APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS NA SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE DIFUSÃO EM ESTADO ESTACIONÁRIO
SHIZUCA ONO
Dissertação apresentada ao Instituto de Pesquisas Energéticas e Nucleares como parte dos requisitos para obtenção do grau de "Mestre na Área de Concentração em Reatores Nucleares de Potência e Tecnologia do Combustível Nuclear".
Orientador: Dr. José Rubens Maiorino
São Paulo 1982
APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS NA SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE DIFUSÃO EM ESTADO ESTACIONÁRIO
Shizuca Ono
Dissertação apresentada ao Instituto de Pesquisas Energéticas e Nucleares como parte dos requisitos para obtençáío do grau de "Mestre na Área de Concentração em Reatores Nucleares de Potência o Tecnologia do Combustível Nuclear".
potador; Dr. José Rubens Maiorino
SÃO PAULO 1982
Ao D r . J o s é R u b e n s M a i o r i n o p e l a o r i e n t a ç ã o e g r a n d e a p o i o p r e s t a d o na r e a l i z a ç ã o d e s t e t r a b a l h o .
Ao J o s é L u i z B a t i s t a e M i t s u o Y a m a g u c h i p e l o a u x i l i o e c o l a b o r a ç ã o na e x e c u ç ã o d e s t e t r a b a l h o .
Ao G e l s o n T o s h i o O t a n i p e l a a j u d a na p a r t e c o m p u t a c i o n a l .
 G a i a n e S a b u n d j i a n pelo- i n c e n t i v o e c o o p e r a - ção .
A P R O N U C L E A R p e l a c o n t r i b u i ç ã o f i n a n c e i r a .
A t o d o s os c o l e g a s do C e n t r o de E n g e n h a r i a N u c l e a r q u e de a l g u m m o d o c o l a b o r a r a m n a e x e c u ç ã o d e s t e t r a b a l h o .
S N e u s a p e l o t r a b a l h o de d a t i l o g r a f i a .
S H I Z U C A ONO
RESUMO
A s o l u ç ã o da e q u a ç ã o de d i f u s ã o de n ê u t r o n s em esta_
do e s t a c i o n á r i o e o b t i d a a t r a v é s do m é t o d o d o s e l e m e n t o s f i nji_
t o s . E s p e c i f i c a m e n t e , u s a - s e a t é c n i c a v a r i a c i o n a l p a r a p r o - blemas em uma d i m e n s ã o e o método dos r e s T d u o s p o n d e r a d o s (Ga^
l e r k i n ) p a r a p r o b l e m a s em uma ou duas d i m e n s õ e s . E l e m e n t o s re^
t a n g u l a r e s s ã o u t i l i z a d o s p a r a a d i v i s ã o do d o m T n i o e s p a c i a l e o f l u x o de n ê u t r o n s ê a p r o x i m a d o p o r f u n ç ã o l i n e a r ( c a s o uni_
d i m e n s i o n a l ) e f u n ç ã o b i l i n e a r ( c a s o b i d i m e n s i o n a l ) .
R e s u l t a d o s n u m é r i c o s são o b t i d o s p o r meio de um p r o grama de c o m p u t a d o r em l i n g u a g e m FORTRAN I V , e c o m p a r a d o s com os f o r n e c i d o s p e l o c ó d i g o C I T A T I O N de d i f e r e n ç a s f i n i t a s . Os r e s u l t a d o s m o s t r a m que f u n ç õ e s l i n e a r e s ou b i l i n e a r e s (2D) não d e s c r e v e m s a t i s f a t o r i a m e n t e os p a r â m e t r o s d i f e r e n c i a i s p a r a n ú c l e o de r e a t o r e s com g r a n d e h e t e r o g e n e i d a d e s , mas a p r e s e n - tam bons r e s u l t a d o s p a r a os p a r â m e t r o s i n t e g r a i s como o f a t o r de m u l t i p l i c a ç ã o .
S H I Z U C A O N O
A B S T R A C T
T h e s o l u t i o n o f t h e s t e a d y s t a t e n e u t r o n d i f f u s i o n e q u a t i o n is o b t a i n e d b y u s i n g t h e f i n i t e e l e m e n t m e t h o d . S p e c i f i c a l l y t h e v a r i a t i o n a l a p p r o a c h is u s e d f o r o n e d i m e n s i o n a l p r o b l e m s a n d t h e w e i g h t e d r e s i d u a l m e t h o d ( G a l e r k i n ) for o n e a n d t w o d i m e n s i o n a l p r o b l e m s . T h e s p a t i a l d o m a i n is d i v i d e d i n t o r e t a n g u l a r e l e m e n t s a n d t h e n e u t r o n f l u x is a p p r o x i m a t e d b y l i n e a r ( o n e d i m e n s i o n a l c a s e ) , a n d bilinear (two- d i m e n s i o n a l c a s e ) f u n c t i o n s .
N u m e r i c a l r e s u l t s a r e o b t a i n e d w i t h a F O R T R A N IV c o m p u t e r p r o g r a m a n d c o m p a r e d w i t h those obtained by t h e f i n i t e d i f f e r e n c e C I T A T I O N c o d e . T h e r e s u l t s s h o w t h a t l i n e a r o r b i l i n e a r f u n c t i o n s , do not satisfactorily d e s c r i b e t h e differential p a r a m e t e r s in h i g h l y h e t e r o g e n e o u s r e a c t o r c a s e s , b u t p r o v i d e g o o d r e s u l t s f o r i n t e g r a l p a r a m e t e r s s u c h as m u l t i p l i c a t i o n f a c t o r .
C A P I T U L O I 1 1.1 - ' I n t r o d u ç ã o 1
1 . 2 - H i s t ó r i c o 2 1.3 - C a m p o de a p l i c a ç ã o do M E F 4
1.4 - A p l i c a ç ã o e m f í s i c a d e r e a t o r e s 4 1.5 - O u t r a s t é c n i c a s de s o l u ç ã o d a e q u a ç ã o de
d i f u s ã o 6 1.5.1 - M é t o d o d a s d i f e r e n ç a s f i n i t a s 6
1.5.2 - M é t o d o de s í n t e s e 8 1.5.3 - M é t o d o s n o d a i s 8 1.5.4 - M é t o d o de M o n t e C a r l o 9
1.6 - O b j e t i v o do t r a b a l h o 10
C A P I T U L O II 11 R E V I S Ã O B I B L I O G R Á F I C A DO M E F EM F l S I C A D E R E A -
T O R E S 11
C A P I T U L O III i g
0 M É T O D O D O S E L E M E N T O S F I N I T O S ( G E R A L ) 19
3.1 - T é c n i c a v a r i a c i o n a l 21 3.2 - T é c n i c a d o s R e s í d u o s P o n d e r a d o s 22
C A P I T U L O IV
A P L I C A Ç Ã O DO M E F EM P R O B L E M A D E F l S I C A D E R E A -
T O R E S 24 4.1 - A E q u a ç ã o d e d i f u s ã o 26
4.3 - T é c n i c a d o s r e s í d u o s p o n d e r a d o s 32
C A P I T U L O V
R E S U L T A D O S N U M É R I C O S 4 0 5.1 - P r o b l e m a 1 41 5.2 - P r o b l e m a 2 43 5.3 - P r o b l e m a 3 49 5.4 - P r o b l e m a 4 55 5.5 - P r o b l e m a 5 61
C A P I T U L O VI
C O N C L U S Ã O E T R A B A L H O S F U T U R O S 69
R E F E R Ê N C I A S B I B L I O G R Á F I C A S 70
A P Ê N D I C E A
P R I N C Í P I O S V A R I A C I O N A I S E A S O L U Ç Ã O DA E Q U A Ç Ã O
D E D I F U S Ã O 76
A P Ê N D I C E B
A L G O R I T M O P A R A A S O L U Ç Ã O DA E Q U A Ç Ã O D E D I F U S Ã O
M U L T I G R U P O 78
P ã g . F i g . 1 . 5 . 1 - I l u s t r a ç ã o d a d i s c r e t i z a ç ã o e s p a c i a l u t i l i -
z a d a p e l o m é t o d o d e d i f e r e n ç a s f i n i t a s . 7 F i g . 3 . 1 - I l u s t r a ç ã o do d o m í n i o do p r o b l e m a ( Í 2 ) e s e u
c o n t o r n o (3fi), d o m T n i o do e l e m e n t o (fte) e
s e u c o n t o r n o ( 3 f ie) e m d u a s d i m e n s õ e s ( X - Y ) . 20 F i g . 4 . 1 - I l u s t r a ç ã o da e s t r u t u r a de m u l t i g r u p o d e
e n e r g i a . 25 F i g . 4 . 2 . 1 - I l u s t r a ç ã o d a g e o m e t r i a u n i d i m e n s i o n a l c o m
os e l e m e n t o s . ' 30 F i g . 4 . 3 . 1 - D i s c r e t i z a ç ã o b i d i m e n s i o n a l ( X - Y ) . 3 5
F i g . 4 . 3 . 2 - E s t r u t u r a d a s m a t r i z e s . 28 F i g . 5 . 1 . 1 - G e o m e t r i a e c o n s t a n t e s n u c l e a r e s p a r a o pro_
b l e m a c e l u l a r . 41 F i g . 5 . 2 . 1 - G e o m e t r i a e s q u e m á t i c a do r e a t o r do p r o b l e m a
2. 44 F i g . 5 . 2 . 2 - F l u x o t é r m i c o n o r m a l i z a d o do p r o b l e m a 2. 47
F i g . 5 . 3 . 1 - G e o m e t r i a , d i m e n s õ e s e c o n d i ç õ e s d e c o n t o r -
no p a r a o p r o b l e m a " 3 . 4 9 F i g . 5 . 3 . 2 - D i s p o s i ç ã o d a m a l h a ( 8 x 8 ) do r e a t o r do p r o -
b l e m a 3. 50 F i g . 5 . 3 . 3 - D i s t r i b u i ç ã o de p o t ê n c i a n o r m a l i z a d a do p r o
b l e m a 3. 51
p o s i ç ã o y = 15 c m . 52 F i g . 5 . 3 . 5 - F l u x o t é r m i c o n o r m a l i z a d o do p r o b l e m a 3
na p o s i ç ã o y = 15 c m . 53 F i g . 5 . 4 . 1 - G e o m e t r i a do Z I O N - 1 . 55 F i g . 5 . 4 . 2 - A r r a n j o d a s m a l h a s do Z I O N - 1 p a r a e n t r a d a
no p r o g r a m a . 57 F i g . 5 . 4 . 3 - D i s t r i b u i ç ã o de p o t ê n c i a n o r m a l i z a d a do
Z I O N - 1 ( p r o b l e m a 4 ) . 58 F i g . 5 . 4 . 4 - F l u x o r á p i d o n o r m a l i z a d o do p r o b l e m a 4 na
p o s i ç ã o y = 7 8 , 4 8 5 c m . 59 F i g . 5 . 4 . 5 - F l u x o t é r m i c o n o r m a l i z a d o do p r o b l e m a 4 na
p o s i ç ã o y = 7 8 , 4 8 5 c m . 6 0 F i g . 5 . 5 . 1 - G e o m e t r i a do r e a t o r 2 D - I A E A . 62
F i g . 5 . 5 . 2 - D i s p o s i ç ã o d a m a l h a do 2 D - I A E A p a r a e n t r a -
d a no p r o g r a m a . 64 F i g . 5 . 5 . 3 - D i s t r i b u i ç ã o da p o t ê n c i a n o r m a l i z a d a do p r o
b l e m a 5. 65 F i g . 5 . 5 . 4 - F l u x o r á p i d o n o r m a l i z a d o do p r o b l e m a 5 na
p o s i ç ã o y = 1 0 0 , 0 c m 66 F i g . 5 . 5 . 5 - F l u x o t é r m i c o n o r m a l i z a d o do p r o b l e m a 5 na
p o s i ç ã o y = 1 0 0 , 0 c m . 67 F i g . B . 2 . 1 - I l u s t r a ç ã o d o s p o n t o s p a r a i n t e g r a ç ã o d u p l a
n u m é r i c a . 81
F i g . B.3.1 - E s t r u t u r a do p r o g r a m a 82 F i g . B . 3 . 2 - F l u x o g r a m a do p r o g r a m a 84
T a b . 5 . 1 . 1 - F a t o r de d e s v a n t a g e m t é r m i c a (£) do p r o -
b l e m a 1 . 4 2 T a b . 5 . 2 . 1 - C o n s t a n t e s n u c l e a r e s do p r o b l e m a 2. 44
T a b . 5 . 2 . 2 - V a l o r e s do K e f do p r o b l e m a 2. 4 5 T a b . 5 . 2 . 3 - E r r o do K e f d e s s e t r a b a l h o em r e l a ç ã o ao
do C I T A T I O N ( problema 2 ) 4 5 T a b . 5 . 2 . 4 - V a l o r e s do <p{ x ) / c j ) ( 0 ) do p r o b l e m a 2. 46
T a b . 5 . 3 . 1 - V a l o r e s do f a t o r de m u l t i p l i c a ç ã o d o pro_
b l e m a 3. 50 T a b . 5 . 4 . 1 - C o n s t a n t e s n u c l e a r e s do Z I O N - 1 . 56
T a b . 5 . 5 . 1 - C o n s t a n t e s n u c l e a r e s do 2 D - I A E A . 63 T a b . 5 . 7 - V a l o r e s do f a t o r de m u l t i p l i c a ç ã o d o s pro_
b l e m a s 4 e 5 68
1.1. I N T R O D U Ç Ã O
A a n a l i s e de m u i t o s f e n ô m e n o s na n a t u r e z a c o n d u z a m o d e l o s m a t e m á t i c o s c o m p l e x o s q u e r e s u l t a m em e q u a ç õ e s d i f e - r e n c i a i s o u T n t e g r o - d i f e r e n c i a i s , q u e p r o c u r a m d e s c r e v e r o c o m p o r t a m e n t o do f e n ô m e n o . S ã o f r e q u e n t e s a s s i t u a ç õ e s o n d e solu^
ç õ e s a n a l í t i c a s r i g o r o s a s p a r a e s t e s m o d e l o s n ã o s ã o facilme_n te e n c o n t r a d a s o u m e s m o s ã o i n e x i s t e n t e s . U m a a l t e r n a t i v a s e - ria s i m p l i f i c a r o m o d e l o m a t e m á t i c o q u e d e s c r e v e o f e n ô m e n o - f T s i c o em e s t u d o p a r a se o b t e r u m a e q u a ç ã o d i f e r e n c i a l possjí vel de s e r a n a l i t i c a m e n t e s o l u c i o n ã v e l . E n t r e t a n t o , a v a n t a - gem em o b t e r - s e s o l u ç õ e s a n a l T t i c a s , e p o r t a n t o " e x a t a s " , é dj_
m i n u T d a p e l o f a t o de t e r - s e m o d e l a d o o s i s t e m a f T s i c o d e u m a m a n e i r a n ã o r e a l í s t i c a , e p o r t a n t o , e s s a s e q u a ç õ e s , a s s i m o b -
t i d a s , n ã o d e s c r e v e r i a m r i g o r o s a m e n t e o f e n ô m e n o em a n a l i s e . Uma o u t r a m a n e i r a d e se c o n t o r n a r as d i f i c u l d a d e s d e c á l c u l o , e u s a r t é c n i c a s n u m é r i c a s q u e l e v a m ãs s o l u ç õ e s t a m b é m aproxi_
m a d a s d e v i d o a d i s c r e t i z a ç ã o d a s v a r i á v e i s e n v o l v i d a s . C o m o a d v e n t o d o s m o d e r n o s c o m p u t a d o r e s é p o s s T v e l o b t e r - s e d i s c r e - t i z a ç õ e s t ã o p e q u e n a s q u a n t o se q u e i r a , e m b o r a r e s t r i t a p e l a s l i m i t a ç õ e s do c o m p u t a d o r . A s s i m a s t é c n i c a s n u m é r i c a s g a n h a - ram m a i o r e s p e r s p e c t i v a s e e s t ã o s e n d o c a d a v e z m a i s e m p r e g a - das nas s o l u ç õ e s d a s e q u a ç õ e s d i f e r e n c i a i s , p e r m i t i n d o e n t ã o m o d e l o s f i n a i s m a i s r e a l í s t i c o s , e m b o r a n ã o f o r n e c e n d o r e s u l -
t a d o s " e x a t o s " .
C o m o a u m e n t o d a c a p a c i d a d e d o s c o m p u t a d o r e s d i g i - t a i s , s u r g i u na c o m u n i d a d e c i e n t i f i c a u m " c o n s e n s o " de q u e q u a l q u e r p r o b l e m a p o d e s e r s o l u c i o n a d o n u m e r i c a m e n t e p o r m e i o do c o m p u t a d o r . E n t r e t a n t o , m e s m o s a b e n d o - s e do e n o r m e p o t e n - cial d o s m é t o d o s n u m é r i c o s e d a c a p a c i d a d e d a m a q u i n a , i n ú m e - ros p r o b l e m a s s ã o a i n d a i m p o s s í v e i s , e a l g u n s c a s o s i m p r a t i c ã v e i s , de s e r e m s o l u c i o n a d o s m e s m o n u m e r i c a m e n t e . T a i s l i m i t a - ções o c o r r e m p o r v a r i a s r a z õ e s ; u m a d e l a s é a l i m i t a ç ã o d e v i - do a i m p o s s i b i l i d a d e de c e r t o s p r o b l e m a s s e r e m m o d e l a d o s c o m -
p l e t a m e n t e , e o u t r a e a n e c e s s i d a d e de u m t e m p o de c o m p u t a d o r p r o i b i t i v o p a r a o c á l c u l o n u m é r i c o . A s o l u ç ã o p a r a t a i s impas_
ses e n v o l v e r i a um m a i o r d e s e n v o l v i m e n t o t e c n o l ó g i c o p a r a se o b t e r m a i o r e f i c i ê n c i a da m á q u i n a e d e s e n v o l v i m e n t o de t é c n i - cas n u m é r i c a s m a i s p o d e r o s a s . D e s t a f o r m a ê c r e s c e n t e a p e s - q u i s a e m t é c n i c a s n u m é r i c a s , v i s a n d o a t i n g i r e s t e s o b j e t i v o s .
D e n t r e as v á r i a s t é c n i c a s , o m é t o d o d o s e l e m e n t o s f i n i t o s ( M E F ) , o b j e t o de e s t u d o d e s t e t r a b a l h o , é c o n s i d e r a d o c o m o u m a d a s m a i s p r o m i s s o r a s , d e v i d o a c e r t a s v a n t a g e n s s o - bre o u t r a s t é c n i c a s , c o m o : u t i l i z a ç ã o de m a l h a s r e l a t i v a m e n t e g r a n d e s , e m p r e g o de f u n ç õ e s de a l t a o r d e m , v e r s a t i l i d a d e na m o d e l a g e m de g e o m e t r i a s i r r e g u l a r e s , e t c .
1 . 2 . H I S T Ó R I C O
0 M E F / 6 , 1 8 , 2 4 , 4 4 / , c o m o um i n s t r u m e n t o d e a n á l i s e , foi i n i c i a l m e n t e u s a d o e m p r o b l e m a s de m e c â n i c a e s t r u t u r a l na e n g e n h a r i a c i v i l , m a s l o g o s e u c a m p o de a p l i c a ç ã o foi a m p l i a - do a o u t r a s á r e a s d a e n g e n h a r i a .
E d i f T c i l e s t a b e l e c e r a s u a o r i g e m e o m o m e n t o de sua c o n c e p ç ã o . 0 c o n c e i t o d e a n á l i s e e s t r u t u r a l s u r g i u p o r v o l t a de 1 9 0 0 c o m M a x w e l l , C a s t i g l i a n o e M o h r e n t r e o u t r o s / 1 8 / . E s s e c o n c e i t o r e p r e s e n t o u o p r i n c i p i o d a m e t o d o l o g i a d e a n á l i s e m a t r i c i a l de e s t r u t u r a , q u e é a b a s e d a a n á l i s e p o r e l e m e n t o s f i n i t o s da m e c â n i c a e s t r u t u r a l .
No i n T c i o , o d e s e n v o l v i m e n t o do M E F foi l e n t o , devj_
do a l i m i t a ç õ e s p r á t i c a s na s o l u ç ã o n u m é r i c a d a s e q u a ç õ e s a l - g é b r i c a s , e p e l o f a t o d e s s e m é t o d o e x i g i r c á l c u l o s r e p e t i t i - vos e m u i t a s v e z e s i t e r a t i v o s de c o n j u n t o de e q u a ç õ e s s i m u l t â n e a s . A s o l u ç ã o m a n u a l , c o m o e r a f e i t a , t o r n a v a - s e t r a b a l h o - sa e i n v i á v e l , l i m i t a n d o - s e a a p l i c a ç ã o d o M E F na s o l u ç ã o de p r o b l e m a s s i m p l e s . C o m o d e s e n v o l v i m e n t o d a e l e t r ô n i c a a p a r e - c e r a m os c o m p u t a d o r e s d i g i t a i s na d é c a d a de 1 9 5 0 , e foi p o s s T
vel e n t ã o s u b s t i t u i r os c á l c u l o s m a n u a i s á r d u o s e d e m o r a d o s pelo c á l c u l o p o r m á q u i n a , o b t e n d o - s e a s s i m s o l u ç õ e s c o m m a i o r r a p i d e z e p r e c i s ã o , e c o m o c o n s e q u ê n c i a , o M E F t e v e u m r á p i d o d e s e n v o l v i m e n t o .
A n t e s de 1 9 5 0 p o d e - s e c i t a r H r e n i k o f f / 2 4 / q u e m o s - trou q u e s o l u ç ã o n u m é r i c a d o p r o b l e m a e s t r u t u r a l p a r a u m s ó - lido r e g u l a r p o d e r i a s e r o b t i d o s u b s t i t u i n d o - o p o r u m c o n j u n - to s i m p l e s de b a r r a s . C o u r a n t / 2 4 / , e m 1 9 4 3 , s o l u c i o n o u o pro_
b l e m a de t o r ç ã o de S t . V e n a n t , a p r o x i m a n d o a f u n ç ã o d e f o r m a ç ã o em c a d a um d o s e l e m e n t o s t r i a n g u l a r e s e f o r m u l a n d o a s o l u ç ã o do p r o b l e m a a t r a v é s do p r i n c í p i o da e n e r g i a p o t e n c i a l m T n i m a .
Em 1 9 5 9 , G r e e n s t a d t / 2 4 / e s b o ç o u u m a a p r o x i m a ç ã o por di s c r e t i z a ç ã o e n v o l v e n d o " c é l u l a s " , i s t o é , i m a g i n o u o do_
m í n i o do p r o b l e m a d i v i d i d o e m u m conjunto d e s u b d o m í n i o s a d - j a c e n t e s . N e s t a t e o r i a , d e s c r e v e u u m p r o c e d i m e n t o p a r a r e p r e - s e n t a r a f u n ç ã o i n c ó g n i t a p o r u m a s é r i e de f u n ç õ e s b a s e s c a d a qual a s s o c i a d a a u m a " c é l u l a " , e a n a l i s a n d o o p r i n c T p i o v a r i a_
cional a p r o p r i a d o em c a d a " c é l u l a " . A t e o r i a de G r e e n s t a d t pe£
m i t e u s a r m a l h a s de f o r m a i r r e g u l a r , e c o n t é m m u i t a s das idéias e s s e n c i a i s e f u n d a m e n t a i s q u e s e r v e m de b a s e m a t e m á t i c a p a r a o M E F , c o m o e s t e é c o n h e c i d o a t u a l m e n t e .
A p o p u l a r i d a d e do M E F a u m e n t o u na á r e a d a e n g e n h a - ria no i n T c i o d a d é c a d a de 1 9 6 0 , c o m t r a b a l h o s s i g n i f i c a t i v o s de W h i t e - F r i e d r i c h s e T u r n e r e s e u s c o l a b o r a d o r e s / 2 4 / . W h i t e e F r i e d r i c h s u s a r a m e l e m e n t o s t r i a n g u l a r e s p a r a solucio_
nar e q u a ç õ e s d i f e r e n c i a i s , a p a r t i r do p r i n c T p i o v a r i a c i o n a l . T u r n e r e s e u s c o l a b o r a d o r e s e m 1 9 6 7 i n t r o d u z i r a m o m é t o d o d i - reto da m a t r i z de r i g i d e z , • c o m o é c o n h e c i d o h o j e , s e n d o q u e esses e s t u d o s p e r m i t i r a m a s o l u ç ã o d e p r o b l e m a s c o m p l e x o s d a t e o r i a da e l a s t i c i d a d e . C o m o t r a t a m e n t o d o s p r o b l e m a s de elas^
t i c i d a d e no p l a n o , p o r C l o u g h / 5 8 / , em 1 9 6 0 , a e f i c á c i a do MEF foi e s t a b e l e c i d a .
As b a s e s m a t e m á t i c a s do m é t o d o f o r a m s o l i d i f i c a d a s com B r e s s e l i n g e o u t r o s p e s q u i s a d o r e s / 2 4 / os q u a i s r e c o n h e -
c e r a m que o M E F e r a u m a f o r m a v a r i a n t e do m é t o d o d e R i t z .
A p a r t i r d e 1 9 6 5 e s t a t é c n i c a t e v e u m a i n t e r p r e t a - ção m a i s a m p l a c o m Z i e n k i e w i c z e C h e u n g / 5 8 / , os q u a i s v e r i f j ^ c a r a m a sua a p l i c a b i l i d a d e a t o d a c l a s s e de p r o b l e m a s q u e p o - dem s e r m o l d a d o s na f o r m a v a r i a c i o n a l .
1.3. C A M P O DE A P L I C A Ç Ã O DO M E F
Os t r a b a l h o s p r á t i c o s i n i c i a i s , a p l i c a n d o e s t a t é c - n i c a , ícTSTti r e aTi i 2 a ú o s no c a m p o da m e c â n i c a d o s s ó l i d o s , m a i s
p r e c i s a m e n t e na á r e a d e c á l c u l o e s t r u t u r a l , o n d e a l c a n ç o u o seu m a i s a l t o g r a u d e d e s e n v o l v i m e n t o .
A f a i x a d e a p l i c a ç õ e s p o s s í v e i s do M E F e s t e n d e - s e a q u a s e t o d o s os r a m o s d a e n g e n h a r i a , o n d e o c o m p o r t a m e n t o do s i s t e m a p o d e s e r d e s c r i t o p o r e q u a ç õ e s d i f e r e n c i a i s . C o m o e - x e m p l o s , em t r a n s f e r ê n c i a d e c a l o r , h i d r o d i n â m i c a , e n g e n h a r i a h i d r á u l i c a , e n g e n h a r i a a e r o e s p a c i a l , e n g e n h a r i a mecânica, etc.
/ 1 8 , 2 4 / . P r o g r a m a s c o m p u t a c i o n a i s e l a b o r a d o s u s a n d o c o m o f e r - r a m e n t a o M E F s ã o d i s p o n í v e i s p a r a a n á l i s e da e s t r u t u r a d e ae r o n a v e s , na a r q u i t e t u r a n a v a l , na a n á l i s e d o v a s o d e p r e s s ã o - de c o n c r e t o p r o t e n d i d o d e r e a t o r e s n u c l e a r e s e o u t r o s p r o b l e - mas b á s i c o s da e n g e n h a r i a c i v i l e s t r u t u r a l / 2 4 / . A r a z ã o do a m p l o uso do M E F na m e c â n i c a d o s s ó l i d o s e f l u i d o s é d e v i d o as v a n t a g e n s da t é c n i c a , t a i s c o m o : o t r a t a m e n t o c o m r e l a t i v a f a c i l i d a d e e e x a t i d ã o de g e o m e t r i a s r e g u l a r e s e i r r e g u l a r e s , t r a t a m e n t o de h e t e r o g e n e i d a d e s e q u a i s q u e r c o m b i n a ç õ e s dascoin d i ç õ e s de c o n t o r n o .
1.4. A P L I C A Ç Ã O EM F Í S I C A D E R E A T O R E S
0 c á l c u l o do n ú c l e o * d e u m r e a t o r n u c l e a r e a p r i -
* NOCLEO do reator é o local onde são induzidas e mantidas as reações de fissão e onde se produz energia /ll/.
m e i r a e t a p a do p r o j e t o do r e a t o r . Os c á l c u l o s s ã o r e a l i z a d o s para se d e t e r m i n a r um c o n j u n t o de p a r â m e t r o s do n ú c l e o que tor.
nara a o p e r a ç ã o do r e a t o r s e g u r a , c o n f i á v e l e e c o n o m i c a m e n t e viável no n í v e l de p o t ê n c i a de p r o j e t o d u r a n t e t o d a a s u a v i - da ú t i l . A m a n e i r a p e l a q u a l é r e a l i z a d a e s s a t a r e f a Ó p e l a f o r m u l a ç ã o de m o d e l o s t e ó r i c o s q u e p r o c u r a m d e s c r e v e r o c o m - p o r t a m e n t o da p o p u l a ç ã o de n ê u t r o n s d e n t r o do n ú c l e o e a solu^
ção n u m é r i c a d a s e q u a ç õ e s q u e d e s c r e v e m e s s e m o d e l o a t r a v é s dos c ó d i g o s n u c l e a r e s * . Um d e s t e s m o d e l o s e a c o n h e c i d a teo^
ria de d i f u s ã o , a q u a l p e r m i t e u m t r a t a m e n t o do c o m p o r t a m e n t o e s p a c i a l e e n e r g é t i c o ( m u l t i g r u p o ) d o s n e u t r o n s e f o r n e c e r e - s u l t a d o s c o m p r e c i s ã o s u f i c i e n t e p a r a a m a i o r i a d o s p r o b l e m a s de i n t e r e s s e d a f í s i c a de r e a t o r e s .
V á r i o s p r o c e d i m e n t o s n u m é r i c o s t e m s i d o d e s e n v o l v i - dos o b j e t i v a n d o a s o l u ç ã o d e p r o b l e m a s e s t á t i c o s , b e m c o m o áe_
p e n d e n t e s do t e m p o de r e a t o r e s n u c l e a r e s , t a n t o p a r a a e q u a - ção de d i f u s ã o c o m o p a r a a e q u a ç ã o de t r a n s p o r t e . Os e s t u d o s d e s t a s t é c n i c a s v i s a m u m g a n h o em t e r m o s d e t e m p o de p r o c e s s a ^ m e n t o nos c o m p u t a d o r e s , b e m c o m o a m e l h o r i a d a p r e c i s ã o n u m é -
r i c a . D e n t r e as v á r i a s t é c n i c a s n u m é r i c a s , o m é t o d o d a s d i f e - r e n ç a s f i n i t a s e u m a d a s m a i s c o n h e c i d a s e de d e s e n v o l v i m e n t o t e ó r i c o r e l a t i v a m e n t e s i m p l e s , e p o r i s s o u m a d a s m a i s e m p r e - g a d a s na s o l u ç ã o da e q u a ç ã o d e d i f u s ã o e m c ó d i g o s n u c l e a r e s . 0 m é t o d o das d i f e r e n ç a s f i n i t a s c o n s i s t e b a s i c a m e n t e e m trans_
f o r m a r uma e q u a ç ã o d i f e r e n c i a l e m e q u a ç ã o de d i f e r e n ç a s f i n i - tas a t r a v é s da p a r t i ç ã o d o d o m í n i o da v a r i á v e l i n d e p e n d e n t e pa^
ra se o b t e r v a l o r e s d i s c r e t o s s o b r e i n t e r v a l o s f i n i t o s d a s va r i ã v e i s d e p e n d e n t e s .
P a r a s e o b t e r u m a p r e c i s ã o n u m é r i c a a c e i t á v e l o m é - todo das d i f e r e n ç a s f i n i t a s r e q u e r u m a p a r t i ç ã o d a v a r i á v e l espacial em m a l h a s r e l a t i v a m e n t e p e q u e n a s (da o r d e m do comprj_
m e n t o de d i f u s ã o do m a t e r i a l ) , e p o r t a n t o o n ú m e r o d e i n c o g n i -
* CODICO nuclear é um programa de computação que utiliza métodos numéri- cos para solucionar problemas de interesse da Engenharia Nuclear, com intuito de fornecer resultados usados nos projetos de reatores, anãli se de segurança de centrais nucleares ou na administração do combustT vel nuclear /55/.
tas a ser c a l c u l a d o t o r n a - s e p r o i b i t i v o , p o r q u e e n v o l v e o u s o de uma q u a n t i d a d e c o n s i d e r á v e l d e m e m ó r i a e t e m p o c o m p u t a c i o - nal. E s t a s d i f i c u l d a d e s a u m e n t a m a i n d a m a i s no c a s o d e m o d e l a _ m e n t o do n ú c l e o de u m r e a t o r n u c l e a r , o n d e se r e q u e r a a n a l i - se em g e o m e t r i a mui t i m e n s i o n a l e d e c o m p o s i ç ã o h e t e r o g ê n e a , to_r n a n d o - s e e x t r e m a m e n t e d i s p e n d i o s o tal p r o c e d i m e n t o .
0 s u c e s s o a l c a n ç a d o na a p l i c a ç ã o do M E F e m g r a n d e v a r i e d a d e s d e p r o b l e m a s e m o u t r a s á r e a s d a e n g e n h a r i a t e m r e - s u l t a d o em um c r e s c e n t e i n t e r e s s e em u t i l i z a r - s e d e s t a t é c n i - ca na s o l u ç ã o d e p r o b l e m a s d e f í s i c a d e r e a t o r e s , p r i n c i p a l m e n te p e l o f a t o d a s v á r i a s d i f i c u l d a d e s e x i s t e n t e s na a p l i c a ç ã o do m é t o d o d a s d i f e r e n ç a s f i n i t a s p o d e r e m s e r s u p e r a d a s .
1.5. O U T R A S T É C N I C A S DE S O L U Ç Ã O DA E Q U A Ç Ã O D E D I F U S Ã O
1.5.1 - M é t o d o d a s d i f e r e n ç a s f i n i t a s
E o m é t o d o c o n v e c i o n a l u t i l i z a d o p e l a m a i o r i a dos c õ digos n u c l e a r e s q u e r e s o l v e m p r o b l e m a s d e f í s i c a d e r e a t o r e s , com o m o d e l o d e d i f u s ã o , c o m o o C I T A T I O N , P D Q , e t c .
P r i m e i r o , o b t é m - s e u m a m a l h a e s p a c i a l p e l a d i s c r e t j _ zação do d o m í n i o da v a r i á v e l e s p a c i a l . A e q u a ç ã o d i f e r e n c i a l é e n t ã o e s c r i t a na f o r m a d e e q u a ç ã o d e d i f e r e n ç a s n e s t a m a l h a . V á r i o s e s q u e m a s s ã o d i s p o n í v e i s , p a r a g e r a r u m a r e p r e s e n t a ç ã o da e q u a ç ã o d i f e r e n c i a l e m e q u a ç ã o d e d i f e r e n ç a s f i n i t a s . U m a delas é a e x p a n s ã o em s é r i e d e T a y l o r p a r a a v a r i á v e l d e p e n d e n _ te para se o b t e r u m a a p r o x i m a ç ã o p a r a o t e r m o q u e c o n t é m o ope_
rador d i f e r e n c i a l / l l / . A s s i m , c o m o e x e m p l o , s e j a r e s o l v e r a e q u a ç ã o :
- D (x) + Z a c j ) ( x ) = S ( x ) , x G D ( 1 . 5 . 1 . 1 ) d x2
com as c o n d i ç õ e s d e c o n t o r n o t|)(0) = <j>(a) = 0 p a r a u m p r o b l e m a de g e o m e t r i a t i p o p l a c a d e e s p e s s u r a a_ d i s c r e t i z a d a c o m o i 1 us^
trado na f i g u r a 1 . 5 . 1 .
- I H
xo xl
_» f_
xi - l x
4 S-
xi+l
XN-1
V
aF i g . 1 . 5 . 1 . I l u s t r a ç ã o d a d i s c r e t i z a ç a o e s p a c i a l u t i l i z a d a pe^
lo m é t o d o d e d i f e r e n ç a s f i n i t a s .
E x p a n d i n d o cf> e m s e r i e de T a y l o r n o s p o n t o s x-j_i e
x. , , em t e r m o s de s e u v a l o r no p o n t o x. t e m - s e :
i + i i
= * ( xi+1) -- Í i + A ^ A2 d2<j>
d x:
+ ... ( 1 . 5 . 1 . 2 )
*i-l = * íxi - l ) = *i A & dx
A2 d2c j >
( 1 . 5 . 1 . 3 )
S o m a n d o as e q u a ç õ e s 1 . 5 . 1 . 2 e 1 . 5 . 1 . 3 s e g u e
d2(f>
d x:
" 2* i + * T _ I
( 1 . 5 . 1 . 4 )
E n t ã o a e q u a ç ã o 1 . 5 . 1 . 1 e s c r i t a c o m o e q u a ç ã o de d i f e r e n ç a s fj_
n i t a s é da f o r m a :
( 1 . 5 . 1 . 5 ) i = 1 , 2 , . . . N - l .
Estas e q u a ç õ e s j u n t a m e n t e c o m as c o n d i ç õ e s d e c o n t o r n o f o r m a m o s i s t e m a de equações a l g é b r i c a s p a r a N+l i n c ó g n i t a s q u e p o d e m ser s o l u c i o n a d a s p o r um a l g o r i t m o a d e q u a d o .
Um o u t r o e s q u e m a de se o b t e r as e q u a ç õ e s d e difereji ças f i n i t a s c o n s i s t e e m i n t e g r a r a e q u a ç ã o d i f e r e n c i a l o r i g i -
nal s o b r e um i n t e r v a l o a r b i t r á r i o d a m a l h a e a p r o x i m a r c o n v e - n i e n t e m e n t e e s t a s i n t e g r a i s u s a n d o v a l o r e s m é d i o s s i m p l e s ou f o r m u l a s de d i f e r e n ç a s p a r a se o b t e r u m c o n j u n t o de e q u a ç õ e s s i m i l a r e s à e q u a ç ã o ( 1 . 5 . 1 . 5 ) /ll , 4 1 / .
C o m o o b j e t i v o de c o n t o r n a r a s l i m i t a ç õ e s do m é t o d o das d i f e r e n ç a s f i n i t a s , o u t r a s t é c n i c a s t e m s i d o i n v e s t i g a d a s a fim de se o b t e r m a i o r e f i c i ê n c i a . P o d e - s e c i t a r d e n t r e o u - tros o m é t o d o de s T n t e s e , os v á r i o s t i p o s e combinações • do m é - todo n o d a l de m a l h a s l a r g a s e o m é t o d o de M o n t e C a r l o .
1 . 5 . 2 . M é t o d o de s T n t e $ e / 2 2/
C o m o c i t a d o a n t e r i o r m e n t e , o s c á l c u l o s n u m é r i c o s d e equações di f e r e n c i ai s m u 11i d i m e n s i o n a i s r e q u e r e m g r a n d e quantj_
dade de m e m ó r i a e t a m b é m d i s p e n d e m t e m p o c o m p u t a c i o n a l e l e v a - d o . Com a f i n a l i d a d e de m i n i m i z a r e s s e s p a r â m e t r o s , o m é t o d o v a r i a c i o n a l e o m é t o d o d o s r e s í d u o s p o n d e r a d o s p o d e m s e r e m - p r e g a d o s c o m u m a t é c n i c a q u e s o l u c i o n a p r o b l e m a s m u l t i d i m e n - s i o n a i s , e x p r e s s a n d o a s o l u ç ã o em p r o b l e m a s de m e n o r e s d i m e n - s õ e s . P a r a um p r o b l e m a t r i d i m e n s i o n a l , p o r e x e m p l o , a v a r i á - vel i n d e p e n d e n t e é f o r m u l a d a c o m o u m a c o m b i n a ç ã o de r e s u l t a - dos de p r o b l e m a s de u m a e d u a s d i m e n s õ e s . I s t o é b a s i c a m e n t e o m é t o d o de s í n t e s e . No e s q u e m a de s í n t e s e a s f u n ç õ e s de apro_
x i m a ç ã o são f o r t e m e n t e d e p e n d e n t e s do p r o b l e m a , s e n d o u m d a d o c o n j u n t o de f u n ç ã o u s u a l m e n t e e m p r e g a d a s n u m a c l a s s e r e s t r i t a de p r o b l e m a s . P o r t a n t o p a r a p r o b l e m a s c o m p l e x o s , o s u c e s s o des^
se m é t o d o d e p e n d e p r i n c i p a l m e n t e da s e l e ç ã o a d e q u a d a d a s f u n - ções de a p r o x i m a ç ã o , r e q u e r e n d o a s s i m a l g u m a e x p e r i ê n c i a .
1.5.3. M é t o d o s n o d a i s / 1 1 , 2 0 , 2 2 /
São m é t o d o s c o m p u t a c i o n a i s d e m a l h a s l a r g a s , o n d e o r e a t o r é p a r t i c i o n a d o e m z o n a s r e l a t i v a m e n t e g r a n d e s , c h a m a - das n o d o s . A i d é i a f u n d a m e n t a l d o s m é t o d o s n o d a i s c o n s i s t e em r e l a c i o n a r a c o r r e n t e d e n i u t r o n s a t r a v é s d a s i n t e r f a c e s e n -
tre dois n o d o s a o s f l u x o s m é d i o s n e s s e s n o d o s , p o r m e i o d o s c h a m a d o s c o e f i c i e n t e s de a c o p l a m e n t o . E s s e s c o e f i c i e n t e s s ã o i n t e r p r e t a d o s c o m o p r o b a b i l i d a d e de um n ê u t r o n n a s c e r em u m a c é l u l a nodal e se d i f u n d i r em o u t r a s c é l u l a s . P o r t a n t o a c h a - ve do m é t o d o e s t a em d e t e r m i n a r e s s e s c o e f i c i e n t e s de a c o p l a - m e n t o s n o d a i s , q u e s ã o u s u a l m e n t e e f e t u a d o s de m a n e i r a aproxj_
mada a s s u m i n d o - s e g e r a l m e n t e f o n t e p l a n a e c o m p o s i ç ã o u n i f o r - me em c a d a n o d o . A l g u n s d o s m é t o d o s n o d a i s n ã o d e p e n d e m explj_
c i t a m e n t e da t e o r i a de d i f u s ã o de n e u t r o n s , e n t r e t a n t o , q u a n - do a d e t e r m i n a ç ã o d o s c o e f i c i e n t e s d e a c o p l a m e n t o é f e i t a c o m base na t e o r i a de d i f u s ã o , e s t a d e v e r á s e r v á l i d a n a s u p e r f í - c i e de s e p a r a ç ã o d o s n o d o s .
Se o t a m a n h o d o s n o d o s e os c o e f i c i e n t e s de a c o p l a - m e n t o n o d a i s são apropriadamente e s c o l h i d o s , e n t ã o o m é t o d o n o - dal p o d e ser e x t r e m a m e n t e útil em g e r a r d i s t r i b u i ç ã o d e f l u - xos e p o t ê n c i a em g e o m e t r i a s mui t i m e n s i o n a i s , c o m p r e c i s ã o ra^
zoável e g r a n d e e c o n o m i a de t e m p o e m e m o r i a c o m p u t a c i o n a l / q u a n - do c o m p a r a d o ao m é t o d o de d i f e r e n ç a s f i n i t a s .
1.5.4. M é d o t o de M o n t e C a r l o / 4 1 /
M o n t e C a r l o é u m m é t o d o n u m é r i c o b a s e a d o na t e o r i a e s t a t T s t i c a u s a n d o n ú m e r o s a l e a t ó r i o s . A a p l i c a b i l i d a d e d a t é c n i c a de M o n t e C a r l o e m f í s i c a d e r e a t o r e s e s t a l i g a d a ao fa to do c o m p o r t a m e n t o d a s p a r t í c u l a s s e r e m p r o b a b i l í s t i c a s s e n - do g o v e r n a d a s p o r d i s t r i b u i ç ã o d e p r o b a b i l i d a d e , e as s e ç õ e s de c h o q u e s e r e m i n t e r p r e t a d a s c o m o u m a p r o b a b i l i d a d e d e i n t e - r a ç ã o . N e s s e m é t o d o u m c o n j u n t o d e h i s t o r i a s s a o g e r a d a s , "sé^
g u i n d o - s e " i n d i v i d u a l m e n t e o n ê u t r o n a t r a v é s d e s u c e s s i v a s c^o 1 i s o e s , s e n d o o l o c a l , d i r e ç ã o e e n e r g i a do n ê u t r o n e m e r g e n t e d e t e r m i n a d o s a t r a v é s de t é c n i c a s de a m o s t r a g e m .
0 m é t o d o de M o n t e C a r l o n ã o é r e s t r i t o p e l a c o m p l e - x i d a d e da g e o m e t r i a o u n ú m e r o de v a r i á v e i s i n d e p e n d e n t e s . 0 o b s t á c u l o , e n t r e t a n t o , é o t e m p o c o m p u t a c i o n a l n e c e s s á r i o p a - ra se o b t e r r e s u l t a d o s c o m s i g n i f i c â n c i a e s t a t í s t i c a .
Um código nuclear que utiliza esse m é t o d o é o KENO /46/, sendo um programa para a n á l i s e de cri ti c a l i d a d e em m u l - tigrupo. Sistemas t r i - d i m e n s i o n a i s podem ser f a c i l m e n t e d e s - critos, sendo possível o t r a t a m e n t o de g e o m e t r i a s c o m p l e x a s .
1.6. OBJETIVO DO T R A B A L H O
0 objetivo deste trabalho foi o estudo da a p l i c a ç ã o do método dos elementos finitos na solução da equação de difusão de neutrons. Para t a l , d e s e n v o l v e u - s e programas de c o m p u t a ç ã o que
possibilitaram a solução de problemas em g e o m e t r i a uni e b i - dimensional, os quais foram a p l i c a d o s em vários p r o b l e m a s a- mostras, sendo seus r e s u l t a d o s c o m p a r a d o s com os obtidos com o CITATION / 1 3 / . S a l i e n t a - s e que neste t r a b a l h o , não se pro_
curou introduzir nenhum novo c o n c e i t o numérico no M E F , nem se procurou d e s e n v o l v e r um programa de c o m p u t a d o r e f i c i e n t e que pudesse ser c o m p e t i t i v o com os códigos já e x i s t e n t e s , que utilizam a técnica dos elementos f i n i t o s . E n t r e t a n t o , este trabalho fornece uma d e s c r i ç ã o sobre o "estado da arte " da aplicação do MEF em FTsica de R e a t o r e s , bem como um p r o g r a m a que, apesar de não o t i m i z a d o e restrito quanto a preci são, per^
mite o cálculo da d i s t r i b u i ç ã o de n e u t r o n s , do fator de multi plicação, em g e o m e t r i a X-Y, simulando o núcleo de reatores nu cleares.
C A P I T U L O II
R E V I S Ã O B I B L I O G R Á F I C A DO M E F EM F Í S I C A D E R E A T O R E S
N e s t e c a p í t u l o s ã o a p r e s e n t a d o s d e m o d o s u m á r i o os p r i n c i p a i s t r a b a l h o s d a a p l i c a ç ã o do M E F na s o l u ç ã o d a e q u a - ção de d i f u s ã o e na s o l u ç ã o d a e q u a ç ã o d e t r a n s p o r t e ( s e p a r a - d a m e n t e ) .
C r o n o l o g i c a m e n t e o i n í c i o d o s e s t u d o s de a p l i c a ç ã o do M E F na t e o r i a de d i f u s ã o e t r a n s p o r t e s ã o , q u a s e q u e , s i - m u l t â n e a s . A j u s t i f i c a t i v a p a r a tal c o m p o r t a m e n t o r e s i d e no fato de q u e e m f í s i c a de r e a t o r e s , t a n t o a t e o r i a d e d i f u s ã o como a t e o r i a de t r a n s p o r t e s ã o á r e a s j á b e m e s t a b e l e c i d a s . P o r outro l a d o , o M E F j á p o s s u i e s t u d o s e x a u s t i v o s e a p l i c a ç õ e s p r á t i c a s r e a i s em p r o j e t o s d e o u t r o s c a m p o s d a e n g e n h a r i a , c o m base m a t e m á t i c a b e m d e f i n i d a , p e r m i t i n d o a s s i m a o s p e s q u i s a d a res em f í s i c a de r e a t o r e s u m a a p l i c a ç ã o m a i s d i r e t a d e s t a tec^
n i c a .
A r e v i s ã o b i b l i o g r á f i c a a q u i a p r e s e n t a d a é u m p a - norama em o r d e m c r o n o l ó g i c a , s e m l e v a r e m c o n s i d e r a ç ã o o p r o - cesso e v o l u t i v o d a a p l i c a ç ã o do M E F e m p r o b l e m a s d e i n t e r e s - se da f í s i c a de r e a t o r e s . As p r i n c i p a i s p u b l i c a ç õ e s r e l a c i o n a _ das t a n t o ã t e o r i a de d i f u s ã o c o m o ã t e o r i a de t r a n s p o r t e , apa^
recém no p r i n c í p i o da d é c a d a d e 1 9 7 0 .
D e n t r e os p r i m e i r o s t r a b a l h o s em d i f u s ã o d e niütrons d e s t a c a m - s e os de S e m e n z a , L e w i s e R o s s o w / 5 2 / e m 1 9 7 2 , o s quais t r a t a m da s o l u ç ã o da e q u a ç ã o de d i f u s ã o d e n ê u t r o n s e m m u l t i g r u p o p e l a t é c n i c a v a r i a c i o n a l u s a n d o p o l i n ó m i o s l i n e a - res de L a g r a n g e p a r a f u n ç õ e s i n t e r po 1 a n t e s e m e l e m e n t o s triaji g u i a r e s , e p o l i n ó m i o s b i l i n e a r e s p a r a e l e m e n t o s r e t a n g u l a r e s . Do m e s m o p e r í o d o p o d e m - s e c i t a r : K a p e r et al . / 2 8 / ( 1 9 7 2 ) , Na, kamura e O h n i s h i ( 1 9 7 2 ) / 4 2 / e K a n g e H a n s e n / 2 6 , 2 7 / , ( 1 9 7 3 ) . Os p r i m e i r o s uti 1 izaram u m a a p r o x i m a ç ã o de a l t a o r d e m , u s a n d o
o p r i n c í p i o v a r i a c i o n a l p a r a s o l u c i o n a r a e q u a ç ã o de d i f u s ã o m u l t i g r u p o em d u a s d i m e n s õ e s e comparam os r e s u l t a d o s com o método das d i f e r e n ç a s f i n i t a s de b a i x a o r d e m . Nakamura e Ohnishi apresentaram uma s o l u ç ã o i t e r a t i v a p a r a a e q u a ç ã o matrj_
c i a i de e l e m e n t o s f i n i t o s com ê n f a s e no esquema de a c e l e r a ç ã o . Adotaram a t é c n i c a i t e r a t i v a SOR ( s u c c e s s i v e - o v e r - r e i axa t i on ) , sendo o t r a b a l h o r e s t r i t o a e l e m e n t o t r i a n g u l a r e geometria bi_
d i m e n s i o n a l X - Y .
Em 1 9 7 4 , novamente H a n s e n j u n t a m e n t e com Deppe / 9 , 10/ publicaramum t r a b a l h o onde s o l u c i o n a m a e q u a ç ã o de d i f u s ã o em m u l t i g r u p o , b i d i m e n s i o n a l , em e s t a d o e s t a c i o n á r i o , p e l a ex^
pansão do f l u x o i n c ó g n i t a em p o l i n ó m i o s b i c ú b i c o s de H e r m i t e . A f o r m u l a ç ã o m a t r i c i a l e o b t i d a a p l i c a n d o a t é c n i c a de Galerkin e o c o n j u n t o d a s e q u a ç õ e s é s o l u c i o n a d a p e l o método i t e r a t i v o e f a t o r i z a ç ã o de C h o l e s k y e a p r e s e n t a m r e s u l t a d o s numéricosob^
t i d o s por meio do p r o g r a m a C H D , p o r e l e s d e s e n v o l v i d o s . A p r i n c i p a l c o n c l u s ã o d e s t e t r a b a l h o é a v i a b i l i d a d e de s e e s -
tender o d o m í n i o d a s f u n ç õ e s de e x p a n s ã o s o b r e r e g i õ e s heteroi geneas e p o r t a n t o d e s c r e v e n d o r e a l i s t i c a m e n t e a d e p e n d e n c i a es^
p a c i a l das s e ç õ e s de c h o q u e .
D o i s a n o s m a i s t a r d e , B i s w a s et a l . / 8 / p u b l i c a r a m um a r t i g o i n t r o d u z i n d o um método s i m p l e s de g e r a r equações ma- t r i c i a i s , p a r a s o l u ç ã o da e q u a ç ã o de d i f u s ã o m u l t i g r u p o , usar^
do um " s i s t e m a de c o o r d e n a d a s n a t u r a i s " . N e s t e t r a b a l h o e fei_
to um e s t u d o c o m p a r a t i v o de e l e m e n t o s t r i a n g u l a r e s com modelo l i n e a r e q u a d r á t i c o e e l e m e n t o s r e t a n g u l a r e s com modelo b i l i - n e a r , para m o s t r a r a e f i c i ê n c i a r e l a t i v a do método p r o p o s t o . A i n t e r p o l a ç ã o q u a d r á t i c a m o s t r a s e r c o m p u t a c i o n a 1 mente s u - p e r i o r a m o d e l o s l i n e a r e s e b i l - i n e a r e s , f o r n e c e n d o um e r r o re_
l a t i v a m e n t e menor p a r a o f a t o r de m u l t i p l i c a ç ã o . Mostraram a i n - da a f l e x i b i l i d a d e do t r a t a m e n t o por e l e m e n t o s f i n i t o s no cã]_
culo da r e a t i v i d a d e .
Com F r a n k e / 1 4 , 1 5 , 1 6 / , em 1 9 7 6 , t e m - s e a s o l u ç ã o da equação de d i f u s ã o em e s t a d o e s t a c i o n á r i o p o r e l e m e n t o s f i n i - tos em t r ê s d i m e n s õ e s e s p a c i a i s . 0 a u t o r d e s e n v o l v e u um progra^
ma onde u s a e l e m e n t o s d e f o r m a t e t r a é d r i c a . 0 f l u x o d e n e u - trons é i n t e r p o l a d o p o r p o l i n ó m i o s d e L a g r a n g e , e s ã o a c e i t a s c o n d i ç õ e s de c o n t o r n o h o m o g ê n e a s . A p a r t i r d e s t e , f o r a m publji_
cados v á r i o s t r a b a l h o s e m t r ê s d i m e n s õ e s , d e s t a c a n d o - s e a i n d a nessa m e s m a é p o c a , K a v e n o k y e L a u t a r d / 3 0 / , M i s f e l d t / 3 8 , 3 9 / , em 1 9 7 7 . K a v e n o k y e L a u t a r d f i z e r a m o c á l c u l o d e d e p l e ç ã o com seção de c h o q u e d e p e n d e n t e d o e s p a ç o e m d u a s e t r ê s d i m e £ s o e s . P o s t e r i o r m e n t e , L a u t a r d / 3 2 / a p r e s e n t o u u m n o v o m é t o d o de e l e m e n t o s f i n i t o s c o m i n t e g r a ç ã o n u m é r i c a G a u s s i a n a q u e permj_
te o uso de m a l h a s g r a n d e s c o m m a i o r p r e c i s ã o e r a p i d e z , e m p r o b l e m a s d e d u a s e t r ê s d i m e n s õ e s e s p a c i a i s . M i s f e l d t aplicou a t é c n i c a p a r a s o l u c i o n a r a e q u a ç ã o d e d i f u s ã o e m t r ê s d i m e n - sões e em m u 1 ti g r u p o .
Um e s t u d o do c o m p o r t a m e n t o d a s s i n g u l a r i d a d e s e a i n f l u e n c i a na o r d e m d e c o n v e r g ê n c i a foi' r e a l i z a d o p o r H e n n a r t e M u n d / 2 1 / em p r o b l e m a s d e d i f u s ã o a d u a s d i m e n s õ e s . N e s t e t r a b a l h o a e s c o l h a d o s e l e m e n t o s é d e s c r i t a p a r a u m a d a d a coji f i g u r a ç ã o do r e a t o r .
Em 1 9 7 8 , I s e , Yamazaki, Nakahara / 2 5 / d e s e n v o l v e r a m um p r o g r a m a de c o m p u t a d o r ( F E M - B A B E L ) e m t r ê s d i m e n s õ e s e s p a - c i a i s o n d e u t i l i z a m u m a c o m b i n a ç ã o d e e l e m e n t o s p r i s m a s triaji g u i a r e s e r e t a n g u l a r e s p a r a s i m u l a r a g e o m e t r i a d o r e a t o r . De_
s e n v o l v e r a m u m a l g o r i t m o b a s e a d o no m é t o d o d e G a l e r k i n e a d o - taram um m é t o d o de a c e l e r a ç ã o p a r a r e s o l v e r o s i s t e m a d e equa^
ções de u m a m a n e i r a o t i m i z a d a . D I F G E N e u m o u t r o p r o g r a m a d e - s e n v o l v i d o p o r S c h m i d t / 5 0 , 5 1 / q u e r e s o l v e p r o b l e m a s e m d u a s e três d i m e n s õ e s c o m a e q u a ç ã o d e d i f u s ã o e m e s t a d o e s t a c i o n a rio e t r a n s i e n t e . S ã o p o s s í v e i s o u s o d e e l e m e n t o s t r i a n g u l a - r e s , q u a d r i l á t e r o s e d e contornos c u r v o s , p e r m i t i n d o espalhame_n to para c i m a e s e n d o d i s p o n í v e i s t o d a s as c o n d i ç õ e s d e c o n t O £ no u s u a i s .
Uma n o v a t é c n i c a d e s o l u ç ã o d a e q u a ç ã o d e d i f u s ã o por e l e m e n t o s f i n i t o s foi d e s e n v o l v i d a p o r A z e k u r a / 4 , 5 / e m 1 9 8 0 . N e s s e n o v o m é t o d o a p r e c i s ã o d o c á l c u l o é m e l h o r a d a a - c r e s c e n t a n d o - s e p o n t o s n o d a i s i m a g i n á r i o s e s u b d i v i d i n d o - s e c a da e l e m e n t o t r i a n g u l a r e m t r ê s s u b e l e m e n t o s q u a d r i l á t e r o s . No
processo de s o l u ç ã o d a s e q u a ç õ e s a l g é b r i c a s a s v a r i á v e i s a d i - c i o n a i s i n c ó g n i t a s s ã o e l i m i n a d a s de tal m o d o q u e o n ú m e r o d e
i n c ó g n i t a s p e r m a n e ç a a m e s m a do M E F u s u a l .
M a i s r e c e n t e m e n t e , N a k a t a / 4 3 / d e s e n v o l v e u u m n o v o m é t o d o de c a l c u l o de r e a t o r e s , o n d e a c o p l a o M E F c o m a técni_
ca da m a t r i z r e s p o s t a , p a r a s o l u c i o n a r a e q u a ç ã o d e d i f u s ã o não h o m o g ê n e a , na f o r m a f r a c a . U s a n d o o f o r m a l i s m o u s u a l d a t é c n i c a da m a t r i z r e s p o s t a , o n ú c l e o do r e a t o r é d i v i d i d o e m m a l h a s l a r g a s , e a s o l u ç ã o g l o b a l é o b t i d a r e l a c i o n a n d o malhas a d j a c e n t e s p o r m e i o d a s c o r r e n t e s p a r c i a i s n o s r e s p e c t i v o s c o n t o r n o s . 0 M E F é a p l i c a d o n o s c á l c u l o s p a r a c a d a m a l h a g r o ^ s a , com o o b j e t i v o de s o l u c i o n a r a e q u a ç ã o d e d i f u s ã o , c o m c o r r e n t e s p a r c i a i s i n c i d e n t e s no c o n t o r n o . O s r e s u l t a d o s o b t i - dos na s o l u ç ã o de p r o b l e m a s p a d r õ e s c o m o 2 D - I A E A e B I B L I S pro_
vam a c a p a c i d a d e do m é t o d o p a r a s o l u ç ã o de p r o b l e m a s p r á t i c o s . Do ú l t i m o s e m i n a r i o s o b r e a p l i c a ç ã o do M E F e m cá]cu los de b l i n d a g e n s / 5 7 / v a l e m c i t a r os t r a b a l h o s d e Shuttleworth, Grenfell e A r m i s h a w . 0 p r i m e i r o d e s e n v o l v e u u m p r o g r a m a de com p u t a d o r ( F E N D E R ) , o q u a l s o l u c i o n a a e q u a ç ã o d e d i f u s ã o u s a n - do o M E F com a t e 1 0 0 0 e l e m e n t o s , e c o m u m a v a r i e d a d e d e alter^
n a t i v a s nas c o n d i ç õ e s d e c o n t o r n o . U m o u t r o p r o g r a m a d e c o m - p u t a d o r u s a n d o o M E F e v i s a n d o a p l i c a ç ã o e m b l i n d a g e m d e r a - d i a ç ã o foi d e s e n v o l v i d o p o r G r e n f e l l . S o l u c i o n a a e q u a ç ã o d e d i f u s ã o em e s t a d o e s t a c i o n á r i o e m t r ê s d i m e n s õ e s c o m d e p e n d e r ^ cia e n e r g é t i c a . A r m i s h a w e s e u s c o l a b o r a d o r e s d e s e n v o 1 v e r a m um p r o g r a m a ( F E D T R A N ) q u e u t i l i z a o M E F e m c o n j u n ç ã o c o m a t é c - nica de M o n t e C a r l o .
P a r a l e l a m e n t e a a p l i c a ç ã o do M E F na s o l u ç ã o d a e q u £ ção de d i f u s ã o , s u r g i r a m t r a b a l h o s a p l i c a n d o o M E F n a s o l u ç ã o da e q u a ç ã o de t r a n s p o r t e . D e s t e e n t ã o , u m a g r a n d e v a r i e d a d e de t é c n i c a s t e m s i d o e s t u d a d a s t a n t o p a r a a f o r m a t r a d i c i o n a l da e q u a ç ã o i n t e g r o - d i f e r e n c i a 1 de t r a n s p o r t e d e p r i m e i r a o r - d e m , a qual não ê a u t o a d j u n t a , c o m o na f o r m a da e q u a ç ã o d e t r a n s p o r t e de s e g u n d a o r d e m p a r a os f l u x o s d e p a r i d a d e p a r e i m p a r , a qual é a u t o - a d j u n t a e q u e p o r t a n t o p o s s u i u m f u n c i o - nal a s s o c i a d o q u e m i n i m i z a d o f o r n e c e a s o l u ç ã o .
Dos p r i m e i r o s t r a b a l h o s , p o d e - s e c i t a r o de P i t k à - ranta e Si 1 v e n n o i s e n / 4 7 / , de 1 9 7 2 , c a l c u l a n d o a e s p e s s u r a crTtica de um r e a t o r t i p o p l a c a p o r m e i o da d i s c r e t i z a ç ã o d a equação de t r a n s p o r t e e m u m g r u p o . N e s t e t r a b a l h o c i t a m q u e para uma d a d a o r d e m de a p r o x i m a ç ã o e p o s s T v e l a u m e n t a r a p r e - cisão u s a n d o t a m a n h o de e l e m e n t o s v a r i á v e i s . Os m e s m o s pesquj[
s a d o r e s , p o s t e r i o r m e n t e , / 4 8 / , t r a t a r a m d e p r o b l e m a s em multj[
grupo com o e s q u e m a d e a p r o x i m a ç ã o b a s e a d o no p r i n c T p i o varia^
cional da e q u a ç ã o de t r a n s p o r t e m o n o e n e r g é t i c o na f o r m a a u t o a d j u n t a .
M i l l e r , L e w i s e R o s s o w /36/ , u s a r a m p o l i n ó m i o s l i - neares contínuos , p a r a a p r o x i m a ç ã o do f l u x o a n g u l a r e m u m a d i m e n s ã o . T r a t a m d e g e o m e t r i a s c i l í n d r i c a , e s f é r i c a e p l a n a , com e s p a l h a m e n t o i s o t r õ p i c o . P o s t e r i o r m e n t e /37/ s u a s p e s q u i - sas f o r a m e s t e n d i d a s a d u a s d i m e n s õ e s e m g e o m e t r i a p l a n a (X-Y) com m o d e l o m o n o e n e r g e t i c o . N e s t e t r a b a l h o u t i l i z a r a m f u n ç õ e s b i l i n e a r e s p a r a a v a r i á v e l a n g u l a r , e 1 i n e a r ou b i 1 i n e a r p a r a a v a r i á v e l e s p a c i a l , s e n d o p o s s T v e l a u t i l i z a ç ã o d e e l e m e n t o s t r i a n g u l a r e s ou r e t a n g u l a r e s na v a r i á v e l e s p a c i a l c o m o r i e n t a ^ ção a r b i t r á r i a . A i n d a em d u a s d i m e n s õ e s e g e o m e t r i a c i l í n d r i - c a , H o r i k a m i e um g r u p o de p e s q u i s a d o r e s / 2 3 / , e m 1 9 7 4 , deseja v o l v e r a m um a l g o r i t m o e m m u l t i g r u p o o n d e o M E F e a p l i c a d o ã variável e s p a c i a l c o m e l e m e n t o r e t a n g u l a r , e s e n d o a v a r i á v e l a n g u l a r a p r o x i m a d a p e l a t é c n i c a d a s o r d e n a d a s d i s c r e t a s . A t é c n i c a u t i l i z a d a no M E F ê a d e G a l e r k i n c o m p o l i n ó m i o s d e ir^
t e r p o l a ç ã o b i l i n e a r , c ú b i c o e b i - q u a d r ã t i c o d e L a g r a n g e .
K a p e r , L e a f e L i n d e m a n /29/ ' u s a r a m c o m o f u n ç ã o de i n t e r p o l a ç ã o p o l i n ó m i o s de L a g r a n g e p a r a o b t e r a s o l u ç ã o n u m é r i c a da e q u a ç ã o de t r a n s p o r t e , em e s t a d o e s t a c i o n á r i o , no m o d e l o de m u l t i g r u p o , em d u a s d i m e n s õ e s e s p a c i a i s . 0 p r o c e d i - mento é b a s e a d o n a f o r m u l a ç ã o v a r i a c i o n a l da e q u a ç ã o d e trans^
porte de 2- o r d e m de u m g r u p o , s e n d o l i m i t a d o a el e m e n t o s triaji g u i a r e s e e s p a l h a m e n t o i s o t r õ p i c o .
Em 1 9 7 5 , Y u a n e o u t r o s p e s q u i s a d o r e s / 5 6 / , a n a l i s a - ram r e s u l t a d o s o b t i d o s p e l a a p l i c a ç ã o de t r ê s m é t o d o s i t e r a t i
vos a e q u a ç ã o de t r a n s p o r t e m o n o e n e r g é t i c a , d i s c r e t i z a d a atra_
ves do M E F : " p o i n t S O R " , " b l o c k S O R " e " a c c e l e r a t e d b l o c k S O R1: Dois e s q u e m a s de a l o c a ç ã o de m e m ó r i a s ã o u s a d o s ; o p r i m e i r o p e r m i t i n d o a t r i a n g u l a ç ã o a r b i t r á r i a do d o m T n i o e s p a c i a l e n - quanto o s e g u n d o e r e s t r i t o a m a l h a r e t a n g u l a r . A i n d a , d e s s e período v a l e m c i t a r os t r a b a l h o s de L e w i s / 3 3 / e M a r t i m / 3 4 / . Lewis inclui no c a l c u l o do t r a n s p o r t e de n e u t r o n s e m c é l u l a s b i d i m e n s i o n a i s em g e o m e t r i a X - Y , a r e p r e s e n t a ç ã o de r e g i õ e s com i n t e r f a c e s c u r v a s . M a r t i m f a z a n á l i s e d a s t a x a s de c o n v e £ g ê n c i a para a s o l u ç ã o em g e o m e t r i a u n i d i m e n s i o n a l . Um o u t r o t r a b a l h o c o m a p l i c a ç ã o de e l e m e n t o s d e c o n t o r n o s c u r v o s é o de M o r d a n d / 4 0 / o n d e d e s e n v o l v e u um p r o g r a m a d e c o m p u t a ç ã o ( Z E P H Y R ) c o m c a p a c i d a d e p a r a s o l u ç ã o de p r o b l e m a s em d u a s d i - m e n s õ e s , m u l t i g r u p o , em g e o m e t r i a X-Y o u R - Z . 0 M E F é a p l i c a - do a v a r i á v e l e s p a c i a l c o m m a l h a t r i a n g u l a r ou r e t a n g u l a r .
Em 1 9 7 7 , M a r t i m e D u d e r s t a d t / 3 5 / p u b l i c a r a m um t r a b a l h o o n d e a p l i c a m o M E F a a m b a s as v a r i á v e i s , e s p a c i a l e a n g u l a r da e q u a ç ã o de t r a n s p o r t e d e n e u t r o n s de p r i m e i r a o r - dem. R e s u l t a d o s n u m é r i c o s s ã o a p r e s e n t a d o s p a r a g e o m e t r i a pla_
na u n i d i m e n s i o n a l e c o m p a r a d o s c o m o s o b t i d o s p o r m e i o do c ó - digo A N I S N de o r d e n a d a s d i s c r e t a s .
F u j i m u r a e o u t r o s p e s q u i s a d o r e s / 1 7 / s o l u c i o n a r a m a e q u a ç ã o de t r a n s p o r t e em g e o m e t r i a c i l í n d r i c a , b i d i m e n s i o n a l , sendo a e q u a ç ã o de t r a n s p o r t e d i s c r e t i z a d a u s a n d o e l e m e n t o s r e t a n g u l a r e s r e g u l a r e s c o m f u n ç õ e s q u a d r á t i c a s o u b i l i n e a r e s de L a g r a n g e . 0 m é t o d o e i n c o r p o r a d o no c ó d i g o de c o m p u t a d o r F E M R Z .
T o m l i n s o n e R o b i n s o n / 5 4 / d e s e n v o l v e r a m u m m é t o d o de o b t e r a s o l u ç ã o da e q u a ç ã o de t r a n s p o r t e de n e u t r o n s s o b r e m a l h a s t r i a n g u l a r e s i r r e g u l a r e s , c o m c o n t o r n o s n ã o o r t o g o n a i s e e s p a l h a m e n t o a n i s o t r õ p i c o . Um f u n c i o n a l e d e s e n v o l v i d o a partir da f o r m a c a n ó n i c a d a e q u a ç ã o de transporte de multigrupo.
 variável a n g u l a r é r e m o v i d a e x p a n d i n d o - s e o f u n c i o n a l em hajr m õ n i c o s e s f é r i c o s e l i m i t a n d o o e s p a l h a m e n t o a s e r i s o t r õ p i c o .
0 M E F e a p l i c a d o u s a n d o p o l i n ó m i o s i n t e r p o l a n t e s d e L a g r a n g e para a e x p a n s ã o da v a r i á v e l e s p a c i a l .
