MATEMÁTICA 3 ( ) A. 17. Sejam f(x) = sen(x) e g(x) = x/2. Associe cada função abaixo ao gráfico que. 2 e g.f 3. O número pedido é = 75

(1)

MATEMÁTICA 3

17.

Sejam f(x) = sen(x) e g(x) = x/2. Associe cada função abaixo ao gráfico que

melhor a representa. Para cada associação feita, calcule i k, onde i é o número

entre parênteses à direita da função, e k é o número entre parênteses à direita do gráfico associado. Indique a soma dos três números assim obtidos. (O símbolo denota composição de funções e . o produto).

(2) (3) g f f g f g. (4) y x y x y x y x (0) (1) (2) (3) Resposta: 75 Justificativa:

Observe que g.f é uma função par que não é periódica nem limitada. fg e f

g são ímpares periódicas e limitadas. O período de fg é o dobro do

período de g f. A melhor correspondência é, portanto, fg

↔

1

g f

↔

2 e g.f

↔

3.

O número pedido é 21 + 32 + 43 = 75

18.

Seja y = f(x) = 52x-36. Quando a variável x varia de A a A+∆x (∆x≠0), a variável

dependente y varia de B a B+∆y. Seja

x y L ∆ ∆ = . Analise as afirmações:

0-0) Para cada valor fixo de A, L diminui quando ∆x aumenta. 1-1) Para cada valor fixo de ∆x, L aumenta quando A aumenta. 2-2)

(

₍

)

₎

A x A ) A ( f x A f L − ∆ + − ∆ + =

(2)

3-3) L é a tangente do ângulo que o gráfico de f faz com o eixo das abcissas. 4-4) Quando A = 0, L = - 36.

Resposta: FFVVF Justificativa:

∆y = f(A +∆x) – f(A) = 52 (A+∆x) – 36 – (52A - 36) = 52∆x. Assim, L é constante e igual a 52, logo 0-0, 1-1 e 4-4 são falsas. 2-2 segue de ∆y = f(A +∆x) – f(A). 3-3 é verdadeira, pois L é o coeficiente angular da reta y = 52x-36

19.

A cada uma das seis igualdades abaixo está associado um número, que

aparece entre parênteses abaixo do sinal de igualdade. Indique a soma dos números correspondentes às igualdades que se verificam para quaisquer números reais positivos x e y. Caso nenhuma igualdade se verifique, indique 00. ln(x)

=

) 2 ( ln(x) + ln(1)

=

) 3 ( ln(x+1)

=

) 4 ( ln + + 1 yx 1 yx 2 3

=

) 20 ( ln(yx3+1) – ln( yx2+1)

=

) 30 ( ln(yx3) - ln(yx2)

=

) 40 ( ln(x) Resposta: 62 Justificativa:

ln (1) = 0, logo, 2 se verifica, e 3 não. 4 não se verifica para y = 1 = x. 20 se verifica, pois ln (a/b) = ln (a) – ln (b) para quaisquer a e b positivos. 30 não se verifica para y = 1 e x = 2, pois, neste caso, o lado esquerdo é ln (9/5), e o lado direito é ln (2). 40 se verifica, pois ln (yx3) - ln (yx2) = ln (y) + 3ln(x) – (ln (y) + 2ln(x)) = ln (x).

20.

Seja n1 o número de raízes da função sen( x) no intervalo [0, 10], e seja n2 o

número de raízes da função sen(x2) no intervalo [0,10]. Indique n1+n2.

Dado: (3,1)

π

<

π

2<10<(3,2)

π

<4

π

2 Resposta: 34 Justificativa:

π

2 <10<4

π

2

π

< 10 < 2

π

, logo n1 = 2. (3,1)

π

< 10 < (3,2)

π

31

π

<102<32

π

, logo n2 = 32

21.

O conjunto dos números reais x tais que 4 ≤ |x-8| ≤ 20 é formado por dois

intervalos. Indique a soma dos comprimentos destes. Resposta: 32

Justificativa:

Se x ≥ 8 a desigualdade dada torna-se 4 ≤ x-8 ≤ 20 ou 12 ≤ x ≤ 28; se x ≤ 8 temos 4 ≤ 8-x ≤ 20 ou -12 ≤ x ≤ 4. Logo, o conjunto em questão é [12, 28] U [-12, 4]

22.

Seja K um número natural da forma K=(n+1)(n+2)(n+3)(n+4), onde n é um

número natural. Analise as afirmações:

0-0) K é par, para todo natural n.

1-1) K é múltiplo de 3, para todo natural n. 2-2) K é múltiplo de 4, para todo natural n. 3-3) K é múltiplo de 9, para todo natural n. 4-4) 4! divide K, para todo natural n.

Resposta: VVVFV Justificativa:

(3)

de 4; e um deles é múltiplo de 3; logo 0-0, 1-1, 2-2 e 4-4 são verdadeiras. Para n=1, 3-3 é falsa.

23.

Seja ABCDEF um hexágono regular situado em um plano com um sistema de

coordenadas cartesianas de maneira que A = (4, 2) e B = (10, 2). O hexágono encontra-se no primeiro quadrante do sistema de coordenadas. Considerando estes dados, analise as afirmações a seguir.

0-0) C = (3, 2 + 3 3 )

1-1) O hexágono tem lado medindo 6.

2-2) A circunferência inscrita no hexágono tem centro no ponto (7, 2+3 3 ). 3-3) A circunferência circunscrita no hexágono tem equação

(x – 7)2 + (y – 2 - 3 3 )2 = 62.

4-4) A diagonal AD está contida na reta y – 4 = 3 (x – 2).

Resposta: FVVVF Justificativa:

O lado BC, que mede o mesmo que AB = 6, forma com a reta passando por A e B um ângulo de 60o; portanto, a abscissa de C é 10 + 6cos 60o = 13 e a ordenada é 2 + 6sen 60o = 2 +3 3 . Segue que 0-0 é falsa e 1-1 é verdadeira. A circunferência inscrita no hexágono tem centro no ponto de interseção G, entre as diagonais AD e BE; logo ABG é eqüilátero e G = (7, 2+3 3 ), portanto, 2-2 é verdadeira. A circunferência circunscrita ao hexágono tem centro em G e raio 6, logo sua equação é (x – 7)2 + (y – 2 - 3 3 )2 = 62, e 3-3 é verdadeira. A reta contendo a diagonal AD tem inclinação tg 600 = 3 e passa pelo ponto A = (4,2); logo tem equação y – 2 = 3 (x – 4) e 4-4 é falsa.

24.

Considerando as funções f1, f2 , f3 : IR - {0, 1} → IR - {0, 1}, com IR sendo o

conjunto dos números reais e f1(x) = x, f2(x) = (x – 1)/x e f3(x) = 1/(1 – x) ,

analise as afirmações a seguir. A composição de funções será denotada por .

0-0) f1, f2 e f3 são funções bijetoras.

1-1) f2 é a função inversa de f3. 2-2) f2 f2 = f3 3-3) f3 f3 = f2 4-4) f3 f3 f3 = f1 Resposta: VVVVV Justificativa:

f1, f2 , f3 têm inversas f1, f3, f2 respectivamente, daí 0-0 e 1-1 são verdadeiras.

f2 f2(x) = f2(f2(x)) = [(x - 1)/x – 1]/[(x – 1)/x] = 1/(1 – x) =f3(x). Segue que f3 f3

= f2 e, portanto, 2-2 e 3-3 são verdadeiras. f3 f3 f3 = f2 f3 = f1 e 4-4 é

verdadeira.

25.

Considerando as matrizes − = 0 1 1 0 A , − − = 1 1 1 0 B e = 1 0 0 1 I ,

analise as afirmações seguintes: 0-0) A4 = I 1-1) B3 = I 2-2) = 1 0 1 1 AB 3-3) (AB)12 = I 4-4) AB = BA Resposta: VVVFF

(4)

Justificativa: Temos − − = 1 0 0 1 A2 e A4 = I, logo 0-0 é verdadeira. Temos − − = 0 1 1 1

B2 e B3 =I, logo 1-1 é verdadeira. Temos = 1 0 1 1 AB e

portanto 2-2 é verdadeira. Entretanto, − = 1 1 0 1 BA e BA ≠ AB e 4-4 é falsa. Temos = = = = 1 0 n 1 ) AB ( ,..., 1 0 4 1 ) AB ( , 1 0 3 1 ) AB ( , 1 0 2 1 ) AB ( 2 3 4 n , portanto, 3-3 é falsa.

26.

Uma estrada retilínea deve ser construída entre os pontos A e B. Uma elevação

na direção conectando estes pontos força a construção de um túnel entre os pontos C e D. Para descobrir os pontos C e D dos extremos do túnel, utilizamos um ponto E, tal que são conhecidos a distância entre E e A, a distância entre E

e B e o ângulo AEB. Sabendo que AE=10(1+

3

) km, BE=20 km e que o

ângulo AEB mede 60o, indique a medida, em graus, do ângulo EAB.

A B

E

C D

Resposta: 45 Justificativa:

Usando a lei dos cosenos temos AB2 = 100(4+2

3

)+400-2.10(1+

3

).20.1/2 = 100.6 e AB = 10 6 . Usando a lei dos senos 20/sen(EAB) = 10 6 /sen(60o) e segue que sen(EAB) = 2.(

3

/2)/ 6 =

2 /

2 e EAB mede 45o.

27.

O polinômio p(x) = x2 + ax + b, com a e b números reais, divide os polinômios

f(x) = x4 + 2x3 + x2 – 9 e g(x) = x3 - 2x2 - 9. Determine a e b e indique p(7).

Dividindo f(x) por g(x) obtemos quociente x + 4 e resto 9x2 + 9x +27 = 9(x2 + x + 3). Então p(x) divide 9(x2 + x + 3) e tem coeficiente líder 1, logo p(x) = x2 + x + 3 e p(7) = 59.

28.

Efetuadas n medidas de certos objetos foram obtidos os resultados abaixo para

o percentual de objetos correspondendo a cada uma das medidas.

Medida Percentual 12,4cm 12,25% 12,6cm 25% 12,8cm 50% 13,0cm 12,75%

Se os resultados para os percentuais são exatos, determine o menor valor possível para n e indique n/10.

(5)

Temos 12,25/100 = 1225/10000 = 49/400 e 12,75/100 = 1275/10000 = 51/400. O número n de medidas é divisível por 400, seu menor valor é 400 e n/10 = 40.

29.

A ilustração abaixo representa parte do gráfico de uma função

f(x) = a + b.cos (πx/c) com período 8, sendo a, b e c números reais. O gráfico da

função passa pelos pontos (0,12) e (4,2). Calcule a, b e c e indique abc/10.

1 2 3 4 5 6 7 8 0 2 4 6 8 10 12 y x Resposta: 14 Justificativa:

Como a função tem período 8, temos 2π/(π/c) = 8 e c = 4. De f(0) = 12 segue que a + b = 12; de f(4) = 8 segue que a + bcos π = 2 ou a – b = 2. Resolvendo o sistema, obtemos a = 7 e b = 5.

30.

A hipérbole de equação x2 - y2 + 2y = 0 e a circunferência de equação x2 + y2 =

4 se interceptam em três pontos não colineares. Determine a área A do

triângulo com vértices nestes três pontos e indique A2.

Subtraindo as equações das cônicas, obtemos 2y 2 – 2y = 4 que eqüivale a y

2

– y –2 = 0 que tem soluções y = 2 e y = -1. Para y = 2 temos x = 0 e para y = -1 temos x = ± 3 . Os vértices do triângulo são (0,2) e (± 3,-1). O triângulo tem base 2 3 e altura correspondente 3; logo, A = 2 3 .3/2 = 3 3 e A2 = 27.

31.

Um depósito de cereais é composto de um cilindro circular reto de raio da base

medindo 4m e altura 6m e de um tronco de cone com raios das bases medindo

4m e 1m e altura 1,5m, como ilustrado na figura abaixo.

1,5m 6m

Calcule o volume do depósito, em m3, aproxime para o inteiro mais próximo e

(6)

Seja h a altura do cone retirado para obtermos o tronco. Temos 4/(1,5+h) = 1/h e daí h = 1,5/3 = 0,5m. O volume do depósito é π42.6 + π(42.2 - 12.0,5)/3 = 334,41m3.

32.

O segredo de um cofre é formado de uma seqüência de quatro dígitos distintos.

Se o quarto dígito é o dobro do primeiro, determine o número N de possíveis segredos. Indique a soma dos dígitos de N.

O segredo é um número da forma 1_ _ 2, 2_ _ 4, 3 _ _6, 4 _ _8 e o número de formas de escolher os dois dígitos do meio é 4. 8.7 = 224.