Lenilton Kovalski Universidade Estadual de Ponta Grossa – UEPG – Ponta Grossa/PR
professorlenilton@yahoo.com.br
Marinês Avila de Chaves Kaviatkovski Universidade Estadual de Ponta Grossa – UEPG – Ponta Grossa/PR
Resumo:
O presente trabalho tem por objetivo apresentar uma atividade prática, mediada pela Modelagem Matemática1, verificando por meio da mesma se as etapas propostas por Burak (2004) favorecem o processo prático da Modelagem, no âmbito dos anos finais do Ensino Fundamental. A prática foi desenvolvida com duas turmas do 6.º ano de um colégio da rede particular de Ponta Grossa. A concepção de Modelagem que norteou este trabalho foi a de Burak (1992). Os procedimentos metodológicos adotados estão baseados nas etapas sugeridas por Burak (2004). Os resultados obtidos revelam que a atividade desenvolvida despertou o interesse da maioria dos estudantes nas aulas de matemática. Como conclusão apresenta que a utilização da Modelagem, como metodologia de ensino e aprendizagem na concepção assumida, é possível com turmas dos anos finais do Ensino Fundamental e que seguir as etapas mencionadas favorece o processo de trabalho com a Modelagem.
Palavras–chave: Educação Matemática. Modelagem Matemática. Etapas da Modelagem.
Introdução
A busca por meios de melhorar minha prática, como professor de Matemática, favoreceu meu contato com as tendências metodológicas apresentadas pela Educação Matemática. Entre elas, a Modelagem, tendência metodológica que norteia este trabalho, trazendo a base das atividades de investigação que realizamos. Optamos pela Modelagem pelo fato de a mesma acabar envolvendo, muitas vezes, as outras tendências que vemos nas discussões da Educação Matemática. Pereira e Burak (2014), apresentaram um estudo sobre esta articulação e verificaram em relatos de experiência publicados que este fato se confirma.
1
A partir deste ponto, buscando uma melhor fluência do texto para o leitor, o termo Modelagem Matemática será substituído por Modelagem, salvo apenas casos em que for utilizado em citações diretas e nas referências bibliográficas.
A Modelagem no âmbito da Educação Matemática é apresentada por vários autores que trazem concepções próprias desta metodologia. Dentro destas concepções encontramos normalmente a descrição de etapas vividas no processo da Modelagem. Neste trabalho tomamos, como principal referencial teórico, a proposta apresentada por Dionísio Burak, autor paranaense que há vários anos promove estudos sobre o tema.
A experiência relatada neste trabalho foi delineada a partir das etapas sugeridas por Burak (2004), com o intuito de apresentar uma atividade prática de Modelagem, e verificar se as referidas etapas sugeridas pelo autor em questão contribuem para o desenvolvimento da ação pedagógica planejada. A prática foi realizada com duas turmas de sexto ano de um colégio da rede particular de ensino, durante o último bimestre do ano letivo. O primeiro autor deste trabalho, Lenilton Kovalski, era o professor regente das turmas, orientado pela segunda autora, Marinês Avila de Chaves Kaviatkovski.
A Modelagem Matemática na Educação Matemática
No campo da Educação Matemática são explicitadas metodologias de ensino que buscam possibilitar uma melhora no processo de ensino e aprendizagem dos conteúdos matemáticos. Dentre estas metodologias, a Modelagem despertou meu interesse, uma vez que ela, na perspectiva assumida neste trabalho, favorece a maneira com que os conteúdos matemáticos são apresentados aos estudantes e possibilita, a partir de situações vivenciadas pelos estudantes, abordar conteúdos matemáticos elencados no currículo.
Silveira (2007), autor que, em sua dissertação de mestrado, fez um levantamento sobre os trabalhos que tratam da Modelagem no Brasil, relata que encontrou como trabalho mais antigo uma dissertação produzida em 1976 por Celso Braga Wilmer e orientada pelo professor Aristides C. Barreto. Após esta época, o número de trabalhos e pesquisas sobre a Modelagem foi crescendo dentro da Educação Matemática. Silveira (2007) apresenta uma tabela com o nome de trinta e seis orientadores de cursos de mestrado e doutorado que, até 2006, haviam orientado pelo menos uma dissertação abordando o tema Modelagem. Entre estes autores Silveira (2007) destaca que apenas três professores: Ademir Donizeti Caldeira, Maria Salett Biembengut e Dionísio Burak, fizeram pesquisas neste campo nos seus cursos de doutoramento. Este é um dos motivos pelo qual optei em dar especial atenção à concepção de Modelagem apresentada pelo professor Dionísio Burak, em Burak (1992).
Existem muitos trabalhos acadêmicos que comprovam as potencialidades da Modelagem no processo de ensino e aprendizagem da Matemática, por exemplo, Bassanezi (1994); Klüber (2010) e Soistak (2010). Este fato também pode ser comprovado consultando anais de eventos específicos de Modelagem como o VI Encontro Paranaense de Modelagem em Educação Matemática, que aconteceu na cidade de Curitiba em 2014.
É comum professores apresentarem dúvida em conceituar Modelagem, ou ainda vinculá-la à necessidade de elaboração de modelos matemáticos para explicar situações ou fenômenos que acontecem nas mais variadas situações. Ao buscar na literatura uma definição para Modelagem, diferentes concepções são encontradas, mas praticamente todas tem um ponto em comum: explicitam potencialidades encontradas na Modelagem para o ensino e aprendizagem da Matemática. Segundo Biembengut (2009):
Muito embora existam concepções distintas, é essencial não perder de foco estas distinções nos aspectos que convergem no entendimento de que a modelagem pode contribuir não somente para aprimorar o ensino e a aprendizagem matemática, mas especialmente, para provocar uma reação e interação entre corpo docente e discente envolvidos na contínua e necessária produção do conhecimento que surtirá efeitos no contexto social. (BIEMBENGUT, 2009, p. 27).
É compreensível o fato de haver diferentes concepções de Modelagem, entretanto, se forem adotadas com o sincero desejo de fazer uma educação melhor, certamente trará um bom resultado para o contexto social como citado por Biembengut (2009). Para Barbosa (2001), a Modelagem pode, muitas vezes, ser definida de acordo com os propósitos e interesses subjacentes à sua prática.
Frente à variedade de concepções existentes e como esse trabalho envolve a Modelagem no âmbito da educação básica, busquei adotar uma concepção que volta seu olhar para esta fase de ensino.
Modelagem Matemática para Dionísio Burak
Este trabalho adota a concepção de Burak (1992), por ser voltada a educação básica, mas também por encontrar aproximações com algumas de minhas ansiedades enquanto professor de Matemática.
Embora a preocupação inicial de Burak fosse contribuir para que ocorressem mudanças no desgastado processo de ensino da matemática, no qual o professor aparece como a figura central e detentor de todo o conhecimento, concluído o mestrado, Burak (2010) relata que iniciou o doutorado já com uma concepção de Modelagem amadurecida, que se distancia da concepção de Modelagem voltada à construção de um modelo matemático, para assumi-la
como “um conjunto de procedimentos, cujo objetivo é construir um paralelo para tentar explicar, matematicamente, os fenômenos presentes no cotidiano do ser humano, ajudando-o a fazer predições e a tomar decisões”, Burak (2010).
Assim, o autor dedica seus estudos ao aperfeiçoamento desta metodologia e propõe cinco etapas a serem seguidas no trabalho com Modelagem. A seguir transcrevo a ideia de cada uma destas etapas, segundo a interpretação exposta por Burak e Klüber (2008):
Escolha do tema – é o momento em que o professor apresenta aos alunos alguns temas que possam gerar interesse ou os próprios alunos sugerem um tema. Esse tema pode ser dos mais variados, uma vez que não necessita ter nenhuma ligação imediata com a matemática ou com conteúdos matemáticos, e sim com o que os alunos querem pesquisar. Já nesta fase é fundamental que o professor assuma a postura de mediador, pois deverá dar o melhor encaminhamento para que a opção dos alunos seja respeitada. Pesquisa exploratória – escolhido o tema a ser pesquisado, encaminham-se os alunos para a procura de materiais e subsídios teóricos dos mais diversos, os quais contenham informações e noções prévias sobre o que se quer desenvolver/pesquisar. A pesquisa pode ser bibliográfica ou contemplar um trabalho de campo, fonte rica de informações e estímulo para a execução da proposta.
Levantamento dos problemas – de posse dos materiais e da pesquisa desenvolvida, incentiva-se os alunos a conjecturarem-se sobre tudo que pode ter relação com a matemática, elaborando problemas simples ou complexos que permitam vislumbrar a possibilidade de aplicar ou compreender conteúdos matemáticos, isso com a ajuda do professor, que não se isenta do processo, mas se torna o “mediador” das atividades.
Resolução dos problemas e o desenvolvimento do conteúdo matemático no contexto do tema – nessa etapa, busca-se responder os problemas levantados com o auxílio do conteúdo matemático, que pode ser abordado de uma maneira extremamente acessível, para, posteriormente, ser sistematizado, fazendo um caminho inverso do usual, pois se ensina o conteúdo para responder às necessidades surgidas na pesquisa e no levantamento dos problemas concomitantemente.
Análise crítica das soluções – etapa marcada pela criticidade, não apenas em relação à matemática, mas também a outros aspectos, como a viabilidade e a adequabilidade das soluções apresentadas, que, muitas vezes, são lógica e matematicamente coerentes, porém inviáveis para a situação em estudo. É a etapa em que se reflete acerca dos resultados obtidos no processo e como esses podem ensejar a melhoria das decisões e ações, contribuindo, dessa maneira, para a formação de cidadãos participativos, que auxiliem na transformação da comunidade em que participam (BURAK; KLÜBER, 2008, p. 21-22).
Vejo desta forma a importância de cada etapa e acredito que cada uma delas pode acontecer não somente uma vez no trabalho com a Modelagem, pois há a possibilidade de surgirem novos temas a partir do tema inicial, o que favorece uma análise crítica constante de todo o processo.
Uma experiência com turmas de sexto ano
A escolha das turmas levou em conta basicamente duas situações: quase a totalidade dos estudantes apresentarem defasagens de conteúdos matemáticos, e existirem problemas de relacionamento interpessoal entre professor e alguns estudantes.
Percebendo que o desenvolvimento de uma atividade pedagógica, mediada pela Modelagem a partir da concepção de Burak (2004), poderia ser um caminho para a superação dos aspectos apresentados no parágrafo anterior, optei por desenvolver a atividade apresentada neste trabalho.
A escolha do tema
No início do quarto bimestre, expus às turmas o desejo de realizar um trabalho diferenciado no último bimestre do ano. Por meio de uma conversa com os estudantes das turmas de sexto ano, em que a proposta de trabalho seria desenvolvida, explicitei o que estava percebendo no decorrer das aulas, bem como minha proposta para melhorar a realidade presente nas aulas de Matemática. A reação foi de espanto por parte dos estudantes, pois as aulas de Matemática aconteciam de forma tradicional, cansativa e desgastante para professor e estudantes. O principal fato que levava a esta prática estava relacionado ao livro didático que deveria ser trabalhado por completo, segundo a cultura escolar do ambiente em questão. Após a adesão pela maioria dos estudantes à nova proposta de trabalho, os mesmos foram incentivados a escolher o tema que nortearia todo o encaminhamento do último bimestre do ano.
Conforme Burak (2010), o trabalho com a Modelagem tem principio que o interesse do grupo deve ser compartilhado e valorizado pelo professor. Assim procedendo, o professor deixa de ser o principal deflagrador do processo de ensino e aprendizagem, permitindo que os estudantes passem a ser sujeitos ativos do mesmo.
Os estudantes sugeriram vários temas que, segundo Burak e Klüber (2008), inicialmente não necessitam necessariamente estarem relacionados com a Matemática ou conteúdos matemáticos. Dentre os temas sugeridos pelos estudantes, os principais foram elencados para votação: esportes; brincadeiras e brinquedos; construção civil; animais; ação social e caridade. Como o Natal estava próximo, e as campanhas para arrecadar brinquedos que seriam posteriormente doados a instituições de caridade já estavam sendo divulgadas no ambiente escolar, dois temas tiveram destaque nesta fase: caridade e brinquedos. Assim,
assumindo a postura de mediador, como sugerido por Burak e Klüber (2008), busquei dar o melhor encaminhamento para que a escolha dos estudantes fosse realmente discutida e incorporada por todos. As duas turmas optaram pelo tema “fazer a caridade doando brinquedos”.
A fase da pesquisa exploratória
Após discussão e escolha do tema, entre várias ideias levantadas, optou-se por confeccionar brinquedos com materiais fáceis de serem obtidos e manuseados, inclusive materiais recicláveis. Esses brinquedos seriam doados a crianças carentes da cidade, visto a proximidade do Natal. Desta forma, após um demorado debate, onde até os estudantes mais tímidos queriam expor suas ideias, ficou decidido que todos deveriam trazer sugestões de brinquedos a serem construídos.
Foi surpreendente a rapidez com que aconteceu a mudança em relação ao interesse dos estudantes. Segundo Barbosa (2001), as ideias gerais são apresentadas pelo professor e, muitas vezes, não são aceitas pelos estudantes, pois mesmo depois de se propor a escolha do tema por parte dos estudantes estes não demonstram interesse na continuidade do processo. Neste caso foi possível perceber que o encaminhamento inicial, determinado nas discussões, foi bem aceito pelos estudantes desde a escolha do tema.
Cada estudante que trouxe uma sugestão de brinquedo a ser confeccionado teve a oportunidade de apresentá-la para a turma. Segundo Biembengut (1990) os estudantes escolhem o tema, a direção do próprio trabalho, mas fica para o professor a responsabilidade de mediar, da melhor maneira possível o encaminhamento do trabalho.
Devido às muitas sugestões de brinquedos apresentadas, e por serem adequados a diferentes idades, foi levantada a questão relativa à faixa de idade das crianças que iriam receber os brinquedos. Sendo assim, os estudantes foram orientados a pesquisar, junto às instituições que assistem crianças carentes, a faixa etária que é atendida e trazer, já na aula seguinte, as informações obtidas para serem compartilhadas no grupo. Frente ao resultado da pesquisa, realizada junto às instituições, foi decidido pelas duas turmas envolvidas, que um grupo da Pastoral da Criança receberia os brinquedos confeccionados nas aulas de Matemática. Dentre as muitas sugestões apresentadas pelos estudantes, de brinquedos a serem confeccionados, dois foram considerados adequados: jogo da velha e outro que chamamos de “sapinho bom buquê”, sendo ambos construídos com material EVA. Neste ponto da atividade o tema e a pesquisa exploratória estavam concluídos.
A fase do levantamento dos problemas
Nesta fase apresentada por Burak e Klüber (2008), destaca-se que os estudantes são estimulados a levantar questões pertinentes ao tema baseados nos dados coletados na pesquisa exploratória. Sabendo que iríamos construir cerca de cento e vinte brinquedos, sessenta de cada, o primeiro problema levantado pelos estudantes foi a quantidade e o valor que gastaríamos com nossa principal matéria prima, o EVA.
Nesse momento da ação pedagógica, percebi a oportunidade de formalizar o conteúdo relativo à área de figuras geométricas, conteúdo que já havia sido trabalhado nos bimestres anteriores. Esta é uma forte característica da Modelagem, pois, segundo Caldeira (2004), quando necessário devemos retomar conteúdos já trabalhados na série em questão ou mesmo nas séries anteriores, para que o trabalho possa se dar de forma completa.
Familiarizados com os brinquedos escolhidos para serem confeccionados, os estudantes começaram a comentar que os brinquedos eram interessantes, mas de aparência simples. Com o objetivo de deixar atraentes os presentes que seriam doados, foi decidido que os brinquedos seriam colocados em uma embalagem de presente e acompanhados por certa quantia de doces. Este fato possibilitou novas reflexões. Um estudante comentou a respeito de alguma criança não poder se alimentar de doces por questões de saúde, por exemplo, diabetes. Tal situação evidencia a possibilidade do trabalho interdisciplinar que a metodologia da Modelagem favorece, entretanto, neste trabalho não foi contemplada.
Deveríamos então determinar o tamanho das embalagens de presente que compraríamos para que acomodassem o brinquedo e os doces. Nesse ponto foi levantada a questão do tipo de doce que acompanharia o brinquedo em cada embalagem. Para tanto se fez necessário a efetivação de uma nova pesquisa a qual contemplasse também, além do tipo de doce, o custo do mesmo. A partir dos dados obtidos, a escolha dos doces foi efetivada. Como alguns conteúdos elencados para o quarto bimestre, no plano de trabalho docente, eram as medidas de capacidade, volume e massa, aproveitamos as informações contidas nas embalagens dos doces para discutir tais conteúdos.
Com o preço dos materiais e doces que compraríamos surgiu um problema para todos: como seriam adquiridos os itens escolhidos? Novas ideias, debates, todos querendo falar ao mesmo tempo. Tudo isto resultou em sugestões como fazer rifas, pedir para a direção, fazer campanha de doação de doces na escola, entre outros. Segundo Burak (1992), os estudantes se tornam mais autônomos e críticos no trabalho com a Modelagem. De forma surpreendente
começaram a surgir ideias de não pedirmos nenhum valor para pais ou escola, mas sim, os próprios estudantes fariam economias para juntar o valor necessário. Neste momento foi possível falar de economia, poupança e juros. Como mediador, apresentei problemas relacionados a estes temas que deveriam ser resolvidos pelos estudantes.
A fase da resolução dos problemas e desenvolvimento do conteúdo matemático no contexto do tema
Para a determinação da quantidade necessária de EVA para a confecção dos brinquedos, providenciei algumas folhas do material e os estudantes forneceram os modelos dos brinquedos definidos para serem confeccionados. Os estudantes divididos em grupos com quatro componentes foram desafiados a determinar a quantidade de folhas necessárias, utilizando a técnica que desejassem. Nenhuma sugestão de como fazer isto foi dada pelo professor, apenas foi colocado o problema e dados os modelos e material para comparação. Alguns grupos recortaram retângulos de EVA de tamanho suficiente para construir um brinquedo de cada tipo e, como num quebra-cabeça foram sobrepondo estas peças na folha de EVA, determinando assim quantos brinquedos poderiam ser confeccionados com cada folha.
Observando estas conclusões, senti a necessidade de formalizar os conteúdos matemáticos que estavam envolvidos na atividade. Assim foi possível trabalhar a parte teórica relativa à área de retângulos e também a transformação das unidades de medida de superfície. Os estudantes realizaram a verificação da teoria com as folhas de EVA. Ainda pude trabalhar a divisão de números decimais, conteúdo de difícil compreensão para muitos estudantes.
Nesta fase do trabalho foi possível inserir várias atividades do livro didático, reforçando a ideia de que na Modelagem o uso do mesmo não é abolido ou abandonado, mas sim utilizado como realmente deve ser, mais uma ferramenta que auxilia o trabalho do professor. Segundo Barbosa (2001), em uma atividade de Modelagem o professor é concebido como “co-partícipe” na investigação dos estudantes, dialogando com eles sobre os processos ocorridos.
Para Burak (2004), a ruptura da forma usual de se trabalhar o ensino da matemática pode trazer uma preocupação entre os professores:
A Modelagem Matemática rompe com a forma usual de se trabalhar o ensino de Matemática na escola. Entretanto, essa forma diferenciada de trabalho pode se constituir em motivo de preocupação entre os professores, já que muitas vezes é necessário compatibilizar o conteúdo estabelecido para
determinada série, que se apresenta logicamente ordenado, com a proposta da Modelagem que preconiza o problema como determinante do conteúdo. Isso sem dúvida se apresenta como um grande desafio a ser enfrentado e superado. (BURAK, 2004, p. 4).
Sentindo a preocupação mencionada por Burak (2004), foi fundamental analisar com cautela os conteúdos previstos no planejamento comparando-os com os conteúdos que poderiam ser trabalhados a partir dos problemas levantados pelos estudantes. Essa ação permitiu visualizar que praticamente todos os conteúdos, previstos para o bimestre, poderiam ser contemplados ao longo do desenvolvimento da atividade, sendo necessário apenas direcionar a abordagem, de cada um deles, de maneira a contribuir com a aprendizagem dos estudantes.
A partir da necessidade de embalar os brinquedos e os doces, foi sugerido aos estudantes que procurassem determinar o tamanho de embalagem que deveria ser adquirida. Assim surgiu uma nova indagação, pois alguns doces traziam a informação em mililitros e outros em gramas. Para que todos pudessem compreender as informações contidas nas embalagens houve a necessidade de abordar o conteúdo das unidades de medida de capacidade e massa. Nesse ponto, exercícios apresentados no livro didático foram utilizados. As situações-problema encontradas no livro foram tratadas de forma natural pelos estudantes, pois os mesmos já haviam se familiarizado com alguns dados matemáticos encontrados nas embalagens dos alimentos.
Concluído o levantamento dos materiais e doces necessários, o problema passa a ser a obtenção da verba necessária. Uma estudante já estava, há alguns dias, confeccionando chaveiros e pulseiras, para vender, com um material conhecido como “miçanga”. Ela relatou que o apoio veio dos seus pais e que venderia os produtos destinando o lucro para a compra dos doces.
Segundo Burak (1992) o trabalho com a Modelagem utiliza a via reflexão-ação, ou seja, possibilita uma nova forma de ver o mundo, construindo não somente conceitos matemáticos, mas também uma visão crítica dos acontecimentos que surgem no dia a dia. Sendo assim, a postura da estudante, explicitada no parágrafo anterior, motivada provavelmente pelo tema da atividade que estava sendo desenvolvido, fazer caridade doando brinquedos, revela uma visão de mundo que utiliza do conhecimento matemático para produzir algo grandioso na sociedade. A estudante colocou seus produtos em uma embalagem que trazia a frase “Matemática e o bem”!
Outro exemplo foi o do estudante que relatou estar fazendo sorvetes para vender em sua casa também separando o lucro obtido, que conseguia com as vendas, para comprarmos os doces. Foi possível tratar de economia e empreendedorismo aproveitando a ideia destes estudantes. Nesta oportunidade foi abordado o conteúdo porcentagem, que estava previsto no planejamento do bimestre.
Desta forma estávamos prontos para construir os brinquedos. As ideias estavam bem organizadas, os cálculos necessários estavam feitos, bastava apenas comprar os doces e os materiais.
A fase da análise crítica das soluções
Chegou o dia tão esperado de montar os brinquedos e presentes. Os estudantes trouxeram os materiais comprados com os valores arrecadados, também muitos “retalhos de EVA” e doações de doces que eles conseguiram com familiares. A análise crítica das soluções aconteceu, durante as aulas em que montamos os presentes, por meio de conversas. Decidimos quem levaria os presentes até o grupo da Pastoral da Criança. No último dia de aula foi realizado um debate reflexivo a respeito das percepções que os estudantes tiveram em relação ao encaminhamento didático adotado no quarto bimestre. Neste debate foi possível perceber que a grande maioria dos estudantes conseguiu relacionar a matemática com algo da realidade. Buscando identificar pontos que podem ser melhorados em um próximo trabalho pedagógico mediado pela Modelagem, todos os depoimentos foram registrados em vídeo.
Considerações
É quase certo que algumas pessoas podem vir a perguntar: onde estão os modelos matemáticos no relato de experiência? Segundo a concepção que adotamos para este trabalho, o processo todo vivido é a Modelagem. Para Burak (2004), não é necessário chegar a um modelo no final do processo. Mesmo assim poderiam ser identificados alguns modelos que surgiram durante o desenvolvimento da atividade, como os métodos para a transformação das unidades de medidas, fórmulas para cálculo de áreas, técnicas para cálculos de porcentagens entre outros.
Em um trabalho pedagógico mediado pela Modelagem, o livro didático pode ser utilizado como ferramenta, no momento de formalização e fixação dos conteúdos. No decorrer do trabalho foi possível verificar que as etapas sugeridas por Burak (2004), ocorrem quase que de maneira natural, favorecendo ao professor deixar de centrar sua ação pedagógica
em aulas expositivas e de ser apenas um mero transmissor de conhecimentos, para assumir o papel de mediador.
Com base nos resultados obtidos junto aos estudantes, principalmente no que diz respeito ao interesse pelo conteúdo matemático abordado em sala de aula, percebemos que a metodologia da Modelagem, a partir da concepção adotada neste trabalho, pode contribuir com o processo de ensino e aprendizagem da Matemática.
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