UNIVERSIDADE FEDERAL DE S ˜

(1)

CENTRO DE CI ÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE P ÓS-GRADUAÇ ÃO EM MATEM ÁTICA

Equac¸˜oes de BBM-Burgers Generalizadas:

Resultados de Existˆencia e Convergˆencia de

Soluc¸˜oes

Claudete Matilde Webler

(2)

CENTRO DE CI ÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE P ÓS-GRADUAÇ ÃO EM MATEM ÁTICA

Equações de BBM-Burgers Generalizadas: Resultados de Existência e

Convergência de Soluções

Claudete Matilde Webler

Orientador: Prof. Dr. Cezar Issao Kondo

Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Matemática da UFSCar como parte dos requisitos para obtenção do t´ıtulo de Doutor em Matemática.

(3)

Ficha catalográfica elaborada pelo DePT da Biblioteca Comunitária/UFSCar

W376eb

Webler, Claudete Matilde.

Equações de BBM-Burgers generalizadas : resultados de existência e convergência de soluções / Claudete Matilde Webler. -- São Carlos : UFSCar, 2009.

109 f.

Tese (Doutorado) -- Universidade Federal de São Carlos, 2009.

1. Equações diferenciais parciais. 2. Equações de BBM-Burgers. 3. Existência de soluções suaves. 4. Convergência. 5. Soluções entrópicas. I. Título.

(4)

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Prol. Dr. cezãr Issãó Kondo

DM

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UFSCar

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Prof. Dr. José Ruidival Soãres dos Santos Fi

BM - UF9Car

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Prma. Dra. Claudia Buttarello Gentile

(5)

Orientador

(6)

(7)

Em primeiro lugar a Deus por caminhar comigo tornando a concretização deste sonho poss´ıvel. Meu profundo louvor e gratidão.

Ao Professor Dr. Cezar Issao Kondo pela orientac¸˜ao no mestrado e doutorado, pelos conselhos profissionais, exemplo e amizade.

Aos meus pais, Lothário e Ivone, por todo amor, carinho, orações e exemplos. Aos meus irmãos e cunhados: José, Dulce e Eloir, Lori e Dion´ısio, Eg´ıdio e Marisa, Cledir e Cheila. Obrigada por acreditarem em mim, obrigada pela força, obrigada pelo carinho, obrigada de coração! Às minhas sobrinhas: Franciele e Alecsandra, pelo carinho e amizade. Perdão meninas por todos os convites de festas (de aniversários, Crisma) recusados.

Ao Rodrigo, meu namorado, meu melhor amigo, que esteve ao meu lado me encorajando, incentivando e tornando bem mais alegres estes anos de estudo. Obrigada pelo carinho, pelo apoio, pela compreens˜ao. Obrigada por tudo!

Aos meus padrinhos de Batismo e Crisma: Jos´e Aldino e Margarida, Maria e Alc´ıdio, Lourdes e Rodolfo pelo carinho e amizade. Aos primos, tios e amigos pela amizade e torcida positiva.

Aos professores de colégio, por toda formação, pela amizade e por me incentivarem para eu dar continuidade aos estudos.

Aos professores dos departamentos de Matem´atica da UFSM e UFSCar pelos ensinamentos matem´aticos e pela amizade.

(8)

amigos ga´uchos, pelas conversas animadas relembrando hist´orias do RS e da UFSM. Vou sentir saudades!

`

A secret´aria Irma pela amizade.

Enfim, a todos aqueles que colaboraram de alguma forma para a realizac¸˜ao deste trabalho.

A CAPES pelo aux´ılio financeiro.

Muito obrigada!

(9)

Estudamos a existência de soluções globais para certas equações da forma

ut+f(u)x=γB(u)xx+δuxxt−αuxxxx,

ut+f(u)x=γB(ux)x+δuxxt−αuxxxx,

ut+f(u)x=δuxxt+ N

∑

n=1

(₋1)n+1γn∂x2nu

e no caso multidimensional

ut+ d

∑

j=1

fj(u)xj=δ

d

∑

j=1

uxjxjt+

d

∑

j=1

Ã

N

∑

n=1

(₋1)n+1γn∂x2jnu !

,

onde γ >0, δ >0,α >0, γ1>0,..., γN >0 são constantes positivas e f, B são funções suaves

(10)

Abstract

We study the global existence of solutions for certain equations of the form

ut+f(u)x=γB(u)xx+δuxxt−αuxxxx,

ut+f(u)x=γB(ux)x+δuxxt−αuxxxx,

∑

n=1

(₋1)n+1γn∂x2nu,

and the multidimensional case

ut+ d

∑

j=1

fj(u)xj =δ

d

∑

j=1

uxjxjt+

d

∑

j=1

Ã

N

∑

n=1

whereγ>0,δ >0,α >0,γ1>0,...,γN>0, are positive constants, f andBare a smooth functions

(11)

1 Preliminares 6

1.1 A Transformada de Fourier e Espac¸os Envolvendo Tempo . . . 6

1.2 Algumas Estimativas emWS,p₍_Rn₎ _{. . . .} ₈

1.3 Resultados de Compacidade . . . 10

1.4 Resultados de Compacidade: o Caso Multidimensional . . . 13

2 Resultados de Existência de Soluções do Problema (1) e (4) 17 3 Resultados de Existência e Convergência de Soluções de (2) e (4) 40 3.1 Resultados de Existência . . . 40

3.2 Resultados de Convergˆencia . . . 57

4 Estudo do Caso Geral 68 4.1 Resultados de Existˆencia . . . 68

4.2 Estimativas a Priori . . . 77

4.3 Resultados de Convergˆencia . . . 81

5 Resultados de Existˆencia e Convergˆencia do Caso Multidimensional 85

(12)

(13)

Neste trabalho estudamos a existência global de soluções para equações da forma

ut+f(u)x=γB(u)xx+δuxxt−αuxxxx, (x,t)∈R×R+, (1) ut+ f(u)x=γB(ux)x+δuxxt−αuxxxx, (x,t)∈R×R+ (2)

e na forma mais geral

∑

n=1

(₋1)n+1γn∂x2nu, (x,t)∈R×R+, (3)

com dado inicial

u(x,0) =u0(x), x∈R. (4)

Também estudamos a existência global de soluções para o caso multidimensional

ut+ d

∑

j=1

fj(u)xj =δ

d

∑

j=1

uxjxjt+

d

∑

j=1

Ã

N

∑

n=1

, (x,t)_∈Rd

×R₊_, ₍₅₎

com dado inicial

u(x,0) =u0(x), x∈Rd. (6)

Consideramos as funções reais f eB suficientemente suaves satisfazendo certas hipóteses apro-priadas que serão dadas nos próximos cap´ıtulos. As constantes δ, γ,α, γ₁,..., γN são positivas e

N_∈N_.

(14)

refina-mento das equações de KdV [2], [20] e [1]. O estudo das equações (1), (2), (3) e (5) é motivado por considerações f´ısicas da mecânica dos fluidos. Nas equações (1)-(3) os termos de viscosidade

γB(u)xx, γB(ux)x,γ1uxx e o termo dissipativoαuxxxx (ouγ2uxxxx) representam experiˆencias f´ısicas

([2],[5]) e como estudado em [5] e [22], a convergência das sequências de soluções_{u(x,t;γ,δ,α)} quandoγ _→0, δ _→0 e α _→0 corresponde a algum processo f´ısico como, por exemplo, o desa-parecimento da viscosidade.

Quando nas equações (1) ou (2) temos α =0, B(λ) =λ e f(u) é convexa e satisfaz certas condições de crescimento no infinito, M. E. Schonbek em [22] discutiu a convergência forte para a sequência de soluções_{u(x,t;δ,γ)}quandoδ _→0 eγ _→0. No caso da equação (3), H. Zhao e B. Xuan, em [27], estudam o casoN=2 seδ =O(γ

(4+2p) (2−p)

1 )eγ2=O(γ

(6+3p) (2−p)

1 )valem para 0≤p<2.O

casoN=1 foi estudado por M. E. Schonbek em [22]. Logo nossos resultados estendem resultados de [22] e [27].

Existem investigações de convergência para a lei de conservação da forma

ut+f(u)x=εuxx+ N

∑

n=1

(₋1)nδn∂x2n+1u, (x,t)∈R×R+,

feitas por N. Fujino e M. Yamazaki em [8], onde eles obtem um resultado de convergência no caso N=3. Além disso, H. Zhao, C.-J Zhu e Z. Yu estudam a existência e convergência de soluções de

ut+f(u)x+δ ∂x2n+1u=εuxx

em [28] e

ut+f(u)x−δ ∂x4n+2u=εuxx

em [29], quandoε eδ são constantes positivas ené um inteiro positivo. Observamos que o estudo do problema envolvendo a equação (3) é diferente destes três casos pois nenhum deles tem o termo uxxt. A presença deste termo na equação muda tanto o método de mostrar a existência de soluções

bem como as estimativas que precisamos obter para garantir os resultados de convergˆencia.

(15)

No segundo cap´ıtulo estudamos o problema de Cauchy (1) e (4). Mostramos um resultado de existência global de soluções usando uma técnica inspirada num trabalho de D. Hoff e J. Smoller em [10] (ou veja [26]).

No terceiro cap´ıtulo estudamos primeiramente a existência de soluções do problema de Cauchy (2) e (4). Consideramos B(λ) =β(λ) +λ.Mostramos que para f e β suficientemente suaves e

|β′(ν)_{| ≤}M, para todo ν _∈R _{e algum} _M _>_0, _{existe uma soluc¸˜ao local em}_C₍₍_0,_T_]_;_Hk₍_R₎₎_∩

C1((0,T];Hk−1(R₎₎_, _para_k_∈Z_, _k_≥_{1 e}_T _>_{0 suficientemente pequeno. Se al´em das hip´oteses}

acima assumirmos que β(0) =0 e β é não-decrescente então obtemos uma solução global em C((0,∞);Hk(R₎₎_∩_C1₍₍_0,_∞₎_;_Hk₋1₍_R₎₎_, _para_k

∈Z_,_k_≥_{1. Obtemos resultados de convergˆencia}

para uma sequência de soluções de (2) e (4), quando B(λ) = ε_γβ(λ) +λ eβ satisfaz as hipóteses acima. Em alguns casos podemos considerarε=γ.Também assumimos f satisfazendo a condição de crescimento_|f′(λ)_{| ≤}C(1+_|λ_|p₎_{para algum} _p_∈_[_0,₂₎_ou_|_f′₍_λ₎_{| ≤}_C_para _p_>_{0 qualquer (o}

conte´udo deste cap´ıtulo est´a em [13]).

As equações (1) e (2) tem em comum o fato de terem um termo dissipativo não linear. A equação (3), estudada no quarto cap´ıtulo, não tem nenhum termo não linear além de f,mas tem derivadas pares de ordem 2N para N _≥1 inteiro qualquer. Mostramos a existência de solução local em C((0,T];Hk(R₎₎_{, para um} _T _>_{0 suficientemente pequeno, e obtemos mais}

regulari-dade dependendo deN.Mais precisamente, mostramos que a solução está emC((0,T];Hk(R₎₎_∩

C1((0,T];Hk−1(R₎₎_se_N_≤_{3 e est´a em}_C₍₍_0,_T_]_;_Hk+N−3₍_R₎₎_∩_C1₍₍_0,_T_]_;_Hk−1₍_R₎₎_se_N_>_3.

Es-tendemos a solução globalmente, ou seja, para todot>0.Tomamos uma sequência de soluções de (3) e (4) e mostramos resultados de convergência quando f satisfaz as mesmas condições de cresci-mento como no cap´ıtulo 3 (o conteúdo do cap´ıtulo quatro está em [14]). Para mostrar os resulta-dos de convergência (nos cap´ıtulos 3 e 4) consideramos sequências de soluções destas equações e seguindo um trabalho pioneiro de Schonbek [22] e um trabalho de LeFloch e Natalini [18] es-tabelecemos a convergência destas soluções regularizadas para soluções descont´ınuas da lei de conservação

ut+f(u)x=0.

No último cap´ıtulo estudamos a lei de conservação multidimensional (5) com dado inicial (6). Mostramos que se f = (f1, ...,fd) é suficientemente suave e u0 ∈H[

d

(16)

(5) e (6) possui soluc¸˜ao globalu_∈C([0,T];H[d2]+1(Rd))_. _{Da mesma forma como no caso}

unidi-mensional, estudado no quarto cap´ıtulo, obtemos mais regularidade dependendo deN.Em seguida, consideramos uma sequência_{uγ_}de soluções de (5) e (6) e mostramos, usando a teoria de soluções a valores de medida (veja [23]), que estas soluções convergem para a única solução entrópica do problema hiperbólico associado

ut+ d

∑

j=1

fj(u)xj=0 (x,t)∈R

d

×R₊ ₍₇₎

u(x,0) =u0(x) x∈Rd, (8)

quando _kf′_k∞≤C para alguma constante C>0, desde que lim

γ_→0u

γ

0=u0 ∈L 1₍_Rd₎

∩L2(Rd₎ _(o

(17)

1 Preliminares

O objetivo deste cap´ıtulo é facilitar a leitura e o entendimento dos próximos cap´ıtulos. Para isso apresentamos alguns conteúdos preliminares (definições, lemas, teoremas) que foram importantes para o desenvolvimento do trabalho.

1.1 A Transformada de Fourier e Espac¸os Envolvendo Tempo

Seguem abaixo algumas definic¸˜oes e propriedades da transformada de Fourier e sua inversa que podem ser encontrados em [7].

Definic¸˜ao 1.1 Se u_∈L1(Rn₎_{, definimos sua transformada de Fourier}

b

u(ξ):= 1 (2π)n2

Z

Rnexp{−ix.ξ}u(x)dx, ξ ∈

Rn

e sua transformada inversa por

ˇ

u(x):= 1 (2π)n2

Z

Rnexp{iξ.x}u(ξ)dξ, x∈

Rn_.

Teorema 1.1 (Igualdade de Parseval) Assuma u_∈L1(Rn₎_∩_L2₍_Rn₎_{. Ent˜ao}_u,_b _u_ˇ_∈_L2₍_Rn₎_e

(18)

Definic¸˜ao 1.2 Em vista da igualdade (1.1) podemos definir a transformada de Fourier de uma

função u_∈L2(Rn₎_{como segue. Escolha uma sequência}_{_u

k}∞_k₌₁⊂L1(Rn)∩L2(Rn)com

uk→u em L2(Rn).

De acordo com (1.1), _ku_bk−ubjkL2₍Rn₎ =ku\_k−u_jk_L2₍Rn₎=ku_k−u_jk_L2₍Rn₎ e assim {bu_k}∞_k₌₁ é uma sequência de Cauchy em L2(Rn₎_. _{Esta sequência consequentemente converge a um limite, que}

definimos sendo_bu:

b

uk→bu em L2(Rn).

A definição deu independe da escolha da sequência_b _{uk}∞k=1.Analogamente definimosu.ˇ

Um vetor da forma α = (α1, ...,αn), onde cada componente αi é um inteiro não negativo, é

chamado de multi-´ındice de ordem_|α_|=α1+...+αn.Dado um multi-´ındiceα, definimos

Dαu(x):= ∂|

α_|_u₍_x₎

∂xα1 1 ...∂x

αn

n

=∂xα1 1 ...∂x

αn

n u(x).

Sek é um inteiro não negativo então definimos

Dku(x):=_{Dαu(x);_|α_|=k_}, como sendo o conjunto das derivadas de ordemke

|Dku_|=

Ã

∑

|α_|=k

|Dαu_|2 !1

2

.

Teorema 1.2 (Propriedades da transformada de Fourier) Assuma que u,v_∈L2(Rn₎_._Ent˜ao

(i)RRnuvdx= R

Rnubvdb ξ;

(ii)Ddαu= (iξ)αu para cada multi-´ındiceb α tal que Dαu_∈L2(Rn₎_;

(iii) Se u,v_∈L1(Rn₎_∩_L2₍_Rn₎_ent˜ao₍_u_∗_v₎∧_{= (}₂_π₎n

2ubbv;

(19)

Teorema 1.3 (Caracterização de Hkpela transformada de Fourier) Seja k um inteiro não negativo.

i) A func¸˜ao u_∈L2(Rn₎_{pertence a H}k₍_Rn₎_{se, e somente se,}

(1+_|y_|k)u_b_∈L2(Rn₎_.

ii) Al´em disso, existe uma constante positiva C tal que

1

CkukHk(Rn)≤ k(1+|y|

k₎

b

u_k_L2₍_Rn₎≤Ckuk_Hk₍Rn₎

para cada u_∈Hk(Rn₎_.

SejaX um espaço de Banach real com norma_k.k_X. Definimos os seguintes espaços envolvendo um tempoT >0 (veja também em [7]).

Definição 1.3 Definimos C([0,T];X) como sendo o espaço das funções cont´ınuas u:[0,T]_→X

com

ku_k_C_([0_,_T_];_X₎:= max

0≤t≤Tku(t)kX <∞.

Definição 1.4 Definimos Lp(0,T;X)como sendo o espaço das funções mensuráveis u:[0,T]_→X

com

ku_k_Lp₍₀_,_T_;_X₎:= µZ T

0 k

u(t)_k_Xpdt ¶1

p <∞, para1_≤p<∞e

ku_k_L∞₍₀_,_T_;_X₎:= sup

0≤t≤T

ess_ku(t)_kX <∞.

1.2 Algumas Estimativas em

W

S,p

(

R

n

₎

Teorema 1.4 Suponha que G=G(w)´e suficientemente suave para w= (w1, ...,wN)tal que G(0) =

0.Para qualquer inteiro S_≥0,se a func¸˜ao vetorial w=w(x,t)satisfaz

w=w(x)_∈WS,p₍_Rn₎

(20)

e

kw_k_L∞₍_Rn₎≤M, (1.3)

sendo M uma constante positiva, então a função composta G(w)_∈WS,p₍_Rn₎_e

kG(w)_k_WS,p₍Rn₎≤C(M)kwk_WS,p₍Rn₎,

onde C(M) ´e uma constante positiva que depende de M. Al´em disso, quando p=2, para cada inteiro0_≤k_≤S temos

∑

|α_|=k

° ° ° °

∂k_G₍_w₎

∂xα ° ° ° °

L2₍Rn₎≤

C(M)

∑

|α_|=k

° ° ° °

∂k_w

∂xα ° ° ° °

L2₍Rn₎ .

Demonstração: Veja [19], página 22.

Teorema 1.5 Suponha que G=G(w) ´e suficientemente suave. Para quaisquer u,w_∈Hs(Rn₎_com

s_≥£n₂¤+1, se w satisfaz (1.3) ent˜ao temos

G(w)u_∈Hs(Rn₎

e

kG(w)u_k_Hs₍Rn₎≤C_skuk_Hs₍Rn₎(|G(0)|+kwk_Hs₍Rn₎)

sendo Csuma constante positiva que depende de M e de s.

Demonstração: Veja [19], página 31.

Corolário 1.1 Suponha que G=G(w)é suficientemente suave. Se as funções w=w(x)e w=w(x)

satisfazem (1.3) e w, w_∈Hs(Rn₎_{com s}_≥£n

2

¤

+1ent˜ao para

(21)

temos

kG(w)₋G(w)_kHs₍_Rn₎≤C_skw∗k_Hs₍_Rn₎(|G′(0)|+kwk_Hs₍_Rn₎+kwk_Hs₍_Rn₎)

sendo Csuma constante positiva que depende de M e de s.

Demonstração: Pela fórmula de Taylor temosG(w)₋G(w) =G′(θ)(w₋w) comθ _∈(w,w). Podemos escreverθ =tw+ (1₋t)w, t_∈(0,1)e assim _kθ_kHs₍Rn₎ ≤ kwk_Hs₍Rn₎+kwk_Hs₍Rn₎.Pelo Teorema1.5,

kG′(θ)(w₋w)_kHs₍Rn₎≤C_skw∗k_Hs₍Rn₎(|G′(0)|+kθk_Hs₍Rn₎).

1.3 Resultados de Compacidade

Em [25] Tartar provou o seguinte teorema:

Teorema 1.6 Suponhamos que K ´e limitado em Rn _e _Ω _{´e um conjunto aberto de}_Rm_{. Seja} _{_uγ_}

uma sequência de funções mensuráveis tal que uγ :Ω_→Rn_, _{com u}γ₍_x₎

∈K q.t.p x_∈Ω. Ent˜ao existe uma subsequˆencia _{uγk} _{e uma fam´ılia de medidas de probabilidade} {ν

x}x∈Ω em Rn com

Sptνx⊂K tal que se f ∈C(Rn)e

f(x) =<νx,f(λ)>, q.t.p

ent˜ao

f(uγk₎_⇀ _{f em L}∞₍_Ω₎ _{f raca} _∗_.

Schonbek [22] estendeu o resultado de Tartar (Teorema1.6) para sequˆencias emLp:

Teorema 1.7 Seja Ω um conjunto aberto de Rm_. _{Seja u}γ _:_Ω

→Rn_, _{uma sequência de funções}

(22)

fam´ılia de medidas de probabilidade_{νx}x∈ΩemRntal que se f ∈C(Rn)e satisfaz f(u) =o(|u|p),

quando_|u_{| →}∞,ent˜ao

f(uγk₎_⇀<_ν

x,f(λ)>=

Z

Rn f(λ)dνx(λ) no sentido das distribuic¸˜oes.

Em seguida, Schonbek estudou a compacidade de uma sequência de soluções aproximadas_{uγ_} de uma equação diferencial da forma

ut+f(u)x=0 (1.4)

onde f é não linear, suave e satisfaz certas condições de crescimento no infinito. De Schonbek [22] temos os seguintes resultados:

Teorema 1.8 SejaΩ_⊂R2_{um conjunto aberto e limitado. Seja f} _∈_C1_,_satisfazendo

f(u) =o(_|u_|p), quando _|u_{| →}∞,

para algum p>1. Seja {uγ} uma sequência de soluções aproximadas de (1.4), uniformemente limitada em Lp(Ω),que satisfaz a condição de entropia

∂ ∂tη(u

γ

) + ∂

∂xψ(u

γ

)_{∈ {}con junto compacto de H−1(Ω)_}

para todaη_∈C2,que tem suporte compacto e ´e convexa em algum intervalo limitado, n˜ao vazio e

ψ′(u) =η′(u)f′(u)então existe uma subsequência_{uγk_}_{tal que u}γk_⇀_{u, f}₍_uγk₎_⇀ _f₍_u₎_{no sentido} das distribuições e u é solução fraca de (1.4).

Corolário 1.2 SejamΩ, _{uγ_}e f como no Teorema1.8. Se para quaisquer funçõesη _∈C2 que

tem suporte compacto e são convexas em algum intervalo finito temos que _∂∂_tη(uγ) +_∂∂_xψ(uγ)_∈ {conjunto compacto de H−1(Ω)_}+_{conjunto limitado de M(Ω)_}, onde M(Ω)denota um espaço de medida e ψ′₍_u_{) =}_η′₍_u₎_f′₍_u₎_,_{então a conclusão do Teorema}_1.8 _{vale. Se, além disso, f}′′ _>₀

(23)

Em [18] podemos encontrar uma vers˜ao mais simples (caso em quem=2 en=1) do Teorema 1.7dada no seguinte lema:

Lema 1.1 Seja_{uj}uma sequˆencia uniformemente limitada em L∞(R+;Lq(R)).Ent˜ao existe uma

subsequência_{u′_j_}e uma aplicaçãoν :R_×R₊ _→_Prob₍R₎ _{com valores no espaço das medidas}

não negativas com massa unitária (medidas de probabilidade) tal que, para toda função g_∈C(R₎

satisfazendo

g(u) =o(_|u_|r), quando |u| →∞, (1.5) para algum r_∈[0,q),vale o seguinte limite de representac¸˜ao

lim

j′_→∞

Z Z

R_×R₊g(uj′(x,t))φ(x,t)dxdt=

Z Z

R_×R₊

Z

Rg(λ)dν(x,t)(λ)φ(x,t)dxdt (1.6)

para todaφ _∈C_c∞(R_×R₊₎_.

Definição 1.5 A aplicação a valores de medida ν₍_x,t) é uma medida de Young associada com a

sequˆencia_{uj}.

De Kruzkov [16], Lax [17], DiPerna [6] e Szepessy [23], definimos agora as soluções entrópicas e as soluções entrópicas a valores-de-medida (m.-v.) do problema de Cauchy

ut+f(u)x=0, (x,t)∈R×R+ (1.7)

u(x,0) =u0(x), x∈R. (1.8)

Definição 1.6 Dizemos que u é uma solução entrópica de (1.7) se u é solução fraca de (1.7)-(1.8)

e satisfaz a condic¸˜ao de entropia

η(u)t+ψ(u)x≤0,

no sentido das distribuições, para toda função convexaη(u)comψ′(u) =η′(u)f′(u).

Definição 1.7 Assuma que f satisfaz a condição de crescimento (1.5) e u0∈L1(R)∩Lq(R).Uma

(24)

em L∞(R₊_;_Lq₍_R₎₎_, _{é chamada uma solução entrópica m.-v. do problema (}_1.7_{) e (}_1.8_{) se}

∂t <ν(.),|λ−k|>+∂x<ν(.),sgn(λ−k)(f(λ)−f(k))>≤0 (1.9)

no sentido das distribuic¸˜oes para todo k_∈R _{e se para todo intervalo fechado e limitado I} _⊂R

temos que

lim

T→0+

1 T

Z T

0 Z

I

<ν₍_x_,_t₎,|λ−u0(x)|>dxdt =0. (1.10)

De LeFloch e Natalini [18] temos o seguinte resultado de convergˆencia:

Lema 1.2 Assuma que f satisfaz (1.5) e u0∈L1(R)∩Lq(R).Seja{uj}uma sequˆencia

uniforme-mente limitada em L∞(R₊_;_Lq₍_R₎₎_{para q}_≥_1,_{e seja}_ν _{uma medida de Young associada com esta}

sequência. Seν é uma solução entrópica m.-v. do problema (1.7) e (1.8), então lim

j→∞uj=u ∈ L ∞₍_R

+;Lrloc(R))

para todo r_∈[1,q),onde u_∈L∞(R₊_;_Lq₍_R₎₎_{é a única solução entrópica de (}_1.7_{) e (}_1.8_).

1.4 Resultados de Compacidade: o Caso Multidimensional

Para começar damos a generalização de medida de Young associada com uma sequência limi-tada emL∞como usada por Tartar [25] e DiPerna [6], e limitada emLp, como usada por DiPerna em [6] e por Szepessy em [23].

Lema 1.3 Seja_{uj}uma sequˆencia uniformemente limitada em L∞(R+;Lp(Rd)),isto ´e,

kuj(t)k_Lp₍Rd₎≤k, q.t.p. t∈R+. (1.11)

Então existe uma subsequência_{uj′}e uma aplicação mensurável ν :Rd×R+→Prob(R) com

(25)

que, para toda func¸˜ao g_∈C(R₎_satisfazendo

g(u) =o(1+_|u_|r) quando _|u_{| →}∞ (1.12)

para algum r_∈[0,p),vale o seguinte limite de representac¸˜ao

lim

j′→∞

Z Z

Rd_×_R

+

g(uj′(x,t))φ(x,t)dxdt =

Z Z

Rd_×_R

+

Z

Rg(λ)dν(x,t)(λ)φ(x,t)dxdt (1.13)

para todaφ _∈C_c∞(Rd_×_R

+).

Definição 1.8 A função a valores de medida ν₍_x_,_t₎ é uma medida de Young associada com a

sequˆencia_{uj}.

De DiPerna [6] e Szepessy [23] definimos as soluções entrópicas a valores de medida (m.-v.) do problema de Cauchy

ut+ d

∑

j=1

fj(u)xj =0 (x,t)∈R

d

×R₊_, _(1.14)

u(x,0) =u0(x) x∈Rd. (1.15)

como segue.

Definic¸˜ao 1.9 Seja f _∈[C(R_)]d _satisfazendo

f(λ) =o(1+_|λ_|r) para algum r, 0≤r<p, (1.16) lim sup

|λ|→0

|f(λ)₋f(0)_|

|λ_|α <∞ para algum α,

d₋1

d <α ≤1 (1.17) e

u0∈L1(Rd)∩Lp(Rd). (1.18)

Uma medida de Young ν associada a uma sequência satisfazendo (1.11) é então chamada de solução entrópica a valores de medida (m.-v.) de (1.14) e (1.15) se

(26)

no sentido das distribuic¸˜oes para todo k_∈R_{e para todo compacto K}_⊂Rd_,

lim

T→0+

1 T

Z T

0 Z

K

<ν₍_x_,_t₎,|λ−u0(x)|>dxdt =0. (1.20)

Analogamente, uma func¸˜ao u_∈L∞(R₊_,_L1₍_Rd₎₎_∩_L∞₍_R

+,Lp(Rd₎₎_{é chamada uma solução entrópica}

em Lpde (1.14) seδ_u₍_.₎ é uma solução entrópica m.-v. de (1.14) e (1.15).

Definição 1.10 Um par de funções suaves(η,ψ):R→R×Rd é chamado de par de entropia se

∇ψ =η′_∇_{f e a função}_η _{é afim fora de um conjunto compacto. Dizemos que ele é convexo se}_η _é

convexa.

Em [23], Szepessy provou os seguintes resultados de existência e unicidade de solução entrópica de (1.14) e (1.15):

Teorema 1.9 (Unicidade) Suponhamos queν eσ são soluções entrópicas m.-v. de (1.14) e (1.15)

então existe uma função

w_∈L∞(R₊_,_L1₍Rd₎₎

∩L∞(R₊_,_Lp₍_Rd₎₎ _(1.21)

tal que

νy=σy=δw(y) para q.t.p. y∈Rd×R+, (1.22) isto ´e,ν(.)eσ(.)s˜ao medidas de Dirac concentradas em w(.).

Lema 1.4 Suponhamos queν ´e uma medida de Young associada com uma sequˆencia_{uj}satisfazendo

(1.11). Ent˜ao

uj→u em Lrloc(Rd×R+), 1≤r<p (1.23)

se, e somente se,

νy=δu(y) q.t.p. (1.24)

Teorema 1.10 (Existência) Sejam f e u0satisfazendo as mesmas hipóteses como na Definição1.9.

Então existe uma única solução entrópica u_∈L∞(R₊_,_L1₍_Rd₎₎_∩_L∞₍_R

+,Lp(Rd))de (1.14) e (1.15) que, al´em disso, satisfaz

(27)

para q.t.p t_∈R₊ _e ₁_≤_r_≤_p. _{A aplicac¸˜ao a valores de medida}_ν₍

x,t)=δu(x,t) é a única solução

(28)

2 Resultados de Existência de Soluções do

Problema (

1 ) e (

4 )

Neste cap´ıtulo estudamos somente a existência de soluções do problema de Cauchy (1) e (4). Aqui γ, δ e α são constantes positivas e f, B(λ) =A(λ) +λ são funções suaves. Além disso, suponhamos que

A′(λ) =a(λ)_≥0, _∀λ _∈R_.

Denotamos porF(u)a transformada de Fourier parcial deucom relac¸˜ao axeF−1a transformada inversa deF. Assim, formalmente, de (1) e (4) segue que

F(ut−δuxxt−γuxx+αuxxxx) =F(γA(u)xx−f(u)x)

(1+δ ξ2)F(u)t+ (γξ2+αξ4)F(u) =F(γA(u)xx−f(u)x).

Assim

· exp

½

(γξ2₊_αξ4₎_t

(1+δ ξ2₎

¾ F(u)

¸

t

=

exp

n₍_γξ2₊_αξ4₎_t (1+δ ξ2₎

o

F(γA(u)xx− f(u)x)

(1+δ ξ2₎ ,

de onde segue que

F(u) =exp ½

−(γξ2₊_αξ4₎_t

(1+δ ξ2₎

¾

F(u0) + Z t

0

exp n

−(γξ2₊_αξ4₎₍_t₋_s₎ (1+δ ξ2₎

o

F(γA(u)xx−f(u)x)

(29)

Logo

u(x,t) =F−1 µ

exp ½

−(γξ2₊_αξ4₎_t

(1+δ ξ2₎

¾ F(u0)

¶

+

Z t

0

F−1  exp

n

−(γξ2₊_αξ4₎₍_t₋_s₎ (1+δ ξ2₎

o

F(γA(u)xx−f(u)x)

(1+δ ξ2₎

 ds.

Portanto a equação integral da solução é

u(x,t) =G(t)u0+ Z t

0

G(t₋s)F−1 µ

F(γA(u)xx−f(u)x)

(1+δ ξ2₎

¶

ds (2.1)

sendo

G(t)u=F−1 µ

exp ½

−(γξ2₊_αξ4₎_t

(1+δ ξ2₎

¾ F(u)

¶ .

A fam´ılia de operadores lineares _{G(t)_}t≥0 definida acima (cuja linearidade segue da linearidade

deF eF−1)satisfaz as propriedades de semi-grupo: i)G(0) =I poisG(0)u=F−1(F(u)) =u=I(u); ii) Parat_≥0,s_≥0 temos

G(t)G(s)u=G(t)F−1 µ

exp ½

−(γξ2₊_αξ4₎_s

(1+δ ξ2₎

¾ F(u)

¶

=F−1 µ

exp ½

−(γξ2₊_αξ4₎_t

(1+δ ξ2₎

¾ F

· F−1

µ exp

½

−(γξ2₊_αξ4₎_s

(1+δ ξ2₎

¾ F(u)

¶¸¶

=F−1 µ

exp ½

−(γξ2₊_αξ4₎₍_t₊_s₎

(1+δ ξ2₎

¾ F(u)

¶

=G(t+s)u.

O seguinte lema d´a algumas estimativas que ser˜ao usadas no decorrer do trabalho.

Lema 2.1 Paraγ >0,α >0,δ >0eθ >0temos as seguintes estimativas:

i) ξ

2

(1+δ ξ2₎2exp

½

−2(γξ2₊_αξ4₎_θ

(1+δ ξ2₎

¾

≤δ−2seδ _≤4; ii) ξ

2

(1+δ ξ2₎2exp

½

−2(γξ2₊_αξ4₎_θ

(1+δ ξ2₎

¾

≤(2γeθ)−1; iii) ξ

4

(1+δ ξ2₎2exp

½

−2(γξ2₊_αξ4₎_θ

(1+δ ξ2₎

¾

≤δ−2_;

iv)ξ2_exp

½

−2(γξ2₊_αξ4₎_θ

(1+δ ξ2₎

¾

≤ (α₂_γαθ+γδ); v) ξ

6

(1+δ ξ2₎2exp

½

−2(γξ2₊_αξ4₎_θ

(1+δ ξ2₎

¾

(30)

vi) ξ

4

(1+δ ξ2₎2exp

½

−2(γξ2₊_αξ4₎_θ

(1+δ ξ2₎

¾

≤(2αeθ)−1; vii)ξ4exp_{−2(γξ

2₊_αξ4₎_θ

(1+δ ξ2₎ } ≤

(α2₊_γαδ₊_γ2_δ2₎

2α2_γ2_θ2 .

Demonstrac¸˜ao: i) Para provar (i), observe que exp n

−2(γξ2₊_αξ4₎_θ (1+δ ξ2₎

o

≤1 e que δ2_ξ2_≤ ₍₁₊

δ ξ2₎2_, _∀_ξ _∈_R_{se, e somente se,}_δ2_ξ4_{+ (}₂_δ₋_δ2₎_ξ2₊₁_≥_0,_∀_ξ _∈_R_{. Fazendo}_y₌_ξ2 _obtemos

δ2_y2_{+ (}₂_δ

−δ2₎_y₊₁

≥0,_∀y_∈R₊_,_{se 0}_<_δ _≤_4.

ii) Para provar (ii), observe que ξ

2

(1+δ ξ2₎2≤

ξ2

(1+δ ξ2₎e exp

n

−2(γξ2₊_αξ4₎_θ (1+δ ξ2₎

o

≤expn₍₁₊−2γξ_{δ ξ}2θ2₎

o . Além disso, a função f(x) =xexp_{−2γθx_}definida em(0,+∞)atinge seu máximo emx= 1

2γθ.

Da´ı,_|x_|exp_{−2γθ_|x_{|} ≤}(2eγθ)−1_,_∀_x_∈_R_.

iii) Para ξ =0 temos ξ

4

(1+δ ξ2₎2 ≤δ−

2_{. Quando} _ξ

6

=0 ent˜ao ξ

4

(1+δ ξ2₎2 ≤

ξ4

δ2_ξ4 =δ− 2_,

lembrando novamente que expn−2(₍₁₊γξ2_{δ ξ}+αξ2₎4)θ

o

≤1.

iv) Temos paraξ ₆=0

ξ2exp ½

−2(γξ2₊_αξ4₎_θ

(1+δ ξ2₎

¾

≤ ξ

2

1+2(γξ₁₊2+_{δ ξ}αξ24)θ

≤ ξ

2₍₁₊_{δ ξ}2₎

2(γξ2₊_αξ4₎_θ

≤ (α₂_γαθ+γδ).

v) A prova de (v) ´e an´aloga a de (iv).

vi) A prova de (vi) ´e an´aloga a de (ii).

vii) A prova de (vii) ´e an´aloga a de (iv).

Definimos o operador

L_u₍_t_{) =}_G₍_t₎_u₀₊

Z t

0

G(t₋s)F−1 µ

F(γA(u)xx−f(u)x)

(1+δ ξ2₎

(31)

em

A_T ₌_{_u_∈_C_([_0,T_]_;_H1₍R₎₎_;_k_u₍_t₎₋_G₍_t₎_u₀_k

H1₍_R₎≤ ku₀k_H1₍_R₎,t∈[0,T]}

e a norma emA_T _como

ku(x,t)_kA_T = sup

0≤t≤Tk

u(t)_k_H1₍R₎.

Lema 2.2 Sejam f e A suficientemente suaves. Sejam u(t),u0∈H1(R)tais que

ku(t)₋G(t)u0kH1₍R₎≤ ku0kH1₍R₎,∀t ∈[0,T]. (2.2)

Se T >0´e suficientemente pequeno ent˜ao vale o seguinte: (i)L_u₍_t₎_∈_H1₍R₎_com

kL_u₍_t₎₋_G₍_t₎_u₀_k

H1₍R₎≤ ku0kH1₍R₎,∀t∈[0,T]

e

kL_u₍_t₎_k

H1₍R₎≤2ku0kH1₍R₎,∀t∈[0,T];

(ii)_kL_u₍_t₎_k_∞_≤₂√₂_k_u₀_k

H1₍_R₎;

(iii)A_T _{´e invariante por}L_;

iv)L _{é uma contração na norma}_k_._k_A

T emAT.

Demonstrac¸˜ao: (i) Sejama1 = sup |v|≤2√2ku0k_H1₍R)

|a(v)_|e E = sup

|v|≤2√2ku0k_H1₍R)

|f′(v)_|. Sem perda de generalidade, consideramos f(0) =0. Sejau_∈H1(R₎ _{satisfazendo (}_2.2_{). Ent˜ao usando}

pro-priedades da transformada de Fourier emL2(R₎_{e a igualdade de Parseval temos}

kG(t)u0kH1₍_R₎=

"

1

∑

k=0 Z

R

¯ ¯ ¯ ¯

∂k_G₍_t₎_u

0

∂xk

¯ ¯ ¯ ¯

2

dx #1

2

=

"

1

∑

k=0 Z

Rexp

½

−2(γξ2₊_αξ4₎_t

(1+δ ξ2₎

¾¯¯_¯ ¯F

µ

∂k_u

0

∂xk

¶¯¯_¯ ¯

2

dξ

#1 2

(32)

Al´em disso

kL_u₍_t₎₋_G₍_t₎_u₀_k

H1₍_R₎≤ Z t 0      1

∑

k=0 Z R ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯F −1  exp

n₋₍_γξ2₊_αξ4₎₍_t₋_s₎ (1+δ ξ2₎

o

F(γ[a(u)ux]x− f(u)x)(iξ)k

(1+δ ξ2₎

  ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 dx      1 2 ds

usando a igualdade de Parseval

= Z t 0    1

∑

k=0 Z R

expn−2(γξ₍₁₊2+αξ_{δ ξ}24₎)(t−s)

o

|F(γ[a(u)ux]x−f(u)x)|2ξ2k

(1+δ ξ2₎2 dξ

   1 2 ds = Z t 0    Z R

expn−2(γξ₍₁₊2+αξ_{δ ξ}24₎)(t−s)

o

|F(γa(u)ux−f(u))|2ξ2

(1+δ ξ2₎2 dξ

+

Z

R

exp n

−2(γξ2₊_αξ4₎₍_t₋_s₎ (1+δ ξ2₎

o

|F(γa(u)ux−f(u))|2ξ4

(1+δ ξ2₎2 dξ

   1 2 ds

usando o Lema2.1(ii) e (vi)

≤

Z t

0

[(2γe(t₋s))−1+ (2αe(t₋s))−1]12

½Z

R|F(γa(u)ux−f(u))|

2

dξ

¾1 2

ds

novamente pela igualdade de Parseval

=

Z t

0

[(2γe(t₋s))−1+ (2αe(t₋s))−1]12

½Z

R|γa(u)ux−f(u)|

2_dx ¾1 2 ds ≤ Z t 0

[(2γe(t₋s))−1+ (2αe(t₋s))−1]12

(·_Z

R|γa(u)ux|

2 dx ¸1 2 + ·Z

R|f(u)|

2 dx ¸1 2) ds ≤ Z t 0

[(2γe(t₋s))−1+ (2αe(t₋s))−1]12

n

γa1kux(s)kL2₍_R₎+Eku(s)k_L2₍_R₎

o ds

usando (2.2)

≤

Z t

0

2[(2γe(t₋s))−1+ (2αe(t₋s))−1]12(γa₁+E)ku₀k

H1₍_R₎ds

(33)

seT _≤ 1

8[((γe)−1_{+ (}_α_e₎−1₎₍_γ_a

1+E)2]

.

(ii) Para mostrar (ii), basta observar que

kL_u₍_t₎_k_∞_≤₍₂_kL_u₍_t₎_k

L2₍_R₎k(Lu(t))_xk_L2₍_R₎) 1

2 e usar (i).

(iii) Falta mostrar que se u_∈C([0,T];H1(R₎₎_ent˜ao L_u_∈_C_([_0,_T_]_;_H1₍R₎₎_{. Seja} _t₀_∈_[_0,_T_]_.

Podemos considerart0>0 pois no casot0=0 temosLu(t0) =u0e o resultado vale. Sejat∈(0,T].

Sem perda de generalidade, supomost0<t nos c´alculos abaixo. Temos

kL_u₍_t₎₋L_u₍_t₀₎_k

H1₍R₎≤ kG(t)u0−G(t0)u0kH1₍R₎

+ ° ° ° ° Z t 0

G(t₋s)F−1 µ

F(γ[a(u)ux]x−f(u)x)

1+δ ξ2

¶ ds

−

Z t0

0

G(t0−s)F−1

µ

1+δ ξ2

¶ ds ° ° ° °

H1₍R₎

≤ kG(t)u0−G(t0)u0kH1₍_R₎

+ Z t t0 ° ° °

°G(r)F−1 µ

F(γ[a(u(t₋r))ux(t−r)]x−f(u(t−r))x)

(1+δ ξ2₎

¶°°_° °

H1₍_R₎

dr

+

Z t0

0

° ° °

°G(r)F−1 µ

1

(1+δ ξ2₎ F[γ[a(u(t−r))ux(t−r)]x−f(u(t−r))x

−(γ[a(u(t0−r))ux(t0−r)]x−f(u(t0−r))x)])kH1₍_R₎dr

=A+B+C.

Vamos estimar separadamente cada uma das parcelas. ParaA, pela igualdade de Parseval

A= (_Z R · exp ½

−(γξ2₊_αξ4₎_t

1+δ ξ2

¾

−exp ½

−(γξ2₊_αξ4₎_t 0

1+δ ξ2

¾¸2

|F(u0)|2dξ

+ Z R · exp ½

−(γξ2₊_αξ4₎_t

1+δ ξ2

¾

−exp ½

−(γξ2₊_αξ4₎_t 0

1+δ ξ2

¾¸2

|F(u0x)|2dξ

)1 2 ≤    1

∑

k=0 Z R

expn−2(γξ₁₊2_{δ ξ}+αξ2 4)θ

o

(γξ2₊_αξ4₎2_|_t₋_t 0|2

(1+δ ξ2₎2

¯ ¯ ¯ ¯F

µ

∂k_u

0

∂xk

¶¯¯_¯ ¯ 2 dξ    1 2 ≤ ( 1

∑

k=0 Z R

|t₋t0|2

2θ2

¯ ¯ ¯ ¯F

µ

∂k_u

0

∂xk

¶¯¯_¯ ¯ 2 dξ )1 2

≤|t−t0|k√u0kH1(R)

2t0

(34)

ParaB, usando a igualdade de Parseval e o Lema2.1(i) e (iii)

B_≤ Z t

t0

  

Z

R

exp n

−2(γξ2₊_αξ4₎_r 1+δ ξ2

o

|F(γa(u(t₋r))ux(t−r)− f(u(t−r)))|2ξ2

(1+δ ξ2₎2 dξ

+

Z

R

expn−2(γξ₁₊2_{δ ξ}+αξ2 4)r

o

|F(γa(u(t₋r))ux(t−r)−f(u(t−r)))|2ξ4

(1+δ ξ2₎2 dξ

  

1 2

dr

≤

Z t

t0

√

2δ−1

½Z

R|F(γa(u(t−r))ux(t−r)−f(u(t−r)))|

2

dξ

¾1 2

dr

novamente pela igualdade de Parseval

=

Z t

t0

√

2δ−1

½Z

R|γa(u(t−r))ux(t−r)−f(u(t−r))|

2

dx ¾1

2

dr

≤

Z t

t0

√

2δ−1

(·_Z

R|γa(u(t−r))ux(t−r)|

2

dx ¸1

2

+

·Z

R|f(u(t−r))|

2

dx ¸1

2

) dr

≤

Z t

t0

√

2δ−1nγa1kux(t−r)kL2₍R₎+Eku(t−r)kL2₍R₎

o dr

usando (2.2)

≤

Z t

t0

2√2δ−1₍_γ_a

1+E)ku0kH1₍_R₎dr

= (t₋t0)2

√

2δ−1(γa1+E)ku0kH1₍_R₎.

Finalmente, paraC

C=

Z t0

0

  

1

∑

k=0 Z

R

exp n

−2(γξ2₊_αξ4₎_r 1+δ ξ2

o

ξ2k

(1+δ ξ2₎2 |F(γ[a(u(t−r))(ux(t−r))]x−f(u(t−r)x)

−(γ[a(u(t0−r))(ux(t0−r))]x−f(u(t0−r))x))|2dξ

¢1 2

dr

e desde queA′(u) =a(u)

≤

Z t0

0

  2

 Z

R

expn−2(γξ₁₊2_{δ ξ}+αξ2 4)r

o

(ξ4₊_ξ6₎

(1+δ ξ2₎2 |γF[A(u(t−r))−A(u(t0−r))]| 2

(35)

+

Z

R

exp n

−2(γξ2₊_αξ4₎_r 1+δ ξ2

o

(ξ2₊_ξ4₎

(1+δ ξ2₎2 |F(f(u(t−r))− f(u(t0−r)))| 2_d_ξ

 

  

1 2

dr

usando o Lema2.1(ii), (v) e (vi)

≤

Z t0

0

½ 2

·

((2αer)−1+ (2αδr)−1)γ2Z

R|A(u(t−r))−A(u(t0−r))|

2_dx

+((2γer)−1+ (2αer)−1)

Z

R|f(u(t−r))− f(u(t0−r))|

2_dx

¸¾1 2

dr

≤

Z t0

0 {

[(αe)−1+ (αδ)−1]γ2a2₁+ [(γe)−1+ (αe)−1]E2_}12_r− 1

2k_u(_t−_r)−_u(_t₀−_r)k

H1₍_R₎dr

≤C

onde C_→0 quando _|t₋t0| →0 pois u∈C([0,T];H1(R)) e t0−r ∈[0,T]. Portanto Lu(t)∈

C([0,T];H1(R₎₎_.

iv) Sejamu,v_∈A_T _{ent˜ao usando a igualdade de Parseval, (ii) e (vi) do Lema}_2.1_{e o Corol´ario}

1.1temos

kL_u₍_t₎₋L_v₍_t₎_k

H1₍_R₎≤ Z t

0

  

Z

R

expn−2(γξ₁₊2+αξ_{δ ξ}24)(t−s)

o

(ξ2₊_ξ4₎

(1+δ ξ2₎2

|γF[A(u)x−A(v)x]−F[f(u)−f(v)]|2dξ

ª1 2_dr

≤

Z t

0

[(2γe(t₋s))−1+ (2αe(t₋s))−1]12

h

E_ku(s)₋v(s)_k_H1₍R₎

+γ_kA(u(s))₋A(v(s))_k_H1₍R₎

i dr

≤

Z t

0 [(

2γe(t₋s))−1+ (2αe(t₋s))−1]12

h

E_ku(s)₋v(s)_k_H1₍R₎

+γC_ku(s)₋v(s)_k_H1₍_R₎(a₁+2 sup [0,T]k

u(t)_k_H1₍_R₎)

# dr

≤1₂ku(x,t)₋v(x,t)_kA_T

seT _≤ 1

8[(γe)−1_{+ (}_α_e₎−1_][_γ_C₍_a

1+4ku0kH1₍_R₎) +E]2

.

(36)

Podemos agora provar nosso resultado de existência de solução local do problema de Cauchy (1) e (4):

Teorema 2.1 Sejam u0, f e A como no Lema 2.2. Ent˜ao o problema de Cauchy (1) e (4) admite

uma soluc¸˜ao local suave

u_∈C([0,T];H1(R₎₎_∩_C1_([_0,T_]_;_L2₍R₎₎_.

Al´em disso, para cada k_∈Z₊_{, k}_≥_1,_temos

u_∈C((0,T];Hk(R₎₎_∩_C1₍₍_0,_T_]_;_Hk−1₍_R₎₎

.

Aqui T ´e como no Lema2.2.

Demonstração: Sejam u0_≡0 e un_≡L₍_un−1₎_{. Então usando o Lema}_2.2 _{segue por indução}

que un_∈A_T _{e satisfaz} ₍_i₎_, ₍_ii₎ _{do Lema} _2.2_{, para cada} _n_∈ N_{. Al´em disso, por (iii) e (iv) do}

mesmo lema, L _{é uma contração na norma de} A_T_{. Segue do Teorema do Ponto Fixo de Banach}

que L _{tem um e somente um ponto fixo em} A_T_{, ou seja, a equac¸˜ao integral (}_2.1_{) possui uma}

soluc¸˜ao u_∈C([0,T];H1(R₎₎_{. Mostremos agora que se} _u _∈_C₍₍_0,T_]_;_Hl₍_R₎₎_, _l

≥ 1, ent˜ao u_∈ C((0,T];Hl+1(R₎₎_._Seja_t₁_∈₍_0,T₎_{qualquer, basta mostrar que}_u_∈_C_([_t₁_,_T_]_;_Hl+1₍_R₎₎_{. Escolha}

t2=t₂1,pelas propriedades de semi-grupo do operadorG, temos

u(x,t) =G(t₋t2)u(t2) + Z t

t2

G(t₋s)F−1 ·

1+δ ξ2

¸ ds.

Mostremos primeiro que

sup

t1≤t≤Tk

u(t)_k_Hl+1₍_R₎<∞.

Temos

ku(t)_k_Hl+1₍_R₎≤ kG(t−t₂)u(t₂)k_Hl+1₍_R₎+ Z t

t2

° ° °

°G(t−s)F−1 µ

1+δ ξ2

¶°°_° °

Hl+1₍R₎

ds