoria Matemática da Plasticidade Incrementai. Por fim descreve-se o processo de discretização

do domínio espacial pelo Método dos Elementos Finitos, desde a formulação para um elemento até a obtenção das eqoações não l_i neares de equilíbrio incrementai para todo osólido, fazendo-se uso do Principio dos Trabalhos Virtuais.

2.2 - Equações Gerais da Mecânica do Contínuo e Linearizações

2.2.1 - Deslocamentos e Defor»ações

Considere-se um corpo no seu estado indefornado, con sua posição descrita pelas coordenadas cartesianas x ^ d » 1,2,3) de seus pontos. A Medida em que o corpo sofre a ação de forças externas esses pontos deslocam-se para novas posições x^. Para cada um dos pontos do corpo define-se um vetor deslocamento co mo a diferença entre sua nova coordenada e a coordenada na po

sição indeformada, isto é

-ui ' *i - xi

O segmento de reta ds definido por dois pontos infini tesimalmente próximos na configuração indeformada assumirá um novo comprimento dS devido ao processo de deformação. Usando a convenção de somação para tensores cartesianos, a variação do quadrado do comprimento desse segmento pode ser expresso exata mente como

dS» - dsa = 2 ci j ãx± dx.

onde e-^-j são as componentes do tensor de deformação de Green da

da. por <

'

>

onde a vírgula indica a derivada com respeito à coordenada no estado indefornado.

O tensor de deformações é simétrico e quadratico. Nes ta tese assumimos que o processo de carga induz no corpo apenas deformações infinitesimais. As componentes do tensor de defor ções podem então ser linearizadas, desprezando os termos quadra ticos nas derivadas dos deslocamentos, restando

eij " T (ui,j + Uj,i> . (2.2.1.1,

que é o tensor de deformações infinitesimais.

Supõe-se também aqui que o campo de deslocamentos não seja muito grande de tal forma que as posições deformada e in deformada do corpo sejam suficientemente próximas (pequenos áes locamentos), tal que as equações de equilíbrio do corpo possam ser formuladas identicamente em ambas as configurações.

2.2.2 - Equações de Equilíbrio

Sob as condições anteriormente expostas,de pequenos ães locamentos e pequenas deformações,as equações de equilíbrio no interior de um corpo carregado estaticamente podem ser escritas em termos das tensões referidas à configuração indeformada co mo '

o. . . + b. = 0 (2.2.2.1)

J f J

onde o ^ são os elementos do tensor simétrico de tensões, e b^ as componentes do vetor de forças de massa.

Na fronteira do corpo as equações de equilíbrio são ex pressas pela fórmula de Cauchy '*'2'

nj (2.2.2.2)

onde ti são as forças de superfície que atuam na área dA de nor mal dada-pelo vetor de cossenos diretores n^. Sendo df^ aresuL tante das forcas que atuam na área dA, as componentes do vetor de forças de superfície são definidos por r

dfi/dA

2.2.3 - Principio dos Trabalhos Virtuais

As condições de equilíbrio de um sólido deformável da das pelas equações (2.2.2.1) e (2.2.2.2) podem ser expressas de forma mais adequada pelo principio dos trabalhos virtuais como segue. Considere-se um corpo de volume indeformado V emequilí brio sob a ação de forças de massa b^ em seu interior e de for ças de superfície t^ na parte Clr de sua fronteira ft. Mantendo

todas as forças constantes e aplicando um campo virtual de des locamentos inf initesimais ôu^, tal que fiu^ = 0 na região fi, on de u^ são prescritos,o trabalho virtual das forças externas pode ser escrito

6H

= f b, ôu, dV + [ t. Ôu. dfi (2.2.3.1)

iv

h

O principio dos trabalhos virtuais declara que ' se o corpo está em equilíbrio e satisfaz as condições de contor no em Q: e ft; então

ÓW = [ o4. óe^. dV (2.2.3.2)

ij

onde ôc^j é o campo de deformações oriundo de 6uif e portanto,

compatível. A expressão final do principio dos trabalhos vir tuais assume a forma

f t± ÔUi d£i=[ o^ i e ^ dV ( 2 . 2 . 3 . 3 )

Jn Jv

dV +

Essa expressão será usada mais tarde para expressar as condições de equilíbrio também do continuo discretizado pelo mé todo dos elementos finitos.

2.3 - Relações Constitutivas na Elastoplasticidade

2.3.1 - Princípios Gerais

Sob cargas de pequena intensidade a deformação de um " sólido é em geral um processo elástico linear. Por elástico en tende-se um processo termodinâmico reversível, tal que retira da a causa das deformações o corpo retorna à sua configuração original uão deixando registro do processo a que foi submetido. Por linear entende-se que as componentes do tensor de deforma ções são proporcionais às do tensor de tensões.

Ultrapassado um certo limite de tensões (ou de deforma ções) a maioria dos materiais usados na engenharia,sofrem uma deteriorização de sua estrutura interna,tornando o processo de deformação subsequente parcialmente irreversível. Macroscópica mente isto é observado pelas deformações residuais no sólido após a retirada do carregamento. Se o processo de deformações continuar ativo sobrevem finalmente a ruptura do material.

Os materiais desse tipo, diz-se comportarem-se não li. nearmente. Para tais materiais o tensor de deformações pode ser decomposto em

e p onãe eAj e a parcela de deformação elástica (recuperável) e e^j

é a parcela de deformação plástica (residual).

»A equação constitutiva para materiais elastoplasticos é obtida a partir das três seguintes hipóteses adotadas nesta tese, que se constituem nos princípios básicos da Teoria Mate mãtica da Plasticidade Incrementai:

(a) todo incremento de tensões é devido apenas a incre mentos de deformações elásticas, ou seja

d

°ij -

!jkl

kl •

íjkl

kl - «íl> (2.3.1.2)

onde Dj^i-i representam as componentes do tensor de elasticidja_{j^i p p} de 49 ordem, dadas por {1'2'4)

D!jkl " X 8i j 6kl + ^ i k 6jl + *6il 6jk (2-3.1.3)

onde X e u são as constantes de Lamé, e i y é o delta de Kro necker. As constantes X e y relacionam-se c o m o módulo de Young E e o coeficiente de Poisson v por

E v E " " (1+v) (1-vT v 2 (1+v)

(b) existe uma função convexa F(o^j h) a valores reais chamada funçãc de fluência tal que os estados mecânicos poss_í veis do corpo se caracterizam por

Estado elástico : F (o.. h) < 0

•*• J t

Estado elastoplastico: F (o.. h) = 0

sendo F (o^j h) > 0 um estado mecânico impossível de ser atin o ido.

deformação do material durante a fase elastoplastica, e ê em

geral dependente das componentes do tensòr de deformações pláj>

ticas.

»

(c) existe um potencial plástico G tal que podemos for

mular uma lei de fluxo plástico após iniciado o escoamento co

mo

Em geral não ê possível determinar G. Usa-se aqui G=F,

dando origem a lei associativa representada pelo principio da

normalidade.

d e

i j

l o (2.3.1.5)

dX é uma constante de proporcionalidade denominada multiplica

dor plástico. Com essa hipótese as componentes do tensor de de

formação plástica são proporcionais as componentes do gradien

te da função de fluência no espaço das tensões.

A partir das hipóteses acima a equação constitutiva in

cremental relacionando os incrementos de tensões com os incre

(3 4 5 6)

mentos de deformações totais sao obtidas ' ' '

d

°ij •

ijkl

k l (2.3.1.6)

onde D

? ^ são as componentes do tensor elastoplastico dados

por

ijkl 9 o " v v

ep _

e ^^ rs mn ,, , .

.

D

ijkl -

ijkl " d F ~è T F (2.3.1.7)

válido para o material no estado elastoplâstico. A constante A acima relaciona-se coin o multiplicador plástico dX a partir de dF s 0 como

#

'

" X -rfrr

ij - - X T i "

12.3.1.8)

A constante A é obtida a partir das hipóteses a serem formula das sobre o parâmetro de endurecimento h e de resultados expe rimentais do material. Isso será discutido no contexto das hi póteses especificas usadas nesta tese, na seção seguinte.

2.3.2 - A Função de Fluência

Nesta seção expõe as características gerais da função de fluência F, suas conseqüências, e as formas especificas pa ra materiais metálicos adotados.

A função F pode ser escrita sem perda de generalidade F (o, . h) = f (o..) - k (h) = 0 (2.3.2.1)

onde f (OJ.-Í) é alguma função do estado de tensões do corpo obti da geralmente a partir de considerações teóricas e empíricas. O parâmetro de endurecimento h, em geral função de e^j, vai indi car a maneira pela qual a função f (o^j) se modificará com a continuidade das deformações plásticas. A função f (oij) é a

projeção instantânea de F(o^j h) no espaço de tensões.

£ suposto aqui que o material é isotrópico. Desta for ma o escoamento plástico deve depender apenas da magnitude das tensões principais, e não de suas direções. Portanto f deve ser expressa como

f (J. J, J,) = k (h) (2.3.2.2)

onde J,, J2 e J3 são os invariantes do tensor de tensões que ex pressos em função das tensões principais air o2 e o, são

Jl " °1.+ °2 + °3 J2 = °1°2 + °1°3 * °2O3 J3 = °l °2 °3

Os únicos materiais tratados aqui são os metais dúcteis, para os quais evidências experimentais indicam que oescoamento plástico (em uma primeira aproximação) não é afetado por mode radas pressões hidrostaticas, quer aplicadas sozinha ou em com binação com qualquer outro estado de tensão . Matematicamente isto significa que f depende apenas das componentes principais do tensor desviador definido por

°ij

- -r

°kk =

- - r

i

onde -j- ok k é a componente hidrostática do estado de tensão.

Desde que o primeiro invariante do tensor desviador é nulo po demos escrever a forma genérica final para f como

f (J ' j,') = k (h) (2.3.2.3)

onde J2 e J3 são o segundo e o terceiro invariantes do tensor desviador dados por

J

2

= \

°ij °ij

3

4

°ij °jk °ki

Duas das mais bem sucedidas formas de f são aqui adota das. A primeira é a função de Von Mises

fVM = fVM ( J2) - $2 * kVM { h ) (2.3.2.4)

e a segunda a de Tresca

onde Oj 2 o2 2 oi são as tensões principais. Esta última forma

pode também ser coxocada em função de Jj e J»*7*, resultando no

entanto eu uma forma de mai.> difícil tratamento matemático.

m

Uma representação geométrica dessas funções pode ser feita convenientemente no espaço das tensões principais, cons^ derando todos os possíveis estados de tensão, conforme figura 2.3.2.1. o plano ir mostrado é aquele definido por at * a2 + o3 =

0.

FIGURA 2.3.2.1 - Representação geométrica das superficies de escoamento de Tresca e Von Mises no espaço das tensões principais.

Pode ser mostrado que todas as funções da forma (2.3.2.3) podem ser representadas no plano de coordenadas oz-c

e o2 - o3, ou seja

f (J_ , J, ) = f (ot - o3, a2 - o3)

No caso das funções de V.Mises e TrescB e representação é a da figura 2.3.2.2.

a,-o,

FIGURA 2.3.2.2 -Re presentação dos cri térios de escoanen to de Tresca e Von Mises no plano

(Oj - o3) e <°2~ °3*

Cs valores de k(h) são retirados de ensaios em estados simples de tensão. É convencional usar o ensaio de tração unia xial para este fi., para o qual oa = oy(h), o2 = a3 = 0, onde a1(h) e a tensão de escoamento a tração do material. Para as

duas funções adotadas

VM

1

Com os valores de k(h) retirados do ensaio uniaxial, a máxima diferença entre os dois critérios se dará no caso de ci^ salhar.iento simples onde o critério de V.Mises prevê o escoamen to com Cj superior 2//T vezes o de Tresca.0 critério de V.Mises relaciona-se melhor com os experimentos para a grande maioria dos metais dúcteis, devendo portanto ser o preferido dentre os

dois. A inclusão nesta tese do critério de Tresca,resulta do fa to de que para tal critério alguma solução analítica fechada existe,permitindo uma comparação com os algaritmos de plastici dade empregados.

O valor da função f tem a dimensão de tensão.Define-se coro tensão efetiva ou tensão equivalente o múltiplo de f que deve ser comparado com ov (h) para determinar se o ponto em ques_

tão atingiu ou não o estado de plastificação. Assim, chamando õ este valor teremos para os dois critérios adotados.

5

VM « ^

VM - ^ t-V>

(2.3.2.7)

5TR = fTR = o. - ° B (2.3.2.8)

2.3.3 - Endurecimento

O valor experimental de o^(h) da tensão de escoamento uniaxial medido em ensaios de materiais virgens (materiais que ainda não sofreram deformações plásticas) é suficiente para com pletar a descrição do comportamento elastoplástico. Aqui despre za-se o efeito Bauschingir (pelo qual o material apó> atin gir o escoamento pela primeira vez adquire alguma anísotropia) considerando-se uma evolução progressiva de f, com o modelo cha mado de endurecimento isotrópico. A expansão progressiva de f é definida postulando o parâmetro h. Usa-se aqui a hipótese ter

(3 4) ~ modinamicamente mais geral ' d e que h e o próprio trabalho plástico total (por unidade de volume) definido como

W = h = í o

. dejj\. (2.3.3.1)

Para determinação das constantes ainda não explicitadas no pr£ sente modelo exige-se mais uma vez que ele reproduza os resul tados do ensaio uniaxial.

W - h = íoy deP (2.3.3.2)

onde de , é o incremento de deformação plástica no ensaio unia_ xial. É útil definir uma medida de deformação plástica total chamada deformação plástica efetiva ê tal que seu incremento

dê = jm (deÇ.. dej.) ^ (2.3.3.3)

onde o fator /2/3 é usado para que dêp = de ao ensaio uniaxiaL

Neste caso ( 8 )

W = h = o de (2.3.3.4)

As constantes A e dX podem agora ser identificadas. Pa ra t^zei isto é conveniente reescrever o critério de escoamen to como

F (oi. h) = õ (oij) - oy(h) = 0 (2.3.3.5)

A equação (2.3.1.8) de definição de A pode ser escrita

A d X = a 0 F, d oi j = " T I T d h (2.3.3.6)

Da equação (2.3.3.1) e da equação (2.3.1.5) temos dh = a±. deP = dX -~-^— o±.

mas de (2.3.3.5) podemos escrever 3 F 3 5

exigindo que o (e portanto f (o..|) seja uma função homogênea

de grau 1 e m o

esta última equação pode ser escrita (condi

ção de Euler para funções homogêneas).

levando na expressão de dh acima dh = dX oy

e, pela equação (2.3.3.2) dh = ov de_. Concluindo portanto por

comparação que

dX = dep

0 valor de A pode ser retirado levando esta última na equação

(2.3.3.6)

obtendo assim

(2.3.3.7)

ou seja, A é a tangente à curva o* — E

do ensaio uniaxial de

tração.

Se A é identicamente nulo o material é dito elastoplás

tico perfeito. Valores negativos de A significa material insta

vel, e não será considerado aqui. Materiais com valores positi

vos de A são chamados de materiais com endurecimento. Conside

ra-se apenas materiais com A = constante, chamados materiais

com endurecimento linear. O s seguintes estados de carga podem

(8)

ser identificados para os materiais com endurecimento

(a) Carregamento : õ = oy

fb) Carregamento neutro: o « aJ do

Ic) Descarregamento

Para materiais com endurecimento as deformações plãsti cas ocorrem apenas no caso (a) - Para materiais elastoplásticos perfeitos o caso (a) não existe, e as deformações plásticas ocorrem no caso (b). Por hipótese o descarregamento sempre ocor re elasticamente, de acordo com (2.3.1.2).

2.4 - Expressões Básicas para o Problema Axissimétrico

As expressões desenvolvidas até agora são aplicáveis ao continuo tridimensional. O problema axissimétrico é um proble ma bidimensional e será descrito em coordenadas cilíndricas. Nesta seção aquelas expressões serão particularizadas para o caso axissimétrico, introduzindo simultaneamente a notação roa tricial que facilitara a descrição posterior do processo de dis cretização pelo método dos elementos finitos, bem como sua im plementação computacional.

Um ponto P do sólido axissimétrico é identificado pelas coordenadas r,8 e z nesta ordem. O campo de deslocamentos será identificado por

u = <u, v )1 (2.4.1)

As deformações infinitesiaais são colocadas sob a forma

s.- «•.. s.«..

{*.H--S-.H •*?)*«*•«•«

tensor de deformações), e Yr 2= 2 Erz a âexo r B acão transversal,

onde cE Z * cz r são as únicas componentes não nulas fora da dia

gonal do tensor de deformações. As tensões correspondentes são o = (o o o. t 1

z, r, o, rz (2.4.3)

O tensor de deformações elásticas é dado por

E (1-V) (1+v) (l-2v) V (1-v) V

TT^v)

TT^vT

Durante o estado elastoplastico o vetor de fluxo será t

LJT

°r '

°9 ' * ^rz

(2.4.5)

A matriz que representa o tensor constitutivo elasto

plástico.

D a a D

D

= D

- — ::—:: -— (2.4 6)

Enquanto que os vetores de forca de massa e de superfi cie serão, respectivamente,

b =* (b , b , b , b )t e t = (t , t , t , t )fc (2.4.7) — • * i o rz - z t o r*

Finalmente, a expressão matemática do principio dos trabalhos virtuais, toma a forma

iu1 b dV + «u* t dí2 = f õe* o dV (2.4.8)

2.5 - Discretização do Continuo pelo Método dos Elementos Fini tos

(9) Matematicamente o método dos elementos finitos pode ser descrito como um procedimento sistemático através do qual quelquer função continua é aproximada por um modelo discreto. Esse modelo discreto consiste de um conjunto de valores da fun ção em um número finito de pontos em seu domínio, chamados pon tos nodais, conjuntamente com a discretização também do domínio em um número finito de subdominios, os elementos finitos,conec tados entre si através dos pontos nodais. A função é aproxima da localmente em cada elemento finito por funções contínuas que são definidas univocamente por seus valores, e possivelmente pe los valores de suas derivadas até uma certa ordem, nos pontos nodais conectados a cada elemento.

Um aspecto importante do conceito de elementos finitos é que os elementos finitos podem inicialmente serem considera dos disconectados para o propósito de aproximar a fur.ção local, mente no elemento, independentemente do comportamento da função em outros elementos.

continuo é aproximado por elementos finitos, em cada um dos quais todos os princípios mecânicos e propriedades do material são modelados, e a função, deslocamentos, tensões ou ambos são então aproximados localmente e seus valores interpolados a par tir de valores nodais do elemento. Em seguida os elementos são conectados através de um subconjunto de seus pontos nodais re sultando em um modelo discreto com um número finito de graus de liberdade que aproxima o continuo real de infinitos graus de liberdade.

Se o conjunto de funções de interpelação escolhidas sa tisfazem certos critérios de conpletividade e compatibilidade

(9)

, é possível demonstrar que o comportamento do sistema dis creto converge monotonicamente para o sistema continuo. Assim, teoricamente, o discreto aproximará o continuo com um grau de aproximação que se fizer necessário.

As equações do método dos elementos finitos podem ser obtidas por uma variedade de caminhos. Neste trabalho é aproxi. mado o campo de deslocamentos do elemento, resultando no chama do modelo dos deslocamentos, para o qual resulta um sistema de equações não lineares cujas incógnitas são os deslocamentos no dais do contínuo.

0 elemento finito utilizado é bastante conhecido na li teratura , tendo sido utilizado também em elastoplasticida de 'i ü. o campo de deslocamentos no interior do elemento é

aproximado por funções lineares dos deslocamentos nodais,resol tando em um elemento que satisfaz os critérios de completivida de e compatibilidade necessários a convergência monotõnica. Al^ guns detalhes de sua formulação são dados na seção seguinte.

2.5.1 - O Elemento Utilizado

0 elemento é o triangular com 3 nós e 2 graus de liber dade por nó, esquematizado na figura (2.5.1.1). O campo de des

(o)

(b)

(e)

FIGURA 2.5.1.1 - Elemento finito triangular axissimétrico

(a) Elemento de um sólido axissimétrico

(b) Convenção de tensões e deformações

(c) Representação bidimensional

locamentos no interior do elemento sendo aproximado por

u = ax+ a2r + a3 z

a r + o z

As 6 constantes a. podem ser colocadas em função dos desloca mentos nodais

si -

i, V *

Denominando i, j , m os 3 nós do elemento, os deslocamentos de todos os seus nós são designados por

onde o símbolo e sobre o vetor indica valor nodal do elemento. 0 campo de deslocamentos interiores ao elemento podem ser escri tos como

u = iu,v)t = I N,, I N., I N ue =N ue (2.5.1.1)

|_ l ~ J m j

-onde I é a matriz'identidade de ordem 2, e N^, Nj e N são as funções de interpelação nodais dadas por

Ni = (ai + bir + ci z )/ < 2 A )' e t c

onde

ai = r j " z m " rm- zj

bi s zj " zm = Zjm

na ordem cidica direta, e A é a área do elemento triangular. As deformações infinitesimais no interior do elemento serão

G = L U = L N u e = B ue (2.5.1.2)

onde L é o operador linear e B a matriz de deformação. Explici tamente tem-se

""

a

1

r

3r

B

c z

m

- r - ° -F

m

m

m

ra

A expressão do trabalho virtual para um elemento será, utilizando a presente notação e a equação (2.4,8)

[ 6u

b dV + í o u

t dfl =

v

onde b é o vetor de forças de massa atuando sobre o elemento, t as forças de superfície sobre o contorno do elemento.Usando as

expressões (2.5.1.1) e (2.5.1.2) nà (2.5.1.3) obtém-se, apôs por em evidência os incrementos de deslocamentos nodais virtu ais.

óue,t

f

ü S avt |

Nt

Como o principio dos trabalhos virtuais é válido para qualquer incremento virtual não nulo de pequenos deslocamentos obtem-se

f N

b dV • f •* t dfl = f ç S

•»» iv

(2.5.1.5)

Introduzindo a notação seguinte para os valores nodais do ele men to

- I N * b ÓV; t

_j

_{_ - j^ -}

= f N

. t

t d£2; f

= f B

o dV (2.5.1.6)

a expressão (2.5.1.5) torna-se

be + te = fe (2.5.1.7)

Os valores b e te são chamados de forças nodais equivalentes

do elemento, de massa e superfície, respectivamente. O vetor fe

são as forças internas nodais do elemento necessárias para e quilibrar o campo interno de tensões.

A equação (2.5.1.7) expressa a condição de equilíbrio do elemento em termos de forças nodais do elemento. Ela deve ser satisfeita durante todo o processo de carga do sólido. Es sa equação pode ser escrita

onde Pe = be + te reúne todas forças nodais equivalentes do ele

mento.

2.5.2 - Equações de Equilíbrio do Sólido

As equações de equilíbrio da estrutura são conseguidas mediante a soma das contribuições de todos os elementos inci dentes em cada nó, resultando nas equações de equilíbrio nodal da estrutura. O processo de montagem dessas equações reveste-se de duas preocupações. A primeira diz respeito a orientação das quantidades vetoriais e tensoriais, ou seja, se os sistemas de eixos de cada elemento possuem orientações distinta, cuidado deve ser tomado para rotacionar as quantidades para um sistema de eixos comuns. Para o presente elemento este problema é re soivido adotando um único sistema de eixos para todos os elemen tos coincidente coro o adotado para a descrição da estrutura.Pa ra que isto seja realizado automaticamente é suficiente que se defina univocamente a ordem de numeração dos nós dos elementos. Adota-se aqui que esses nós devem ser numerados no sentido tri gonométricô. A segunda preocupação diz respeito a identificação inequívoca dos elementos incidentes em cada nó. Este problema é tradicionalmente resolvido de forma inversa mediante a defi nição de uma lista de conectividades pelas quais se define quais os nós pelo qual o elemento se conecta a estrutura.Esses nós recebem uma numeração seqüencial única para toda a estrutu ra. Assim pode-se definir uma matriz de rotação X e uma matriz booleana Le para cada elemento tal que a equação de equi

líbrio nodal da estrutura resulte.

Z L X P - Z Le Xe fe = 0 (2.5.2.1) 1 - - - ! - -

-onde n é o número de elementos e Xe é, na nossa formulação a

matriz identidade, ou simplesmente

onde P e f são o vetor de forças nodais equivalentes aplicadas ã estrutura e o vetor de forças nodais internos da estrutura, respectivamente. O vetor ty de resíduos nodais deve ser ident_i camente'nulo se a estrutura está em equilíbrio estático.

A solução de equação não linear (2.5.2.2) é a principal preocupação desta tese. A não linearidade desta equação vem do fato de que para calcular as forças nodais f é necessário de terminar o nível de tensões de cada elemento. Se durante o pro cesso de carga a estrutura permanece elástica linear pode-se reduzir a equação (2.5.2.2) ã solução de um único sistema de equações algébricas lineares, ou seja, pelo uso de (2.5.1.6), (2.5.1.2) e (2.3.1.2) sob a forma matricial e não incrementai, obtendo

P = K u (2.5.2.3) onde

; L*

f B

- e

e a matriz de rigidez da estrutura, K a do elemento e n o nu mero de elementos.

Porém quando algum elemento plastifica durante oproce^ so de carga, para aplicar a teoria da plasticidade incrementai desenvolvida na seção 2.3 a equação (2.5.2.2) deve ser escrita sob forma incrementai

dip = dP - df = 0 (2.5.2.5)

ou

onde K.J, é a matriz de rigidez tangente, com a mesma f o n a de (2.5.2.4) porém substituindo-se a matriz De pela corresponde»

te De p dada P °r (2.4.6) para os elementos plastificados. A for ma explicita da matriz de rigidez tangente l£ para o elemento

em estudo é dada na referência [11]. Ela pode também ser obti da por integração numérica sobre cada elemento. Nesta tese am bas as formas foram implementadas. As vantagens e desvantagens das duas implementações serão discutidas no Capitulo V.

Não é numericamente possível nem economicamente viável usar incrementos infinitesimais como indicado pela equação

(2.5.2.5). De fato, na prática os incrementos infinitesimals são substituídos por incrementos finitos, tais que a equação

(2.5.2.5) transforma-se em

A* = AP - Af (2.5.2.7)

A equação acima em geral não é identicamente nula, fa zendo-se então necessário usar algum procedimento iterativo pa ra levar Ai|/ o mais próximo de zero quando se julgar convenien te. Os métodos normalmente usados e o método proposto nesta te se são discutidos nos capítulos seguintes.

Outro problema introduzido pela equação (2.5.2.7) em in crementos finitos, dentro da própria teoria da plasticidade in cremental, é abordado no Capitulo V.

CAPITULO III

SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO

3.1 - Introdução

Diversos algoritmos foram propostos na literatura para a solução de sistemas de equações algêbricas não lineares. Ne£ te capitulo são revistos aqueles de maior sucesso no contexto do método dos elementos finitos.

0 problema é encontrar uma solução do sistema de n equa ções não lineares da forma

$ (x) = 0 (3.1.1) em n variáveis x^. Não existe um método analítico geral para a obtenção da solução exata . Portanto métodos numéricos de vem ser usados para a obtenção de soluções com um pré-estabele cido grau de aproximação da solução exata, que assume-se exis tir. Na análise não linear pelo método dos elementos finitos, uma forma explicita de ty (x) em termos de x não é em geral co nhecida, entretanto, para um dado x, existe uma bem definida seqüência de operações para avaliar ty (x). Assim, métodos nume ricos são apropriados.

Neste trabalho usa-se o modelo dos deslocamentos, para o qual a equação (3.1.1) é a equação (2.5.2.2) onde x são os deslocamentos nodais do sólido discretizado.

= P - f(u) = P - K(u) u = 0 (3.1.2)

onde K(u) é chamada de matriz de rigidez secante, representada na figura 3.1.1.

FIGURA 3.1.1 -Matriz de rigidez secante para uma dimensão.

Neste capitulo discute-se os métodos de solução mais co nhecidos da literatura mostrando as suas vantagens e limitações e a necessidade de se buscarem métodos mais eficientes do que os utilizados hoje.

3.2 - ü Processo Incrementai - Iterativo

Em geral uma análise não linear pelo método dos elemen tos finitos é efetuada mais eficientemente usando uma formula ção incrementai na qual as variáveis são atualizadas incremen

talmente a cada sucessiva etapa de carga, de modo a traçar o curso completo da solução até o colapso . Nesta solução é importante que as equações de equilíbrio sejam satisfeitas a cada etapa de carga com exatidão suficiente. Se isto não ocor re os erros podem acumular—se e levar a soluções posteriores inaceitáveis com erros acumulados indetectáveis, e eventualmen te a instabilidades numéricas, no caso de fortes não - lineari dades.

Pode-se sempre conseguir uma solução precisa das equa ções nãolineazes do método dos elementos finitos escolhendo -se incrementos de carga suficientemente pequenos. Porém esta so lução pode torna-se excessivamente dispendiosa devido ao grande número de incrementos necessários .

Objetivando resolver o sistema de equações eficientemen te, e simultaneamente manter o controle na precisão da solução, deve-se empregar incrementos de cargas maiores, com o uso de mé todos iterativos que assegurem uma solução precisa. Tal proces_ -so é chamado incremental-iterative

Dentro de um processo incremental-iterativo deve-se dar atenção particular â escolha do número e tamanhos adequados dos incrementos bem como ao processo iterativo associado. Atualmen te pesquisas estão em desenvolvimento visando uma escolha auto mática desses incrementos à medida que a solução avança

Nesta tese a seleção dos incrementos é feita antes do inicio da análise, e discute-se apenas o comportamento de um processo

iterativo dentro de um incremento.

3.3 - 0 Método de Newton-Raphson

0 método usado mais freqüentemente para a solução de equações não lineares do método dos elementos finitos é o meto do de Newton-Raphson ou alguma modificação dele. A idéia do mé

todo é construir um node Io linear para • (u) no ponto u.

que se Au. e una pertubação de u., temos

U5T

A u

k

tal

(3.3.1)

onde f(u) deve ser continuamente diferenciavel tal que

3 • (u)

u

u

"

(3.3.2)

é o Jacobiano de •(u) no ponto u. . Em seguida, como deseja-se

a raiz de 'Mu

)» tem-se a partir de (3.3.1)

J(u

)

_(3.3.3a)

+ Au,

(3.3.3b)

Desde que u

provavelmente não será a raiz de (3.1.2),

as equações (3.3.3) são aplicadas iterátivãmente a partir de um

ponto de partida u

, resolvendo o sistema de equações indicado

em (3.3.3a) e atualizando o valor de u pela equação (3.3.3b) ,

constituindo assim o algoritmo de Newton-Raphson.

Aplicando este algoritmo a (3.1.2) identificamos

3 *

(3.3.4)

onde

onde jç = K

(uj,.) é a matriz de rigidez tangente de (2.5.2.6).

Nessa última equação desprezamos possíveis variações da carga

com os deslocamentos (carga conservativa), mantendo desta for

(14)

ma a Jacobiano simétrico

Aplicando o método a um processo incremental-iterativo tem-se o seguinte algoritmo onde m indica o incremento e k a iteração dentro do incremento.

ro

(3.3.5a)

m m

Ir. i = U. + AU,uk + A uk (3.3.5b)

com os seguintes valores iniciais para cada incremento.

u™ = u*-

, fj = f

, K™ = K*-

(3.3.5c)

A iteração termina quando um critério de convergência

apropriado é satisfeito.

A figura 3.3.1 é a representação gráfica do método de Newton-Raphson para o caso unidimensional.

— • — •

/r

r

.*-»

FIGURA 3.3.1 - Método de Newton-Raphson para o caso unidimensional.

0 algoritmo descrito pode ser bastante eficiente em certas análises não lineares especificas. As principais vanta gens do algaritmo são enumeradas abaixo Í1 0»1 2- ! © ) ^

1 - Pode-se demonstrar que se i|>(u) é continuamente diferenciãvel e se o Jacobiano na solução é não singular e pos sui certas condições de continuidade em um conjunto aberto em torno da solução uA, então a seqüência fu^l gerada pelo método

de Newton-Raphson é bem definida e converge quadraticamente pa ra u*, ou seja, existe um 0>O tal que

1

- u J | < 6 1 u

k

-

u#

II'

Essa característica de convergência quadrática local é a principal vantagem do algoritmo.

2 - Em problemas estruturais J (u ) é a-matriz de rigidez elástica. Essa matriz possui um certo grau de esparsidade que geralmente é levado em consideração na análise. Um fator impo£ tante é que J(um) mantém o mesmo grau de esparsidade de J(u ) ,

não requerendo memória adicional para o seu armazenamento.

Por outro lado o método de Newton-Raphson possui sérios inconvenientes:

1 - A cada iteração a matriz de rigidez tangente KÍ" pre cisa ser atualizada e decomposta para resolver (3.3.5a).Na aná lise elastoplástica isto ocorre em todas as iterações após o escoamento do primeiro ponto do sólido. Esse processo é computa cionalmente dispendioso. Para uma solução eficiente é necessá rio contrabalançar o custo com relativamente grandes incremen tos. Porém em análise elastoplástica o tamanho do incremento é restrito por considerações de estabilidade e precisão do algo-ritmo elastoplástico .Além do mais, aproximações imprecisas para os deslocamentos nas iterações podem introduzir erros si£ nificantes porque as propriedades do material dependem da his tória das tensões e deformações.

2 - Quando a estrutura aproxima-se do colapso o Jacobia no torna-se mal condicionado e a iteração diverge repentinanen te.

Na seção seguinte discutiremos algumas modificações no método de Newton-Raphson propostas na literatura que objetivam eliminar ou diminuir as desvantagens do método.

3.4 - O Método de Newton-Raphson Modificado

Para reduzir o número de avaliações e decomposições da matriz de rigidez, tem sido proposto ~ que a matriz de ri gidez seja reavaliada apenas em determinadas iterações pré-fi xadas. Chamando K esta matriz o algoritmo de Newton-Raphson mo dificado torna-se

K . Au

= - $5 (3.4.1a)

com os seguintes valores iniciais para cada incremento um um

-u

= u

-\ fj = f-

(3.4.1c)

Uma das possibilidades mais usadas é fazer K = KQ, a ma

triz elástica inicial. Esse método é também chamado de método da tensão inicial. A vantagem deste esquema é que a matriz pre cisa ser montada e triangularizada apenas uma vez, reduzindo bastante o custo por iteração. Isto se dá ãs custas de uma con vergência apenas linear, ' ou seja, existe um 0 < B < 1 tal que

se o método convergir. Como conseqüência o número de iterações

por incremento pode ser excessivo. Um algoritmo para ser comp£

titivo deve ter no mínimo convergência superlinar .As obser

vações píáticas mostram que perto da solução, quando J(u^) é

singular, o método converge demasiadamente lento, quando con

verge.

Uma vantagem deste método é que a matriz de rigidez é

sempre não singular e bem condicionada.

Para melhorar a taxa de convergência do método é comum

atualizar K no início de cada incremento: K = K

. Alguns au

(4)

-tores sugerem apôs a primeira iteração de cada incremento pa

ra captar em K novos elementos plastificados: K = K

?. Esses e^

quemas geralmente diminuem o número de iterações por incremen

to, às custas de tantas montagens e decomposições, quantas fo

rem as atualizações. 0 número de atualizações da matriz de ri.

gidez para um custo mínimo é dependente de cada problema,e ain

da não se conseguiu automatizar o processo de atualização de K.

Alguns autores ' tem proposto o uso de aceleradores

de convergência ao método de Newton-Raphson modificado. Entre

tanto, tais aceleradores apresentam em geral problemas de diver

gência de solução. Nenhum deles parece apresentar garantias de

convergência

3.5 - Outros Métodos

Diversos outros métodos foram utilizados para a solução

alemãs

demos citar

de problemas não lineares em elementos finitos. Entre eles po

(12,18)

1 - Método puramente incrementai ou incrementai conven

cional.

2 - Método incremental modificado

3 - Incremental auto-corretivo de primeira-ordem 4 - Runge-Kutta de quarta-ordem

3 - "Predictor - corrector" de Hamming 6 - "Continuations Methods"

7 - Métodos de minimização 8 - Métodos Quase-Newton

Alguns desses métodos (1,2,3) são ãs vezes usados para estimar o curso da solução de ur novo problema no qual se des^ conhece o grau de não linearidace ou o comportamento da estru tura, e em geral não se tem garantias da precisão da solução ou mesmo da convergência.

Outros (4 e 5) comportam-se muito bem em algumas aplica ções, porém muitas vezes ãs custas de múltiplas avaliações da função i/Mu) em cada iteração podendo surpreender com o custo total excessivo ou mesmo com divergências.

Os métodos que se enquadram em 6 e 7 estão hoje em con tínua evolução, merecendo pesquisas posteriores, e alguns dt;j.es

(12) parecem promissores

Os métodos classificados como Quase-Newton são o objeto deste trabalho e são discutidos no capítulo seguinte.

CAPÍTULO IV

O MÉTODO QUASE-NEWTON

4.1 - Introdução

Neste capítulo discute-se uma classe de métodos chamados pelos nomes de Quase-Newton, secante, métrica variável, modifi

- (19)

cação ou atualização . Tais métodos surgiram da idéia de Da vidon em otimização e Broyden em equações não lineares de aproximar o Jacobiano (a matriz Hessiana em otimização) de uma maneira simples em cada iteração, em lugar de recalculá-lo (método de Newton-Raphson) ou mantê-lo fixo (método de Newton -Raphson modificado).

A idéia vem do fato de que a atualização do Jacobiano numa iteração requer 0(n3) operações, onde n é a sua dimensão,

enquanto é possível aproximá-lo a partir da iteração anterior com apenas 0(n2) operações. 0 preço pago por isto, é reduzir a

taxa de convergência de quadrática para superlinear.

0 objetivo deste capítulo é apresentar os fundamentos teóricos dos métodos Quase-Newton juntamente com uma revisão da literatura, principalmente no que diz respeito ao seu uso no no método dos elementos finitos e em particular ao método usa

do nesta tese, conhecido como BFGS.

4 . 2 - A Equação Quase-Newton

Como no método de Newton-Rãphson parte-se de um modelo linear local para a função \(i (u), no ponto u, .

Na impossibilidade de avaliar o Jacobiano J, , = J (u. .) procura-se uma boa aproximação Alc+^. Existem muitas possibili

dades na escolha da aproximação A^+i para o Jacobiano. Nos mé todos quase-Newton A^+^ é escolhida satisfazendo (4.2.1) iden

ticamente, ou seja

que é geralmente escrita na forma

* k+i - ?k • yk < 4-2-3 )

onde y^ = ty, , - ip, e s. = u. , - u, . Esta equação é chamada de equação quase-Newton ou equação secante. Como no algoritmo de Newton-Raphson o algoritmo quase-Newton gera uma seqüência de vetores u, , que espera-se convergir para a solução u# do

problema i|>(u*) = 0, porém usando em cada iteração uma aproxima ção A, , para o Jacobiano Jk + 1/ aproximação esta que deve sa

tisfazer a equação quase-Newton (4.2.3).

No caso unidimensional, n=l, a equação quase-Newton de termina unicamente Ak + 1 = yk / sk, constituindo-se no conhecido