ANÁLISE COMPARATIVA DAS CARTAS DE CONTROLE DE
HOTELLING E CARTAS BASEADAS EM COMPONENTES
PRINCIPAIS NO CONTROLE MULTIVARIADO DE
PROCESSOS INDUSTRIAIS
Istefani Carísio de Paula, M.Sc.
Curso de Farmácia – ULBRA – Canoas, RS – istefani@ppgep.ufrgs.br
Flávio S. Fogliatto, Ph.D.
Departamento de Enga de Produção e Transportes – UFRGS – Porto Alegre, RS - ffogliatto@ppgep.ufrgs.br Ariane Ferreira Porto Rosa, M.Sc.
Programa de Pós-Graduação em Enga de Produção – UFRGS – Porto Alegre, RS - aprosa@ppgep.ufrgs.br
Abstract: Multivariate quality control relates to simultaneous monitoring of quality-related variables in processes and products using control charts (CCs). The low-cost of online measurement of variables in modern industrial environments has amplified the need for multivariate CCs. In this paper we analyze two multivariate approaches to statistical quality control in the light of an industrial application; they are the Hotteling CCs and univariate principal component-based CCs. We provide the mathematical developments for each chart, list their main positive and negative aspects, and identify situations where their use is recommended. A case study from the pharmaceutical industry illustrates the concepts discussed in the paper. Keywords: Multivariate quality control, Hotelling control charts, Principal components.
1. Introdução
Cartas de controle (CCs) estatístico são gráficos utilizados no monitoramento do desempenho de processos. CCs utilizam como dados de entrada medições de variáveis de interesse, determinantes do nível de qualidade dos itens manufaturados. As medições são realizadas em momentos pré-determinados e registradas nas cartas, tal que valores de medição da variável apresentem-se dispostos no eixo vertical e os pontos no tempo nos quais as medições são efetuadas, no eixo horizontal. A cada nova medição, avalia-se o resultado obtido em termos (i) de sua proximidade com limites de controle e (ii) da incidência de padrões anômalos na distribuição dos pontos na carta. Medições fora dos limites de controle ou apresentando padrões não-aleatórios podem indicar a presença de causas especiais de variabilidade, anômalas ao processo e potencialmente prejudiciais à qualidade do produto manufaturado. Uma vez identificadas as causas especiais, pode-se atuar sobre elas, melhorando continuamente a qualidade do produto. CCs permitem a redução sistemática da variabilidade nas características de qualidade (CQs) do produto, representadas pelas variáveis monitoradas nas cartas, resultando em processos com desempenho previsível e maior rendimento.
A crescente automatização de processos industriais vem permitindo a medição, simultânea e em tempo real, de inúmeras variáveis de produto e processo. Dados resultantes de medições realizadas sobre um mesmo processo costumam apresentar-se correlacionados. A correta utilização desses dados no monitoramento do processo implica na seleção de uma estratégia multivariada de controle da qualidade. Para tanto, a ferramenta estatística mais difundida na literatura é a CC de Hoteling (Alt, 1985; Lowry & Montgomery, 1995; Palm et al., 1997; Montgomery, 1996; Mason et al., 1997). Tal CC, de operacionalização relativamente complexa, apresenta propriedades estatísticas que tornam sua utilização recomendável. Alternativamente, pode-se adotar uma estratégia univariada de controle, através de CCs univariadas, precedida por uma transformação nos dados que elimine a correlação entre as variáveis de interesse. Tal transformação pode ser obtida, por exemplo, através da utilização de componentes principais (CPs), conforme sugerido por Jackson (1991). A estratégia univariada de controle baseada em CPs apresenta a vantagem de ser operacionalizada utilizando CCs univariadas, bastante difundidas em ambientes industriais, ao contrário das CCs de Hoteling (CCHs). Além disso, em algumas aplicações, a análise de CPs permite uma redução significativa das variáveis a serem monitoradas. Em contrapartida, as CCs univariadas para CPs (CCCPs) resultam em uma inflação do erro tipo I à medida que o número de cartas utilizadas aumenta, o que é uma desvantagem desta abordagem.
Este artigo apresenta uma análise comparativa do desempenho das CCHs e das CCCPs no contexto de uma aplicação industrial. O objetivo principal é ressaltar o trade-off existente na utilização dessas cartas, delineado no parágrafo anterior, e fornecer subsídios para uma tomada de decisão. Ressaltam-se, também, situações onde a utilização de cada CC apresenta vantagens.
As CCHs podem ser utilizadas para monitoramento de médias ou valores individuais, ou no monitoramento da variabilidade de processos (Alt, 1985). Em ambos os casos, o esquema gráfico de controle assemelha-se ao das CCs univariadas, bem como as suposições de independência entre pontos amostrais e CQs normalmente distribuídas. Pontos plotados na CCHs são investigados quanto à sua proximidade a limites de controle e incidência de padrões anômalos. Nas CCHs, todavia, a composição dos pontos é multivariada. Na CCH para médias, os pontos correspondem à distância de Mahalanobis, uma estatística que mede os desvios das CQs de suas trajetórias médias, normalizados pela sua estrutura de correlação (Seber, 1984). Na CCH para variabilidade, os pontos são calculados como função da matriz de correlações amostrais, obtida das CQs de interesse (Montgomery, 1996).
O esquema de monitoramento das CCHs prevê a utilização conjunta de CCs univariadas. Como os pontos nas CCHs são combinações não-lineares das variáveis originais, as CCs univariadas permitem identificar CQs responsáveis por sinais fora-de-controle nas CCHs, quando de sua ocorrência. Neste contexto, recomenda-se a utilização de CCs univariadas com os limites de controle usuais substituídos por limites de Bonferroni, para uma menor incidência de alarmes falsos (Hayer & Tsui, 1994). Desta forma, o monitoramento das médias de um processo com p CQs, por exemplo, através de CCHs, implicaria na utilização de (p + 1) CCs, o que pode, em alguns contextos, dificultar a aplicação prática destas cartas.
As CCCPs são elaboradas a partir dos resultados de uma análise de CPs realizada sobre as CQs de interesse. A análise de CPs tem por objetivo reduzir a dimensionalidade do conjunto de CQs sem perda significativa de informações. Os CPs são combinações lineares das CQs originais; substituindo-se as realizações das CQs nos CPs, obtêm-se as realizações dos próprios CPs, denominadas escores. Idealmente, através da aplicação da análise de CPs é possível substituir as CQs originais por um número menor de CPs independentes entre si (Jackson, 1980 e 1981). A aplicação da análise de CPs não pressupõe CQs normalmente distribuídas; os CPs, todavia, tendem a seguir uma distribuição normal por força do teorema do limite central. A normalidade dos CPs possibilita sua utilização no controle da qualidade univariado.
número de CPs retidos na representação do conjunto de CQs excede 2, recomenda-se a substituição dos limites de controle usuais por limites de Bonferroni (Jackson, 1991). Quando da ocorrência de um sinal fora-de-controle nas CCCPs, decompõe-se o escore correspondente ao sinal em suas CQs constituintes através de gráficos de contribuição. Tais gráficos são histogramas que permitem visualizar a magnitude dos desvios das CQs originais de suas trajetórias médias (Kourti et al., 1995). É importante observar que gráficos de contribuição só são utilizados quando da ocorrência de sinais fora-de-controle. Assim, o monitoramento das médias de um processo com p CQs, por exemplo, através de CCPPs, implicaria na utilização de no máximo p CCs (idealmente, representam-se as CQs através de um número menor de CPs).
O desenvolvimento matemático das CCHs e das CCCPs, bem como uma introdução aos fundamentos da análise de CPs e aos gráficos de contribuição, são apresentados na seção seguinte. Na seqüência, apresenta-se uma aplicação dessas CCs em um estudo de caso na indústria farmacêutica, bem como uma análise crítica dos resultados. O artigo é encerrado por uma seção de conclusões.
2. Desenvolvimento matemático das CCs de Hotelling e para componentes principais
CCs apresentam uma linha central que representa a média da variável de interesse e duas outras linhas que representam os limites de controle do processo, definidos de forma a compreender a maior parte dos valores da variável, estando o processo sob controle. A determinação da linha central e dos limites de controle segue um modelo geral, onde w é a estatística amostral que representa a CQ de interesse, com média µw e desvio-padrão σw. Assim,
o limite de controle superior (LCS), a linha central (LC) e o limite de controle inferior (LCI) são dados por (Montgomery, 1996):
LCS = µw + Lσw; LC = µw; LCI = µw - Lσw (1)
onde L é a distância, em desvios-padrão, entre os limites de controle e a linha central. O valor de L mais comumente utilizado em CCs com vistas à determinação de limites de controle é L = 3, o que pode ser justificado pelos bons resultados obtidos na prática. O valor de L também pode ser definido como σw n (onde n é o tamanho da amostra), correspondendo aos limites de Bonferroni.
Para o monitoramento conjunto de duas ou mais variáveis de processo ou produto, uma estratégia adequada é a utilização das CCHs. Nessas cartas, pontos p-dimensionais, relativos a p variáveis aleatórias ou estatísticas de interesse delas derivadas, são representados uni-dimensionalmente e plotados em gráficos similares às cartas univariadas. Na exposição que se segue, matrizes são identificadas por letras maiúsculas em negrito, p. ex. A, e seus transpostos por
At; vetores são identificados por letras minúsculas em negrito, p. ex. a, e seus transpostos por at. Suponha variáveis de interesse seguindo uma distribuição Normal p-variada, com vetor de médias µ e matriz de covariâncias Σ. Tomam-se amostras de tamanho unitário para cada uma das p variáveis de interesse. Calcula-se a mé ia amostral de cada variável e escreve-se o resultado num vetor de médias
d
[
p]
t X , ,X
1 K
=
x . A estatística a ser monitorada na CCH é (i) 2 = x( − ou
0
χ µ)tΣ−1(x−µ)
(ii) T2 =(x−x)tS−1(x−x). (2)
Utiliza-se (i) sempre que os parâmetros populacionais µ e Σ forem conhecidos; utiliza-se (ii) quando µ e Σ não são conhecidos, sendo estimados por x e S. O estimador x é dado por (Tracy et al., 1992):
onde m denota o número total de amostras de tamanho unitário utilizadas na estimação. O estimador da matriz S =
[ ]
Sm é (Tracy et al., 1992):(
)(
1 1 ( 1) m t m k m k k S x x x m = = − −∑
−xm)
(4)Via de regra, parâmetros populacionais não são conhecidos, sendo estimados utilizando as eqs. (3) e (4) e dados coletados do processo em estudo. O LCS da CCH para amostras de tamanho unitário é dado por (Tracy et al., 1992):
2 ; ; 1 ; ; 1 2 2 ( 1) 1 1 p m p 1 p m p m p p LCS F F m p m p m α − − α − − − = + − − − − , (5)
onde (1-α) denota o nível de significância do teste de hipóteses representado pela CCH. O limite de controle inferior é zero, por definição.
Uma outra estratégia para o controle de processos multivariados são as cartas CCCPs, operacionalizadas através das CCs univariadas, precedida por uma transformação nos dados que elimine a correlação entre variáveis. Esta transformação nos dados é realizada através da análise de CPs. Considere um conjunto de dados composto de realizações de p variáveis aleatórias. Tal conjunto de dados possui p CPs, sendo cada um uma combinação linear distinta das p variáveis aleatórias originais. Cada CP captura uma direção de variabilidade do conjunto de dados originais. As direções capturadas por cada CP são ortogonais entre si (ou seja, CPs são independentes).
A determinação dos CPs utiliza as informações na matriz de covariâncias associada às p variáveis aleatórias originais. Seja Σ a matriz de covariâncias, de dimensão (p × p), associada a matriz de variáveis aleatórias X = [X1, X2, ..., Xp]. A dimensão de X é (n × p), ou seja, dispõe-se
de n observações de cada variável aleatória. O vetor xt denota uma linha qualquer de X. Os p
autovalores de Σ são designados por λi, i = 1,…, p, e os p autovetores designados por ei, i = 1,…,
p, com elementos dados por (ei1,…, eip). Os autovalores e autovetores de uma matriz quadrada
não-singular qualquer são determinados através de sua equação característica; ver Strang (1988), p. 246. Associado a cada autovalor λi existe um autovetor ei. Assim, os pares (λ1, e1), (λ2, e2), ...,
(λp, ep) correspondem aos autovalores e autovetores de Σ, com autovalores arranjados tal que λ1
≥ λ2 ≥ .... ≥ λp. O iésimo CP pode ser obtido pela expressão [Seber (1984)]:
p ip i i i t i e X e X e X Y =xe = 1 1+ 2 2 +K+ . (6)
Na eq. (6), os elementos do autovetor ei funcionam como pesos de importância de X1,…,
Xp na composição do iésimo CP, e são denominados cargas do CP. Em CPs obtidos a partir de
variáveis aleatórias padronizadas, a magnitude da carga associada a uma variável descreve sua importância relativa na composição dos CPs. O valor observado de Yi para um determinado vetor
(x1,…, xp) de realizações de (X1,…, Xp) é denominado escore do CP. Cada CP apresenta n
escores, correspondendo ao número total de realizações disponíveis de cada variável aleatória. No monitoramento de processos via CCCP, monitoram-se os desvios dos escores dos CPs em relação às suas trajetórias médias.
os autovalores de Σ para determinar quanto da variabilidade total presente no conjunto de dados está sendo descrita por cada CP. Mais especificamente,
Proporção da variância descrita pelo iésimo CP = λ λi 1+ +K λp . (7) Para determinar quantos CPs devem ser retidos em uma análise de CPs, inspecionam-se os
autovalores obtidos a partir da matriz de covariâncias das variáveis padronizadas; CPs com autovalores ≥ 1 devem ser retidos na análise, já que explicam na totalidade a variabilidade correspondente a uma das variáveis em análise; para um maior detalhamento sobre regras para retenção de CPs, ver Rencher (1995), p. 434.
Sejam a matriz V(p×r) (onde as colunas são os autovetores de cada CP retido e as linhas são as cargas correspondentes a cada uma das variáveis nos CPs retidos) e a matriz diagonal Λ1/2
(que contém a raiz quadrada dos autovalores na diagonal principal). A variabilidade de uma dada variável Var (Xp) é explicada a partir dos r CPs retidos, através da matriz V∗ dada por:
2 / 1
VΛ
V∗ = (8)
Na matriz V∗, a soma dos quadrados da iésima linha origina a variância da iésima variável aleatória, ou seja, o quanto da variabilidade da variável aleatória foi explicada pelos CPs retidos.
Suponha que no monitoramento das CCCP num dado período k, um ponto amostral é plotado além dos limites de controle. Neste caso, o CP apresentou desvio anormal de seus valores de média. O objetivo do monitoramento é determinar qual variável de processo desviou-se de sua trajetória esperada e atuar corretivamente sobre ela. A abordagem mais usual para determinação da contribuição de variáveis de processo para o comportamento anormal de escores em CP utiliza gráficos de contribuição (Miller et al, 1993; MacGregor et al., 1994; Kourti & McGregor, 1996).
Os gráficos de contribuição indicam o quanto cada variável está envolvida na composição de um determinado escore. São gráficos de barra onde são plotados os valores observados das variáveis de processo no período onde a CCCP sinalizou uma causa especial. A contribuição de cada variável normalizada zp para o cálculo do escore do CP i é dada na equação (9). Sugere-se
investigar as variáveis com contribuição elevada e com mesmo sinal do escore (Kourti & MacGregor, 1996). ) ( , ,p ip p p i e z cont = −µ (9)
O cálculo da contribuição média total por variável para todos os escores com valores elevados. Para cada um dos escores normalizados com valores elevados (acima de 2,5), deve ser calculada a contribuição das variáveis com mesmo sinal do escore. A contribuição total para a variável zp é calculada através da equação:
∑
= = n i p i p cont CONT 1 , . (10)3. Estudo de caso – monitoramento multivariado da fabricação de comprimidos
CQ Especificação CQ Especificação
1. Friabilidade máx. 1,5 % 3. Tempo de desintegração máx. 30 min.
2. Dureza Mín. 3 Kgf 4. Peso médio máx. 5 % (comprimidos > 250 mg)
Tabela 1. Limites de especificação para variáveis no controle de qualidade de comprimidos.
A análise de correlação entre as variáveis na Tabela 1 apontou correlações significativas entre CQ2 e CQ3 (0,727), CQ1 e CQ4 (-0,362), e CQ3 e CQ4 (-0,271). Tais correlações justificam a análise multivariada dos dados. O objetivo deste estudo é comparar o desempenho de dois tipos de cartas multivariadas aplicadas ao processo de produção de comprimidos de hidroclorotiazida, as cartas CCH e CCCPs
• Carta T2 de Hotelling
Conforme eq. (2), o cálculo dos pontos na CC de Hotelling demanda a determinação da matriz de covariâncias amostrais das CQs, apresentada na eq. (11). Na diagonal principal da matriz, são listadas as variâncias das CQs de 1 a 4 (numeração da Tabela 1), nesta ordem.
41,79 0,75 1919,01 1,34 0,75 5,03 372,76 0, 23 1919,01 372,76 2221517,00 0,87 1,34 0,23 0,87 4,33 − − = − − − − S (11)
A partir da matriz de dados originais e da matriz de covariância, calcularam-se os valores da estatística T para cada amostra [eq. (2)], apresentados na CC na Figura 1. Quatro valores (21, 36, 60, 62) se encontram fora do LCS, calculado conforme eq. (5).
2 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96
Figura 1. Carta de controle de Hotelling T2. • Análise de Componentes Principais
CPs foram obtidos a partir da matriz de correlações dos dados padronizados. Um total de 4 CPs foram obtidos, correspondendo a cada uma das CQs; destes, dois componentes, CP1 e CP2, apresentaram autovalores maiores que 1 (Tabela 2), sendo retidos para utilização nas CCs. Esses CP capturaram 58 % da variabilidade total do processo, o que foi considerado satisfatório para fins de representação do processo em estudo. A matriz de cargas correspondente aos CPs 1 e 2, vem apresentada na Tabela 2.
Autovalores e variância total explicada Matriz de cargas dos dois primeiros CPs
Componentes Autovalor % cumulativo CP1 CP2
1 1,233 30,824 Friabilidade 0,5178 -0,5515
2 1,110 58,576 Dureza 0,4017 0,5638
3 0,893 80,903 Desintegração 0,6907 -0,1747
4 0,764 100,000 Peso médio -0,3044 0,5904
Tabela 2. Informações obtidas da análise de componentes principais.
A CCCP1 acusou apenas a amostra 62 fora de controle e a CCCP2, a amostra 60. Para facilitar a comparação entre os métodos multivariados empregados e o método univariado, elaborou-se a Tabela 4, contendo as amostras consideradas fora de controle em cada método.
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97
Carta de controle para CP1 Carta de controle para CP2
Figura 2. CCs univariadas para os dois primeiros CPs. Métodos
multivariados
LCS LCI Amostras fora dos
limites de controle
Método univariado
LCS* LCI* Amostras fora dos limites de controle CP1 3,27 -3,27 62 (3,76) CQ1 0,74 -0,06 36 (0,93) CP2 2,81 -2,81 60 (4,13) CQ2 5,44 2,86 21 (5,48) T2 9,27 0,00 21 (9,68), 36 (14,34), 60 (12,80), 62 (13,44) CQ3 CQ4 0,01 0,63 0,004 -0,81 - 59 (1,00), 60 (1,04)
Negrito = amostras coincidentes nos métodos uni e multivariados. * = Limites de Bonferroni.
Tabela 4. Comparação entre métodos uni e multivariados.
Conforme Tabela 4, a CC de Hotelling detectou 4 amostras fora dos limites de controle. Três destas amostras (21, 36 e 60) foram explicitamente sinalizadas pelas CCs individuais, permitindo diagnosticar sua origem. A amostra 62 deve ser analisada nas CCs individuais quanto à proximidade aos limites de controle em busca de um diagnóstico. A CC individual para X4
produziu um alarme falso (amostra 59). As CCs para os CP retidos não foram capazes de descrever completamente o processo, por acumularem um percentual relativamente baixo da variabilidade total das CQs. Fica explícito aqui o trade-off entre uma representação reduzida das CQs e a sinalização precisa de situações fora de controle, já que as CCs para os CPs retidos sinalizaram somente duas das 4 amostras da CC de Hoteling (a adição dos CPs excluídos, CP3 e CP4, no monitoramento do processo, conduziria aos resultados da CC de Hoteling). Procedeu-se uma decomposição dos sinais nas CCCPs em suas variáveis originais através de diagramas de contribuição [eq. (9)], a partir dos quais foi possível diagnosticar pontos fora de controle; ver Tabela 5.
Amostra 60 Amostra 62
Contribuição das variáveis para o CP1
Contribuição das variáveis para o CP2
Contribuição das variáveis Para o CP1
Contribuição das variáveis para o CP2 Contrib 1,1 -0,1407 Contrib 2,1 2,25022 Contrib 1,1 4,1907 Contrib 2,1 -1,405 Contrib 1,2 0,23627 Contrib 2,2 4,98102 Contrib 1,2 4,18642 Contrib 2,2 1,84997
Cotnrib 1,3 -0,3167 Cotnrib 2,3 1,20279 Cotnrib 1,3 3,71658 Contrib 2,3 -0,2958 Contrib 1,4 0,11724 Contrib 2,4 8,64829 Contrib 1,4 2,05168 Contrib 2,4 1,25272
Tabela 5. Contribuições das variáveis para os escores fora de controle nas CCs. Os maiores valores de contribuição das CQs na composição dos escores fora de controle estão apresentados em negrito na Tabela 5. As CQs 2 e 4 parecem ser responsáveis pelo sinal na CCCP1, ao passo que as CQs 1 e 2 aparecem como responsáveis pelo sinal na CCCP2. As equações (12) e (13) apresentam em negrito as CQs melhor explicadas por cada CP, através das cargas a elas associadas:
CP1 = 0,5178X1 + 0,4017X2 + 0,6907X3 + 0,3044X4, (12)
nas CCCPs. Este fato deve-se à representação deficiente de CQ1 e CQ2 oferecida pelos CPs retidos na análise.
4. Conclusão
Neste artigo, apresenta uma análise comparativa do desempenho das CCHs e das CCCPs no monitoramento de processos multivariados. Ressaltam-se os aspectos positivos e negativos da utilização de cada CC e exemplificam-se tais aspectos através de uma aplicação real. O desenvolvimento matemático das CCHs e CCCPs é apresentado de maneira resumida, oferecendo, todavia, meios suficientes para validação dos resultados apresentados na aplicação prática.
Através do estudo de caso, constatou-se a superioridade da estratégia de controle de Hotelling no monitoramento do processo estudado. Tal resultado, todavia, deve ser contextualizado. A fraca estrutura de correlação das CQs do processo resultaram em CPs com autovalores próximos, o que não permitiu uma redução na dimensionalidade dos dados sem perda relevante de informações. Em ambientes de correlações mais fortes, a comparação entre as CCs pode gerar resultados distintos.
5. Referências Bibliográficas
Alt, F.B. Multivariate Quality Control, in Encyclopedia of Statistical Sciences. Wiley: New York, 1985. Lowry, C.A.; Montgomery, D.C. A Review of Multivariate Control Charts. IIE Transactions, 27,
800-810, 1995.
Palm, A.C.; Rodriguez, R.N.; Spiring, F.A.; Weeler, D.J. Some Perspectives and Challenges for Control Chart Methods. Journal of Quality Technology, 29 (2), 122-127, 1997.
Montgomery, D. C. Introduction to Statistical Quality Control, 3ª Ed. Wiley: New York, 1996. Mason, R. L.; Champ, C.W.; Tracy, N. D.; Wierda, S.J.; Young, J. C. Assessment of Multivariate
Process Control Techniques. Journal of Quality Technology, 29 (2), 140-143, 1997. Jackson, J.E. A User’s Guide to Principal Components. Wiley: New York, 1991.
Seber, G.A.F. Multivariate observations. Wiley: New York, 1984.
Hayer, A.; Tsui, K. Identification and Quantification in Multivariate Quality Control Problems. Journal of Quality Technology, 26 (3), 197-207, 1994.
Jackson, J.E. Principal Component and factor Analysis: Part I – Principal Components. Journal of Quality Technology, 12 (4), 201-213, 1980.
Jackson, J.E. Principal Component and factor Analysis: Part II – Additional Topics Related to Principal Components. Journal of Quality Technology, 13(1), 46-58, 1981.
Kourti, T.; Nomikos, P.; McGregor, J. F. Analysis, monitoring and fault diagnosis of batch processes using multiblock and multiway PLS. Journal of Process Control, 5 (4), 323-339, 1995.
Tracy, N.D.; Young, J.C.; Mason, R.L. Multivariate Control Charts for Individual Observations. Journal of Quality Technology, 24(2), 88-95, 1992.
Rencher, A.C. Methods of Multivariate Analysis. Wiley: New York, 1995.
Miller, P.; Swanson, R.E.; Heckler, C.E. Contribution Plots: The Missing Link in Multivariate Quality Control. Unpublished manuscript to be submitted to Journal of Quality Technology, 1993.
McGregor, J.F.; Jaeckle, C.; Kiparissides, C.; Koutoudi, M. Process Monitoring and Diagnosis by Multi-Block PLS Methods. J. American Inst. of Chem. Engineers, 40(5), 826-838, 1994. Kourti, T.; McGregor, J.F. Multivariate SPC Methods for Process and Product Monitoring. Journal of
Quality Technology, 28(4), 409-428, 1996.
Ansel, C H.; Popovich, N.G.; Allen, L. V. Farmacotécnica Formas Farmacêuticas e Sistemas de Liberação de Fármacos. Editorial Premier: São Paulo, 2000.
Le Hir, A. Noções de Farmácia Galênica, 6a ed. Andrei: São Paulo, 1997.
