Antonio Paulo Muccillo de Medeiros

(1)

(2)

Conceito

• É a área da matemática que estuda

os argumentos (premissas e

conclusão).

• Estuda os métodos e princípios que

permitam distinguir argumentos

(3)

Argumento Legítimo ou Válido

É aquele em que a conclusão é

consequência lógica ou necessária das

premissas.

Exemplo:

Premissa: todos os animais são mortais

Premissa: o gato é um animal

(4)

Argumento Ilegítimo ou Não

Válido

É aquele em que a conclusão não é

consequência lógica das premissas.

Exemplo:

Premissa: todos os homens são mortais

Premissa: alguns animais são mortais

(5)

(6)

Aristóteles

(7)

Aristóteles

• Princípio do Terceiro Excluído

(8)

Princípio do Terceiro

Excluído

“Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa,

isto é, verifica-se sempre um destes casos e

(9)

Silogismo

Os componentes do Silogismo Aristotélico são

as sentenças universais ou particulares,

afirmativas ou negativas.

Exemplo:

A: Todos os animais são mortais - universal afirmativa

E: Nenhum animal é imortal – universal negativa

I: Alguns homens são sábios – particular afirmativa

(10)

Silogismo

Em linguagem de conjuntos temos:

A: Todo X é Y – X ⊂ Y

E: Nenhum X é Y – X ∩ Y = ∅

I: Algum X é Y – X ∩ Y ≠ ∅

(11)

Silogismo

Diagramas de Euler-Venn

A: Todo X é Y –

X

⊂

Y

(12)

Silogismo

Diagramas de Euler-Venn

(13)

Silogismo

Diagramas de Euler-Venn

I: Algum X é Y –

X

∩

Y

≠ ∅

(14)

Silogismo

Diagramas de Euler-Venn

(15)

Zenão

336 - 204 a.C.

Outros gregos

desta época:

Crisipo e Filo

(16)

Gottfried

Gottfried Wilhelm

Wilhelm Leibniz

Leibniz

1646 - 1716

Precursor da Lógica

Moderna. Sugeriu o

sistema de

abreviações para

construir uma

linguagem artificial

livre de

ambiguidades.

(17)

Leonhard

Leonhard Euler

Euler

1707 - 1783

Primeiro a usar

diagramas no

estudo da Lógica.

(18)

George

George Boole

Boole

1815 - 1864

Criou os

fundamentos da

lógica formal e de

uma nova álgebra,

hoje conhecida

como álgebra

(19)

George

George Boole

Boole

Escreveu os livros:

The Mathematical Analysis of Logic e

Investigations of the Laws of Thought,

que é considerado como o início da

lógica moderna.

(20)

Augustus De Morgan

1806 – 1871

Desenvolveu, em

paralelo com Boole,

a Álgebra da Lógica.

Enunciou o princípio

da dualidade da

teoria dos conjuntos

.

(21)

John

John Venn

Venn

1834 - 1923

Aperfeiçoou os

diagramas no

estudo da Lógica.

(22)

Gottlob

Gottlob Frege

Frege

1848 – 1925

Em sua obra

Begriffsschrift

desenvolve, pela

primeira vez,

axiomaticamente, o

Cálculo Sentencial.

(23)

Outros Matemáticos

• Bertrand Russel (1872 – 1970)

• Alfred Noth Whitehead (1861 – 1947)

• David Hilbert (1862 – 1943)

• Paul Bernays (1888 – 1977)

• Kurt Gödel (1906 - 1978)

• Alfred Tarski (1901 - 1983)

(24)

(25)

Proposição ou Sentença

Todo conjunto de palavras ou símbolos

que exprimem um pensamento de

sentido completo (Sá, 2008).

É o elemento fundamental da linguagem

falada ou escrita (Castrucci, 1984).

Uma proposição é composta de um

sujeito (nome) e uma ação

(26)

Exemplos de proposições

1. A Lua é um satélite da Terra.

2. José é malandro.

3. 3 x 5 = 5 x 3

4. Onde você mora?

5. Que lindo jardim!

6. Escreva um verso.

7. Pedro estuda e trabalha.

8. Fernanda está no cinema ou no mercado.

9. João estuda então tem êxito na escola.

10. Paulo vai ao cinema somente se conseguir

dinheiro.

(27)

No estudo da Lógica Matemática nos

restringiremos às proposições

declarativas

ou

afirmativas

e que

admitem o valor

V

(verdadeiro) ou

F

(falso), um excluindo o outro. São

Observações:

(falso), um excluindo o outro. São

exemplos deste tipo de proposição as

de números 1, 2, 3, 7, 8, 9 e 10.

As proposições

interrogativas

(4),

exclamativas

(5) e

imperativas

(6) não

serão consideradas em nosso estudo.

(28)

No estudo da Lógica as proposições são

designadas por letras latinas minúsculas:

p, q, r, ...

As proposições afirmativas 1, 2 e 3 são

ditas

proposições simples

. Elas são o

Observações:

ditas

proposições simples

. Elas são o

núcleo da linguagem.

Já as proposições 7, 8, 9 e 10 são

chamadas

proposições compostas

. Elas

são

formadas por uma ou mais

(29)

Pedro estuda

e

Pedro trabalha.

Fernanda está no cinema

ou

Fernanda

está no mercado.

Proposições compostas:

está no mercado.

Se

João estuda

então

João tem êxito na

escola.

Paulo vai ao cinema

se e somente se

(30)

Exercícios:

Determine dentre os itens dos próximos slides:

• Quais são proposições

• Entre as que forem quais são simples e

compostas e

• Dê os valores das proposições simples, isto é,

atribuir V ou F a cada uma.

(31)

Exercícios:

a. O número 3 é maior que o número 2. b. A terra é uma estrela.

c. 3(9-2) d. 9

e. 8 x 7 = 56

f. O gato é da mamãe. f. O gato é da mamãe.

g. Um bom livro de matemática. h. 3 + 5 = 5 + 3

i. Se chove, então, a rua fica molhada. j. O sol brilha e queima as plantas.

k. Ou você me vende o livro ou você me empresta. l. Um triângulo é retângulo se e somente se tem um

(32)

Exercícios:

m. 3 + 5 = 8

n. Pedro Álvares Cabral descobriu o Brasil. o. Colombo descobriu a Ásia.

p. O número 11 é primo. q. Triângulo equilátero. r. sen 30° é 1

s. O número π é racional.

t. Um número divisível por 2 é par.

u. Se um triângulo é retângulo, então, dois de seus lados são perpendiculares.

v. Os lados de um triângulo equilátero são congruentes.

(33)

São termos, símbolos ou palavras que

Conectivos e Modificadores:

usamos para combinar proposições

simples tornando-as proposições

(34)

Principais Conectivos e

Modificadores:

NOME COMO SE LÊ SIMBOLOGIA

Negação não p ~p

Conjunção p e q p ∧ q

Disjunção p ou q p ∨ q

Condicional se p então q p → q Bicondicional p se e somente se q p ↔ q

(35)

Colocando-se “não” antes do verbo da

proposição obtemos uma proposição que

é a negação da primeira. A negação da

proposição “Ele é um bom professor” é

“Ele não é um bom professor”.

Negação

“Ele não é um bom professor”.

Outra forma para obter a negação de uma

proposição é colocar na frente dela

expressões do tipo “não é verdade que”

ou “não é o caso de”. Assim teremos

como negação do primeiro exemplo “Não

é verdade que ele é um bom professor”.

(36)

Dadas duas proposições:

p

: Pedro estuda a lição.

q

: João vai à escola.

Conjunção

q

: João vai à escola.

e usando a conjunção teremos

p

∧∧∧∧∧∧∧∧

q

: Pedro estuda a lição

e

João vai à

escola.

(37)

Dadas duas proposições p e q,

formaremos uma proposição

denominada disjunção com o

conectivo “ou” e teremos “p ou q”

Disjunção

conectivo “ou” e teremos “p ou q”

(p

∨

q). No exemplo do slide

anterior teremos:

p

∨∨∨∨∨∨∨∨

q

: Pedro estuda a lição

ou

João

(38)

Há dois sentidos para o “ou” na linguagem.

Por exemplo a sentença “Chove ou faz frio” é

verdadeira nos seguintes casos:

• Chove

• Faz frio

Chove e faz frio

Observação

• Chove e faz frio

Já o exemplo “O Prof. Pedro será nomeado

embaixador na Espanha ou será reitor da

USP.” será verdadeira nos casos:

• O Prof. Pedro será nomeado embaixador na

Espanha

(39)

No primeiro exemplo do slide anterior

dizemos que o

ou

é

inclusivo

. Esta será

operação que estudaremos mais a fundo.

No segundo exemplo diz-se que

ou

é

exclusivo

. Esta operação é representada

Observação

exclusivo

. Esta operação é representada

por

∨

.

Utiliza-se a repetição do ou para

denotarmos que o ou é exclusivo. Por

exemplo:

p

(40)

A proposição condicional “se p

então q” (p

→

q) . No nosso

exemplo seria lido como:

Condicional

→

exemplo seria lido como:

p

→

q

:

Se

Pedro estuda a lição

então

(41)

A proposição bicondicional “p se e

somente se q” (p

↔

q) . No nosso

exemplo seria lido como:

Bicondicional

exemplo seria lido como:

p

↔

q

: Pedro estuda a lição

se e

somente se

João vai à

escola.

(42)

1. Escrever simbolicamente para p: João é

esperto, q: José é tolo.

a. João é esperto e José é tolo. b. João é esperto ou José é tolo.

c. Ou João é esperto ou José é tolo.

Exercícios

(Castrucci, 1984)(Castrucci, 1984)

c. Ou João é esperto ou José é tolo. d. Nem João nem José são tolos.

e. João e José são tolos.

f. João é esperto ou José não é tolo.

g. Não é verdade que João e José são tolos. h. Se João é tolo, então José não é tolo.

(43)

2. Construa fórmulas para as seguintes

sentenças:

a. José vai ao cinema se e somente se é anunciada uma comédia.

b. Condição necessária e suficiente para que o rei

Exercícios

b. Condição necessária e suficiente para que o rei seja feliz é que tenha vinho.

c. Ou João irá a festa e Max não, ou João não irá e Max sim.

d. Uma condição suficiente para que x seja ímpar é que x seja primo.

e. Uma condição necessária para que uma sequência s convirja é que seja limitada. f. Se x > 0, x2 _{> 0}

(44)

3. Escreva, na linguagem comum, sabendo

que p: Os preços são altos e q: Os

estoques são grandes.

a. (p ∧ q) → p

b. (p ∧ ~q) → ~p

Exercícios

b. (p ∧ ~q) → ~p c. ~p ∧ ~q d. p ∨ ~q e. ~(p ∧ q) f. ~(p ∨ q) g. ~(~p ∨ ~q)

(45)

É usual representarmos as proposições

através de tabelas das possibilidades

Tabela

Tabela--verdade

verdade

através de tabelas das possibilidades

de seus valores lógicos (V ou F), que

(46)

Tabela

Tabela--verdade da Negação

verdade da Negação

p

~p

V

F

V

F

V

Outros símbolos para a negação são:

- e .

(47)

Tabela

Tabela--verdade da Conjunção

verdade da Conjunção

p

q

p

∧

q

V

F

Outro símbolo para a conjunção é &

V

F

V

F

(48)

Circuito elétrico em série e a

tabela

(49)

Tabela

Tabela--verdade da Disjunção

verdade da Disjunção

p

q

p

∨

q

V

F

V

F

V

(50)

Circuito elétrico paralelo e a

tabela

(51)

Tabela

Tabela--verdade da Disjunção Exclusiva

verdade da Disjunção Exclusiva

p

q

p

∨

q

V

F

V

F

V

F

V

(52)

Tabela

Tabela--verdade da Condicional

verdade da Condicional

p

q

p

→

q

V

F

V

F

V

F

V

Exemplo:

Uma pessoa chega perto de uma porta onde se lê:

(53)

Podemos considerar uma proposição

condicional como a inclusão de um conjunto

(p) em outro (q). Ou seja, podemos imaginar

que p

→

q representa um conjunto associado

a p, contido num conjunto associado a q.

Condicional

(54)

Se o jovem é escoteiro, então é leal.

Exemplo:

(55)

Tabela

Tabela--verdade da

verdade da Bicondicional

Bicondicional

p

q

p

↔

q

V

F

Podemos entender a proposição p

↔

q como

sendo equivalente à composição de

(p

→

q)

∧∧∧∧

(q

→

p)

F

V

F

(56)

Tabela-verdade de (p

→

q)

∧∧∧∧

(q

→

p)

p

q

p

→

q q

→

p (p

→

q)

∧

(q

→

p)

V

F

V

F

V

F

V

(57)

Com as regras estabelecidas, podemos

construir a tabela verdade de uma fórmula

qualquer. Por exemplo da proposição:

Tabela

Tabela--verdade de uma

verdade de uma

fórmula qualquer

qualquer. Por exemplo da proposição:

((p

∨

q )

→

~p)

→

(q

∧

p).

Os átomos dessa proposição são p e q.

Segue-se a tabela-verdade:

(58)

Tabela

Tabela--verdade de uma

verdade de uma

fórmula qualquer

p q p ∨ q ~p (p ∨ q) → ~p q ∧ p ((p ∨ q ) → ~p) → (q ∧ p) V V V F F V F F

(59)

Tabela

Tabela--verdade de uma

verdade de uma

fórmula qualquer

p q p ∨ q ~p (p ∨ q) → ~p q ∧ p ((p ∨ q ) → ~p) → (q ∧ p) V V V F F V V V F V F F F V F V V V V F F F F F V V F F

(60)

Cada proposição p tem dois valores: V ou F,

que se excluem. Daí, para n proposições p

₁

,

p , p , ..., p há tantas possibilidades

Número de linhas de uma

Tabela

Tabela--verdade

verdade

p

₂

, p

₃

, ..., p

_n

há tantas possibilidades

quantos são os arranjos com repetição de 2

(V ou F) elementos, n a n, isto é A

_2,n

= 2

n

_.

Assim para duas proposições teremos 2

2

_{= 4}

(61)

Número de linhas de uma

Tabela

Tabela--verdade

verdade

p q V V V F p q r V V V p V F V F F V F F V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F F

Façam , agora, para

p, q, r e s.

(62)

Sentenças do tipo: “Ele é professor da FAA” ou

“x + 2 = 8” são chamadas sentenças

abertas, pois podem ser ou não verdadeiras

de acordo com a substituição que fizermos

Quantificadores:

de acordo com a substituição que fizermos

do “ele” e do “x”.

Os quantificadores são símbolos lógicos que

atuam sobre as sentenças abertas,

tornando-as sentenças fechadas ou

proposições.

(63)

Para todo

Qualquer que seja

Exemplo:

Quantificador Universal ( )

Exemplo:

x, x > 4

(64)

Para algum

Existe algum

Exemplo:

Quantificador Existencial ( )

Exemplo:

x, x é par

(65)

~( x, p)

⇔

x, ~p

Negação de sentenças com

quantificadores

~( x, p)

⇔

x, ~p

(66)

Exemplo:

A negação da sentença

“Todos os alunos da turma são estudiosos.” “Todos os alunos da turma são estudiosos.”

Negação de sentenças com

quantificadores

“Todos os alunos da turma são estudiosos.” “Todos os alunos da turma são estudiosos.” seria

“Não é verdade que todos os alunos da turma “Não é verdade que todos os alunos da turma são estudiosos.”

são estudiosos.” Ou

“Existe algum aluno da turma que não é “Existe algum aluno da turma que não é estudioso”

(67)

Exemplo:

“Algumas mulheres são sensíveis.” “Algumas mulheres são sensíveis.”

Negação de sentenças com

quantificadores

“Algumas mulheres são sensíveis.” “Algumas mulheres são sensíveis.” seria

“Não é verdade que algumas mulheres são “Não é verdade que algumas mulheres são sensíveis.”

sensíveis.” Ou

“Todas as mulheres

(68)

Uma proposição é dita logicamente

equivalente a outra se suas

tabelas-verdade são idênticas.

Equivalência Lógica (

⇔

)

tabelas-verdade são idênticas.

Podemos, então, escrever que

p

(69)

Uma proposição é uma tautologia ou é

tautológica quando ela é sempre verdadeira.

Representamos as tautologias pela letra

latina minúscula

_v

.

Tautologia

p

q

~p

q

∨

~p

p

∨

(q

∨

~p)

p

q

~p

q

∨

~p

p

∨

(q

∨

~p)

V

F

V

F

V

F

V

F

V

(70)

Uma proposição é uma contradição ou

contra-válida quando ela é sempre falsa.

Representamos as contradições pela letra

latina minúscula

_f

.

Contradição

p

q

~p

∧

q

p

∧

(q

∧

~p)

p

q

~p

∧

q

p

∧

(q

∧

~p)

V

F

V

F

V

F

V

F

(71)

Uma proposição p é dita logicamente

Outra definição para

Equivalência Lógica (

⇔

)

equivalente a outra q se e somente se

p

↔

q é uma tautologia.

(72)

1. As fórmulas tautológicas são

equivalentes entre si.

Propriedades da equivalência

2. As fórmulas contra-válidas

(contradições) são equivalentes entre

si.

(73)

1. Construa tabelas-verdade para:

Exercícios

a. (p ∧ q) → p b. (p ∧ ~q) → ~p g. ~(~p ∨ ~q) h. (p ∧ q) ∨ r b. (p ∧ ~q) → ~p c. ~p ∧ ~q d. p ∨ ~q e. ~(p ∧ q) f. ~(p ∨ q) h. (p ∧ q) ∨ r i. ~~p ↔ p j. ~(p ∨ q) ↔ ((~~p) ∨ ~q) k. (p ∨ q) ∨ r ↔ p ∨ ( q ∨ r) l. ~(p ∧ q) ↔ ~p ∨ ~q

(74)

Relacionais:

Operadores Lógicos

Igual ₌ Diferente ≠ Maior que _> Maior que _> Menor que _< Maior ou igual a ≥ Menor ou igual a ≤ Equivalente a ⇔ Implica ⇒

(75)

Não Relacionais:

Operadores Lógicos

Não

_~

E

∧

E

∧

Ou

∨

Se...então

→

Se e somente se

↔

(76)

Esse operadores, como os

aritméticos, obedecem a uma

ordem de prioridade para serem

executados.

Operadores Lógicos Não

Relacionais

executados.

Como acontece com os operadores

aritméticos, esta ordem pode ser

alterada com o uso de parêntesis,

(77)

Operadores Lógicos Não Relacionais

Prioridade dos operadores Prioridade dos operadores

Aritméticos Aritméticos

Prioridade dos operadores Prioridade dos operadores

Lógicos Lógicos Potência/Radiciação Produto/Divisão Produto/Divisão Adição/Subtração Não _~ E ∧ Ou ∨ Se...então → Se e somente se ↔

(78)

Assim:

a

↔

b

→

c significa

a

↔

(b

→

c)

Prioridade dos Operadores

Lógicos Não Relacionais

a

↔

b

→

c significa

a

↔

(b

→

c)

a

→

b

∨

c significa

a

→

(b

∨

c)

a

∨

b

∧

c significa

a

∨

(b

∧

c)

~p

∨

q significa

(~p)

∨

q

(79)

Vamos fazer agora os exercícios da fotocópia

das páginas 20 a 28 do livro do Prof. Ilydio

Exercícios

(Sá, 2008)(Sá, 2008)

das páginas 20 a 28 do livro do Prof. Ilydio

Pereira de Sá, Raciocínio Lógico – Concursos

(80)

Uma proposição

a

implica uma

proposição

b

se e somente se

a

→

b

é

uma tautologia.

Relação de Implicação(

Relação de Implicação(⇒

⇒

)

uma tautologia.

Ou

Uma fórmula proposicional

A

implica

uma fórmula proposicional

B

se e

(81)

1. Se P é um conjunto de proposições ou

de fórmulas, A ⇒ B é uma relação em

P, então valem as propriedades:

Propriedade da Implicação

P, então valem as propriedades:

a.

Reflexiva: qualquer que seja A,

A

A ⇒

⇒

A

b.

Transitiva: quaisquer que sejam A, B e C,

se A

(82)

1. Provar as implicações

Exercícios

a. (~p ∧ q) ⇒ ~p b. (p ∧ q → r) ⇒ (p → (q → r) c. p ⇒ (q → q ∧ p) d. p ⇒ (p ∨ q) e. p ⇒ (p ∧ q ↔ q) f. (p → (q ∧ ~q)) ⇒ ~p

(83)

Propriedades das Operações

Lógicas:

Propriedades da Conjunção

p ∧ q ⇔ q ∧ p Comutativa p ∧ q ⇔ q ∧ p Comutativa (p ∧ q) ∧ r ⇔ q ∧ (p ∧ r) Associativa p ∧ p ⇔ p Idempotente p ∧ v ⇔ p Propriedade de v p ∧ f ⇔ f Propriedade de f

(84)

Propriedades das Operações

Lógicas:

Propriedades da Disjunção

p ∨ q ⇔ q ∨ p Comutativa (p ∨ q) ∨ r ⇔ q ∨ (p ∨ r) Associativa p ∨ p ⇔ p Idempotente p ∨ v ⇔ v Propriedade de v p ∨ f ⇔ p Propriedade de f

(85)

Propriedades das Operações

Lógicas:

Propriedades Distributivas

p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

(86)

Propriedades das Operações

Lógicas:

Absorção

p

∧

(p

∨

q)

⇔

p

∧

(p

∨

q)

⇔

p

∨

(p

∧

q)

⇔

p

(87)

Propriedades das Operações

Lógicas:

Propriedades da Negação

(88)

Propriedades das Operações

Lógicas:

Leis de

Leis de De

De Morgan

Morgan

~(p

∧

q)

⇔

~p

∨

~q

~(p

∨

q)

⇔

~p

∧

~q

(89)

Redução do número de

conectivos

p

∨

q

⇔

~(~p

∧

~q)

p

∨

q

⇔

~(~p

∧

~q)

p

→

q

⇔

~(p

∧

~q)

p

↔

q

⇔

~(p

∧

~q)

∧

~(~p

∧

q)

(90)

1. Provar pelas propriedades das operações

lógicas as equivalências:

Exercícios

a. ~( a ∧ b ∧ ~c) ⇔ ~a ∨ (b →c) b. a ∧ ~b → ~c ⇔ a ∧ c → b b. a ∧ ~b → ~c ⇔ a ∧ c → b c. (a ∨ b ) ∧ (~a ∨ b) ⇔ b d. ~(~(p ∨ ~q) ⇔ ~p → ~q e. a → a ∨ b ⇔ a ∧ ~a → b f. ~(~(p ∨ q) ∧ (p ∨ q)) ⇔ p v p

(91)

Argumento

Um argumento é uma sequência A

₁

,

A

₂

, A

₃

, ..., A

_n

(n

≥

1) de fórmulas

proposicionais (ou proposições), onde

os termos A

₁

, A

₂

, A

₃

, ... chamam-se

premissas

e o último A

_n

,

conclusão

.

Indica-se por:

(92)

Argumento

A

₁

, A

₂

, A

₃

,..., A

_n-1

A

_n

Se lê A

₁

, A

₂

, A

₃

, ... A

_n-1

acarretam

A

_n

(93)

Argumento Válido

Um argumento

A

₁

, A

₂

, A

₃

,..., A

_n-1

A

_n

é válido se e somente se

A

₁

∧

A

₂

∧

A

₃

∧

...

∧

A

_n-1

→

A

_n

é uma

tautologia. Nets caso escreve-se

(94)

Exemplos de Argumentos

Válidos

1. (p

∧

q)

∨

(p

→

q), ~(p

∧

q) p

→

q

1. (p

∧

q)

∨

(p

→

q), ~(p

∧

q) p

→

q

2. p, q

→

r, r ~q

(95)

1. Verificar se são válidos os argumentos:

Exercícios

a. p, p → q q b. p → q, ~q ~p b. p → q, ~q ~p c. p → q, q → r p → r d. p ∨ q, ~p ~q e. p → q, r → s, p ∨ r q ∨ s

(96)

2. Verificar se são válidos os argumentos:

Exercícios

a. p → q ~p → ~q b. p → q p b. p → q p c. ~(p ∨ q), (p ∧ q) ∨ (p → q) ∨ r (p → q) ∨ r d. p → q, p ∨ r, ~q r e. p ∧ q, ~p ~q

(97)

3. Verificar se são válidos os argumentos:

Exercícios

a. Se eu fosse artista, seria inteligente; não sou artista, logo não sou inteligente.

b. Não é verdade que eu não gosto de açúcar e de b. Não é verdade que eu não gosto de açúcar e de

pimenta; eu gosto de açúcar e pimenta ou não estudo ou se gosto de açúcar não gosto de

pimenta. Segue-se que eu estudo ou se gosto de açúcar, então gosto de pimenta.

c. Se eu gosto de pimenta, então, entendo o

teorema. Eu gosto de pimenta ou vou ao cinema. Não entendo o teorema. Logo, vou ao cinema.

(98)

3. Verificar se são válidos os argumentos:

(continuação)

Exercícios

d. Se trabalho, ganho dinheiro. Se não trabalho, me. Logo, se não ganho dinheiro, divirto-me.

me.

e. O aluno é aprovado se e somente se é estudioso. Se o aluno tem tempo e não é estudioso. Então, não é reprovado. Se o aluno é estudioso e não tem tempo, então ele é aprovado ou não. Segue-se que Segue-se o aluno não tem tempo, então, ele é estudioso.

(99)

3. Verificar se são válidos os argumentos:

(continuação)

Exercícios

f. Se Paulo é competente, então, se o serviço é bem feito, ele será aceito. O serviço não é aceito.

Segue-se que se o serviço é bem feito, então Paulo não é competente.

(100)

Sentenças Abertas

Há frases declarativas afirmativas para as

quais não podemos atribuir os valores V

ou F. Assim, a frase “Ela foi professora da

FAA.” será uma proposição se colocarmos

um nome de pessoa, o que acarretará

um valor V ou F.

Da mesma forma “x + 4 = 8” será uma

proposição quando colocarmos uma

(101)

Sentenças Abertas

As frases com variáveis , que se chamam

sentenças abertas , não são nem

verdadeiras nem falsas.

Quando se substituem as variáveis por

constantes numa sentença aberta,

tem-se o que tem-se chama de interpretação das

variáveis da sentença aberta ou,

abreviadamente, uma interpretação de

sentença aberta.

(102)

Sentenças Abertas

Deste modo, “4 + 4 = 8” é uma

interpretação da sentença “x + 4 = 8” e

“Charles Chaplin foi professor da FAA.” é

uma interpretação da frase “Ele foi

professor da FAA.”

Cada interpretação conduz a uma

proposição, pois fica determinada para

ela um dos valores V ou F.

(103)

1. Dê interpretações que tornem proposições

as sentenças abertas:

Exercícios

a. x + y = 8 b. 5x – 1 = 9 b. 5x – 1 = 9

c. Ele foi o melhor jogador do Santos F.C., em 1970. d. Ele foi o presidente do Brasil em 2005.

e. X é um bom matemático da Universidade y6. f. Log₁₀x = 1

(104)

2. Dê sentenças abertas correspondentes às

fórmulas:

Exercícios

a. Px b. Rxy

c. Px ∨ Qx → Py d. Px → Ay ∧ Qz

Diz-se que a sentença aberta de uma variável tem peso 1. No exercício as sentenças P, Q e A têm este peso. As sentenças com duas variáveis têm peso 2, que é o caso ,

no exemplo, da sentença R. O peso 0 (zero) é o peso de uma proposição.

(105)

Os quantificadores são símbolos lógicos que

Revisando Quantificadores:

atuam sobre as sentenças abertas,

tornando-as sentenças fechadas ou

(106)

Para todo

Qualquer que seja

Exemplo:

Quantificador Universal ( )

Exemplo:

x, x > 4

(107)

Para algum

Existe algum

Exemplo:

Quantificador Existencial ( )

Exemplo:

x, x é par

(108)

~( x, p)

⇔

x, ~p

Negação de sentenças com

quantificadores

~( x, p)

⇔

x, ~p

(109)

Exemplo:

“Todos os alunos da turma são estudiosos.” “Todos os alunos da turma são estudiosos.”

Negação de sentenças com

quantificadores

“Todos os alunos da turma são estudiosos.” “Todos os alunos da turma são estudiosos.” seria

“Não é verdade que todos os alunos da turma “Não é verdade que todos os alunos da turma são estudiosos.”

são estudiosos.” Ou

“Existe algum aluno da turma que não é “Existe algum aluno da turma que não é estudioso”

(110)

Exemplo:

“Algumas mulheres são sensíveis.” “Algumas mulheres são sensíveis.”

Negação de sentenças com

quantificadores

“Algumas mulheres são sensíveis.” “Algumas mulheres são sensíveis.” seria

“Não é verdade que algumas mulheres são “Não é verdade que algumas mulheres são sensíveis.”

sensíveis.” Ou

“Todas as mulheres

(111)

1. Negar, aplicando as regras:

Exercícios

a. Todos os triângulos são isóceles.

b. Todos os quadrados são losangos e retângulos. c. Nenhum homem é imortal.

2. Negar, aplicando as regras:

a. x Px → Qx b. Px → xQx

(112)

3. Negar, aplicando as regras:

Exercícios

a. Alguns animais são mamíferos.

b. Para todo x, x + 4 = 9, com x ∈ R c. Tudo é esférico.

c. Tudo é esférico.

d. Qualquer que seja x, se x é homem, então, x é racional.

e. Existem animais não carnívoros. f. Algo é belo e monótono.