LISTA DE EXERCÍCIOS 6 EDO II - MAP 0316
PROF: PEDRO T. P. LOPES WWW.IME.USP.BR/∼PPLOPES/EDO2
Os exercícios a seguir foram selecionados dos livros dos autores Claus Doering-Artur Lopes e Jorge Sotomayor.
(S.X.Y) indica exercício Y do capítulo X do livro do Sotomayor. (D.L.X.Y) indica exercício Y do capítulo X do livro dos autores Claus Doering e Artur Lopes.
Assumiremos sempre que os campos de vetores são de classe C1 e e as soluções estão denidas para toda a reta real, ou seja, o intervalo máximo de todas as soluções éR.
Exercício 1 (D.L.6.1)
SejaV :W →Ruma função de Liapunov para o campof :E→Rnna singularidadex0∈E⊂Rn. Mostre que, para qualquerα∈R, a imagem inversaCα:=V−1]− ∞, α]∩E ⊂W ∪E é positivamente invariante pelo uxo do campo.
Exercício 2 (D.L.6.2)
Mostre que o fecho (emE) e o interior de um conjunto invariante pelo uxo de um campo de vetoresf :E ⊂ Rn→Rn são invariantes pelo uxo. Mostre que a intersecção de uma coleção qualquer de conjuntos invariantes é invariante.
Exercício 3 (D.L.6.3)
Mostre que os conjuntos estável e instável de uma singularidade de um campof : E → Rn (e, em particular, a bacia de atração de uma singularidade assintoticamente estável) são sempre conjuntos invariantes pelo uxo do campo.
Exercício 4 (D.L.6.5)
Sef : E →Rn é um campo gradiente, então cada ponto z ∈Lω(x) no conjuntoω-limite de qualquerx∈E é um ponto de equilíbrio def. (Sugestão: Prove por contraposição que pontos regulares def não podem ser pontos ω-limite, usando o método da prova do Teorema de Liapunov II, tal como demonstrado no livro do Lopes e Doering).
Exercício 5 (D.L.6.6)
Suponha que h : E → F é um difeomorsmo que conjuga os campos de vetores f : E → Rn eg : F → Rn. Mostre que
h(Lfω(x)) =Lgω(h(x)),
para qualquerx∈E. Exercício 6 (D.L.6.11)
Mostre que uma órbita periódica de um campo de vetores denido em todo o planoR2encontra qualquer seção local em no máximo um ponto.
Exercício 7 (D.L.5.13)
O Teorema do Ponto xo de Brouwer arma que qualquer aplicação contínua da bola fechada unitária Bm = {x∈Rm;|x| ≤1} nela mesmo tem um ponto xo. Prove este teorema no casom= 2para uma aplicaçãog:B2→ B2
(a) de classeC1, encontrando uma singularidade do campo de vetoresf(x) =g(x)−xe, em seguida, para uma aplicação
(b) contínua, usando o fato de que qualquer função contínua é o limite uniforme de funções de classeC1. Exercício 8 (D.L.6.14)
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Sejamf eg dois campos de vetores denidos em todo o planoR2 tais que hf(x), g(x)i= 0
para todox∈R2. Suponha quef possui uma órbita periódica γ. Mostre queg possui um ponto de equilíbrio.
Exercício 9 (D.L.6.16)
Mostre que as únicas órbitas compactas de um campo de vetores denido no plano todo são as singularidades e as órbitas periódicas.
Exercício 10 (D.L.6.17)
Sejamf :E→R2um campo de vetores ex∈E um ponto regular def. Mostre que sex∈Lω(x), entãoLω(x) é uma órbita periódica def.
Exercício 11 (D.L.6.25)
Mostre que o campo de vetores dado porf(x1, x2) = x21+x22,(1−x1) (1−x2)
não possui órbitas periódicas.
Exercício 12 (D.L.6.19)
Sejam f : E →R2 um campo de vetores e x∈E um ponto. Mostre que se Lα(x) =γ=Lω(x) é uma órbita periódica def, entãox∈γe a órbita def porxé periódica.
Exercício 13 (D.L.6.20)
Sejam f : E → R2 um campo de vetores e U um aberto não vazio tal que o fecho U ⊂ E de U é compacto e positivamente invariante pelo uxo de f. Mostre que se f tem exatamente uma singularidade em U e se esta singularidade é uma fonte, então existe uma órbita periódica def emU.
Exercício 14 (D.L.6.21)
Sejam f :E→R2 um campo de vetores eγ⊂E uma órbita periódica def. Mostre que se γé atratora, então a bacia de atração da órbita periódicaγ, dado por
Bf(γ) ={y∈E;Lω(y) =γ}
é um conjunto aberto que contémγ. Por isto costuma-se dizer queγ é um ciclo-limite atrator do campof. Use que seγ é um ciclo limite atrator de f, então existe uma vizinhança deγ tal queLω(y) =γ para todo y nesta vizinhança.
Exercício 15 (D.L.6.28)
Sejaf = (f1, f2)um campo denido no aberto simplesmente conexoE⊂R2tal que
∂f1
∂x1
+ ∂f2
∂x2
6= 0
em cada ponto deE. Mostre quef não tem órbitas periódicas emE. Exercício 16 (S.4.7)
Determine os pontos singulares do seguinte sistema x0=y
y0 =−bsen(x)−ay, a, b >0
Prove que o sistema não tem órbitas periódicas. Compare com o caso em quea= 0. Exercício 17 (D.L.6.29)
Prove a seguinte extensão do Teorema de Bendixson visto em sala de aula, devido a H. Dulac: Se um campo f :E → R2, denido e de classe C1 no aberto simplesmente conexoE deR2, e uma funçãoρ:E →R de classe C1são tais quediv(ρf)não troca de sinal emE, entãof não tem órbitas periódicas emE.(Sugestão: observe que ρf1dx2−ρf2dx1=ρ(f1dx2−f2dx1) = 0dtnuma órbita periódica def = (f1, f2)e use o Teorema de Green, como na prova do Teorema de Bendixson)
Exercício 18 (D.L.6.30)
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Mostre que o sistema
x01=x1(3−2x1−2x2) x02=x2(2−2x1−x2)
não tem soluções periódicas no primeiro quadrante do planox1x2. (Sugestão: use o exercício anterior comρ(x, y) = (xy)−1)
Exercício 19 (D.L.6.32)
Determine o conjuntoαeω-limite para o sistema
x01=−x2+x1 x21+x22 sen
√ π x21+x22
x02=x1+x2 x21+x22 sen
√ π x21+x22
.
(sugestão: analise o produto internox1x01+x2x02.) Exercício 20 (D.L.6.35)
Sejaf :E→R2 um campo planar com uma órbita periódicaγcujo interiorU está todo contido emE. Mostre que(a) o fechoU do interior de γé um compacto invariante pelo uxo def.
(b) para cadax∈U, seLα(x) =γentão γ∩Lω(x) =∅. (c) para cadax∈U, seLω(x) =γ entãoγ∩Lα(x) =∅. Exercício 21 (S.4.3)
Sejaf :E →R2 eS ⊂E não vazio. Dizemos que S é um conjunto minimal se for invariante, compacto e não contém subconjuntos próprios com estas propriedades. Prove que emR2 os únicos subconjuntos minimais def são os pontos singulares e as órbitas periódicas.
