Transforma¸c˜ oes Lineares e Matrizes
Prof. M´arcio Nascimento
Universidade Estadual Vale do Acara´u Centro de Ciˆencias Exatas e Tecnologia
Curso de Licenciatura em Matem´atica Disciplina: ´Algebra Linear - 2015.1
29 de julho de 2015
Sum´ ario
1 Matriz de uma Transforma¸c˜ao Linear
Sum´ ario
1 Matriz de uma Transforma¸c˜ao Linear
Vamos relembrar como definimos uma Transforma¸c˜ao Linear T :Rn−→Rm a partir da base canˆonica deRn.
1 Sejamv1,v2, ...,vn vetores emRm;
2 Ponha v1 =T(e1),v2 =T(e2), ...,vn=T(en);
3 Se v ∈Rn ent˜ao
T(v) =T(x1e1+x2e2+...+xnen) =x1v1+x2v2+...xnvn
4 Considerando a base canˆonica em Rm, podemos escrever:
v1=a11e1+a21e2+...+am1.em v2=a12e1+a22e2+...+am2.em
...
vn=a1ne1+a2ne2+...+amn.em
Fazendo a substitui¸c˜ao,
T(v) =x1(a11e1+a21e2+...+am1.em)+
+x2(a12e1+a22e2+...+am2.em)+
+...+xn(a1ne1+a2ne2+...+amn.em) organizando segundo a base em Rm, temos:
T(v) = (x1.a11+x2.a12+...+xn.a1n)e1+ +(x1.a21+x2.a22+...+xn.a2n).e2+ +...+ (x1.am1+x2.am2+...+xn.amn).em+
Ou seja,
T(v) = (x1.a11+x2.a12+...+xn.a1n,
x1.a21+x2.a22+...+xn.a2n, ...,x1.am1+x2.am2+...+xn.amn)
[T(v)]B0 =
x1.a11+x2.a12+...+xn.a1n
x1.a21+x2.a22+...+xn.a2n
...
x1.am1+x2.am2+...+xn.amn
[T(v)]B0 =
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n ... ... ... am1 am2 ... amn
.
x1
x2 ... xn
[T(v)]B0 = [T]BB0.[v]B
[T(v)]B0 = [T]BB0.[v]B
1 A matriz [T]BB0 ´e chamada matriz associada `a
transforma¸c˜ao linear T :Rn−→Rm relativamente `as bases B e B0 de Rn e Rm respectivamente.
2 Note que cada coluna de [T]BB0 ´e exatamente [T(ei)]B0.
Exemplo
SejaT :R3 −→R2 definida por
T(x,y,z) = (x−3y+ 5z,2x+ 4y−z). Encontremos a matriz associada a esta transforma¸c˜ao linear relativamente `as bases canˆonicas.
Base canˆonica deR3: {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}.
T(e1) = (1,2), T(e2) = (−3,4),T(e3) = (5,−1).
T(e1) = 1.e1+2.e2|T(e2) =−3.e1+4.e2|T(e3) = 5.e1−1.e2 Da´ı,
[T]BB0 =
| |
[T(e1)]B0 | [T(e2)]B0 | [T(e3)]B0
| |
=
1 −3 5
2 4 −1
Exemplo
SejaT :R3 −→R2 definida por
T(x,y,z) = (x−3y+ 5z,2x+ 4y−z). Encontremos a matriz associada a esta transforma¸c˜ao linear relativamente `as bases B={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)}e B0 ={(1,3),(1,4)}.
T(u1) = (3,5), T(u2) = (−2,6), T(u3) = (1,2) T(u1) = 7v1−4v2
T(u2) =−14v1+ 12v2 T(u3) = 2v1−1v2
Da´ı, [T]B =
| |
[T(e1)]B0 | [T(e2)]B0 | [T(e3)]B0
=
7 −14 2
Nota¸c˜ao
Se as bases envolvidas forem ambas canˆonicas, escreveremos apenas
[T]
para representar a matriz deT com rela¸c˜ao `as basesB eB0. Operador Linear Identidade
Quando se tratar do operador linearT :Rn−→Rn tal que T(v) =v, a matriz deT com rela¸c˜ao `as bases Be B0 deRn poder´a ser denotada por
[I]BB0
pois se trata apenas de uma mudan¸ca de base!
Exemplo
Dadas as basesB={−1,2x,x2} eB0 ={(2,0),(0,−1)}, encontre a matriz da transforma¸c˜ao linearT :P2−→R2 dada por
T(a0+a1x+a2x2) = (a0+a1,a2) [T]BB0 =
−12 1 0
0 0 −1
Exemplo
Dadas as basesB={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}e
B0 ={(2,0,0),(0,−1,0),(0,0,−3)}, encontre a transforma¸c˜ao linearT :R3 −→R3 cuja matriz [T]BB0 ´e
1 1 1
0 2 1
−1 2 0
T(x,y,z) =
x+y+z,−x+y−3z
2 ,9x−3y+ 3z 2
Teorema
SejamE eF espa¸cos vetoriais,B uma base deE,B0 uma base de F e T :E −→F linear. Ent˜ao, para todov ∈E, vale:
[T(v)]B0 = [T]BB0.[v]B
Prova Basta fazer o desenvolvimento do in´ıcio usando bases quaisquer em vez das bases canˆonicas.
Teorema
SejamE eF espa¸cos vetoriais,B uma base deE,B0 uma base de F e T :E −→F linear. Ent˜ao:
dimIm(T) =posto([T]BB0) dimN(T) =nulidade([T]BB0)
onde a nulidade ´e o n´umero de colunas menos o posto de uma matriz.
Exemplo
SejamT :R3 −→R2, definida por
T(x,y,z) = (x−3y+ 5z,2x+ 4y−z), e as bases B={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)}e B0 ={(1,3),(1,4)}.
Escalonando [T]BB0, encontramos:
7 −14 21
0 4 −4
Esta matriz tem posto 2. Logo,Im(T) tem dimens˜ao 2 e ´e um subespa¸co de R2 (cuja dimens˜ao tamb´em ´e 2).
Conclus˜ao: Im(T) =R2 e T ´e sobrejetiva.
A matriz acima tem nulidade 1. Portanto,N(T) tem dimens˜ao 1 e a transforma¸c˜ao N˜AO ´e injetiva.
