 .a.u1428.214824.21)ABC(Área)106(1)26.(1)15.(4.2111215611421)ABC(Área  525)4()3()31())1(2()AB(PM,Cd3,1251,2)6(4)AB(PM

COLÉGIO PEDRO II – CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III TERCEIRA ETAPA LETIVA / 2012

PROVA DE MATEMÁTICA II – 3ª SÉRIE – MANHÃ COORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR

PROFESSOR: ___________________________ DATA: ____________

NOTA:

NOME: GABARITO Nº: ______ TURMA: _______

ESTA PROVA VALE 3,5 PONTOS.

NÃO SERÃO ACEITAS RESPOSTAS SEM AS DEVIDAS JUSTIFICATIVAS.

QUESTÃO 1 (Valor: 1,0)

Os vértices de um triângulo são A(4, 1), B(– 6, 5) e C(2, – 1). Calcule:

a) A medida da mediana relativa ao vértice C;

Solução. A mediana relativa ao vértice C é o comprimento do segmento de reta que liga o vértice C ao ponto médio de AB.

 

 

5 25 )

4 ( ) 3 (

) 3 1 ( )) 1 ( 2 ( ) AB ( PM , C d

3 , 2 1

5 ,1 2

) 6 ( ) 4

AB ( PM

2 2

2 2































 



   



.

b) A área do triângulo ABC;

Solução. Dispondo as coordenadas na fórmula da área, temos:

. a . u 14 28 2. 4 1 8 24 2. ) 1 ABC ( Área

) 10 6 ( 1 ) 2 6 .(

1 ) 1 5 .(

4 2. 1 1 1 2

1 5 6

1 1 4 2 ) 1 ABC ( Área































.

QUESTÃO 2 (Valor: 0,5)

Determine o valor de m, real, para que os pontos A (-1,3), B(2,5) e C(m,3) estejam alinhados.

Solução. Dispondo os pontos na forma matricial e estabelecendo a condição de alinhamento, temos:

1 m 2 m 2 0 2 m 2 0 m 5 6 m 3 6 2

0 ) m 5 6 .(

1 ) m 2 ( 3 ) 3 5 .(

1 0 1 3 m

1 5 2

1 3 1 ) alinhados (

ABC

























































 .

QUESTÃO 3 (Valor: 1,0)

1

Qual é a área da superfície de uma esfera, se seu raio mede 5

1 do raio de outra esfera cujo

volume é 4500 cm³?

Solução. Considerando E1 a esfera cuja área deve ser calculada e E2, a esfera com volume de 4500 cm³, temos:

   

 

     

   

     

₁ ^{2 2}

2 1

2 1 1

3 3 3

3 2 3

2

3 2 3

2 3

2

2

3 2 2

cm 36 9.

4 3.

4 E cm A 5 3 15 5 R R

R.

4 E A )ii

cm 15 5.3 5.

3 5.

3.3 R

) 1125 .(3 4 R

) 4500 R .(3

3 4500 R.

4 4500 E

V

3 R.

E 4 )i V













 



 



































 

 



 







 

.

QUESTÃO 4 (Valor: 1,0)

a) Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(1,3) e B(2, -7).

Solução 1. Utilizando a forma de determinantes, temos:

0 13 y x 10 : r

0 ) 6 7 .(

1 ) 2 1 ( y ) 7 3 .(

x 0 1 7 2

1 3 1

1 y x : r_AB



























 .

Solução 2. Utilizando o coeficiente angular, temos:

0 13 y x 10 ou 13 x 10 y

13 n n 10 3 n )1 .(

10 3 r A ) iii

n x 10 y n mx y :r )ii

1 10 7 3 2 1

)7 ( m 3 )i















 



 







































 

 





 

.

2

b) Verifique, através de cálculos, se o ponto C(1/2, 8) pertence à reta do item (a):

Solução. Se o ponto C pertencer à reta, suas coordenadas satisfazem à equação da reta.

r 2 8, C 1 8 8 13 5 8 2 13 .10 1 8, 8

2 C 1

13 x 10 y

 

 



 









 



 



 

 



 



 

 









.

O ponto C pertence à reta 10x + y – 13 = 0.

3