PUCRS - Faculdade de Matemática Cálculo Diferencial e Integral II

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PUCRS - Faculdade de Matemática

Cálculo Diferencial e Integral II

Equações diferenciais

Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função incógnita e suas derivadas, sendo que são de grande interesse nas ciências exatas e nas engenharias, uma vez que muitas leis e relações físicas podem ser formuladas matematicamente por meio de uma equação diferencial. Uma equação diferencial pode ser classificada como ordinária ( EDO ) se a função incógnita depende de apenas uma variável independente, ou parcial ( EDP ) no caso da função incógnita depender de mais de uma variável independente.

Exemplos:

(

+

)

+ − _t2 ₂ _y dt dy t _⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ = + = t 3 3 e dt y d 1 3x dx dy são EDOs 0 x y 5 t y 2 2 2 2 = ∂ ∂ − ∂ ∂ _{é uma EDP}

OBS: Nossos estudos estarão restritos às equações diferenciais ordinárias.

A ordem de uma equação diferencial é a ordem da mais alta derivada que nela aparece, e o grau de uma equação diferencial que pode ser escrita como um polinômio na função incógnita e suas derivadas, é a potência a que se acha elevada a derivada de ordem mais alta.

Exemplo: 6x dx y dx 2y dx2 ⎟⎟ + ⎜_⎝ ⎟_⎠ − ⎜_⎝ ⎟_⎠ = ⎠ ⎜⎜ ⎝

( )

x y y= dy dy y d 5 4 5 3 2 _⎞ _⎛ _⎞ _⎛ _⎞ ⎛

EDO de ordem 2 e grau 3

Uma função é uma solução de uma equação diferencial num intervalo aberto I se ao substituirmos y e suas derivadas na equação a mesma estiver satisfeita.

Exemplo:

2x e

y= é uma solução da EDO _y _e2x dx

dy =

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chamado de curva integral da equação, ou seja, a solução geral de uma equação diferencial produz uma família de curvas integrais correspondentes a diferentes valores possíveis de serem assumidos pelas constantes, conforme pode ser constatado no gráfico a seguir.

Quando um problema aplicado leva a uma equação diferencial, geralmente existem condições que determinam valores específicos para as constantes arbitrárias. Para uma equação de primeira ordem, a única constante arbitrária pode ser determinada especificando-se o valor da função desconhecida em um ponto arbitrário . Isto é chamado de condição inicial, e o problema é então denominado problema de valor inicial de primeira ordem ( PVI ), genericamente representado da seguinte forma:

( )

x y x₀

( )

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = 0 0 y x y x f dx dy

Geometricamente a condição inicial y

( )

x₀ =x₀ tem o efeito de isolar da família de curvas integrais a curva que passa pelo ponto

(

x₀ ,y₀

)

.

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Equações de primeira ordem separáveis

Equações de primeira ordem que podem ser expressas da forma h

( )

y dy=g

( )

x dx são denominadas separáveis, já que as expressões envolvendo x e y aparecem em lados diferentes da equação. Esta separação permite que a integração de ambos os lados determine a solução da equação na forma H

( )

y =G

( )

x +C .

Exemplos:

Resolução de equações por separação de variáveis:

❶

x y dx dy =

Cálculo via Maple

> dsolve(diff(y(x),x)=y(x)/x); y x( ) = _C1 x

❷

x y

dx dy ₌ 2

Cálculo via Maple

> dsolve(diff(y(x),x)=x^2*y(x)); y x( ) = _C1 e ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜x3⎞_⎠⎟⎟⎟ 3

❸

y

'

=

y

2

x

3

Cálculo via Maple

> dsolve(diff(y(x),x)=(y(x))^2*x^3); = ( ) y x − 4 − x4 4 _C1

❹

( )

⎩ ⎨ ⎧ = = − 3 0 y 2x 2xy y'

Cálculo via Maple

> dsolve({diff(y(x),x)-2*x*y(x)=2*x,y(0)=3},y(x)); = ( ) y x − + 1 4 e(x2)

❺

( )

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = 2 1 y y x 2 y 2 '

Cálculo via Maple

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✔

Exercícios

Determine a função y

( )

x utilizando separação de variáveis.

Solução:

①

( )

y x sen y' ₌

_{( )}

C x 2cos y=± − +

②

(

) (

)

0 dx dy 1 x 1 y2 ₊ ₊ 2 ₊ ₌ _y₌₋_tg

(

_arctg

( )

_x ₊_C

)

③

(

x y+3x

)

dy=−2ydx y+3lny =−2lnx +C

④

ex dx₋ydy₌0 ; y

( )

0 ₌1 1 2e y₌ x ₋

Equações lineares de primeira ordem

Uma equação diferencial de primeira ordem é denominada linear se puder ser escrita no formato:

( )

x y q

( )

x

p dx

dy ₊ ₌

Exemplo: x y cos

( )

x sendo p

( )

x x e q

( )

x cos

( )

x dx

dy ₊ 4 ₌ ₌ 4 ₌

Resolução: Método dos fatores integrantes

⒜ Determinação do fator integrante: μ=e∫p( )x dx

⒝ Multiplicar ambos os lados da equação por e expressar o resultado como μ

( )

μy μq

(x

dx

d ₌

₎

⒞ Integrar ambos os lados da equação obtida no passo ⒝ em relação a x e então determinar y. Exemplos:

Resolução de equações lineares:

❶

_y _e2x dx dy = − > dsolve(diff(y(x),x)-y(x)=exp(2*x)); y x( ) = (ex + _C1 e) x

❷

( )

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = − 2 1 y x y dx dy x > dsolve({x*diff(y(x),x)-y(x)=x,y(1)=2}); y x( ) = (ln x( ) + 2 x)

(5)

✔

Exercícios

Determine a função y

( )

x das equações lineares abaixo.

Solução:

①

y' ₋2xy₌x 2 1 e C y₌ x2 ₋

②

y' ₋3y₌6 _y₌₋₂₊_C_e3x

③

y' ₋5y₌0 ( ** variáveis separáveis ) _y₌_C_e5x

④

y' ₊y₌sen

( )

x

( )

2 x cos 2 x sen e C y₌ −x ₊ ₋

Aplicações das EDOs de primeira ordem

∙

Problemas de crescimento e decrescimento

Seja a quantidade de substância (ou população) sujeita a um processo de crescimento ou decrescimento. Se admitirmos que

( )

t N

dt dN

, taxa de variação da quantidade de substância, é proporcional à quantidade de substância presente, então

N k dt dN = onde k é a constante de proporcionalidade. Exemplo:

Certa substância radioativa diminui a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se, inicialmente a quantidade de material é 50 miligramas, e se após duas horas perderam-se 10% da massa original, determine:

⒜ a expressão para a massa de substância restante em um tempo arbitrário t ⒝ a massa restante após 4 horas

⒞ o tempo necessário para que a massa inicial fique reduzida à metade

OBS: o tempo necessário para reduzir uma substância sujeita a decréscimo à metade da quantidade original é chamada meia-vida da substância.

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> N:=t->C*exp(k*t); := N t → C e(k t) > solve({N(0)=50,N(2.)=45},{C,k}); {C 50. = ,k -0.05268025783 = } > k:=-0.0527; C:=50; := k -0.0527 := C 50 (a) > N(t); plot(N(t),t=0..100,color=black); 50 e(−0.0527 t) (b) > N(4); 40.49680190 (c) > solve(N(t)=25,t); 13.15269792

∙

Problemas de variação de temperatura

Segundo a lei de variação de temperatura de Newton a taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. Seja T a temperatura do corpo e a temperatura do meio ambiente. Então, a taxa de variação da temperatura do corpo é

m T

dt dT

, e a lei de Newton relativa à variação de temperatura pode ser formulada como

(

T T

)

k dt dT m − =

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Escolhendo-se para K um valor positivo, torna-se necessário o sinal negativo na lei de Newton a fim de tornar

dt dT

negativa em um processo de resfriamento. Neste processo, T é maior que ; e assim é positiva. m T m T -T Exemplo:

Coloca-se uma barra de metal à temperatura de 100º F num quarto com temperatura constante de 0º F. Se após 20 minutos a temperatura da barra é de 50º F, determine:

⒜ o tempo necessário para a barra chegar à temperatura de 25º F ⒝ a temperatura da barra após 10 minutos

➥

⒜ t =39,6min ⒝ T

( )

10 _≈70,5oF Cálculo via Maple

> restart; > Tm:=0; := Tm 0 > dsolve(diff(T(t),t)=k*(Tm-T(t))); = ( ) T t _C1 e(−k t) > T:=t->C*exp(-k*t); := T t → C e(−k t) > solve({T(0)=100,T(20.)=50},{C,k}); {C 100. = ,k 0.03465735903 = } > k:=0.035; C:=100; := k 0.035 := C 100 > T(t); plot(T(t),t=0..150,color=black); 100 e(−0.035 t)

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(a) > solve(T(t)=25,t); 39.60841032 (b) > T(10); 70.46880897

∙

Circuitos elétricos

A equação básica que rege a quantidade de corrente i (em ampéres) em um circuito simples do tipo RL consistindo de uma resistência R (em ohms), um indutor L (em henries) e uma força eletromotriz (fem) E (em volts) é

L E i L R dt di₊ ₌

Para um circuito do tipo RC consistindo de uma resistência, um capacitor C (em farads), uma força eletromotriz, e sem indutância, a equação que rege a quantidade de carga elétrica q (em coulombs) no capacitor é R E q RC 1 dt dq₊ ₌ A relação entre q e i é dt dq i= Exemplo:

Um circuito RL tem fem de 5 volts, resistência de 50 ohms e indutância de 1 henry. Sendo a corrente inicial nula, determine a corrente no circuito no instante t.

➥

10 e 10 1 i= − −50t > restart; > E:=5; R:=50; L:=1; := E 5 := R 50 := L 1 > dsolve(diff(i(t),t)+50*i(t)=E/L); = ( ) i t 1 + 10 e (−50 t) _C1 > i:=t->1/10+C*exp(-50*t); := i t → 1 + 10 C e (−50 t) > solve({i(0.)=0},{C}); {C -0.1000000000 = } > C:=-0.1;

(9)

:= C -0.1 > i(t); − 1 10 0.1 e (−50 t) > plot(i(t),t=0..1);

✔

Exercícios

➀

Uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Após uma hora, observaram-se 1000 núcleos de bactérias na cultura, e após 4 horas, 3000 núcleos. Determine:

⒜ a expressão para o número de núcleos presentes na cultura no tempo arbitrário t ⒝ o número de núcleos inicialmente existentes na cultura

➥

⒜ _N

( )

_t ₌₆₉₄_e0,366t_{e ⒝}_N

( )

₀ ₌₆₉₄

➁

A população de determinado estado cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes existentes. Se após dois anos a população é o dobro da inicial, e após três anos é de 20.000 habitantes, determine a população inicial.

➥

N

( )

0 =7062

➂

Um corpo à temperatura inicial de 50º F é colocado ao ar livre, onde a temperatura ambiente é de 100º F. Se após 5 minutos a temperatura do corpo é de 60º F, determine:

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➥

T 30oF 0 =−

➄

Um investidor aplica na bolsa de valores determinada quantia que triplica em 30 meses. Encontre quanto tempo essa quantia será quadruplicada supondo que o aumento é proporcional ao investimento feito.

➥

t = 3 anos, 1 mês e 25 dias

➅

A espessura y

( )

t de gelo formado num lago satisfaz a equação diferencial y 3

y' _{= . Sabendo} que em dias o gelo tem 2,5 cm de espessura, determine em quanto tempo a camada de gelo terá 5 cm de espessura. 0 t=

➥

t = 3 dias e 3 horas

➆

A equação diferencial V C Q dt dQ

R + = descreve a carga Q em um condensador com capacidade C durante um processo de carga envolvendo uma resistência R e uma força eletromotriz V. Se a carga é nula quando t=0, expresse Q como função de t.