ESTABILIDADE E SÍNTESE DE CONTROLADORES PARA SISTEMAS LINEARES INCERTOS

(1)

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA - DEE PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

"JÚLIO DE MESQUITA FILHO"

FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA

ESTABILIDADE E SÍNTESE DE CONTROLADORES PARA SISTEMAS LINEARES INCERTOS

Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira da Universidade Estadual Paulista -UNESP, como parte dos requisitos necessários para obtenção do título de Mestre em Engenharia Elétrica.

Eden Jair Rampazzo Junior

Engenheiro Eletricista – UFU/ Uberlândia

Orientador: Prof. Dr. Edvaldo Assunção – FEIS/UNESP

Co-orientador: Prof. Dr. Marcelo Carvalho Minhoto Teixeira – FEIS/UNESP

Ilha Solteira, Abril de 2004.

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i

Aos meus pais e irmãos que sempre me apoiaram em todas as etapas da minha vida e à minha namorada Miriam: alegria de viver.

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ii

AGRADECIMENTOS

Presto-me os sinceros agradecimentos:

_ Ao programa de pós-graduação em Engenharia Elétrica da Universidade Estadual Paulista (UNESP) por proporcionar-me a realização e conclusão de mais um objetivo de minha vida;

_ À CAPES pelo apoio financeiro, indispensável para tranqüilidade financeira e a realização de um bom trabalho de pesquisa;

_ Aos professores que sempre me auxiliaram nos momentos de dúvidas;

_ Às pessoas que no decorrer dessa jornada tornaram-se amigas, companheiras e me apoiaram nas horas difíceis;

_ Ao Prof. Dr. Edvaldo Assunção sou especialmente grato, pela orientação que conduziu me à realização e conclusão deste trabalho, sempre com paciência, dedicação e amizade;

_ Ao Prof. Dr. Marcelo Carvalho Minhoto Teixeira, em sua imensa bondade, agradeço pelas importantes contribuições oferecidas como amigo e co- orientador e finalmente, agradeço todas as pessoas que direta ou indiretamente contribuíram para a realização deste trabalho.

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iii

“Um livro é um mudo que fala, um surdo que responde, um cego que guia, um morto que vive”.

(Padre Antônio Vieira)

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iv

RESUMO

Neste trabalho uma nova caracterização da estabilidade projetiva é desenvolvida, cuja metodologia é inédita e envolve um processo que torna a matriz simétrica X e o controlador K mais relaxados. A matriz X, positiva definida, é relaxada, utilizando o conceito de politopo convexo, não apenas em relação às incertezas da planta do sistema, mas também em relação ao politopo das condições iniciais. Já o controlador K, é um politopo convexo somente em relação ao politopo das condições iniciais.

A análise da estabilidade e a síntese de controladores para sistemas dinâmicos incertos são equacionadas utilizando-se desigualdades matriciais lineares, permitindo neste trabalho calcular o valor máximo da amplitude do sinal de saída e determinar a região de factibilidade em função das incertezas do sistema.

O número de regiões factíveis e os valores da amplitude dos sinais de saída calculados para o critério de estabilidade projetiva, proposto por Apkarian et al., (2001) relaxando a matriz X(α^{) para X(}α^,β) e o controlador K para K(β), pode chegar ao acréscimo de aproximadamente 23% na área factível e reduzir até 8% a amplitude do sinal de saída. Tais valores são calculados em relação ao critério de estabilidade quadrática, baseado na teoria de estabilidade de Lyapunov.

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v

ABSTRACT

In this work a new characterization of the projective stability is developed, whose methodology is original and it involves a process that allows the symmetric matrix X and the controller K to be more relaxed. The matrix X, positive defined, is relaxed using the concept of convex polytope, not only in relation to the uncertainties of the plant of the system, but also in relation to the polytope of the initial conditions. Already controller K, is only a convex polytope in relation to the initial condition.

The analysis of the stability and the design of controllers for uncertain dynamic systems are put in the form of equations using the linear matrix inequalities, allowing in this work to calculate the maximum value of the output sign and to determine the feasible area as function of the uncertainties of the system.

The number of feasible areas and the values of the output signal calculated for the stability projective criterion, proposed by Apkarian et al., (2001) relaxing the matrix X(α^{) for} X(α^,β) and the controller K for K(β), it can arrive to the increase of approximately 23% in the feasible area and to reduce until 8% the output signal. Such values are calculated in relation to the quadratic stability criterion, based on the theory of stability of Lyapunov.

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vi

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1: Politopo cúbico da condição inicial. ... 10

Figura 2.2: Politopo cúbico, Figura 2.1, circunscrito pelo elipsóide invariante, equação (2.26). ... 10

Figura 2.3: Flexibilização de matriz X com relação às incertezas dos politopos A(α) e x0(β)... 18

Figura 2.4: Comparações entre as áreas factíveis utilizando as restrições de estabilidade quadrática (Ai, X) e projetiva (Ai, Xi)... 26

Figura 2.5: Comparações entre as áreas factíveis utilizando as restrições de estabilidade quadrática (Ai, X), projetiva (Ai, Xi) e condição inicial. ... 27

Figura 2.6: Comparações entre as áreas factíveis utilizando as restrições de estabilidade quadrática (Ai, X), projetiva (Ai, Xij) e condição inicial... 27

Figura 2.7: Comparações entre as áreas factíveis utilizando as restrições de estabilidade quadrática (Ai, X), projetiva (Ai, Xi), condição inicial e otimização de ξ0... 28

Figura 2.8: Comparações entre as áreas factíveis utilizando as restrições de estabilidade quadrática (Ai, X), projetiva (Ai, Xij), condição inicial e otimização de ξ⁰. ... 28

Figura 4.1: C.E.Q ( A1 e x1(0) )... 57

Figura 4.2: C.E.P ( A1 e x1(0) ). ... 57

Figura 4.3: C.E.Q ( A1 e x2(0) )... 57

Figura 4.4: C.E.P ( A1 e x2(0) ). ... 57

Figura 4.5: C.E.Q ( A1 e x3(0) )... 57

Figura 4.6: C.E.P ( A1 e x3(0) ). ... 57

Figura 4.7: C.E.Q ( A1 e x4(0) )... 58

Figura 4.8: C.E.P ( A1 e x4(0) ). ... 58

Figura 4.9: C.E.Q ( A2 e x1(0) )... 58

Figura 4.10: C.E.P ( A2 e x1(0) )... 58

Figura 4.11: C.E.Q ( A2 e x2(0) ). ... 58

Figura 4.12: C.E.P ( A2 e x2(0) )... 58

Figura 4.13: C.E.Q ( A2 e x3(0) ). ... 59

Figura 4.14: C.E.P ( A2 e x3(0) )... 59

Figura 4.15: C.E.Q ( A2 e x4(0) ). ... 59

Figura 4.16: C.E.P ( A2 e x4(0) )... 59

(8)

vii

Figura 4.17: C.E.Q ( A3 e x1(0) ). ... 59

Figura 4.18: C.E.P ( A3 e x1(0) )... 59

Figura 4.19: C.E.Q ( A3 e x2(0) ). ... 60

Figura 4.20: C.E.P ( A3 e x2(0) )... 60

Figura 4.21: C.E.Q ( A3 e x3(0) ). ... 60

Figura 4.22: C.E.P ( A3 e x3(0) )... 60

Figura 4.23: C.E.Q ( A3 e x4(0) ). ... 60

Figura 4.24: C.E.P ( A3 e x4(0) )... 60

Figura 4.25: C.E.Q ( A4 e x1(0) ). ... 61

Figura 4.26: C.E.P ( A4 e x1(0) )... 61

Figura 4.27: C.E.Q ( A4 e x2(0) ). ... 61

Figura 4.28: C.E.P ( A4 e x2(0) )... 61

Figura 4.29: C.E.Q ( A4 e x3(0) ). ... 61

Figura 4.30: C.E.P ( A4 e x3(0) )... 61

Figura 4.31: C.E.Q ( A4 e x4(0) ). ... 62

Figura 4.32: C.E.P ( A4 e x4(0) )... 62

(9)

viii

LISTA DE TABELAS

Tabela 2.1: Valores máximos de ξ0 para o C.E.Q com as matrizes Ai e X. ... 29

Tabela 2.2: Valores máximos de ξ⁰ para o C.E.P com as matrizes Ai e Xi. ... 29

Tabela 2.3: Diferenças percentuais entre os valores de ξ0 dados na Tabela 2.2 (C.E.P com Ai e Xi) e na Tabela 2.1 (C.E.Q com Ai e X). ... 29

Tabela 2.4: Valores máximos de ξ⁰ para C.E.Q com as matrizes Ai e X. ... 29

Tabela 2.5: Valores máximos de ξ0 para o C.E.P com as matrizes Ai e Xij. ... 29

Tabela 2.6: Diferenças percentuais entre os valores de ξ⁰ dados na Tabela 2.5 (C.E.P com Ai e Xij) e na Tabela 2.4 (C.E.Q com Ai e X). ... 30

Tabela 2.7: Diferenças entre os valores percentuais dados na Tabela 2.3 e na Tabela 2.6... 30

Tabela 3.1: Valores ótimos de ξ0 para o C.E.Q usando as matrizes Ai, X e K... 39

Tabela 3.2: Valores ótimos de ξ⁰ para o C.E.P usando as matrizes Ai, Xi e K. ... 40

Tabela 3.3: Valores ótimos de ξ⁰ para o C.E.P usando as matrizes Ai, Xij e K... 40

Tabela 3.4: Diferenças percentuais entre os valores de ξ0 dados na Tabela 3.2 (C.E.P com Ai, Xi e K) e na Tabela 3.1 (C.E.Q com Ai, X e K). ... 41

Tabela 3.5: Diferenças percentuais entre os valores de ξ0 dados na Tabela 3.3 (C.E.P com Ai, Xij e K) e na Tabela 3.1 (C.E.Q com Ai, X e K). ... 41

Tabela 3.6: Valores projetados para o controlador K... 42

Tabela 4.1: Valores ótimos de ξ0 para o C.E.Q usando as matrizes Ai, X e Kj... 52

Tabela 4.2: Valores ótimos de ξ⁰ para o C.E.P usando as matrizes Ai, Xj e Kj... 52

Tabela 4.3: Valores ótimos de ξ⁰ para o C.E.P usando as matrizes Ai, Xij e Kj. ... 52

Tabela 4.4: Diferenças percentuais entre os valores de ξ0 dados na Tabela 4.2 (C.E.P com Ai, Xi e Kj) e na Tabela 4.1 (C.E.Q com Ai, X e Kj)... 53

Tabela 4.5: Diferenças percentuais entre os valores de ξ0 dados na Tabelas 4.3 (C.E.P com Ai, Xij e Kj) e na Tabela 4.1 (C.E.Q com Ai, X e Kj). ... 53

Tabela 4.6: Diferenças percentuais entre os valores de ξ0 dados na Tabela 4.1 (C.E.Q com Ai, X e Kj) e na Tabela 3.1 (C.E.Q com Ai, X e K). ... 54

Tabela 4.7: Diferenças percentuais entre os valores de ξ0 dados na Tabela 4.2 (C.E.P com Ai, Xi e Kj) e na Tabela 3.2 (C.E.P com Ai, Xi e K). ... 54

Tabela 4.8: Diferenças percentuais entre os valores de ξ⁰ dados na Tabela 4.3 (C.E.P com Ai, Xij e Kj) e na Tabela 3.3 (C.E.P com Ai, Xij e K). ... 55

(10)

ix

Tabela 4.9: Região de factibilidade referente à Tabela 3.1 ... 56 Tabela 4.10: Região de factibilidade referente à Tabela 4.3 ... 56

(11)

x

LISTA DE QUADROS

Quadro 2.1: Composição das restrições para análise de estabilidade utilizadas no C.E.Q e C.E.P. ... 23 Quadro 3.1: Composição das restrições e síntese do controlador K para a análise de

estabilidade e otimização de ξ⁰ no C.E.Q. ... 39 Quadro 3.2: Composição das restrições e síntese do controlador K para a análise de

estabilidade e otimização de ξ0 no C.E.P. ... 39 Quadro 4.1: Composição das restrições e síntese do controlador K(β) para a análise de

estabilidade e otimização de ξ0 no C.E.Q. ... 51 Quadro 4.2: Composição das restrições e síntese do controlador K(β) para a análise de

estabilidade e otimização de ξ⁰ no C.E.P. ... 52 Quadro 4.3: Classificação dos critérios segundo a flexibilização da matriz X e do

controlador K. ... 55

(12)

xi

NOTAÇÕES E ABREVIATURAS

e indicam desigualdades matriciais;

ℜ denota o conjunto dos números reais;

ℜn é o espaço euclidiano real;

n x

ℜn é o espaço real das matrizes reais;

n representa o número de estados do sistema;

η é o número de parâmetros incertos da matriz A, usado também para denotar o número de parâmetros incertos do vetor x(0);

M matriz genérica;

A matriz que representa a planta do sistema;

x(0) condições iniciais do vetor de estados;

r é o número de incertezas da matriz A;

s é o número de incertezas de x(0);

ξ0 maior amplitude possível para o nível do sinal de saída y(t); μ0 é o valor ao quadrado de ξ₀^;

λmax denota máximo autovalor;

Reλ_i parte real do i-éssimo autovalor;

A(α⁾ denota o politopo convexo da matriz A;

α parâmetro que indica politopo convexo em relação às incertezas da matriz A;

x0(β⁾ denota o politopo convexo da condição inicial x(0);

β parâmetro que indica politopo convexo em relação às incertezas do vetor x(0);

i índice do vértice do politopo A(α^);

j índice do vértice do politopo x0(β^);

αi constante escalar definida entre: 0≤αi ≤1^; βj constante escalar definida entre: 0≤βi ≤1^; σk constante escalar definida entre: 0≤σk ≤1^;

A T denota a matriz transposta de A;

−1

X denota a matriz inversa de X;

X denota a forma diagonal de Jordan da matriz X;

I é a matriz identidade de dimensões (n x n);

(13)

xii x(t) é o vetor de estados de dimensão (n x 1);

) (t

x^• representa da derivada temporal do vetor de estados x(t); A i denota o i-éssimo vértice do politopo das incertezas da matriz A;

X(α) denota o politopo convexo da matriz X;

X(α^,β) denota o politopo convexo da matriz X(α^);

Xi i-éssimo vértice do politopo X(α^);

Xij j-éssimo vértice do i-éssimo vértice do politopo X(α^,β^);

) 0

j(

x denota o j-éssimo vértice do politopo x0(β^);

K vetor através do qual se faz a realimentação de estados (controlador);

K(β) denota o politopo convexo do vetor K;

Kj j-éssimo vértice do politopo K(β^);

LMIs Desigualdades matriciais lineares (do inglês: Linear Matrix Inequalities);

C.E.Q Critério de Estabilidade Quadrática;

C.E.P Critério de Estabilidade Projetiva;

R.P.X denota a restrição de positividade da matriz X;

R.P.Xi denota a restrição de positividade da matriz Xi; R.P.Xij denota a restrição de positividade da matriz Xij; R.E denota a restrição de estabilidade;

R.C.I denota a restrição na condição inicial;

R.A.S denota a restrição na amplitude do sinal de saída.

(14)

xiii

SUMÁRIO

CAPÍTULO 1 1

INTRODUÇÃO 1

CAPÍTULO 2 3

CRITÉRIOS DE ESTABILIDADE PARA SISTEMAS AUTÔNOMOS 3

2.1 CRITÉRIO DE ESTABILIDADE QUADRÁTICA 3

2.1.1 Restrição de Estabilidade 3

2.1.2 Restrição na Condição Inicial 6

2.1.3 Restrição na Amplitude do Sinal de Saída 10

2.2 CRITÉRIO DE ESTABILIDADE PROJETIVA 12

2.3 COMPOSIÇÃO COMPLETA DOS CRITÉRIOS 21

2.3.1 Critério de Estabilidade Quadrática 22

2.3.2 Critério de Estabilidade Projetiva 22

2.4 RESULTADOS 23

2.4.1 Restrição de Estabilidade. 26

2.4.2 Restrição de Estabilidade e Condição Inicial. 26 2.4.3 Restrição de Estabilidade, Condição Inicial e Sinal de Saída. 27

CAPÍTULO 3 31

PROJETO: CONTROLADOR K; ÚNICO 31

(15)

xiv

3.4 RESULTADOS 39

CAPÍTULO 4 43

PROJETO: CONTROLADOR K(β); POLITÓPICO 43

4.1 CONTROLADOR K(β^{) 43}

4.2.1 Restrição de Estabilidade Quadrática 44

4.2.1.1 Cálculo do Controlador K(β^{) 45}

4.3.1 Restrição de Estabilidade Projetiva 45

4.3.1.1 Cálculo do controlador K(β^{) 47}

4.4 CÁLCULO DAS CONSTANTES βJ 47

(16)

xv

4.6 RESULTADOS 51

4.6.1 Resultados Obtidos com LMIs 51

4.6.2 Resultados Obtidos com Simulações no Tempo 55

CAPÍTULO 5 63

CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS 63

5.1 CONCLUSÕES 63

5.2 PERSPECTIVAS 64

REFERÊNCIAS 65

APÊNDICE A - ESTABILIDADE PROJETIVA A-1

APÊNDICE B - LEMA DA PROJEÇÃO B-1

APÊNDICE C - COMPLEMENTO DE SCHUR C-1

(17)

1

Capítulo 1

1 INTRODUÇÃO

O problema de estabilidade e controle de sistemas lineares, realimentados e incertos, é objeto de muita atenção atualmente. Numerosos critérios, baseados na teoria de estabilidade de Lyapunov (Ogata, 1997), têm sido desenvolvidos para caracterizar as incertezas, constantes ou variantes no tempo, tal que a estabilidade do sistema seja garantida se o critério for satisfeito. Porém, estes critérios são geralmente bastante conservativos, e alguns impõem suposições muito restritivas. Em Barmish (1983), o problema de estabilidade de sistemas lineares incertos é considerado de tal modo que os parâmetros incertos são dados por um vetor q(t), variante no tempo, onde a planta é A(q(t)). Barmish (1985), descreveu a condição necessária e suficiente para estabilidade de uma classe abrangente de incertezas.

Porém, a condição de estabilidade proposta ainda é muito difícil de ser verificada. Gu et al.

(1989), supõem, em sua análise de estabilidade, que as incertezas da planta A do sistema pertencem a um conjunto restrito e são dadas pela variação ΔA(t). Outros autores como Kokame et al. (1990), Gahinet et al. (1994b) e Trofino (1999) propõem, através da função de estabilidade quadrática de Lyapunov, uma análise politópica para as incertezas da planta do sistema cujas soluções são baseadas em desigualdades matriciais lineares (Linear Matrix Inequalities; LMIs), ferramenta que tem sido no momento, essencial para a análise e síntese de sistemas de controle especialmente na área de controle robusto. Jadbabaie et al. (1998) faz uma análise robusta da estabilidade quadrática e otimiza o índice de desempenho quadrático, onde a planta e o controlador são incertos.

O objetivo deste trabalho é aplicar, em sistemas lineares incertos, alguns conceitos desenvolvidos para a teoria de estabilidade quadrática de Lyapunov à teoria de estabilidade projetiva, proposta por Apkarian et al. (2001) para tempo contínuo e cuja estrutura foi

(18)

2

inicialmente desenvolvida por Oliveira et al. (1999) para tempo discreto. A estabilidade projetiva (Apêndice A), desenvolvida apartir do Lema da Projeção e da Projeção Recíproca, Apêndice B (Gahinet, 1994a citado por Apkarian et al., 2001), introduz graus de liberdade à LMI de estabilidade projetiva, tornando-a assim, mais relaxada em relação à LMI de estabilidade quadrática. Tal fato é devido à adição da incógnita W e a flexibilização da matriz X.

Inicialmente, no Capítulo 1, será feita uma análise de estabilidade para sistemas autônomos, lineares, invariantes no tempo e incertos, sujeitos a um conjunto de restrições, formuladas na forma de LMIs, e cujas incertezas são do tipo politópica. Os resultados são comparativos e envolvem o critério de estabilidade quadrática e o critério de estabilidade projetiva. Nesta análise são dois os parâmetros observados: a região de factibilidade e a amplitude do sinal de saída. A região factível é representada por áreas elementares, correspondentes às incertezas da planta. A novidade introduzida neste caso e nos casos tratados no Capítulo 3 e no Capítulo 4, é a flexibilização da matriz X, não somente em relação às incertezas da planta (Apkarian et al., 2001), X(α), mas também em relação às incertezas da condição inicial, X(α^,β^).

A síntese do controlador politópico K(β) e a relaxação da matriz X(α^{) para} X(α^,β), aplicadas ao critério de estabilidade projetiva, são as principais contribuições propostas por este trabalho e os bons resultados apresentados, são confirmados pelas simulações dadas pelas Figuras 4.1 a 4.32; de forma comparativa.

(19)

3

Capítulo 2

2 CRITÉRIOS DE ESTABILIDADE PARA SISTEMAS AUTÔNOMOS

Toda a análise apresentada neste capítulo tem por objetivo final comparar os resultados obtidos usando-se o critério de estabilidade quadrática e o critério de estabilidade projetiva, para o caso de sistemas autônomos. Os resultados apresentados aqui foram publicados em Rampazzo et al. (2003).

2.1 CRITÉRIO DE ESTABILIDADE QUADRÁTICA

2.1.1 Restrição de Estabilidade

Considere o sistema autônomo, linear, incerto e invariante no tempo dado por:

), ( ) ( )

(t A x t

x^• = α (2.1)

sendo x(t)∈ℜⁿ o vetor de n estados e A(α)∈ℜ^nxn a matriz que representa a dinâmica da planta do sistema incerta e do tipo politópica, dada pela combinação convexa em (2.2) (Boyd et al., 1994):

∑

₌

= ^r

i i iA A

1

. )

(α α (2.2)

O índice i varia entre os valores de 1 a r, sendo r dado pela relação r=2^η e η^{é o} número de parâmetros incertos da planta A. Como trata-se de uma combinação convexa, tem- se:

. 0 , 1

1

≥

∑

_i₌^r ^αⁱ = ^αⁱ ^(2.3)

(20)

4

A equação (2.3) representa a somatória das constantes α_i positivas ou nulas (Oliveira et al., 1999).

Dada a função candidata de Lyapunov (Ogata, 1997), V(x(t)) em (2.4), quadrática, positiva definida ( V (x(t)) >0 para ∀x(t)≠0 e V(0)=0 ) com sua derivada em relação ao tempo, dada em (2.5), negativa definida (V^•(x(t))<0 para ∀x(t)≠0 e V^•(0)=0), então, substituindo (2.1) em (2.5) e sendo A(α) incerta, como em (2.2), tem-se (2.6).

. 0 ) ( ) ( )) (

(xt = xt Px t >

V ^T (2.4)

. 0 ) ( ) ( ) ( ) ( )) (

( = ^• + ^• <

• xt x t P xt xt P xt

V ^T ^T (2.5)

. 0 ) ( )) ( )

( ( ) ( ) ), (

( = + <

• xt x t A P PA x t

V α ^T α ^T α ^(2.6)

Para a estabilidade assintótica de (2.1) é suficiente, no ponto de equilíbrio 0

) (t =

x , que exista uma P∈ℜ^nxn simétrica e positiva definida, (P0), que atenda a desigualdade escalar (2.6), ou seja, que satisfaça a desigualdade matricial linear (LMI):

, 0 ) ( )

(α ^P ^PAα

A ^T + (2.7)

onde os símbolos ‘^{’ e ‘}’ são símbolos de desigualdades matriciais indicando, matrizes negativas definidas (M 0) e positivas definidas (M 0).

O Lema 2.1 a seguir, objetiva através do principio da dualidade, padronizar a restrição de estabilidade quadrática em relação às outras restrições que serão discutidas nas próximas seções. Tal princípio possibilita mudar a matriz P por sua inversa X sem alterar, essencialmente, a negatividade da restrição de estabilidade quadrática.

Lema 2.1:

O sistema dinâmico (2.1), com incertezas politópicas descritas em (2.2), é quadraticamente estável (Barmish, 1985), se e somente se, as seguintes LMIs forem satisfeitas simultaneamente:

(21)

5

. 0 ) (

, 0 ) (

, 0 )

( ₁ ₁

T r r

T i i

T

XA X A

+ + +

Prova: Se X⁻¹=P, então, a desigualdade matricial (2.7) pode ser representada pela sua dual em X, (2.9), substituindo P por X⁻¹ e multiplicando ambos os lados de cada termo por X. A desigualdade (2.8) mostra este procedimento.

. 0 ) ( )

( X ¹X XX ¹A X

XAα ^T ⁻ + ⁻ α (2.8)

Simplificando (2.8) obtém-se (2.9) e assim pode-se afirmar que ^V^•(^x(^t),α)^{, em} (2.6), é negativa definida se a desigualdade (2.9) for satisfeita.

. 0 ) ( )

( A X

XAα ^T+ α (2.9)

Da desigualdade matricial (2.9) e relação (2.2) tem-se, por simples substituição, a expressão abaixo:

, 0 ) ...

( ) ...

( ₁ ₁ ₁ ₁ r r^T

T i i T

r r i

iA A X X A A A

A α α α α α

α + + + + + + + + +

e manipulando os termos, tem-se (2.10).

. 0 ) (

) (

)

( ₁ ₁

1 r r r^T

T i i

i

T AX XA A X XA

XA X

A + + +α + + +α +

α ^(2.10)

A condição suficiente para solução de desigualdade (2.10) é que exista uma matriz X positiva definida e simétrica,X 0, que satisfaça, simultaneamente, todas as desigualdades matriciais lineares (LMIs) em (2.11).

. 0 ) (

, 0 ) (

, 0 )

( ₁ ₁

T r r

T i i

T

XA X A

+ + +

(2.11)

(22)

6

Se as LMIs dadas em (2.11) forem factíveis, então, o sistema é assintoticamente estável. Neste caso, é necessário que as LMIs sejam factíveis em conjunto.

A condição necessária para solução de (2.10) é que nos vértices do politopo, nos quais A(α)= A_i^comαi =¹^eαk =⁰^para^k ≠ⁱ, a desigualdade (2.12) seja factível para i e k variando de 1 a r.

. 0

T i

iX XA

A + (2.12)

A LMI (2.12) representa a restrição de estabilidade quadrática baseada na função de Lyapunov V(x(t)).

2.1.2 Restrição na Condição Inicial

Assim como a restrição de estabilidade quadrática possibilita determinar regiões factíveis referentes às incertezas da planta, a restrição na condição inicial, associada à restrição de estabilidade, também possibilita determinar a factibilidade destas regiões, porém agora, sujeito às incertezas do vetor condição inicial. Portanto, a LMI que representa a restrição na condição inicial é desenvolvida pelo conceito de elipsóide invariante (Boyd et al., 1994).

Considere um politopo P=Co{v₁,v₂,,v_S}, descrito por seus vértices νj. O elipsóide ξ contém o politopo P se e somente se existe uma matriz Q que satisfaz: ⁻¹

. , , 1

;

1 1

s j

v Q

v^T_j ⁻ _j ≤ = (2.13)

A condição de menor e igual (≤) da desigualdade (2.13) será substituída pela condição de menor (<) da desigualdade (2.14) sem perda de generalidade, pois, é possível arbitrar um vetor genérico v, pertencente ao elipsóide ξ, de maneira que v^TQ⁻¹v esteja tão próximo da unidade quanto se queira. Isto garante aos vértices do politopo uma localização

(23)

7

interna e tão próxima do elipsóide quanto possível, porém nunca sobre sua superfície. Assim sendo, neste trabalho a desigualdade (2.13) será substituída por (2.14), resultando em (2.15).

.

1 1

− <

j T

jQ v

v (2.14)

. 0 1− ⁻¹ j >

T

jQ v

v (2.15)

Aplicando o complemento de Schur (Apêndice C) em (2.15), cuja idéia básica decorre de que inequações não-lineares podem ser representadas por desigualdades matriciais lineares, obtém-se a LMI (2.16) em Q.

. 1 0

⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ Q v

v

j T

j (2.16)

Seja X (X∈ℜ^nxn) uma matriz positiva definida, simétrica e x(0) (x(0)∈ℜⁿ) uma condição inicial pertencente ao elipsóide invariante similarmente a (2.15), tem-se:

. 0 ) 0 ( ) 0 (

1−x^T X⁻¹x > (2.17)

Aplicando o complemento de Schur em (2.17), tem-se (2.18).

. ) 0

0 (

) 0 (

1 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

X x

x ^T

(2.18) Suponha que o vetor condição inicial, ^x(0)=^x₀(β), seja dado pela combinação convexa do seus vérticesx_j(0):

∑

₌

= ^s

j j jx x

1

0(β) β (0), (2.19)

sendo que o índice j varia entre os valores de 1 a s, s dado pela relação s=2^η e η, neste caso, o número de parâmetros incertos do vetor condição inicial x(0), e as constantes β_j^são positivas ou nulas e 1

1

∑

_j₌^s ^β^j = ^.

Substituindo (2.19) em (2.18), tem-se:

(24)

8

. 0 )

0 (

) ) 0 ( (

1

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

∑

=

X x

x

s

j j j

T s

j j j

β

Como 1

1

∑

_j^s₌ ^β^j = , pode-se colocar a desigualdade acima na forma:

. 0 )

( ) 0 (

) ) 0 ( (

1 ) (

1 1

1

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

∑

=

X x

x

s

j j s

j j j

T s

j j j s

j j

β β

Colocando-se em evidência:

. 0 ) )

0 (

) 0 ( ( 1

1

⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

∑

_j₌^s ^β^j⎡_x_j ^x^j_X ^T ^(2.20)

Se para todos os vértices x_j(0) do politopo existir uma X, tal que a desigualdade matricial linear (2.21) seja verdadeira, a somatória (2.20) também será, pois os β_j são sempre positivos ou nulos.

. ) 0

0 (

) 0 (

1 ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

X x

x

j

T

j (2.21)

Portanto, (2.21) representa a restrição na condição inicial para todo j variando de 1 a s, de acordo com Boyd et al. (1994) e Tanaka et al. (1999).

Note que da LMI (2.21), por implicação direta do complemento de Schur, tem-se a relação (2.22), semelhante à relação (2.14).

. 1 ) 0 ( ) 0

( ⁻¹ j <

T

j X x

x (2.22)

Para visualizar como o conceito de elipsóide invariante é importante para o tratamento de incertezas politópicas na condição inicial de um sistema suponha, como exemplo, X⁻¹uma matriz positiva definida, simétrica satisfazendo (2.22);

(25)

9 ,

' ' '

' ' ' 1

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

=⎡

−

c f e

f b d

e d a

X (2.23)

equivalente à forma diagonal de Jordan

. 0 0

0 0

1

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

− =

c b a

X (2.24)

Sejam x_j(0), em (2.25), vértices genéricos do politopo x0(β^{) e}x1 j⁽⁰⁾, x_{2 j}(0) e )

0

3 j(

x suas coordenadas. Neste caso, as coordenadas citadas são consideradas como os estados do sistema indexados pelo índice j.

. )]

0 ( ) 0 ( ) 0 ( [ ) 0

( ₁_j ₂_j ₃_j ^T

j x x x

x = (2.25)

Substituindo (2.24) e (2.25) em (2.22) obtém-se:

. 1 ) 0 ( )

0 ( )

0

( ² ₂ ² ₃ ²

1j +bx j +cx j <

x

a (2.26)

Analisando apenas os vértices x_j(0), note que a relação (2.26) sugere a idéia de que quanto maior for a norma dos vetores x_j(0), maiores serão os elipsóides que os contém, para uma única X ⁻¹. Entretanto, X ⁻¹deverá ser calculado, pelo menos, no limite da igualdade da relação (2.22), substituindo X⁻¹por X ⁻¹, e para a maior norma dos vetores

) 0

j(

x entre todos os vértices. Assim sendo, qualquer outra X ⁻¹ gerará um elipsóide tão grande quanto as outras restrições associadas permitirem, como por exemplo: restrição de estabilidade, limite na amplitude do sinal de saída, taxa de decaimento, etc.

A Figura 2.2 mostra como o elipsóide definido por uma matriz X ⁻¹, calculada no limite da igualdade da relação (2.22) e por um vetor entre os vetores x_j(0), sendo sua norma a maior norma possível, circunscreve todos os outros vértices do politopo ^x₀(β)^{. O} fato é que as incertezas dentro do politopo, definida pelo domínio cúbico da Figura 2.2, são