Modelo de Drude

2. 2.11 IntroduçãoaFísicadoEstadoSólido:PropriedadesElétricas,ÓticaseMagnéticasdeMateriais IntroduçãoaFísicadoEstadoSólido:PropriedadesElétricas,ÓticaseMagnéticasdeMateriais Prof.AndréAvelinoPasa Prof.AndréAvelinoPasa DepartamentodeFísica–UFSC DepartamentodeFísica–UFSC 2.Modelode

2.ModelodeGásdeElétrGásdeElétronsClássiconsClássicooudeDrudeooudeDrude

2.1.Estr

2.1.EstruturaEletrônicauturaEletrônicadosMetaisdosMetais..

AprimeiratentativaparaexplicarocomportamentoelétricodossólidosfoipropostaporP.Drude AprimeiratentativaparaexplicarocomportamentoelétricodossólidosfoipropostaporP.Drude em1900.Drudesupôsqueossólidosmetálicosfossemformadosporíonspositivosemposições em1900.Drudesupôsqueossólidosmetálicosfossemformadosporíonspositivosemposições fixa

fixasseeelételétronronss estaestariariammlivrlivresparaseesparase movemoverporrpor todtodooosólido.osólido. ComoComo asinteraasinteraçõeçõess doselétrdoselétronsons comosíonsnestemodeloseriampraticamentenulas,osistemapassouaserdenominadode“gás comosíonsnestemodeloseriampraticamentenulas,osistemapassouaserdenominadode“gás deelétronslivres”.NaFigura2.1éapresentadoosólidometálicoidealizadoporDrudecom“átomos deelétronslivres”.NaFigura2.1éapresentadoosólidometálicoidealizadoporDrudecom“átomos ionizados”emposiçõesfixas(sítiosdaredecristalina)eelétronslivres.Acargadosíonsédadapor ionizados”emposiçõesfixas(sítiosdaredecristalina)eelétronslivres.Acargadosíonsédadapor !

! == !! !!_!!−−!!_!! ,onde,ondeeeéamagnitudedacargadoelétron,éamagnitudedacargadoelétron, Z  Z _nnéonúmerodecargaspositivasnoéonúmerodecargaspositivasno

átomoe

átomoe Z  Z _eeéonúmerodeelétronsnoátomodepoisdaionização.éonúmerodeelétronsnoátomodepoisdaionização.

Figura2.1–ModelodeDrudeformuladoem1900combasenoátomodeThompson(esferasde Figura2.1–ModelodeDrudeformuladoem1900combasenoátomodeThompson(esferasde flu

fluidoido cacarrrregaegadodo popositsitivaivamenmentete cocomm eléelétrtronsons imimersersosos emem seuseu intinterierioror).). AsAs esfesferaerass posposititivivasas emem pos

posiçõiçõeses fixfixasas estestarariaiamm ioioniznizadaadass cocomm cacargrgaa!! == !! !!!!−−!!!! e ose os elelétrétronsons liliberberadadosos lilivrevress parparaa

circularpelocristal.Z

circularpelocristal.Znn éoéo númnúmererodeode cacargargasposisposititivasvas noátonoátomoemoe ZZeeéonúmerodeelétronsnoéonúmerodeelétronsno

átomodepoisdaionização. átomodepoisdaionização. OmodelodeDru

OmodelodeDrude,emboraexde,emboraextremamenttremamentesimples,foesimples,foicapazdeexpicapazdeexplicardiverlicardiversasproprisaspropriedadesdosedadesdos sólidos,tantopropriedadeselétricasetérmicas,comotambémmagnéticaseóticas.Fracassouna sólidos,tantopropriedadeselétricasetérmicas,comotambémmagnéticaseóticas.Fracassouna obtenção

obtençãodacapacidadecalodacapacidadecaloríficaenadiferenciríficaenadiferenciaçãodemateriaçãodemateriaiscondutoraiscondutoresdenãocondutores.Oesdenãocondutores.O modelodeDrudeselimitavaamateriaiscondutores.Comopassardosanoseodesenvolvimentoda modelodeDrudeselimitavaamateriaiscondutores.Comopassardosanoseodesenvolvimentoda teoriaquântica,emaisostrabalhosdeP.Dirac,W.E.Pauli,E.Fermi,eoutros,foipossíveltrataro teoriaquântica,emaisostrabalhosdeP.Dirac,W.E.Pauli,E.Fermi,eoutros,foipossíveltrataro modelodegásdeelétronscomoutraabordagemteórica.Oresponsávelporestanovaabordagem modelodegásdeelétronscomoutraabordagemteórica.Oresponsávelporestanovaabordagem foiA.Sommerfe

foiA.Sommerfeldqueem1927reformulouomodeloldqueem1927reformulouomodelodeDrudeutilizandodeDrudeutilizandoconceitosepropriconceitosepropriedadesedades introduz

introduzidosidos pelapela mecânicamecânica quânticaquântica.. SommerfelSommerfeldd tambémtambémreinterpreinterpretouretouosos resultaresultadosdos anterioanterioresres (domodel

(domodelodeode DrudDrude)utilize)utilizandoando concconceiteitosjáosjábemdefinibemdefinidossobredossobre amatériamatéria,comooa,comoo prinprincipicipiodeode exclusãoecristalinidadedossólidos.Essenovomodeloapesardeserbemmaisrobustoqueseu exclusãoecristalinidadedossólidos.Essenovomodeloapesardeserbemmaisrobustoqueseu antecessor,tambémnãofoicapazdeexplicarasdiferençasentremetais(condutores)eisolantesou antecessor,tambémnãofoicapazdeexplicarasdiferençasentremetais(condutores)eisolantesou semicondutores.Paradescreverosmateriaissemicondutoreseisolantesfoinecessárioconsiderar semicondutores.Paradescreverosmateriaissemicondutoreseisolantesfoinecessárioconsiderar queoselétronsnocristalsofremainfluênciadeumpotencialperiódico,ouseja,introduziraidéia queoselétronsnocristalsofremainfluênciadeumpotencialperiódico,ouseja,introduziraidéia degásdeelétronsquaselivres. degásdeelétronsquaselivres.

2.2

É importante notar que os metais formam estruturas cristalinas com um número elevado de primeirosvizinhos(!

!").Porexemplo,naestruturaCFCn pv =12,naCCC n pv =8,paraumadistância

igualaoparâmetroderedea,commais6vizinhosparaumadistânciaiguala1,15 a.

2.2-ModelodoGásElétronsLivresClássicoouModelodeDrude

O modelo de Drude ou também chamado de gás de elétrons livres ou gás de elétrons clássico consiste em íons carregadospositivamente em posições fixas, cercados porelétrons quesãotão fracamenteligadosaestesíonsquepodemserconsideradoscomolivres.Esseselétronssemovem pelosólidosofrendocolisõescomosíonsfixosetambémcomosoutroselétronslivres.Entãoo sólidopodeserconsideradocomoumgásdepartículascarregadasconformeilustradonaFigura2.2.

Figura2.2-Colisõesdoselétronscomosíons positivos da rede, onde!_{é o livre caminho}

médiodoselétronsnogáse!

!éavelocidade

decadaelétron.

Figura2.3–Velocidadedederiva!_!devidoa

aplicação de um campo elétrico, resultando emumacorrenteelétrica.

Umaequaçãoquedescrevaomovimentodoselétronsnogáspodeserdeduzidaatravésdasegunda lei de Newton, que diz que a variação temporal domomento dosistemaé dada por uma força externa,ou

!_!(!)

!" = !!" 2.1

onde!éomomentomédiodogás,momentodocentrodemassajáqueonúmerodeelétronsé

muitogrande,!!"aforçaexternae!otempo.

Devemos, no entanto, lembrar que para os elétrons o momento total não é conservado, já que colidemcomosíonsdogás.AaproximaçãoadotadaporBoltzmannemseustrabalhosconsistiaem tomar a variação damédia do momento dos elétrons entrecada colisão, como sendoa taxa de momento transmitido para os íons, isto é, a equação 2.1 pode ser escrita com um termo de amortecimento, !_!(!₎ !" + ! !!( !₎ = !!". 2.2

2.3 onde!

!!(

!₎é o termo de atrito que representa a variação média do momento dos elétrons nas

colisõese!éotempomédioentrecolisõesexpressopor

! ₌

ℓ

!_! 2.3

ondeℓ_{éolivrecaminhomédioe}!_!avelocidadedoselétrons.

Quantoàscolisõesentreoselétrons,nãoénecessárioconsiderá-lasexplicitamente,poisomomento nestecasoéconservado.Adicionalmente,aforçaexternapodesertantodeorigemelétricaquanto magnética. Por outro lado, mesmo na presença de forças externas nulas, haverá elétrons com velocidadesve diferentes de zero, devido a energiatérmica dogás. No entanto, este efeito não

levaráaumamudançanadistribuiçãoespacialdecargas.Naequação2.2mostradaacima,otermo

! !!(

!₎tambémpodeserpensadodeformamacroscópicacomosendoumtermodeatrito,análogo

aoatritorealizadopeloaremcorposemquedalivre.Destemodo,oatritorealizadosobreocorpo em questão (elétron no sólido ou corpo em queda) faz com que a velocidade não aumente indefinidamente,massimatéumvalormáximoquechamadosdevelocidadedederiva.

2.3-TransporteEletrônico

ParaentendercomoocorreotransportedecarganosólidometálicodeDrudeaplica-seumcampo elétricoexternouniformeeconstantenadireção!,comoilustradomicroscopicamentenaFigura2.3

emacroscopicamentenaFigura2.4.Aforçaexternaserá!!" = !!!!com!!sendoocampoelétrico

aplicado.

Figura2.4–Aaplicaçãodeumcampoelétricoemumsólidometálicogeraumfluxodeelétrons descritopeladensidadedecorrente !,sendo!!avelocidadedederiva.

Omovimentodoselétronsteráumadireçãopreferencialdadapeladireçãodocampoelétrico(veja asFiguras2.3e2.4).Oselétronscontinuarãoasofrercolisões,mascommomentomédiodiferente dezero.Odeslocamentomédiodiferentedezeronoeixoxteráumavelocidadequeédenominada develocidadedederivaoudearraste!_!.Adensidadedecorrenteseráexpressapor  ! = !"!!,  2.4 ondenéadensidadedeelétronsnogás.Casoavelocidadedederiva !_!sejaigualavelocidadedo

2.4

Este caso idealénormalmente descritocomotransporte balístico. NaFigura 2.5 são ilustradosos transportesdifusivoebalístico.

Figura2.5.Ilustraçãodosmecanismosdetransporteeletrônicodifusivo(oelétronestásujeitoaum campo elétrico e se move sofrendo colisões com os íons do sólido) e balístico (o elétron praticamentenãosofrecolisõesnosólido). NapresençadecampoelétricoaEquação2.2podeserreescritanaforma !_!(!₎ !" + !(!₎ ! = !!!!. 2.5

Assumindo-sequeomomento!possaserdescritocomooprodutodamassadoelétron!_!pela

velocidadedederiva!_!,teremos !_! !!_! !" + !_!!_! ! = !!_!!, 2.6 queadmiteasolução !_! = !!! ! ! !+! !!! !+ !_!!! ! !_!+ ! !! ! ! !_! 2.7

onde as constante !!e!! são arbitrárias e dadas pelas condições de contorno. Considerando

tempos muito maiores que o tempo médio entre colisões,! ≫ !, pois representam o estado

estacionáriodosistema,encontra-seumavelocidadedederivanadireção !dadapor

!_! = !_!!!!. 2.8

istoé,osvaloresde !!sãotomadoscomozero.Ovalorde!!

éfacilmenteencontradosubstituindo-se!_!naEquação2.7,queresultaem! ! = !" ! !,logo !_{! =} !" !_!!!!, 2.9 eexpressaradensidadedecorrente(Eq.2.4)como,  ! = !!!! = !! !! !_! !!!. 2.10 SeconsiderarmosquedensidadedecorrentequeatravessaometalédadapelaleideOhm  ! = !_!!, acondutividadeelétricaparaelétronsserádadapor,

2.5

! ! =

!! !!

!_! .  2.11

A descrição dos da condutividade elétrica em função de parâmetros microscópicos, como carga, massa,densidadeetempoentrecolisõesfoiumavançofundamentalqueresultoudomodelode Drude. Para metais em geral a condutividade elétrica aumenta lentamente com a redução da temperatura.Oaumentoobservadoéexplicadonestemodelounicamentepeloaumentodotempo entreascolisões.Paratemperaturasbaixas,umportadordecargalevamaistempoparasofreruma colisãodoqueseestivesseemaltastemperaturas.Nacurvaabaixoéapresentadaacondutividade deumfilmefinodeAuemfunçãodatemperatura. 120 160 200 240 280 320 1,10x105 1,12x105 1,14x105 1,16x105     σ       (     Ω     c     m       )    -     1 T  ( K ) Figura2.6.Gráficodacondutividadedoouro(Au)emfunçãodatemperatura,mostrandoapequena variaçãodacondutividade,variaçãoessareferenteareduçãodotempodecolisãodoselétronspara temperaturasmaiselevadas(ResultadoobtidoporM.A.Tumelero,LFFS/UFSC).

2.31.Estimativasparave,!,el

Umaestimativaparaavelocidadecomqueoselétronssemovemnometalpodeserencontrada supondoquetodaaenergiacinéticadosistemaestánaformadeenergiatérmica,ouseja !_! !_!! ! = !!_!! ! ,ou ! ! = !!_!! !_! , 2.12 onde3!!!

2 éa energia médiapor partículaem umgásideal(Teorema daEquipartiçãoda Energia).

Paraummetalemtemperaturaambiente!~300!,teremos v_! = 1,2×10 ! !

!.Umaestimativa

para o tempo médio entre colisões!para o metal Cu é de cerca de 2,7×10!

!"_{!, valor obtido}

através da Equação 2.11 assumindo-se valores tabelados de densidade eletrônica!!" = 8,4×

10!!!"!! de resistividade elétrica em temperatura ambiente _!

! = ! !_! = 1,5×10! ! Ω_.!" .

Conhecendo-se as estimativas para!

!e!pode-se encontrar!da ordem de3,2!!pela Equação

2.3.Ovalorobtidoparaolivrecaminhomédioédaordemde9parâmetrosderede,considerando

!~0,361!".EsteresultadopoderiaserconsideradocomoumsucessodateoriadeDrude,pois

estariacoerentecomomodelomicroscópicoproposto.Noentanto,comoserávistomaisadiante,o modelodeDrudesubestimaavelocidadedoselétrons.

2.9

2.5-PropriedadesTérmicas

O modelo de Drude também possibilita calcular a contribuição dos elétrons para a descrição de propriedades térmicas como capacidade térmica, condutividade térmica e alguns efeitos termoelétricos.

2.5.1CapacidadeTérmica

Para calcular a capacidade caloríficade um gás de elétrons livres clássico devemostomaralguns conceitosdatermodinâmicaclássica,comoadefiniçãodecapacidadetérmica ! !dadapor ! ! = !" !", 2.23

que corresponde a quantidade de energia necessária para fazer com que o sistema aumente a temperaturaemumaunidadedetemperatura.!éaenergiadosistemacom_!átomos,fornecida

pelaequação ! = ! !! !_{!! 2.24} eacapacidadetérmicaparaogásdeelétronsseria ! ! = !" !" = ! !!!!. 2.25 Esteresultadoéindependentedatemperaturaenãodescreveobservaçõesexperimentaisdequea capacidade calorífica depende de forma não linear da temperatura e que tende a zero para temperaturaspróximasdozeroabsoluto.Aexpressãoqueseobtémexperimentalmenteé

! = !" + !!

!_{, 2.26}

onde!e !sãoconstantesdeproporcionalidadecaracterísticasdecadamaterial,otermolinearé

devidoacontribuiçãodoselétronseotermonaterceirapotênciadevidoaosfônons(vibraçõesde rede).

2.5.2-CondutividadeTérmica

OutraimportantegrandezatermodinâmicaquepodemosdeduzirapartirdomodelodeDrudeéa condutividadetérmicadogásdeelétrons.RecorrendoaleideFourierquedescreveofluxodecalor

 !_!(energia porsegundo por unidade de área) na presença de um gradiente de temperatura∇T,

temos

2.11

quadrado na Eq. 2.32) e não descrevendo a dependência com a temperatura da constante de Lorentz(parabaixastemperaturas). 2.5.4-EfeitoSeebeck Quandoumadeterminadaregiãodosistemaésubmetidaaumgradientedetemperaturasurgeum fluxodecargas.EsteefeitoéconhecidocomoefeitoSeebeck.Ocampoelétricoqueseestabelece, promoveumfluxodecargasnosentidocontrário,quenoregimeestacionárioéigualemmodulo, masdesentidocontrário,aofluxoestabelecidopelogradiente.Ocampoelétricopodesercalculado através da Equação2.9,! = ₋

!

!"!!, onde!!é a velocidade que os elétrons adquirem devido ao

gradiente,expressapor !! = ∆!! ! ! = !!_! !" !" !"∆! = !!_! !" !" !" !!!. 2.33 Inserindo!!naequaçãodocampoelétrico, ! = -! !" !!_! !" !!! !" !" = 1D → 3D = !! !! ! ! !!"! !" ∇T= − ! !! !!! !" ∇T= − !_! !!"∇T = S∇T, 2.34

ondeSé a eficiência termoelétrica ou também chamado de poder termoelétrico. Aplicando a

estratégiadeDrudedesubstituir!_!por3!!_!/2obtém-se₋43!"/!,queéumvalor2ordensde

magnitudesuperioraosencontradosexperimentalmenteparametais(mesmoerroqueaparecena determinaçãode!,sóquenestecasonãoécompensadopeloerronavelocidade).

O efeito Seebeck é empregado na medida de temperatura. Experimentalmente é utilizado um termopar que consiste de dois fios de materiais condutores dissimilares conectados em uma extremidade.Otermoparésubmetidoaumgradientedetemperatura,conformeilustradonaFigura 2.7, sendo medida a diferença de potencial que surge nas extremidades abertas. A voltagem Seebeckqueseestabeleceemummaterialsobgradientetérmico∆! = !_!−!_!édadapelaintegral

! = !"# !!

!_! , pois a Eq. 2.34 pode ser re-escrita na forma

!"

!" = !!" _!". Na Figura 2.7, a

diferença de potencial medida é divida a soma das voltagens Seebeck em cada material e proporcionaladiferençadetemperaturaentreointerioreoexteriordoforno.

No caso de termopares comerciais, o par cobre/constant (liga com 45 % Ni e 55 % Cu) é normalmente empregado para medida de temperaturas no intervalo entre -160°C e 400°C. Os valores tabelados para o poder termoelétrico destes materiais para 20oC é !_!" = 1

.9!"/!e

2.12

Figura 2.8. Ilustração do procedimento experimental para medida de temperatura empregando termopar. Constantes: Carga do elétron ! = 1,6×10! !"_! Constante de Boltzmann !_! = 1,38×10! !"  !/! Massa do elétron ! = 9,1×10! !" !"

Permeabilidade magnética do vácuo !! = 4!×10!

! !" !" Referências C.Kittel,IntroductiontoSolidStatePhysics,JohnWiley&Sons N.M.AshcroftandN.D.Mermin,SolidStatePhysics,Brooks/Cole J.Singleton,BandTheoryandElectronicpropertiesofSolids,OxfordUniversityPress