SOLUÇÃO COMENTADA ITA 2005/2006 MATEMÁTICA

(1)

6

3 G

MATEMÁTICA

1 Seja E um ponto externo a uma circunferência. Os segmentos EA e ED interceptam essa circunferência nos pontos B e A, e C e D, respectivamente. A corda AF da circunferência intercepta o segmento ED no ponto G. Se EB = 5, BA = 7, EC = 4, GD = 3 e AG = 6, então GF vale a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. Solução: Dados: EB S= , BA = 7, EC = 4, GD = 3, AG = 6 Denote GF = X e GC = Y

Da potência do ponto E temos: EB = E A = EC. ED

5 . 12 = 4 . ( 7 + Y ) Y = 8

Da potência do ponto G temos: GA . GF = GD . GC

6 . X = 3 . 8

x = 4 Alternativa D

2 Seja U um conjunto não vazio com n elementos, n≥ 1. Seja S um subconjunto de P(U) com a seguinte propriedade: Se A, B ∈S, então A ⊂ B ou B ⊂ A.

Então, o número máximo de elementos que S pode ter é a) 2n-1

b) n/2, se n for par, e (n + 1)/2 se n for ímpar c) n + 1

d) 2n_{– 1}

e) 2n-1_{+ 1.}

Solução:

Da propriedade dos elementos de S observa-se que S = { A1, A2,..., Ak } onde A1, ⊂A2 ⊂...⊂Ak ( condição de n ( Ai ) = i – 1, por exemplo Se x = {x1, ...., xn } podemos tomar A1 = φ A2 = { x1 } A3 = { x1, x2 } ... Ak = { x1,... x4 } Logo, k = n + 1 Alternativa C

3 Sejam A e B subconjunto finitos de um mesmo conjunto X, tais que n(B\A), n(A\B) e n(A ∩B) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão r > 0. Sabendo que n(B\A) = 4 e n(A ∪B) + r = 64, então, n(A\B) é igual a a) 12. b) 17. c) 20. d) 22. e) 24. Solução: n ( B \ A) = 4 = x – r r ( A \ B ) = x n ( A ∩B ) = x + r ( B) = n (A \ B) + n (B \ A) + n (A B) n A ∪ ∩ 64 – r = 3x Assim temos: 4 3 64 4 68 x r x r x − = ⎧ ⎨ + = ⎩ = x = 17 e r = 13 n ( A \ B ) = x = 17 Alternativa B

4 Seja f : → definida por f(x) = 77 sen[5(x + π /6) e seja B o conjunto dado por B = {x ∈ : f(x) = 0}. Se m é o maior elemento de B ∩ (-∞,0) e n é o menor elemento de B∩(0, +∞), então m + n é igual a a) 2π / 15 b) π /15 c) -π /30 d) -π 15. e) -2π /15 Solução:

(2)

{

0

}

( )i m máx= B∩ − ∞( , ) 1 1 m m + −

{

}

77 5 6 0 5 0 0 5 0 2 5 2 6 6 2 2 5 6 5 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; f IR IR f x sen x B x IR f x x IR Sen x x IR x k ou x k k k x IR x ou x k Z π π π _π π _π _π π π π π π = → ⎡ ⎤ = _⎢ + _⎥ ⎣ ⎦ = ∈ = ⎧ _⎡ _⎤ ⎫ ⎪ ⎪ =⎨ ∈ _⎢ + _⎥= ⎬ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ =⎨ ∈ + = + + = + ⎬ ⎩ ⎭ ⎧ + ⎫ =⎨ ∈ = − = − ∈ ⎬ ⎩ ⎭

Obs: Ambas as expressões para x crescem com k.

Valor máximo negativo: x0 = - 6 π _. 2 2 1 0 5 6; 5 6 12 k k k k Em x =π+ π π− x < ⇔ π π π+ < ⇔ < −k 1 6 : II

valor máximo negativo x₋ = − π

6 6 6 max , II . m= ⎧⎨−π − π⎫⎬=−π ⎩ ⎭

{

0

}

( )ii n=min B∩( ,+ ∞) 1 2 7 5 6; : 30 k k

Em x = π −π valor mínimo positivo x = π

0 2 5 6 30 7 2 30 30 30 15 ; : min , k k

Em x valor mínimo positivo x

x m n Alternativa E π π π π π π π π + = − = − ⎧ ⎫ = ⎨ ⎬= + = ⎩ ⎭

5 Considere a equação (ax_{– a}-x_{) / (a}x_{+ a}-x_{) = m, na variável}

real x, com 0 < a ≠ 1. O conjunto de todos os valores de m para os quais esta equação admite solução real é

a) (-1, 0) ∪ (0,1) b) (-∞, -1) ∪(1, +∞) c) (-1, 1) d) (0, ∞). e) (-∞, +∞) Solução: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x x x x x x a a _m a a a a m a a x a a m a a m m m a m m tem solução real

m − − − − − ₌ + − = + − = + − = + + = − + ⇔ > − -1 - - - + + + + + ( 1 + m ) 1 + + + + + - - - ( 1 – m ) - + - - 1 + 1 1 0 1 1 1 m m m + > ⇔ − < < − Alternativa C

6 Considere uma prova com 10 questões de múltipla escolha, cada questão com 5 alternativas. Sabendo que cada questão admite uma única alternativa correta, então o número de formas possíveis para que um candidato acerte somente 7 das 10 questões é

a) 44_{. 30} b) 43_{. 60} c) 53_{. 60} d) 7 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠. 4 3 e) 10 7 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Solução: ( i ) Escolher 7 questões 10 120 7 ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

( i i ) Marcar as outras 3 questões aleatoriamente ( erradas )

2 2 5 0 5 6; 5 6 12 k k k k Em x = π π− x < ⇔ π π< ⇔ <k

(3)

3

4

Resposta : Pelo princípio multiplicativo temos 10 3

4 7 . ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ possibilidades Alternativa A pois 3 3 4 120 4. = 30 4 4. . =30 4. .

7 Considere as seguintes afirmações sobre a expressão S = 101 8 0log (4 2) k k= ∑ :

I. S é a soma dos termos de uma progressão geométrica finita.

II. S é a soma dos termos de uma progressão aritmétrica finita de razão 2/3.

III. S = 3451

IV. S ≤3434 log+ 8 2

Então, pode-se afirmar que é (são) verdadeira(s) apenas a) I e III. c) II e IV e) III. b) II e III. d) II. Solução: I.Falsa II.Verdadeira Pois 1 1 8 8 8 8 4 2 2 4 2 4 2 4 3 4 2 ( ) ( ) log log . k k k k Log Log + + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − = = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

III. Verdadeira Pois

(

)

102 101 0 101 8 0 101 8 0 101 8 0 51 8 51 101 51 8 203 51 8 203 17 8 4 2 4 2 2 4 2 4 2 4 2 8 203 17 3451 . . . log ( ) log log . log . log . log log . k k k k k k k k S π π = = = = = ⎛ ⎞ = _⎜ _⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = _⎜ _⎟ ⎝ ⎠ ⎛ _∑ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = = = = =

∑

IV. Falsa Alternativa B 8 Se para todo z ∈ , f z( ) =z e f z( )−f(1) = −z 1, então, para todo z ∈ , f f z(1) ( )+f f z(1) ( ) é igual a a) 1 b) 2z c) 2 Rez d) 2Imz e) 2z 2 Solução:

(

)

(

)

1 2 1 1 1 1 1 1 1 ( ) . ( ) ( ) ( ). | ( ) ( ) | | | ( ) ( ) ( ) ( ) | | Seja s z f f z f f z f z f z f z f f z f z + = − = − ⇔ − − = − Portanto temos: Alternativa C

9 O conjunto solução de (tg2_{x – 1) (1 – cotg}2_{x) = 4,x}≠ kπ /2,

k ∈ , é a) {π/3 + kπ /4, k ∈ } b) {π/4 + kπ /4, k ∈ } c) {π /6 + kπ /4, k ∈ } d) {π /8 + kπ /4, k ∈ } e) {π/12 + kπ /4, k ∈ } Solução:

(

)(

)

(

) (

)

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 4 2 1 1 4 4 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 8 4 cot , ; . cot . ; . . , . k tg x g x x K tg x g x

Sen x Cos x Sen x Cos x Cos x Sen x Como Sen x Cos x

Sen x Sen x ou Sen x

k Logo o conjunto é dado por K

π π π − − = ≠ ∈ − − = ⇒ − = ⇒ = + = − ⇒ = ⇒ = = ⎧ ₊ _∈ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ Alternativa D 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | | | | | ( )( ) . . Re f z f z f z f f f z f f z z S z z z S z z z z S z z z z S z z S z − − + = − − + = − − + = − − − + = − − + = + =

(4)

x+ y+ 3z= 2 x+ 2y+ 5z= 1 2x+ 2y+ az= b ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

10 Se α ∈ [0, 2π ) é o argumento de um número complexo z≠ 0 e n é um número natural tal que (z/z )n_{= isen(n}α ),

então, é verdade que a) 2nα é múltiplo de 2π b) 2nα- πé múltiplo de 2π

c) nα - π /4 é múltiplo de π /2 d) 2nα - π é múltiplo não nulo de 2 e) nα - 2π é múltiplo deπ . Solução:

11 A condição para que as constante reais a e b tornem incompatível o sistema linear

é a) a – b ≠ 2. d) a/b = 3/2. b) a + b = 10 e) a . b = 24 c) 4a - 6b = 0. Solução: a, b ∈ . 3 2 2 5 1 2 2 . x y z x y z x y az b + + = ⎧ ⎪ + + = ⎨ ⎪ ₊ ₊ ₌ ⎩

Forma Matricial do Sistema

1 1 3 2 1 2 5 1 2 2 . x y a z b ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟₌ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 3 1 2 5 2 2 . Seja A a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

Se det. A≠ então o sistema é possível e determinado, isto 0

é única solução.

Se det A = 0 o sistema pode ser possível e indeterminado ( infinitas soluções ) ou o sistema é impossível ( não possui solução).

Mas

det A = 2a + 10 + 6 – 12 – a – 10 = a – 6. Para A = 6 O Sistema pode ser SPI ou SI. Substituindo o valor a = 6 no sistema obtemos:

1 1 3 2 1 2 5 1 2 2 6 . x y z b ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟₌ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Escalonando o sistema, obtemos

1 1 3 2 1 1 3 2 1 1 3 2 1 2 5 1 0 1 2 1 0 1 2 1 2 2 6 2 2 6 0 0 0 4 ~ ~ . b b b ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ₋ ⎟ ⎜ ₋ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ₋ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Então, para a = 6 e b ≠ 4, o sistema é SI. Logo a – b ≠2. Alternativa A 12 Se det a b c p q r x y z ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

= -1, então o valor do det

-2a -2b -2c 2p+x 2q+y 2r+z 3x 3y 3z ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ é igual a a) 0. b) 4. c) 8. d) 12. e) 16 Solução: det a b c p q r 1 x y z ⎡ ⎤ ⎢ _{⎥ = −} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ calcular det 2a 2b 2c 2p x 2q y 2r z 3x 3y 3z − − − ⎡ ⎤ ⎢ ₊ ₊ ₊ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1ª Solução

Usando o Método de Sarrus, obtemos que 2 2 0 2 0 1 2 2 4 [ , ) ( cos ) ( ) . ( ) ( ) ( ) , i i in ix n x i x z z x i sen z i sen n z Sen n Sen n Sen n n K k Z n k π π α α π ρ α ρ α ρ _α ρ α α π α π α π π ∈ ≠ = + = ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⇔ _⎜ _⎟ = ⎝ ⎠ ⇔ = ⎧ ⎪ = ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ ⎪ ≡ + ∈ ⎩ ⇒ − =

(5)

( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 a b x a b y a b x a b y − − + = ⎧ ⎨ + + − = ⎩

[

]

2a 2b 2c

2p x 2q y 2r z 12 cpx bzp ayr aqz brx pcy

3x 3y 3z − − − ⎡ ⎤ ⎢ ₊ ₊ _{+ =}⎥ ₊ ₊ ₋ ₋ ₋ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ det a b c 12 det p q r 12 . ( 1) 12 x y z ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = − _⎢ _⎥= − − = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Letra D

13 Seja p um polinômio com coeficientes reais, de grau 7, que admite 1 – i como raiz de multiplicidade 2. Sabe-se que a soma e o produto de todas as raízes de p são, respectivamente, 10 e -40. Sendo afirmado que três raízes de p são reais e distintas e formam uma progressão aritmética, então, tais raízes são

a) 3/2 - 193/6,3, 3/2 + 193/6 b) 2 - 4 13, 2, 2 + 4 13 c) -4, 2, 8 d) -2, 3, 8 e) -1, 2, 5 Solução: 2 2 p(x) [x (1 i)] [x (1 i)] . q(x)= − − − +

Pois os coeficientes de p(x) são reais então se (1– i) é raiz dupla então (1 + i) é também raiz dupla.

2 2

p(x) [x= − +2x 2] −q(x)

4 3 2

p(x) [x= −4x +8x − +8x 4] q(x)

Onde _{q(x) ax}₌ 3₊_.bx2_{+ +}_{cx d}

Soma das raízes

b b

4 10 6

a a

−

+ = ⇒ = −

Produto das raízes

d d

4 . 40 10

a a

− _{= − ⇒} ₌

Às três raízes reais e distintas de P são de fato as raízes de q

3 2

q(x) ax= −6ax + +cx 10a

Raízes (γ − γ γ +r, , r) reais em P.A. Soma 3γ = ⇒ γ =6 2 é raiz de q

q(2) 8a 24a 2c 10a 0= − + + =

2c 6a= c 3a=

Como 2 é raiz de q, vamos fazer q(x)

(x 2)− por Briot-Rufimi 2 1 -6 3 10 1 -4 -5 0 2 q(x) a(x 2) (x= − −4x 5)− a(x 2) (x 1) (x 5) a(x ( 1)) (x 2) (x 5) = − + − = − − − − Raízes em PA (-1, 2, 5) Alternativa E

14 Sobre o polinômio p(x) = x5_{– 5x}3_{+ 4x}2_{– 3x – 2 podemos}

afirmar que

a) x = 2 não é raiz de p.

b) p só admite raízes reais, sendo uma delas inteira, duas racionais e duas irracionais.

c) p admite uma única raiz real, sendo ela uma raiz inteira d) p só admite raízes reais, sendo duas delas inteiras. e) p admite somente 3 raízes reais, sendo uma delas inteira

e duas irracionais Solução: 5 3 2 p(x) x= −5x +4x − −3x 2 p(x)∈ [x] p(2) 32 40 16 6 2 48 48 0 p(2) 0 x 2 é raíz de p(x) = − + − − = − = = ⇒ = Assim _{p(x) (x 2) (x}_{= −} 4₊_2x3_{− +}_x2 _{2x 1)}₊

Seja _{h(x) x}_{= +}4 _2x3_{− + + , as possíveis raízes}_x2 _{2x 1}

racionais de _{h(x) x}_{= +}4 _2x3_{− + +}_x2 _{2x 1}_{, são +1 e -1, mas}

h(1) 0 e h( 1) 0≠ − ≠

Logo _{p(x) (x 2) (x}_{= −} 4₊_2x3_{− + + admite apenas}_x2 _{2x 1)}

uma única raiz real, sendo ela uma raiz inteira. Resposta C

15 Seja o sistema linear nas incógnitas x e y, com a e b reais, dado por

Considere as seguintes afirmações:

I. O sistema é possível e indeterminado se a = b = 0 II. O sistema é possível e determinado se a e b não são

simultaneamente nulos.

III. x2_{+ y}2_{= (a}2_{+ b}2₎-1_{, se a}2_{+ b}2 _{≠ 0}

Então, pode-se afirmar que é (são) verdadeira(s) apenas a) I b) II c) III d) I e II e) II e III Solução:

(6)

m n 1 m (n 1) m n a (n 1) n a a n(n 1) + = − ⇒ = − + − = − ⇒ − + = − = + C1 H1 a,b (a b)x (a b)y 1 (a b)x (a b)y 1 ∈ − − + = ⎧ ⎨ + + − = ⎩ Forma Matricial a b (a b) x 1 a b a b y 1 − − + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ⎜ ₊ ₋ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Seja A a b (a b) a b a b − − + ⎛ ⎞ = ⎜ ₊ ₋ ⎟ ⎝ ⎠ det 2 2 2 2 2 2 2 2 A (a b)= − + +(a b) = −a 2ab b+ + +a 2ab b+ =2a +2b det _{A 2(a}₌ 2₊_{b )}2 Analisando as afirmações:

I) O sistema é SPI se a = b = 0 se det A = 0 então o sisetema é SPI ou SI

Assim_2(a2₊_{b ) 0}2 _{= ⇒ + = ⇔ = =}_a2 _b2 ₀ _{a b 0}

substituindo no sistema, temos que.O sistema é S.I. Logo a afirmação I) é falsa.

II) O sistema é S.P.D se a e b não são simultaneamente nulos.

det _{A 2(a}₌ 2₊_{b )}2 _{para det A}_{≠ 0, basta apenas que a}

seja não nulo ou b seja não nulo, então a e b não precisa ser simultaneamente nulos. Logo a afirmação II) é verdadeira. III) _x2_{+ =}_y2 _(a2₊_{b ) , se a}2 −1 2_{+ ≠}_b2 ₀ Temos que _x D1 D = e _y D2 D = , onde _{D 2(a}₌ 2₊_{b )}2 1 2 1 (a b) D a b a b 2a 1 a b a b 1 D a b a b 2b a b 1 − + = = − + + = − − = = − − − = − + Assim x ₂a ₂ e y ₂ b ₂; a b a b − = = + + Logo 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 a b x y x y (a b ) (a b ) (a b ) − + = + ⇒ + = + + + Se _a2_{+ ≠}_b2 ₀

_{Afirmação Verdadeira}

Letra E

16 Considere o polinômio p(x) = x3_{– (a + 1)x + a, onde a ∈} _.

O conjunto de todos os valores de a, para os quais o polinômio p(x) só admite raízes inteiras, é

{

}

{

}

{

}

{

}

{ }

2 2 2 4 6 4 1 ) , ) , ) , ) ( ), ) a n n b n n c n n n d n n n e ∈ ∈ − ∈ + ∈ Solução:

Nosso propósito é encontrar a para que q(x) tenha raízes inteiras suponha que m, n são raízes inteiras de q(x), então

Reciprocamente, se a n(n 1), n= + ∈

Então as raízes de _{q(x) x}_{= + −}2 _{x n(n 1)}₊

São exatamente n e − +(n 1)

Alternativa D

17 Numa circunferência C1 raio r1 = 3 cm está inscrito um

hexágono regular H1; em H1 está inscrita uma circunferência

C2; em C2 está inscrito um hexágono regular H2 e, assim,

sucessivamente. Se An (em cm2) é a área do hexágono Hn,

então 1 n n A ∞ =

∑

(em cm2_{) é igual a} ) 54 2 ) 54 3 ) 36 (1 3) ) 27/ (2 3) ) 30 (2 3) a b c d e + − + Solução: r1 r2

• O lado do hexágono Hn é igual ao raio rn.

• A área Na é igual a 6 vezes a área de um triângulo eqüilátero de raio rn.

• Note que rn é a altura do triângulo eqüilátero de lado r

n-1, sendo assim, = rn-1 3 2

n

(7)

2 36 169 19 5k _{x k} _{2k 11 0} 144 6 − ⎛ ⎞ +_⎜ _⎟ + + − = ⎝ ⎠ 2 2 19 5k _{4 .}169k_(k _{2k 11)} ₀ 6 144 − ⎛ ⎞ ∆ =_⎜ _⎟ − + − > ⎝ ⎠ 2 2 2 361 190k 25k 169k 338k 1859 0 36 144k 528k 2220 55 5 0 k 36 9 2 − + − − + ∆ = > − − + ∆ = > ⇔ − < < 220 30 3 _k 12 12 − < < 5 m 12 p : 5 y X K 12 ⎧ _{= −} ⎪⎪ ⎨ ₋ ⎪ = + ⎪⎩ 2 2 5 5 x x k 4 x 2. x k 11 0 12 12 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + −_⎜ + _⎟ + + _⎜− + _⎟− = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 25 2 5x 2 5x x + X − k k+ +4x− +2k 11 0− = 19x 6 -5x = + k 12 y 2 2 2 2 2 y (18 y) (12) 2.9.12 y 324 36y y 144 216 36y 252 y 7 = − + − = − + + − = = 2 2 2 2 2 7 3 x 49 9 x 40 x 40 x 2 10 x = + − = = = = 1 2 1 2 F F 12 2a BF BF 18 = = + = 1 2 F F A 2 = 12.2 10 semelhança K entre o hexágono Hn e Hn-1 é 3

2 , logo

a razão entre Na e Nn-1 é 2 = 3 4

K

Então A₁, A , A ,...₂ ₃ foram uma P.G de razão 3

4. Logo 2 1 n 1 = 1 A 3 3 A = = 4. A = 4. 6. 54 3 3 4 1 - 4 n ∞ ⎛ ⎞ = ∑ ⎜_⎜ ⎟_⎟ ⎝ ⎠

18 Sejam a retas s: 12x – 5y + 7 = 0 e a circunferência C: x2₊

y2_{+ 4x + 2y = 11. A reta p, que é perpendicular a s e é}

secante a C, corta o eixo Oy num ponto cuja ordenada pertence ao seguinte intervalo

91 81 ) , 12 12 81 74 ) , 12 12 74 30 ) , 12 12 30 74 ) , 12 12 75 91 ) , 12 12 a b c d e ⎛₋ ₋ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛₋ ₋ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛₋ ₋ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Solução: 2 2 12x 7 S :12x 5y 7 0 y 5 5 c : x y 4x 2y 11 0 − + = = + + + + − = Alternativa C

19 Os focos de uma elipse são F1 (0, -6) e F2 (0, 6). Os pontos

A (0, 9) e B (x, 3), x > 0, estão na elipse. A área do triangulo com vértices em B, F1 e F2 é igual a

) 22 10 ) 18 10 ) 15 10 ) 12 10 ) 6 10 a b c d e Solução: -6 F₂ F₁ 6 1 3 9 X B X 18 - y 6 y = 7

(8)

120° A l l B F E _M D aB C 3 3 V h a 60° 0 aB M

20 Uma pirâmide regular tem por base um hexágono cuja diagonal menor mede 3 3 cm. As faces laterais desta pirâmide formam diedros de 60º com o plano da base. A área total da pirâmide, em cm2_{, é}

) 81 3 / 2 ) 81 2 / 2 ) 81/ 2 ) 27 3 ) 27 2 a b c d e Solução:

Lei dos cossenos no ∆ABF

( )

2 2 2 2 2 3 3 2 . . cos 120º 1 27 2 1 2 27 3 3 = + − ⇒ ⎛ ⎞ ⇒ = _⎜ + _⎟⇒ ⎝ ⎠ ⇒ = ⇒ = A área da base A_B= 6. 2 3 6.3 32 4 = 4

B 27 3 A 2 ⇒ =

VM ⇒ apótema da pirâmide (a) OM ⇒ apótema da base (aB)

aB 3 3 3 cos60º, aB a 2 2 3 3 1 2 _{a 3 3} a 2 = = = ⇒ ⇒ = ⇒ = A área lateral A =6 . ₂. a=6 .3 . 3 3₂ =27 3 A área total A_T 27 3 27 3 81 3 2 2 = + = Resposta A

21 Considere A um conjunto não vazio com um número finito de elementos. Dizemos que F=

{

A₁,...,A_m

}

⊂P A( ) é uma participação de A se as seguintes condições são satisfeitas: 1 2 . , 1,..., . , , , 1,..., . ... i i j m I A i m II A A se i j para i j m III A A A A ≠ ∅ = ∩ = ∅ ≠ = = ∪ ∪ ∪

Dizemos ainda que F é uma participação de ordem k se n ( Ai ) = k, i = 1,...,m.

Supondo que n (A) = 8, determine:

a) As ordens possíveis para uma participação de A b) O número de participações de A que têm ordem 2 Solução:

a) Se F é uma partição de ordem k,

1 m i A A = =

_∪

;

1 8 8 1 2 4 8 ; . | { , , , }. m i A A m k m k k K = ⇒ ≠ = ≠ = ⇒ = ⇒ ⇒ ∈

∑

De fato é possível exibir partições de cada uma destas ordens.

{

}

{

}

{

}

{

}

7 8 1 2 3 4 5 6 1 2 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 4 8 { , , , , , , , , } { } , { },...,{ } { , }, { , }, { , }, { , } { , , , }, { , , , } { , , , , , , , } A a a a a a a a a K F a a a K F a a a a a a a a K F a a a a a a a a K F a a a a a a a a = = = = = = = = =

b) Para determinar o número de partições de ordem 2 vamos escolher:

( i ) O primeiro membro da partição 8 28 2 ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

(9)

2 , 0 1/ 2 ( ) . 2 1, 1/ 2 1 x x definida por f x x x ≤ < ⎧ = ⎨ ₋ _{≤ <} ⎩ f(x +1/2), -1/2< x <0 1 (f x 1/2), 0 x 1/2 ⎧ ⎨ − + ≤ < ⎩ 28 15 6 1 14 15 210 4! x x x x = = ( i i ) O 2º membro da partição 6 15 2 ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( i i i ) O 3º membro da partição 4 6 2 ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( i v ) O 4º membro da partição 2 1 2 ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

A ordem dos membros da partição não importa logo o número de partições de ordem 2 é

22 Seja f : [ 0, 1) →

Seja g : ( - 1/2 , 1/2 ) → dada por g(x)=

com f definida acima. Justificando a resposta, determine se g é par, ímpar ou nem par nem ímpar.

Solução:

Para 1 x 0, temos 0 x 1, então :

2 2 − _{< <} _{< − <} 1 1 g(x) j x 2 x 2x 1 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = _⎜ + _⎟= _⎜− + _⎟= + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 g( x) 1 j x 1 2 x 1 2x 1 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − = − − +_⎜ _⎟= − − +_⎜ _⎟+ = + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 Logo g(x) g( x), para x 0 2 = − − < < 1 1 Para 0 x , Temos x 0 2 2 ≤ < − < − ≤ 1 1 g(x) 1 j x 1 2 x 1 2x 1 2 2 1 1 g( x) j x 2 x 2x 1 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − _⎜ + _⎟= − _⎜ + _⎟+ = − + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − = − +_⎜ _⎟= _⎜− + _⎟= − + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 Então, g(x) g( x), para o x 2 Logo g(x) é par = − ≤ <

23 Determine o coeficiente de x4_{no desenvolvimento de ( 1 + x}

+ x2₎9_. Solução: Sabemos que

(

2

)

2 9 2 9 0 9 0 9 1 1 9 B , , , , ! _{x ( )} ! ! ! ! ! ! ! x x x x x x x γ β γ β γ β γ α β γ α β γ α β γ α β γ + + + = ≥ + + = ≥ + + = =

∑

4 4 4 2 4 4 2 0 0 1 2 9 9 9 5 4 0 6 2 1 7 0 2 414

Como queremos o termo de x4, temos que

log , ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! o ou ou Assim o termo de x é x x β γ β β β γ γ γ + = = = = ⎧ ⎧ ⎧ ⎨ ₌ ⎨ ₌ ⎨ ₌ ⎩ ⎩ ⎩ ⎛ ⎞ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ =

24 Determine para quais valores de x ∈ (- π /2, π /2 ) vale a

desigualdade 2 2

cos cos

log _x(4sen x− −1) log _x(4 sec ) 2.− x >

Solução: 2 2 2 cos cosx 2 cos cosx ₂ cox 2 2 2

log (4 sen x - 1) - log (4 - sec x ) > 2 4 sen x - 1

log > log

4 - sec x

4 sen x - 1_{< cos pois o < cosx < 1} 4 - sec x x x x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ≠ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 4 sen x - 1 < cos x 1 4 - cos cos (4 sen x - 1) - < cos 4 cos 1 4 sen x - 1 cos . - 1 < 0 4 cos 1 4 (sen x - cos cos . < 0 4 cos 1

fazendo y = cos temos 4 y . (1 - 2y x x _x x x x x x x x − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2 )_{< 0} 4 y - 1 + + + + 0 + + + + + + y2

(10)

2 2 − 2 2 2 2 − 1 2 − 0 1₂ 2 2 ] - , [ \ o} 4 4 x ∈ π π ι 1 x - 2 sen ≤ 1 x 2 sen ≥ - - - + + + + + - - - 1 - 2 y2 + + + + - - - + + + + + 4 y2_{- 1} - + - - + -

Por outro lado, y = cosx > 0 0 < cos x < 1 2 ou 2_{< cos x < 1} 2 0 < cos x < 1 2 ou 2 < cos x < 1 2

Condição de existência dos logaritmos

2 1 1 ( ) sen x |senx| 4 2 i ≥ ⇒ ≥ x  ] , - [ [ , [ 2 6 6 2 π π π π − ∪ 2 ( ) sec 4ii x ≤ 2 2 1 ₄_cos1 _|cosx|1 4 2

cos ≤ ⇒ x ≥ ⇒ ≥ como cos x >

0 temos 1 cos x 2 ≥ 1 2 1 2 − 3 π 1 2 3 π − 2 π − 4 π 4 π − 2 4 ] - , - [ ] , [ 2 3 3 2 x ∈ π π ∪ π π 6 π − 1 2 − 1 2 6 π 3 π 3 π −

(11)

Domínio

{

] - , - ] [ , - [ } [ - , ] 2 6 6 2 3 3 [ - , - ] [ , - ] 3 6 6 3 π π π π π π π π π π ∪ ∩ = ∪ Resposta

{

] - , - [ ] , [ ] - , [ \ { 0 } 2 3 3 2 4 4 {[ - , - ] [ , - ]} 3 6 6 3 ] - , - ] [ , - ] 4 6 6 4 π π π π π π π π π π π π π π ∪ ∪ ∩ ∪ = ∪

25 Considere o polinômio P(x) = x3_{+ ax}2_{+ x + 1, com raízes}

reais. O coeficiente a é racional e a diferença entre duas de suas raízes também é racional. Nestas condições, analise se a seguinte afirmação é verdadeira:

“Se uma das raízes de p(x) é racional, então todas as suas raízes são racionais.”

Solução: 3 2 p(x) x= +ax + +x 1, a Q∈ Raízes { , ,α β γ } , , a b, b Q 2 b a α β γ = − α −β = ∈ ⇒ α + γ = − 1º caso α∈ Q Neste caso, b Q e b a 2x Q β = α − ∈ γ = − − ∈ 2º caso β∈ Q Neste caso, b Q e b a 2x Q α = + β ∈ γ = − − ∈ 4º caso γ ∈ Q Neste caso, b a _Q 2 − − γ α = ∈

e s = b -

α ∈ Q

26 As medidas, em metros, do raio da base, da altura e da geratriz de um cone circular reto formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão 2 metros. Calcule a área total deste cone em m2_.

Solução:

Raio de base ⇒ R Altura ⇒h Geratriz ⇒ g

R, h, g formam uma P.A. de razão 2 m, então h = R + 2 e g = R + 4 sabe-se que _R2_{+ = ⇒}_h2 _g2 2 2 2 2 2 2 2 R (R 2) (R 4) R R 4R 4 R 8R 16 R 4R 12 0 R 6 ou R 2 (não Pode) ⇒ + + = + ⇒ ⇒ + + + = + + − − = ⇒ = = − Logo h = 8 e g = 10 T A = πR (R g)+ = π. 6(6 10) 96+ = π Resposta: A área total é 96 _π _m2

27 Sejam as matrizes 1 0 1/ 2 1 1 3 1/ 2 1 2 5 2 3 1 2 2 3 1 1 2 1 1 1 1 1 5 1 3/ 2 0 5 1 1/ 2 5 A e B − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢₋ ₋ ⎥ ⎢ ₋ ₋ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = = ⎢ − ⎥ ⎢− ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Determine o elemento C34 da matriz C = ( A + B )-1.

Solução: 2 3 0 0 1 3 0 0 A B 0 0 3 2 0 0 2 5 ⎡ ⎤ ⎢₋ ⎥ ⎢ ⎥ + = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2 3 3 2 Sejam M e N 1 3 2 5 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ =_⎢ _⎥ =_⎢ _⎥ − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ detM 9= detN 11= 1 1 3 3 1 1 5 2 M . N 1 2 2 3 9 11 − ₌ ⎡ − ⎤ − ₌ ⎡ − ⎤ ⎢ ⎥ ⎢₋ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(12)

2 2

M 0

A B det(A B) detM . detN 99

0 N ⎡ ⎤ + =_⎢ _⎥⇒ + = = ⎣ ⎦ 1 1 2 1 2 M 0 (A B) ; de fato; 0 N − − − ⎡ ⎤ + _{= ⎢} _⎥ ⎣ ⎦ 1 2 2 2 2 4 1 2 2 2 2 M 0 M 0 I 0 I 0 N 0 N 0 I − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Logo, 3 3 9 9 1 2 9 9 1 5 2 11 11 3 2 11 11 0 0 0 0 (A B) 0 0 0 0 − − − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 34 2 Seu elemento temos : c

11 = −

28 Seja ( a1, a2, a3, ..., an,...) uma progressão geométrica infinita

de razão positiva r, em que a1 = a é um número real não

nulo. Sabendo que a soma de todos os termos de índices pares desta progressão geométrica é igual a 4 e que a soma de todos os termos de índices múltiplos de 3 é 16/13, determine o valor de a + r.

Solução:

Note que, os termos a2, a4, a6, ..., formam uma P.G. de razão

r2_{, e os termos a}₃_{, a}₆_{, a}₉_{, ..., formam uma P.G. de razão r}3_.

Então:

4

1 ...

₂ 6 4 2

=

−

⋅

=

+

r

a

(I) e

13

16

1 ...

₃ 2 9 6 3

=

−

⋅

=

+

r

a

(II)

Dividindo (II) por (I):

9

13

4 )

1 )(

1 (

)

1 )(

1 (

13

4

1

2 2 2 3 2

⇒

=

+

−

+

−

⇒

=

−

⋅

−

r

ar

r

ar

Substituindo em r (I):

3

32

4

3

1

3

1

2

=

⇒

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⋅

a

Logo,

11

3

1

3

32 =

+

=

+ r

a

.

29 Sabendo que 9Y2_{– 16x}2_{– 144y + 224x – 352 =}0_{é a}

equação de uma hipérbole, calcule sua distancia focal. Solução: 2 2 9y −16x −144y 224x 352 0+ − = Encontrar A equação Geral: (completando o Quadrado) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9y 144y 16x 224x 352 0 9y 144y 576 576 (16x 224x 784 784) 352 0 9(y 8) 576 16(x 7) 784 352 0 9(y 8) 16(x 7) 144 (y 8) (x 7) ₁ 16 9 − − + − = − + − − − + − − = − − − − + − = − − − = − ₋ − ₌ 2 2 a 16 b 9 = = Maior Menor Focal a Semi Eixo b Semi Eixo c Semi Dist c Dist.Focal = ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ = ⎩ ∂ ⇒

Para Hipérbole Temos:

2 2 2 2 2 c a b c 16 9 c 25 c 5 2c 10 = + = + = = → =

30 Considere um losango ABCD cujo perímetro mede 100cm e cuja maior diagonal mede 40cm. Calcule a área, em cm2_{, do}

círculo inscrito neste losango. Solução:

como o perímetro do losango é a 100 cm, temos que o lado vale 25 m Aplicando Pitágoras no

2 2 2

AOD: x = 25 - 2O x = 15 m

∆ ⇒ no ∆AOD também

temos a relação.

20 . x = 25 . R ⇒ 20 . 15 = R ⇒ 12 cm logo a área do cálculo inscrito vale 144πcm2

25 25

x