MODELO DE SOLOW: O MODELO BÁSICO. Profa. Maria Isabel Busato

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MODELO DE SOLOW: O MODELO

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SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO

Hipóteses do Modelo

 Economia fechada e sem governo;

 Economia produz um único bem que pode ser investido ou consumido

(PIB);

 Os fatores de produção são transformados através de uma função de

produção que contém um conceito de máximo possível através da transformação dos

Fatores de Produção;

 Mercados competitivos, estrutura de equilíbrio geral, com livre

mobilidade de fatores;

 Preços flexíveis (todos os preços, incluindo juros, salários etc), reagindo à

oferta e procura, logo determinados pela escassez relativa;

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SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO

A primeira questão que queremos colocar para discussão é:

É possível que uma economia desfrute de taxas de crescimento

positivas simplesmente economizando e investindo em seu estoque

de capital?

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SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO

A estrutura básica do Modelo de Solow:

O modelo de Solow foca 4 variáveis: Produto (Y), Capital (K), Emprego (L) e Tecnologia (A), inicialmente daremos ênfase em um modelo sem progresso técnico.

O modelo é construído em torno de duas equações:

1) Uma função de produção que descreve como os insumos (K,L) são combinados para gerar produto (Y)

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SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: FUNÇÃO DE

PRODUÇÃO

Função de Produção: 𝒀_𝒕 = 𝑭(𝑲_𝒕, 𝑳_𝒕)

Onde:

𝑌_𝑡 é o fluxo de produto produzido no tempo t;

𝐾_𝑡 representa o capital físico, tal com máquina, prédios, etc.;

𝐿_𝑡 representa o número de trabalhadores e as horas de trabalho;

 Assume-se um setor de produção no qual o produto é homogêneo e pode ser consumido

(C) ou Investido (I).

 O investimento é usado para criar novas unidades de bens de capital ou para repor a

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SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: FUNÇÃO DE

PRODUÇÃO

Propriedades da função de produção neoclássica:

1) RETORNOS CONSTANTES DE ESCALA 𝐹(λK, λL) = λ F(K,L) para qualquer λ > 0

É importante notar que a definição de escala inclui somente os dois insumos rivais.

2) Rendimentos marginais positivos, mas decrescentes:

𝜕𝐹 𝜕𝐾 > 0, 𝜕2𝐹 𝜕𝐾2 < 0 𝜕𝐹 𝜕𝐿 > 0, 𝜕2𝐿 𝜕𝐿 < 0

O uso adicional do fator variável adiciona positivamente o produto, mas essas adições decrescem com o aumento do uso do fator variável

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SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: FUNÇÃO DE

PRODUÇÃO

Propriedades da função de produção neoclássica: 3) Condições Inada (Inada, 1963)

lim 𝐾→0 𝜕𝐹 𝜕𝐾 = lim𝐿→0 𝜕𝐹 𝜕𝐿 = ∞ lim 𝐾→∞ 𝜕𝐹 𝜕𝐾 = lim𝐿→∞ 𝜕𝐹 𝜕𝐿 = 0

O produto marginal do capital (ou trabalho) se aproxima do infinito se o capital (ou

trabalho) se aproxima a zero, e se aproxima a zero, se o capital (ou trabalho) tende para o infinito.

4) Essencialidade

𝐹 0, 𝐿 = 𝐹 𝐾, 0 = 0

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SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: FUNÇÃO DE

PRODUÇÃO

Uma forma funcional específica que atenda a tais propriedades, para expressar a Primeira equação Fundamental do modelo, a Função Cobb-Douglas:

Eq 1 𝑌 = 𝐾𝛼𝐿1−𝛼

α é constante com valor 0 < α < 1.

O modelo de Solow quer então mostrar de que maneira o crescimento do estoque de capital, e o crescimento populacional (sem considerar por ora os avanços técnicos) interagem e como afetam a produção total de bens e serviços.

a) discutiremos a oferta total a partir de uma função e produção do tipo Cobb-Douglas. b) apresentaremos a demanda através de sua forma intensiva (variáveis por trabalhador) e dividiremos a produção por trabalhador (y) em consumo por trabalhador (c) e investimento por trabalhador (i)

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SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: FUNÇÃO DE

PRODUÇÃO

A função de Produção na forma intensiva (per capita)

𝑌 𝐿 = 𝐾𝛼𝐿1−𝛼 𝐿 =⇒ Eq (2) 𝑦 = 𝑘𝛼 Onde: 𝑦 = 𝑌 𝐿 𝑒 𝑘 = 𝐾 𝐿

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SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: EQUAÇÃO DE

ACUMULAÇÃO DE CAPITAL

A segunda equação fundamental: Acumulação de Capital Eq (3) 𝐾 = 𝑠𝑌 − 𝑑𝐾 reescrevendo

Eq (3.1) 𝐾

𝐾 = 𝑠 𝑌

𝐾 − 𝑑

𝐾 = 𝐾_𝑡 − 𝐾_𝑡−1 variação do estoque de capital por ‘período’, ou seja, 𝐾 = 𝑑𝐾_𝑑𝑡 s = Taxa de poupança => S/Y

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SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: EQUAÇÃO DE

ACUMULAÇÃO DE CAPITAL

Escrevendo a equação de acumulação de capital em sua forma intensiva (em

termos per capita)

Sabe-se que 𝑘 = 𝐾

𝐿 ; Vamos aplicar log e derivar essa equação em relação ao

tempo para encontrar taxas.

Log k = log K – log L => Derivando em relação ao tempo temos

Eq (3.2) 𝑘 𝑘 = 𝐾 𝐾 − 𝐿 𝐿 𝑟𝑒𝑒𝑠𝑐𝑟𝑒𝑣𝑒𝑛𝑑𝑜 Eq (3.3) 𝐾 𝐾 = 𝑘 𝑘 + 𝐿 𝐿, Igualando 3.3 e 3.1 temos Eq (3.3) 𝑘 𝑘 = 𝑠 𝑌 𝐾 − 𝑑 − 𝑛

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SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: EQUAÇÃO DE

ACUMULAÇÃO DE CAPITAL

(cont...)Equação capital forma intensiva (em termos per capita)

Eq (3.3) 𝑘 𝑘 = 𝑠 𝑌 𝐾 − 𝑑 − 𝑛, fazendo ( 𝑌 𝐿) ( 𝐾 𝐿) 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 Eq (3.4) 𝑘 = 𝑠𝑦 − 𝑑 + 𝑛 𝑘 No estado estacionário 𝑘=0 => 𝑠𝑦 = 𝑑 + 𝑛 𝑘

A equação 3.4 (de acumulação de capital per capita) permite afirmar que: A acumulação de capital per capita, 𝑘, tende a aumentar se aumenta ‘s’; e tende a diminuir se a depreciação ou o crescimento populacional

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SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: AS DUAS

EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS NA FORMA INTENSIVA

Eq (2) 𝑦 = 𝑘𝛼

Eq (3.4) 𝑘 = 𝑠𝑦 − 𝑑 + 𝑛 𝑘 em s.s 𝑠𝑦 = 𝑑 + 𝑛 𝑘

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SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: EFEITO MUDANÇA

NA TAXA DE POUPANÇA

As simulações a seguir foram produzidas imaginando uma economia inicialmente em s.s com as seguintes condições iniciais:

s old: 0,3 ; s new: 0,4 ; k inicial=9 ; d=0,1

À nova taxa de poupança o capital aumenta, mas não imediatamente para o novo nível de s.s (k*), de modo que ao nível de k inicial, o investimento

supera o necessário para manter k constante. Mais recursos são usados para i e delta k é positivo, logo k começa a crescer. 𝑘 cai gradativamente devido à hipótese de rendimentos decrescentes para o capital.

Logo, mudanças na taxa de poupança geram efeito-nível permanente nas variáveis per capta e efeito taxa apenas temporário.

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SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: EFEITO MUDANÇA NA

TAXA DE POUPANÇA

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 1 7 ₁₃ ₁₉ ₂₅ ₃₁ ₃₇ ₄₃ ₄₉ ₅₅ ₆₁ ₆₇ ₇₃ ₇₉ ₈₅ ₉₁ ₉₇ 103 109 115 121 127 133 139 145 151 s 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 1 16 31 46 61 76 91 106 121 136 151 ̇ 6 8 10 12 14 16 18 1 16 31 46 61 76 91 106 121 136 151 k 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 1 16 31 46 61 76 91 106 121 136 151 i 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 1 16 31 46 61 76 91 106 121 136 151 c 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 1 16 31 46 61 76 91 106 121 136 151 y

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SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: PROPRIEDADES DO S.S.

Em s.s 𝑠𝑦∗ = 𝑑 + 𝑛 𝑘∗ Os asteriscos indicam que as variáveis se encontram em s.s.

Logo, 𝑘∗ = 𝑠𝑦∗ 𝑛+𝑑, mas 𝑦 ∗ _{= 𝑘}∗𝛼 Então 𝑘∗ = 𝑠𝑘∗𝛼 𝑛+𝑑 => 𝑘 ∗1−𝛼 ₌ 𝑠 𝑛+𝑑 => 𝑘 ∗ ₌ 𝑠 𝑛+𝑑 1

1−𝛼 _{Substituindo na fção de produção}

𝑦∗ = 𝑘∗𝛼 Temos: 𝑦∗ = 𝑠 𝑛+𝑑 ∝ 1−𝛼 Assim, em s.s

Δs > 0 => Δy > 0 ou seja, maior taxa de poupança implica nível de produto per capta maior;

Δn ou Δf > 0 => Δy < 0, maiores taxas de cresc populacional ou de depreciação, implicam menor nível de produto per capta.

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SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: PROPRIEDADES

DO S.S.

Taxa de crescimento do produto agregado Y Sabe-se que 𝑦 = 𝑌

𝐿

Log y = log Y – log L (derivando em t) temos: 𝑑 log 𝑦

𝑑𝑡 = 𝑑 log 𝑌 𝑑𝑡 -𝑑 log 𝐿 𝑑𝑡 => 𝑦 𝑦 = 𝑌 𝑌 − 𝐿 𝐿 Como em s.s. 𝑦 𝑦=0, temos que 𝑌 𝑌 = 𝑛

Taxa de crescimento do estoque de capital agregado, K Sabe-se que 𝑦 = 𝐾

𝐿  log k = log K – log L (derivando em t) temos: 𝑘 𝑘 = 𝐾 𝐾 − 𝑛 Como em s.s. 𝑘 𝑘=0, temos que 𝐾 𝐾 = 𝑛

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SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: SÍNTESE DOS

RESULTADOS

Trajetória de Crescimento equilibrado Solow Básico – sem progresso técnico

Variável Taxa de crescimento

Y* n K* n C* = (1-s) Y* n I* = sY* n W* =



1*



Y* n * * *Y n y* 0 k* 0 c*=(1-s) y* 0 i*=sy* 0 w*=



1*



y* 0

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SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO

Conclusão:

A experiência mostra que crescimento e investimento possuem taxas positivamente relacionadas no LP e no modelo de Solow o efeito de um

aumento permanente da taxa de poupança (e no investimento) leva apenas a efeitos transitórios sobre as taxas de crescimento per capta no longo prazo. Além disso, a experiência mostra que as variáveis per capta têm crescimento positivo no LP, o que essa versão do modelo também não é capaz de

explicar.

Logo, o modelo básico de Solow não dá uma resposta satisfatória para tais fatos. As extensões do modelo buscam dar respostas mais aceitáveis para esses.

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SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO – ANÁLISE DA

DISTRIBUIÇÃO

Análise da Distribuição no modelo neoclássico:

Os fatores de produção são remunerados de acordo com suas produtividades

marginais (isso pode ser derivado das condições de maximização de lucro. Da max

lucro sabe-se que o valor do PmgL (p*PmgL)=W

𝑌 = 𝐾𝛼𝐿1−𝛼

(1)

𝑃𝑚𝑔𝐿 = 𝜕𝑌 𝜕𝐿 = 1 − 𝛼 𝐾 𝛼_𝐿−𝛼 _{⇒ 𝑃𝑚𝑔𝐿 = (1 − 𝛼)} 𝐾 𝐿 𝛼

(2)

𝑃𝑚𝑔𝐾 = 𝜕𝑌 𝜕𝐾 = 𝛼𝐾 𝛼−1_𝐿1−𝛼 _{⇒ 𝑃𝑚𝑔𝐾 = 𝛼} 𝐿 𝐾 1−𝛼

(3)

De 2 e 3 pode-se notar que um aumento na quantidade de Trabalho (capital), faz cair (aumentar) a produtividade marginal do trabalho e aumentar (cair) a produtividade marginal do capital.

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SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO – ANÁLISE DA

DISTRIBUIÇÃO

Reescrevendo os produtos marginais, para discutir distribuição:

𝑃𝑚𝑔𝐿 = 1 − 𝛼 𝑌

𝐿 (4) (Para provar basta substituir a função de produção em Y) 𝑃𝑚𝑔𝐾 = 𝛼 𝑌

𝐾 (5)

Podemos agora verificar que se os fatores são remunerados às suas respectivas produtividades

marginais, o parâmetro α de fato informa quando da renda se destina à m.d.o e quanto se destina ao capital.

F(K,L) = (PmgL x L) + (PmgK x K) ou, de modo equivalente: F(K,L) = wL + rK = Y

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SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO – ANÁLISE DA

DISTRIBUIÇÃO

Disso resulta que o montante total pago à mão de obra é simplesmente igual a (1- α ), vejamos: 𝑃𝑚𝑔𝐿 ∗ 𝐿 = 1 − 𝛼 𝑌

𝐿 ∗ 𝐿 ⇒ 1 − 𝛼 𝑌

Logo (1-α)Y é a participação dos salários na produção. 𝑃𝑚𝑔𝐾 ∗ 𝐾 = 𝛼 𝑌

𝐾 ∗ 𝐾 ⇒ 𝛼𝑌

Logo αY é a participação da remuneração do capital na produção

.

Esse resultado mostra que a Participação/distribuição da renda correspondente à

m.d.o e ao capital são uma constante. Bem como, a proporção entre a renda do capital

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SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO – ANÁLISE DA

DISTRIBUIÇÃO

Logo, graficamente podemos construir (equilíbrio mercado de trabalhos e de capital) (pegar gráficos nas planilhas de apoio)