Tópicos em combinatória

(1)

Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP

Instituto de Matem´

atica, Estat´ıstica

e Computa¸

c˜

ao Cient´ıfica

Departamento de Matem´

atica

T´

opicos em Combinat´

oria

Deborah P. Domingues

Disserta¸c˜

ao de mestrado orientada pelo professor

Dr. Jos´

e Pl´ınio de Oliveira Santos

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(3)

(4)

(5)

Resumo

Neste trabalho estudamos dois importantes tópicos em combinatória. O primeiro deles é o Teorema Enumerativo de Pólya. No cap´ıtulo 2 é dada uma demonstra¸cão deste teorema usando o Teorema de Burnside. Também neste cap´ıtulo, encontram-se algumas de suas diversas aplica¸cões. O segundo tópico trata de Teoria de Parti¸cões. Esta disserta¸cão aborda alguns objetos de estudo desta área. O primeiro objeto é o método de Partition Analisys, usado para achar fun¸cões geradoras de vários tipos de interessantes fun¸cões de parti¸cão. Ainda relacionado a fun¸cões geradoras, o cap´ıtulo 3 aborda um pouco sobre q-séries. O segundo objeto é o método gráfico, que utiliza a representa¸cão gráfica de Ferrers para uma parti¸cão. Ainda neste cap´ıtulo, são usados os conceitos de quadrado de Durfee e s´ımbolo de Frobenius para provar algumas identidades.

Abstract

This paper presents two important topics in combinatorics. The first one is the P´olya Enumeration Theorem. In chapter 2 is given a demonstration of this theorem by Burnside’s Theorem. Also in this chapter are some of their various applications. The second topic deals with the Theory of Partition. This dissertation addresses some aspects of the study on this area. The first is Partition Analysis, this method is used to find the generating functions of various kinds of interesting partition functions. In the third chapter we deal with q-series which is also related to generating functions. The second is the graphical method, which uses a Ferrers’s graphical representation of a partition. In addition, we use the concepts of Durfee square and Frobenius’s symbol to prove some identities.

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Agradecimentos

Este mestrado é mais uma conquista que Deus me permitiu alcan¸car e pela qual agrade¸co. Gostaria também de agradecer a CNPq, pelo apoio financeiro a este projeto. E finalmente, agrade¸co a todas as pessoas que me deram suporte durante esses dois anos de mestrado. Em particular, gostaria de mencionar algumas dessas pessoas. O meu orientador, Pl´ınio, por ter aceitado me orientar e por estar sempre disposto a sanar minhas dúvidas e ensinar. Aos meus pais e meus irmãos, pois se tive for¸cas para chegar até aqui foi por saber que eles sempre estão ao meu lado. Ao meu namorado, Tiago, que é imposs´ıvel descrever o quanto ele me ajudou. As meninas que moram comigo, a Gra e a Paty, por todo apoio que elas me deram para a apresenta¸cão. Por fim, a Cec´ılia, que teve sempre a paciência de corrigir meus textos e minha apresenta¸cão.

Deborah, Agosto de 2010.

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Conte´

udo

Resumo iv Abstract iv Agradecimentos v Introdu¸c˜ao 1 1 Pr´e-Requisitos 3

1.1 Rela¸c˜ao de Equivalˆencia . . . 3

1.2 Teoria de Grupos . . . 4

1.2.1 Teorema de Lagrange . . . 4

1.2.2 Grupos de Permuta¸c˜ao . . . 7

1.3 Fun¸c˜oes Geradoras . . . 9

1.3.1 Fun¸c˜oes Geradoras de Uma Vari´avel . . . 9

1.3.2 Fun¸cões Geradoras de Várias Variáveis . . . 13

2 Teorema de P´olya 15 2.1 Introdu¸c˜ao . . . 15

2.2 Teorema de Burnside . . . 15

2.3 Cicle Index . . . 20

2.4 Colora¸c˜oes, Peso e Invent´ario . . . 21

2.5 O Teorema de P´olya . . . 22

2.6 Alguns Exemplos . . . 25

2.6.1 Faces do Cubo . . . 25

2.6.2 Colar de Pedras . . . 27

2.6.3 Grafos Simples . . . 29

3 Teoria de Parti¸cões 36 3.1 Breve Introdu¸cão a Parti¸cões . . . 36

3.2 Partition Analisys . . . 39

3.3 Mais sobre Partition Analisys . . . 42

3.4 Fun¸c˜oes Geradoras . . . 46

3.5 Introdu¸c˜ao a q - s´eries . . . 49

3.5.1 Caminhos Reticulados e os N´umeros q-binomiais . . . 49

(8)

3.5.3 Identidade do Produto Triplo . . . 58 3.6 Alguns Resultados em Parti¸cões . . . 62 3.7 Métodos Gráficos . . . 68

Bibliografia 73

(9)

Introdu¸

c˜

ao

Os tópicos tratados neste trabalho são o Teorema de Pólya e dois objetos de estudo de Teoria de Parti¸cões. O primeiro tópico resolve diversos problemas de contagem e foi desenvolvido pelo matemático húngaro G. Pólya (1887 - 1985). O segundo está dividido em dois im-portantes métodos para encontrar fun¸cões geradoras. O primeiro é o método de Partition Analisys de MacMahon. O segundo é o método gráfico de Ferrers.

O Teorema de Pólya foi um marco na história da combinatória enumerativa. Como no exemplo dos grafos, vários problemas de diversas áreas podem ser resolvidos utilizando este teorema. Para isso basta colocar o problema na linguagem adequada.

O método de Partition Analisys de MacMahon tem sido muito implementado nos últimos anos e é uma das mais incriveis ferramentas para encontrar fun¸cões geradoras.

O método gráfico de Ferrers é muito usado atualmente, pricipalmente porque este tipo de representa¸cão supriu a defasagem do método de MacMahon para encontrar resultados significativos em parti¸cões planas.

A motiva¸cão para este estudo vem da vasta aplicabilidade dos dois tópicos acima para a resolu¸cão de problemas combinatórios.

O texto está dividido em três cap´ıtulos. O primeiro cap´ıtulo contém uma breve revisão dos pré-requisitos que serão necessários ao longo do texto. A primeira se¸cão deste cap´ıtulo, que é baseada em [Her], trata de rela¸cão de equivalência. O material não vai além da defini¸cão e um exemplo no assunto. A segunda se¸cão trata de Teoria de Grupos e foi baseada em [Her] e [Slo]. Ela cobre apenas uma parte de Teoria de Grupos que é necessária para estudar o Teorema de Burnside e o Teorema de Pólya. A terceira se¸cão contém as no¸cões básicas de Fun¸cões Geradoras e foi baseada em [Cha] e [Aig]. Este material fornece as no¸cões iniciais necessárias para o estudo de Teoria de Parti¸cões.

O segundo cap´ıtulo trata do Teorema de Pólya e algumas de suas diversas aplica¸cões. Este cap´ıtulo tem como objetivo fornecer uma demonstra¸cão do Teorema de Pólya usando o Teorema de Burnside e os seus principais resultados foram baseados em [Slo]. A primeira se¸cão tem o objetivo de provar o Teorema de Burnside que é uma ferramenta utilizada para contar classes de equivalência da a¸cão de um grupo sobre um conjunto. A segunda e a terceira se¸cão deste cap´ıtulo fornecem a formaliza¸cão da linguagem que será utilizada para a demonstra¸cão do Teorema de Pólya. Na quarta se¸cão encontra-se a demonstra¸cão do Teorema de Pólya divida em vários lemas técnicos. Por fim, no intuito de mostrar a versatilidade de aplica¸cões deste teorema, a quinta se¸cão é composta de três exemplos de como o Teorema de Pólya pode ser aplicado. Estes exemplos tiveram como base [Mar], [Slo] e [Cam].

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o método de Partition Analisys que é desenvolvido para encontrar fun¸cões geradoras para as mais diversas fun¸cões de parti¸cão. Este é o tema das se¸cões 3.2, 3.3, 3.4 e 3.6. A primeira se¸cão é dedicada a introduzir os termos de parti¸cões e a quinta se¸cão é dedicada a um breve estudo em q-séries. A última se¸cão trata do método gráfico que utiliza a representa¸cão gráfica de Ferrers. Esta se¸cão mostra como a representa¸cão gráfica pode facilitar a resolu¸cão de problemas que, com outros métodos, são complicados, nesta se¸cão damos interpreta¸cão combinatória para alguns dos resultados que foram demonstrados nas se¸cões anteriores de forma anal´ıtica. Este cap´ıtulo foi baseado em [And], [AnS] e [AnT].

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Cap´ıtulo 1

Pr´

e-Requisitos

Este cap´ıtulo é dedicado a fornecer os pré-requisitos para o desenvolvimento desta dis-serta¸cão.

1.1 Rela¸

c˜

ao de Equivalˆ

encia

Defini¸cão 1.1.1. Seja A um conjunto. Uma rela¸cão binária ∼ em A é uma rela¸cão de equivalência em A se para todo a, b, c∈ A valem as seguintes propriedades:

(i) Reflexividade: Para todo a ∈ A, a ∼ a. (ii) Simetria: Se a ∼ b ent˜ao b ∼ a.

(iii) Transitividade: Se a ∼ b e b ∼ c ent˜ao a ∼ c.

O conceito de rela¸cão de equivalência é de extrema importância em toda a matemática, em particular, é muito importante para a demonstra¸cão do Terorema de Pólya.

Exemplo 1.1.2. Considere o conjunto de todos o inteiros, R, e a seguinte rela¸c˜ao: dados a, b∈ R, a ∼ b se a − b ∈ R.

(i) Para todo a ∈ R, a − a = 0 ∈ R.

(ii) Se a ∼ b ent˜ao a − b ∈ R. Logo, b − a = −(a − b) ∈ R, portanto b ∼ a.

(iii) Se a ∼ b e b ∼ c ent˜ao a − b e b − c pertencem a R. Logo, a − c = (a − b) + (b − c) ∈ R, portanto, a∼ c.

Defini¸cão 1.1.3. Sejam A um conjunto e ∼ uma rela¸cão de equivalência em A. Então a classe de equivalência de a∈ A é o conjunto {x ∈ A ∶ x ∼ a}.

Duas classes de equivalência de A ou são iguais ou disjuntas. Portanto, uma rela¸cão de equivalência em um conjunto A determina uma decomposi¸cão de A em subconjuntos não vazios e disjuntos. Esta decomposi¸cão é dita uma parti¸cão de A.

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1.2 Teoria de Grupos

Essa se¸cão tem como objetivo expor as defini¸cões e os resulados sobre Teoria de Grupos que serão usados no desenvolvimento dos próximos cap´ıtulos.

As demontra¸cões dos resultados mais básicos serão omitidas. As defini¸cões e resultados desta se¸cão tiveram como base os livros [Slo] e [Her].

1.2.1 Teorema de Lagrange

Defini¸cão 1.2.1. Seja um conjunto não vazio G e uma opera¸cão ∗ ∶ G × G → G

(g, h) ↦ g ∗ h. O par (G, ∗) ´e chamado de grupo se satisfaz:

(i) Associatividade: Para todos g, h, t ∈ G,

(g ∗ h) ∗ t = g ∗ (h ∗ t).

(ii) Elemento neutro: Existe um elemento e ∈ G, tal que, para todo g ∈ G, e∗ g = g ∗ e = g.

(iii) Elemento inverso: Para todo g ∈ G, existe h ∈ G, tal que h∗ g = g ∗ h = e.

Neste caso, h ´e chamado de inverso de g e denotado por g−1_.

A partir de agora sempre que falarmos de um grupo G, estaremos nos referindo a um grupo finito.

Segue como consequência direta desta defini¸cão que o elemento neutro é único e, para cada g∈ G, o elemento inverso também é único.

Defini¸cão 1.2.2. Sejam(G, ∗) e (H, ○) dois grupos. Uma fun¸cão f ∶ (G, ∗) → (H, ○) é dita um homomorfismo se, para todo a, b∈ G,

f(a ∗ b) = f(a) ○ f(b).

Todo homomorfismo leva elemento neutro em elemento neutro. Seja i o elemento neutro de(H, ○). Se f é tal que f(G) = i então f é chamado de homomorfismo trivial.

Quando f é injetora então f é um monomorfismo, quando f é sobrejetora então f é um epimorfismo e quando f é bijetora então f é um isomorfismo. Neste último caso denota-se (G, ∗) ≃ (H, ○).

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Para simplificar a nota¸cão, desde que não cause ambiguidade, o grupo será denotado apenas por G.

Seja G um grupo. Se para quaisquer g1, g2∈ G

g1∗ g2 = g2∗ g1, (1.2.1)

ent˜ao G ´e chamado abeliano.

Denotemos a n-ésima potência de g, a opera¸cão de g com ele mesmo n vezes, por gn_.

Defini¸cão 1.2.3. Seja G um grupo e H um subconjunto de G. Dizemos que H é um subgrupo de G se H é grupo com respeito à opera¸cão de G.

A partir de agora, o s´ımbolo ∗, que representa a opera¸cão do grupo, será omitido. Lema 1.2.4. Sejam G um grupo, e o elemento neutro de G e H um subconjunto de G. Então H é subgrupo de G se, e somente se,

(i) e ∈ H.

(ii) Se x, y ∈ H ent˜ao xy ∈ H. (iii) Se x ∈ H ent˜ao x−1 ∈ H.

Segue diretetamente deste lema que o menor subgrupo de G ´e H= {e}. Este subgrupo ´e chamado de subgrupo trivial.

Dado um homomorfismo f de G em H, então a imagem de G por f , Im(G), é subgrupo de H e, o núcleo de f , Ker(f), também é subgrupo de G.

Defini¸c˜ao 1.2.5. Seja G um grupo, a ordem de G, denotada por ∣G∣, ´e a cardinalidade de G como conjunto.

Defini¸cão 1.2.6. Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Uma classe lateral à esquerda (respectivamente à direita) de H em G é o conjunto gH = {gh ∶ h ∈ H} (respectivamente, Hg= {hg ∶ h ∈ H}) , onde g é um elemento fixo de G.

Existe uma rela¸cão biun´ıvoca entre as classes laterais à direita e as classes laterais à esquerda de G por H.

Para todo subgrupo H de G, eH = {eh ∶ h ∈ H} = {h ∶ h ∈ H} = H. Lema 1.2.7. Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Ent˜ao:

(i) Se t ∈ gH , ent˜ao tH = gH. (ii) Se t ∉ gH , ent˜ao tH ∩ gH = ∅.

Demonstra¸c˜ao. (i) Se t ∈ gH, ent˜ao existe um elemento h ∈ H tal que gh = t. Portanto, tH = (gh)H = g(hH). Como hH = H, segue o resultado.

(ii) Suponha que tH ∩ gH ≠ ∅. Então existe α ∈ tH ∩ gH. Como α ∈ tH, por (1), αH = tH. Por outro lado, como α∈ gH, então αH = gH. Logo, gH = tH e t ∈ gH, o que contradiz a hipótese.

(14)

Defini¸cão 1.2.8. Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. O ´ındice de H em G é a cardinalidade do conjunto de clases laterais à esquerda(respectivamente à direita) distintas de H em G e será denotado por [G ∶ H].

Lema 1.2.9. Sejam G um grupo, H um subgrupo de G e M um subgrupo de H. Ent˜ao, [G ∶ M] = [G ∶ H][H ∶ M].

Demonstra¸c˜ao. Sabemos que

G= ⋃

g∈G

gH.

Como, dados dois elementos g, h ∈ G, ou gH = hH ou gH ∩ hH = ∅, ent˜ao existe um subconjunto T de G, tal que

G= ⊍

t∈T

tH. Logo, ∣T ∣ = [G ∶ H].

Analogamente, existe um subconjunto S de H tal que H= ⊍ s∈S sM. Portanto, G= ⊍ t∈T s∈S tsM.

Teorema 1.2.10 (Teorema de Lagrange). Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Ent˜ao,

∣G∣ = ∣H∣[G ∶ H].

Demonstra¸cão. Considere M = {e}. Então M é subgrupo de H que é subgrupo de G. Portanto, segue do lema anterior que

[G ∶ M] = [G ∶ H][H ∶ M]. Como M ´e o grupo trivial, ent˜ao

[H ∶ M] = [H ∶ {e}] = ∣H∣ e

[G ∶ M] = [G ∶ {e}] = ∣G∣.

Defini¸cão 1.2.11. Sejam G um grupo e g∈ G. A ordem de g é o menor inteiro positivo, n, tal que gn= e, onde e é o elemento neutro de G.

Exemplo 1.2.12. Sejam G um grupo e g um elemento de G cuja ordem é n. Considere H= {g, g2_{, . . . , g}n= e}. Então H é um subgrupo de G e H é chamado de grupo gerado por g

(15)

Segue como corolário do Teorema de Lagrange que, se g é um elemento de G, então a ordem de g divide a ordem G. Se existe g ∈ G tal que a ordem de g é igual a ∣G∣, então G=< g >, ou seja, G é gerado por g.

Defini¸c˜ao 1.2.13. Um grupo G ´e dito c´ıclico se existe g∈ G tal que G =< g >.

Em particular, se∣G∣ = p, onde p é um primo, então pelo Teorema de Lagrange segue que G é um grupo c´ıclico.

Lema 1.2.14. Se G é um grupo c´ıclico de ordem n, então existe um único subgrupo de ordem d para cada d divisor de n.

Para provar este lema, basta considerar G =< g >, ent˜ao um subgrupo de ordem d ´e o subgrupo gerado por gnd e, para concluir o lema, basta mostrar que qualquer outro grupo de

ordem d ´e< gnd >.

Para todo inteiro positivo n definimos φ(n) como o n´umero de inteiros positivos menores do que n que s˜ao coprimos com n.

Teorema 1.2.15. Se n ´e um inteiro positivo, ent˜ao n= ∑

d∣n

φ(d)

onde a soma percorre todos os divisores de n e φ é a fun¸cão de Euler. A prova do Teorema é aplica¸cão do lema anterior.

1.2.2 Grupos de Permuta¸

c˜

ao

Defini¸cão 1.2.16. Seja X um conjunto. Uma permuta¸cão de X é uma bije¸cão f ∶ X → X. O conjunto de todas as permuta¸cões de X, com a opera¸cão de composi¸cão forma um grupo. Este grupo é chamado de grupo das permuta¸cões de X e é denotado por S(X).

Se X = {1, 2, . . . , n} denota-se S(X) por Sn e este ´e chamado de grupo sim´etrico de grau

n. A ordem de Sn ´e n!.

Observa¸c˜ao 1.2.17. Se ∣X∣ = n < ∞, ent˜ao existe um isomorfismo de S(X) em Sn.

Teorema 1.2.18 (Teorema de Cayley). Todo grupo finito G, onde ∣G∣ = n, ´e isomorfo a um subgrupo de Sn.

Demonstra¸cão. Seja G= {g1, g2, ..., gn} então o grupo de permuta¸cões de G é Sn. Defina

φ∶ G → S(G)

(16)

Como

φ(g1g2)(h) = (g1g2)h

= g1(g2h)

= φ(g1)(g2h)

= φ(g1)φ(g2)(h)

então φ é um homomorfismo de grupos. Além disso, o núcleo de φ é, por defini¸cão, a permuta¸cão identidade. Então φ é injetora e, portanto, G≃ Im(G), que é um subgrupo de Sn.

Seja X um conjunto com n elementos {x1, x2, . . . , xn}. Se f ∈ S(X) ≃ Sn ent˜ao uma

forma de descrever f ´e mostrar a qual elemento ela associa cada elemeto de X, isto ´e, f(x1) = x2, f(x2) = x4, f(x3) = x1, f(x4) = x3 e assim sucessivamente para cada elemento de

X. Mas isto é muito trabalhoso. Uma forma curta de descrever f é pela nota¸cão de bracket, (x1 x2 ⋯ xn

xi1 xi2 ⋯ xin

)

onde xik ´e a imagem de xi por f . Como S(X) ≃ Sn pode-se simplificar um pouco mais a

nota¸c˜ao de bracket suprimindo o x assim,

(1 2 ⋯ n i1 i2 ⋯ in) .

Exemplo 1.2.19. Se X = {x1, x2, x3, x4} e f ∈ S(X) ≃ S4 ´e tal que f(x1) = x2, f(x2) =

x4, f(x3) = x1, f(x4) = x3, então a nota¸cão simplificada em bracket de f é:

(1 2 3 4_{2 4 1 3)}.

No exemplo acima, f(1) = 2, f2(1) = f(f(1)) = f(2) = 4, f3(1) = f(f2(1)) = f(4) = 3 e

f4(1) = f(f3(1)) = f(3) = 1, que pode ser representada pelo seguinte diagrama:

4 3 2 1 f f2 f3 f4

Isto é, após f ser aplicada quatro vezes, ela volta para o número em que come¸cou. Como f ∈ S4 então a odem de f é 4 e f corresponde a um ciclo de tamanho 4, ou seja, podemos

representar f simplesmente por(1 2 4 3).

Toda permuta¸c˜ao f ∈ Sn pode ser representada em nota¸c˜ao de ciclos, da seguinte forma:

(17)

de ciclos. Caso contrário, f é um produto de ciclos sendo que um deles é um i-ciclo que acabou de ser representado. Para representar o próximo ciclo de f tome j ∈ {1, 2, . . . , n} − {f(1), f2(2), . . . , fi(1)} e escreva o próximo ciclo de f como (f(j) f2(j) ⋯ fr(j)). Se r+i = n

ent˜ao a representa¸c˜ao de f terminou, se r+ i < n repita o procedimento anterior tomando l∈ {1, 2, . . . , n} − {f(1), f2(2), . . . , fi(1)} − {f(j), f2(j), . . . , fr(j)}.

Desta forma f tem uma representa¸cão simplificada e esta representa¸cão de f é feita tomando ciclos disjuntos. Isto é, cada j∈ {1, 2, . . . , n} pertence a somente um ciclo de f. Exemplo 1.2.20. Considere f ∈ S9 com nota¸cão de bracket dada por:

(1 2 3 4 5 6 7 8 9_{3 6 4 2 5 1 7 8 9)}.

Então a nota¸cão em ciclos para f é : f = (1 3 4 2 6)(5)(7)(8)(9). O que quer dizer que f fixa os pontos {5, 7, 8, 9}.

Seja f ∈ Sn, e seja f = τ1τ2⋯τk a decomposi¸c˜ao de f em ciclos disjuntos, onde cada ciclo

τi tem tamanho li, ent˜ao segue que l1+ l2+ ⋯ + lk= n.

Além disso, uma representa¸cão de f ∈ Sn em ciclos disjuntos induz uma parti¸cão no

conjunto {1, 2, . . . , n}.

Um grupo de permuta¸cões bastante usado ao aplicar o Teorema de Pólya é o grupo diedral de grau n, Dn.

1.3 Fun¸

c˜

oes Geradoras

Nesta se¸cão é apresentado o conceito de fun¸cão geradora, que é de extrema importância em combinatória. Serão introduzidos os tipos de fun¸cões geradoras quanto ao número de variáveis e a forma como a fun¸cão é apresentada. Os resultados e defini¸cões apresentados nesta se¸cão foram baseados nos livros: [Cha] e [Aig].

1.3.1 Fun¸

c˜

oes Geradoras de Uma Vari´

avel

Defini¸cão 1.3.1. Seja ak, k= 0, 1, 2, ... uma sequência de números reais, denotada por (ak).

A soma A(t) = ∞ ∑ k=0 aktk ´

e chamada de fun¸c˜ao geradora ordin´aria, enquanto a soma E(t) = ∞ ∑ k=0 ak tk k! ´

(18)

As opera¸cões de adi¸cão, multiplica¸cão por escalar e o produto de fun¸cões geradoras ordi-nárias são definidas da seguinte forma:

Sejam A(t) = ∞ ∑ k=0 aktk e B(t) = ∞ ∑ k=0

bktk duas s´eries formais e c∈ R ent˜ao:

(i) Soma: ∞ ∑ k=0 aktk+ ∞ ∑ k=0 bktk= ∞ ∑ k=0 (ak+ bk)tk

(ii) Produto por escalar:

c ∞ ∑ k=0 aktk= ∞ ∑ k=0 (cak)tk (iii) Produto: (∑∞ k=0 aktk) ( ∞ ∑ k=0 bktk) = ∞ ∑ k=0 (∑k n=0 (akbk−n)tk) (1.3.1)

O produto, definido na equa¸cão (1.3.1), é chamado de convolu¸cão das sequências (ak) e

(bk).

Com as defini¸cões acima, é fac´ıl observar que as séries A(t) = 0 e B(t) = 1 são os elementos neutros da adi¸cão e multiplica¸cão, respectivamente.

A álgebra correspondente às fun¸cões geradoras formais é conhecida como Álgebra de Cauchy e a álgebra correspondente às fun¸cões geradoras exponenciais é conhecida como

´

Algebra de Blissard.

Note que a igualdade entre duas fun¸c˜oes geradoras implica na igualdade dos coeficientes que possuem mesma potˆencia de t.

As opera¸cões de soma, multiplica¸cão, diferencia¸cão e integra¸cão com respeito a t, das fun¸cões geradoras, podem ser utilizadas para se obter rela¸cões entre coeficientes correspon-dentes. Considere as seguintes séries formais

A(t) = ∞ ∑ k=0 aktk, B(t) = ∞ ∑ k=0 bktk, C(t) = ∞ ∑ k=0 cktk.

Uma consequência direta da igualdade de fun¸cões geradoras são as seguintes rela¸cões: (i) Soma:

C(t) = A(t) + B(t) se, e somente se, ck= ak+ bk, k = 1, 2, . . .

(ii) Produto:

C(t) = A(t)B(t) se, e somente se, ck= k

∑

j=0

ajbk−j, k= 1, 2, . . .

Considere a seguinte série, que é uma série geométrica, B(t) = ∞ ∑ k=0 bktk= ∞ ∑ k=0 tk= (1 − t)−1, ∣t∣ < 1.

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Para avaliar a seguinte fun¸cão geradora A(t) = ∞ ∑ k=0 aktk= ∞ ∑ k=0 ktk, diferencie a rela¸cão ∞ ∑ k=0 tk= (1 − t)−1. Desta forma obtém-se,

∞

∑

k=0

ktk_{= (1 − t)}−2_.

Portanto, utilizando igualdade de s´eries formais, conclui-se que A(t) = t

∞

∑

k=0

ktk−1= t(1 − t)−2. Al´em disso, observe que:

C(t) = A(t)B(t) = t(1 − t)−3.

Usando a fórmula do binomial generalizado na fun¸cão geradora C(t), com n = 3, então ela tem expansão em potências de t como

C(t) = t ∞ ∑ r=0 (3+ r − 1 r )t r =∑∞ r=0 (2+ r 2 )t r+1 =∑∞ k=1 (k+ 1 2 )t k_. Observe que ck= ( k+ 1 2 ) = k(k + 1) 2 , k= 1, 2, . . . .

Ou seja, cada coeficiente ck é a soma dos k primeiros termos de uma progressão aritimética.

Algumas fun¸cões geradoras são muito usadas em Teoria de Parti¸cões, dentre elas: (a) ∞ ∑ k=0 tk= (1 − t)−1, (b) ∞ ∑ k=0 (−1)k_tk_{= (1 + t)}−1_, (c) ∞ ∑ k=0 t2k= (1 − t2)−1,

(20)

(d) ∞ ∑ k=0 (c k)t k_{= (1 + t)}c _{, c}_{∈ C,} (e) ∞ ∑ k=0 (c+ k − 1 k )t k_{= (1 + t)}−c _{, c}_{∈ C,} (f) ∞ ∑ k=0 (m+ k k )t k_{= (1 − t)}−(m+1) _{, m}_{∈ Z,} (g) ∞ ∑ k=0 tk k!= e t_, (h) ∞ ∑ k=0 (−1)k+1_tk k = log (1 + t).

Para c∈ N ∖ {0}, a fórmula para (d) vem do Teorema Binomial. O caso geral é provado em cálculo. Para (e) usando a fórmula do binomial generalizado,

(−r k) = (−1) k₍r+ k − 1 k ) (r ∈ C , k ∈ Z), obt´em-se, (c+ k − 1 k )t k_{= (}−c k)(−t) k e o resultado segue de (d).

A f´ormula (f) segue de (e) com m = c − 1.

A transforma¸c˜ao de ´ındices pode ser expressa facilmente. Se A(t) = ∑∞

k=0aktk, ent˜ao

tm_A(t) = ∑∞

k=0aktk+m = ∑∞k=mak−mtk. Isto ´e, multiplicar por tm corresponde a reduzir o

´ındice em m. Por exemplo, da fórmula (f) obtém-se a seguinte equa¸cão:

∞ ∑ k=0 (k m)t k₌ ∞ ∑ k=0 ( k k− m)t k_{= t}m_{(1 − t)}−(m+1)_.

Para muitas fun¸cões de contagem é vantajoso considerar a fun¸cão geradora exponencial da sequência (ak), isto é,

A(t) = ∞ ∑ k=0 ak k!t k_.

Segue da f´ormula do produto que, dadas duas fun¸c˜oes geradoras exponenciais, A(t) = ∑∞ k=0 ak k!t k _{e B}(t) = ∑∞ k=0 ak k!t

k_{, ent˜}_{ao C}(t) = A(t)B(t) ´e dada por:

C(t) = ∞ ∑ k=0 ck k!t k_{, onde c} k= k ∑ n=0 (k n)anbk−n.

A fun¸cão geradora ordinária e a fun¸cão geradora exponencial são casos particulares da seguinte defini¸cão de fun¸cão geradora.

(21)

Defini¸cão 1.3.2. Sejam (ak) uma sequência de números reais e (gk(t)) uma sequência de

fun¸c˜oes reais linearmente independentes. Ent˜ao a soma G(t) = ∞ ∑ k=0 akgk(t) ´

e a fun¸cão geradora da sequência (ak) com respeito a sequência (gk(t)).

A seguinte defini¸cão também é um caso particular da defini¸cão acima. Defini¸cão 1.3.3. Seja(ak) uma sequência de números reais, então a soma

A(t) = ∞ ∑ k=0 ak( t k) ´

e chamada de fun¸c˜ao geradora binomial da sequˆencia (ak).

1.3.2 Fun¸

c˜

oes Geradoras de V´

arias Vari´

aveis

A no¸cão de fun¸cões geradoras pode ser estendida para casos com várias variáveis. Consi-dere, inicialmente, o caso com duas variáveis.

Defini¸cão 1.3.4. Seja(an,k) uma sequência dupla de números reais, então a soma

A(t, u) = ∞ ∑ n=0 ∞ ∑ k=0 an,ktkun ´

e chamada de fun¸cão geradora ordinária de duas variavéis e A(t, u) = ∞ ∑ n=0 ∞ ∑ k=0 an,k tk k! un n! ´

e chamada de fun¸c˜ao geradora exponencial da sequˆencia (an,k).

Ambas fun¸cões geradoras da defini¸cão acima são casos particulares da seguinte fun¸cão geradora G(t, u) = ∞ ∑ n=0 ∞ ∑ k=0 an,kfk(t)gn(u), (1.3.2)

onde as sequências de fun¸cões (fk(t)) e (gn(u)) são linearmente independentes.

Note que para cada n e para cada t ´e poss´ıvel escrever Fn(t) = ∞ ∑ k=0 an,kfk(t) e Gk(u) = ∞ ∑ n=0 an,kgn(u).

(22)

Desta forma, a equa¸c˜ao (1.3.2) pode ser reescrita como G(t, u) = ∞ ∑ k=0 Gk(u)fk(t) ou G(t, u) = ∞ ∑ n=0 Fn(t)gn(u).

De forma análoga ao que foi feito para fun¸cões geradoras de duas variáveis, é definida uma fun¸cão geradora com n variáveis, ou uma fun¸cão geradora multinomial.

Defini¸cão 1.3.5. Seja(ak1,...,kn) uma sequência de números reais, então a soma

A(t1, . . . , tn) = ∞ ∑ k1=0 ⋯ ∑∞ kn=0 ak1,...,knt1 k1⋯t nkn ´

e chamada de fun¸c˜ao geradora multinomial ordin´aria e A(t1, . . . , tn) = ∞ ∑ k1=0 ⋯ ∑∞ kn=0 ak1,...,kn t1k1 k1! ⋯tnkn kn! ´

e chamada de fun¸c˜ao geradora multinomial exponencial da sequˆencia (ak1,...,kn).

E sua generaliza¸c˜ao ´e G(t1, . . . , tn) = ∞ ∑ k1=0 ⋯ ∑∞ kn=0 ak1,...,knf 1 k1(t1)⋯f n kn(tn),

onde as sequˆencias de fun¸c˜oes (f1

k1(t1)), . . . , (f

n

(23)

Cap´ıtulo 2

Teorema de P´

olya

2.1 Introdu¸

c˜

ao

Este cap´ıtulo é dedicado ao estudo do Teorema de Pólya. Essencialmente, este teorema fornece uma ferramenta para a contagem de classes de equivalência de um conjunto finito com respeito à a¸cão de um grupo de permuta¸cões. O primeiro passo será contar quantas ´

orbitas distintas obtemos por meio desta a¸cão de grupo. Isto será feito demonstrando o Teorema de Burnside. Depois, faremos uma apresenta¸cão do cicle index de um grupo de permuta¸cões, terminando com a demonstra¸cão e algumas aplica¸cões do Teorema de Pólya.

Os principais resultados deste cap´ıtulo tiveram como base [Slo].

2.2 Teorema de Burnside

O objetivo desta se¸cão é provar o Teorema de Burnside, que pode ser usado para resolver vários problemas de contagem. De fato, embora este teorema seja comumente atribu´ıdo a Burnside, ele foi provado por Georg Frobenius em 1887. Aparentemente, esta confusão se deve ao fato de que na segunda edi¸cão do livro Theory of Groups of Finite Order, de autoria de W. Burnside, faltou mencionar que o resultado era de G. Frobenius, embora isso tenha sido feito na primeira edi¸cão.

Uma das aplica¸cões mais comuns deste teorema é contar o número de padrões distintos de colora¸cões. Para isso, a primeira coisa a ser feita é definir quando duas colora¸cões pertencem ao mesmo padrão. De fato, o que é feito é descrever uma situa¸cão onde há intera¸cão entre um grupo G e um conjunto X. Os padões são determinados pelas órbitas da a¸cão de G em X.

Defini¸cão 2.2.1. (A¸cão de grupo sobre conjunto). Seja G um grupo e X um conjunto, então G age sobre X se, para cada g ∈ G e para cada x ∈ X, existe um elemento g ∗ x ∈ X tal que:

(24)

(ii) Para todos g1, g2 ∈ G e para todo x ∈ X vale

g1∗ (g2∗ x) = (g1g2) ∗ x

(onde (g1g2) denota o produto em G).

Existem inúmeras a¸cões de grupo sobre conjunto, um exemplo é a a¸cão pela conjuga¸cão.

Exemplo 2.2.2. Seja G um grupo qualquer e X o conjunto dos elementos de G, isto é, G= {g1, g2, . . .}. Então a a¸cão de G sobre X via conjuga¸cão é dada por

πg∶ X Ð→ X

xz→ gxg−1.

Lema 2.2.3. Seja G um grupo que age sobre um conjunto X. Ent˜ao para cada g∈ G e para todo x, y∈ X

g∗ x = y ⇔ g−1_{∗ y = x}

.

Demonstra¸c˜ao. Pela segunda propriedade de a¸c˜ao de grupo sobre conjunto, g∗ x = y

⇔ g−1_{∗ (g ∗ x) = g}−1_{∗ y}

⇔ (g−1_g_{) ∗ x = g}−1_{∗ y}

⇔ x = g−1_{∗ y.}

Defini¸c˜ao 2.2.4. Seja G um grupo que age sobre um cojunto X. Defina a rela¸c˜ao ∼G em

X da seguinte forma:

Para todo x, y ∈ X ent˜ao x ∼Gy⇔ existe algum g ∈ G tal que g ∗ x = y.

Lema 2.2.5. ∼G é uma rela¸cão de equivalência.

Demonstra¸cão. Observe que pela primeira propriedade de a¸cão de grupo ∼G é reflexiva.

Pelo lema anterior, ∼G ´e sim´etrica.

Se x∼Gy e y∼Gz, ent˜ao existem g1, g2∈ G tais que

g1∗ x = y e g2∗ y = z, logo, g2∗ (g1∗ x) = z (g2g1) ∗ x = z.

(25)

As classes de equivalência de ∼G são chamadas de órbitas da a¸cão de grupo. A órbita

que cont´em o elemento x∈ X ´e denotada por Ox= {g ∗ x ∶ g ∈ G}. Logo,

Ox= Oy ⇔ x ∼Gy.

Observe que, dadas duas ´orbitas, Ox e Oy, ou Ox= Oy ou Ox∩ Oy = ∅. Assim, as ´orbitas da

a¸c˜ao de grupo em X formam uma parti¸c˜ao de X.

Para qualquer a¸c˜ao de grupo, o elemento e de G fixa todos os elementos de X, isto ´e, e∗ x = x ∀ x ∈ X.

Defini¸c˜ao 2.2.6. Dado x∈ X o estabilizador de x ´e o conjunto Sx = {g ∈ G ∶ g ∗ x = x}.

Observe que e∈ Sx para todo x∈ X.

Lema 2.2.7. Para todo x∈ X , Sx ´e subgrupo de G.

Demonstra¸c˜ao. Dados g, h−1∈ S

x ent˜ao

(gh−1_{) ∗ x = g ∗ (h}−1_{∗ x)}

= g ∗ x = x.

Pelo lema acima, para todo x∈ X, Sx ´e subgrupo de G. Ent˜ao aplicando o Teorema de

Lagrange a Sx decorre o seguinte resultado.

Teorema 2.2.8. Seja G um grupo que age sobre um conjunto X. Ent˜ao para todo x∈ X ∣Ox∣∣Sx∣ = ∣G∣.

Demonstra¸c˜ao. Como Sx ´e subrupo de G segue do Teorema de Lagrange que

∣G ∶ Sx∣∣Sx∣ = ∣G∣.

Para obter o resultado do teorema basta mostrar que ∣Ox∣ = ∣G ∶ Sx∣.

Observe que os elementos de Ox s˜ao da forma g∗ x e as classes laterais de Sx s˜ao da

forma gSx. Ent˜ao basta estabelecer uma rela¸c˜ao biun´ıvoca entre os elementos de Ox e as

classes laterais de Sx, o que ´e feito do seguinte modo:

g∗ x ↔ gSx.

De fato, dados g1, g2∈ G ent˜ao

g1Sx = g2Sx ⇔ g−1 2 g1 ∈ Sx ⇔ (g−1 2 g1) ∗ x = x ⇔ g−1 2 (g1∗ x) = x ⇔ g1∗ x = g2∗ x

(26)

Para contar quantos padrões distintos existem, o próximo resultado, que mostra como contar as órbitas distintas de uma a¸cão de grupo, é bem útil.

Teorema 2.2.9. Seja G um grupo finito que age sobre um conjunto X. Ent˜ao o n´umero de ´

orbitas distintas ´e:

1 ∣G∣ ∑x∈X

∣Sx∣

Demonstra¸c˜ao. Suponha que existam k ´orbitas distintas. Para 1≤ t ≤ k, segue que

∑ x∈O_xt ∣Sx∣ = ∑ x∈O_xt ∣G∣ ∣Ox∣ . Como para todo x∈ Oxt, Ox= Oxt, ent˜ao

∑ x∈O_xt ∣G∣ ∣Ox∣ = ∑x∈O_xt ∣G∣ ∣Oxt∣ = ∣G∣ ∣Oxt∣ ∣Oxt∣ = ∣G∣. Portanto, ∑ x∈X ∣Sx∣ = k ∑ t=1 ∑ x∈Oxt ∣Sx∣ =∑k t=1 ∣G∣ = k ∣G∣.

Este teorema fornece um resultado muito útil se∣X∣ não é muito grande. No entanto, se ∣X∣ é grande, utilizar este método para contagem das órbitas é impraticável. A não pratici-dade desta fórmula decorre do fato de que ao computar todos os estabilizadores percorre-se o conjunto X, que pode ser muito grande. Para contornar este problema, é necessário definir uma forma de contagem que percorra G no lugar de X.

Defini¸cão 2.2.10. Dado g ∈ G, o conjunto dos elementos de X que são fixados por g é o conjunto

Fg= {x ∈ X ∶ g ∗ x = x}.

Observa¸cão 2.2.11. Fg é subconjunto de X enquanto Sx é subconjunto de G.

Lema 2.2.12. ∑ g∈G ∣Fg∣ = ∑ x∈X ∣Sx∣.

(27)

Demonstra¸c˜ao. Considere o seguinte conjunto, A= {(x, g) ∈ X × G ∶ g ∗ x = x}. ´E poss´ıvel contar os elementos de A de duas formas distintas.

(i) Fixando a primeira coordenada dos elementos de A.

Neste caso, para cada x∈ X associamos a cardinalidade do conjunto Sx= {g ∈ G ∶ g ∗ x = x}, isto ´e,

∣A∣ = ∑

x∈X

∣Sx∣.

(ii) Fixando a segunda coordenada dos elementos de A.

Neste caso, para cada g∈ G associamos a cardinalidade do conjunto Fg = {x ∈ X ; g ∗ x = x}, isto ´e,

∣A∣ = ∑

g∈G

∣Fg∣.

O que ´ılustrado da seguinte forma:

xi

gj

√

O Teorema de Burnside ´e consequˆencia dos lemas anteriores.

Teorema 2.2.13 (Teorema de Burnside). Seja G um grupo que age sobre um conjunto X. Então o número de órbitas da a¸cão de G em X é:

1 ∣G∣ ∑g∈G

∣Fg∣,

onde Fg = {x ∈ X ∶ g ∗ x = x}.

Esta forma de contagem é mais útil, pois, frequentemente,∣G∣ é pequena em compara¸cão com a ∣X∣.

(28)

2.3 Cicle Index

Para resolver o problema de contar quantos padr˜oes distintos possuem aj objetos da cor

j, são necessárias mais algumas defini¸cões, como o cicle index do grupo G.

Seja X = {1, 2, . . . , n} e considere uma permuta¸c˜ao π ∈ Sn qualquer. Ent˜ao a

decom-posi¸c˜ao de π em ciclos disjuntos fornece o tipo c´ıclico de π. Logo, π tem tipo c´ıclico ct(π) = xk1 l1x k2 l2 . . . x kr lr, onde ∑ r

i=1kili = n. O tipo c´ıclico de π diz que para cada 1 ≤ i ≤ r

existem ki ciclos de comprimento li.

Defini¸cão 2.3.1. Seja G um grupo de permuta¸cões tal que ∣G∣ = n, então o cicle index de G, que é denotado por CG, é o polinômio nas variáveis x1, . . . , xn, dado por:

CG=

1 ∣G∣ ∑π∈G

ct(π).

O cicle index é um polinômio em x1, x2, . . . , xlr e a soma dos coeficientes deste polinômio

´ e 1.

Para calcular o cicle index de um grupo de permuta¸cões é de grande ajuda saber quantas permuta¸cões de cada tipo c´ıclico existem no grupo.

Como calcular o número de permuta¸cões em Sn que têm tipo c´ıclico xkl11x

k2

l2 . . . x

kr

lr?

Observe que o número destas permuta¸cões corresponde à seguinte parti¸cão de n, l1k1+ l2k2+ . . . + lrkr= n.

Para contar as permuta¸cões, primeiro escolha os números que farão parte dos k1 ciclos

de comprimento l1. O primeiro destes ciclos pode ser escolhido de (_ln₁) formas. E os l1

n´umeros podem ser rearranjados formando (l1 − 1)! ciclos distintos. Para o pr´oximo ciclo

de comprimento l1 sobraram (n − l1) n´umeros para serem escolhidos. Cada um destes ciclos

pode ser tomado de(n−l1

l1 ) formas e, cada um, por rearranjos, fornece (l1−1)! ciclos distintos.

A ordem em que os k1 ciclos de comprimento l1 é tomada é irrelevante. Logo, o número total

destes ciclos ´e: 1 k1! ((n l1 )(l1− 1)!( n− l1 l1 )(l1− 1)! ⋯ ( n− (k1− 1)l1 l1 )(l1− 1)!) = (l1− 1)! k1 k1! (( n l1)( n− l1 l1 )( n− 2l1 l1 ) ⋯ ( n− (k1− 1)l1 l1 )) = (l1− 1)!k1 k1! ( n! l1!(n − l1)! (n − l1)! l1!(n − 2l1)! (n − 2l1)! l1!(n − 3l1)! ⋯ (n − (k1− 1)l1)! l1!(n − k1l1)! ) = n! lk1 1 k1!(n − k1l1)! .

Usando o mesmo racioc´ınio, escolha os k2 ciclos de comprimento l2. Logo, o n´umero de

formas para a escolha destes ciclos ´e:

(n − k1l1)!

lk2

2 k2!(n − k1l1− k2l2)!

(29)

Repetindo este procedimento para a escolha de todos os ki ciclos de comprimento li,

conclui-se que o n´umero de permuta¸c˜oes com o tipo c´ıclico xk1

l1x k2 l2 . . . x kr lr ´e: n! lk1 1 k1!l k2 2 k2! . . . l kr r kr! .

Exemplo 2.3.2. Quantas permuta¸c˜oes de tipo c´ıclico x1x22 existem em S5?

Basta aplicar a f´ormula deduzida acima com l1= 1 = k1 , n= 5 e k2= 2 = l2. O resultado

´ e:

5!

11_1!22_2!= 15.

2.4 Colora¸

c˜

oes, Peso e Invent´

ario

Sejam C e D dois conjuntos distintos e seja X o conjunto de todas as aplica¸cões de D em C. Essas aplica¸cões, que são os elementos de X, são ditas colora¸cões de D.

Suponha que G é algum grupo de permuta¸cões de D (G é subgrupo de SD) e defina a

a¸c˜ao de G no conjunto de colora¸c˜oes, X, por:

para cada π∈ G e f ∈ X (2.4.1) π∗ f = f ○ π−1_.

Lema 2.4.1. A f´ormula (2.4.1) define uma a¸c˜ao de grupo.

Demonstra¸cão. Seja i a identidade de G. Então i é a aplica¸cão identidade, i∶ D → D. Logo, para todo f ∈ X,

i∗ f = f ○ i−1 = f ○ i = f. Portanto, vale o primeiro axioma de a¸c˜ao de grupo.

Sejam π1, π2 duas permuta¸c˜oes em G e f ∈ X. Ent˜ao

π2∗ (π1∗ f) = π2∗ (f ○ π1−1)

= f ○ π−1 1 π−12

= f ○ (π2π1)−1

= (π2π1) ∗ f.

A a¸c˜ao de cada elemento de G permuta X, ou seja, para cada π∈ G a aplica¸c˜ao φ ∶ X → X que para cada f ∈ X associa φ(f) = f ○ π−1 _´_{e uma permuta¸c˜}_{ao de X.}

(30)

Agora, para cada cor c ∈ C associe um s´ımbolo ω(c) definido por uma fun¸cão peso ω. Assim, para cada colora¸cão f ∈ X, o peso de f, W (f), é dado pela expressão

∏

d∈D

ω(f(d)).

Logo, se S é um subconjunto de X, define-se o inventário de S pela expressão: ∑

f ∈S

W(f).

2.5 O Teorema de P´

olya

Utilizando as ferramentas obtidas nas se¸cões anteriores, provar o Teorema de Pólya não será uma tarefa tão árdua. A demonstra¸cão segue de pequenos lemas técnicos.

Este teorema, que foi um marco na história da combinatória enumerativa, é devido ao matemático húngaro G. Pólya (1887 - 1985), que o publicou em 1937.

Teorema 2.5.1 (Teorema de Pólya). Seja X o conjunto de todas as aplica¸cões de um conjunto D em um conjunto C e ω a fun¸cão peso de C. Seja G um grupo de permuta¸cões de D que age em X como definido em (2.4.1). Se o cicle index de G é

CG(x1, x2, . . .)

então o inventário padrão é

CG( ∑ c∈ C

ω(c), ∑

c∈C

ω(c)2, . . .).

A estratégia para provar este teorema é particionar X de acordo com os pesos de suas aplica¸cões e obervar que G age em cada conjunto desta parti¸cão de forma isolada e, enfim, aplicar o Teorema de Burnside para contar o número de padrões distintos para um peso dado.

A primeira observa¸cão a ser feita é que uma colora¸cão f é fixada por uma permuta¸cão π, se e somente se, f é constante em cada ciclo de π. Isto é, para cada ciclo (d1 d2 . . . dk)

de π deve-se ter f(d1) = f(d2) = . . . = f(dk).

Observe também que se (d1 d2 . . . dk) é um ciclo de π então, escrevendo d = d1, segue

que d2= π(d), d3 = π(d2) = π(π(d)) e assim sucessivamente.

Logo, dizer que f ´e constante em cada ciclo de π ´e equivalente a dizer que, para todo d∈ D,

f(d) = f(π(d)). (2.5.1)

Lema 2.5.2. Seja π uma permuta¸c˜ao de D. Ent˜ao para cada f ∈ X, f ∈ Fπ, se e somente

(31)

Demonstra¸cão. Pela defini¸cão da a¸cão de G em X, f ∈ Fπ ⇔ π ⋅ f = f

⇔ f ○ π−1_{= f}

⇔ ∀ d ∈ D, f(π−1_{(d)) = f(d).}

Como π é uma permuta¸cão de D então quando d percorre D, π−1(d) percorre D, ou seja,

D= {π−1(d) ∶ d ∈ D}. Denote π−1(d) = d′_{, assim}

f ∈ Fπ ⇔ ∀ d′ ∈ D, f(d′) = f(π(d′)).

Logo, segue de (2.5.1) que

f ∈ Fπ ⇔ f ´e constante em cada ciclo de π.

O próximo lema fornece uma fórmula para o inventário de Fπ. Observe que, pelo lema

anterior, este inventário corresponde ao inventário de todas as aplica¸cões de X que são constantes em cada ciclo de π.

Observe ainda que cada permuta¸c˜ao π de D particiona D em subconjuntos disjuntos. Lema 2.5.3. Seja D = D1 ∪ D2 ∪ ⋯ ∪ Dk uma parti¸c˜ao de D em subconjuntos disjuntos.

Então, o inventário de todas as fun¸cões em X que são constantes em cada Di é:

∑ c∈C ω(c)∣D1∣ × ∑ c∈ C ω(c)∣D2∣ × ⋯ × ∑ c∈C ω(c)∣Dk∣ .

Demonstra¸cão. Escolher uma fun¸cão que é constante em cada Di é equivalente a escolher

para cada 1≤ i ≤ k um elemento ci ∈ C que ´e o valor de f(d) para todo d ∈ Di.

Como f assume esse valor ∣Di∣ vezes em Di ent˜ao a escolha de ci contribui ω(ci) ∣Di∣

no peso de f . Logo, o peso de f ´e:

W(f) = ∏ d∈D ω(f(d)) =∏k i=1( ∏d∈Di ω(f(d)))

Agora, observe que para cada Di, ∏d∈Diω(f(d)) corresponde a um termo de ∑c∈Cω(c)

∣Di∣_.

Portanto, a soma dos pesos de todas as fun¸c˜oes que s˜ao constantes em cada Diconsiste de

todas as fun¸cões obtidas pelo procedimento explicado acima, isto é, o inventário do conjunto de todas as fun¸cões que são constantes em cada Di é:

∑ c∈C ω(c)∣D1∣ × ∑ c∈ C ω(c)∣D2∣ × ⋯ × ∑ c∈C ω(c)∣Dk∣ .

(32)

Lema 2.5.4. Se ct(π) = xk1

l1x

k2

l2 . . . x

kr

lr, então o inventário de Fπ é:

(∑ c∈C ω(c)l1) k1 × ( ∑ c∈ C ω(c)l2) k2 × ⋯ × (∑ c∈C ω(c)lr) kr . Demonstra¸c˜ao. Pelo Lema 2.5.2, f ∈ Fπ ⇔ f ´e constante em cada ciclo de π.

Suponha que ct(π) = xk1

l1x

k2

l2 . . . x

kr

lr. Ent˜ao os ciclos de π particionam D em

k1+ k2+ . . . + kr conjuntos, onde k1 conjuntos tˆem tamanho l1, k2 conjuntos tˆem tamanho l2

e assim sucessivamente. Logo, o invent´ario de Fπ ´e dado pelo lema 2.5.3.

A express˜ao do lema 2.5.4 ´e obtida substituindo xi por ∑c∈Cω(c)i no tipo c´ıclico de π.

Logo, a f´ormula do lema 2.5.4 pode ser reescrita da seguinte maneira: ct(∑

c∈C

ω(c), ∑

c∈ C

ω(c)2,⋯) .

O próximo passo é particionar X em conjuntos de fun¸cões de mesmo peso e definir a rela¸cão ∼ :

f ∼ g ⇔ W (f) = W (g).

Logo, ∼ é uma rela¸cão de equivalência e, portanto, determina uma parti¸cão de X em classes de equivalência, X1, X2, . . . , Xt.

Lema 2.5.5. Suponha que f e g pertencem ao mesmo padrão ( isto é, pertencem à mesma ´

orbita da a¸c˜ao de grupo). Ent˜ao W(f) = W (g).

Demonstra¸cão. Suponha que f e g estão no mesmo padrão, logo f e g estão na mesma ´

orbita, ent˜ao existe π∈ G tal que π ⋅ f = g. Portanto, g = f ○ π−1 _assim,

W(g) = ∏ d∈D ω(g(d)) = ∏ d∈D ω(f(π−1(d))) = ∏ d′∈D ω(f(d′)) = W (f) (onde d′= π−1(d)).

O lema anterior diz que G age em cada Xi separadamente. Portanto, para encontrar o

n´umero de ´orbitas em cada Xi basta aplicar o Teorema de Burnside.

Denote πi = π∣ Xi.

Demonstra¸cão: Teorema de Pólya. Suponha que todas as fun¸cões de Xi têm peso Wi e seja

mi o número de padrões distintos representados pelas fun¸cões em Xi.

Pelo lema 2.5.5 nenhum padrão pode ser representado por fun¸cões em mais de um conjunto da parti¸cão de X. Assim, o inventário padrão(Ip) é dado por:

Ip=

t

∑

i=1

(33)

Segue do lema 2.5.4 que cada π ∈ G age separadamente em cada conjunto Xi. Ent˜ao, pelo Teorema de Burnside, mi= 1 ∣G∣ ∑π∈G Fπi,

logo, o inventário padrão de X é:

Ip= 1 ∣G∣ t ∑ i=1(∑π∈G F_πi) W_i.

Como as somas são finitas, trocando a ordem dos somatórios, obtém-se Ip= 1

∣G∣ ∑π∈G

(∑t

i=1

Fπi) W_i.

Observe que o somatório interno é o inventário de Fπ, logo ele pode ser escrito como:

ct(π) (∑

c∈C

ω(c), ∑

c∈C

ω(c)2,⋯) . Agora, a fórmula do inventário padrão fica:

Ip= 1 ∣G∣ ∑π∈G ct(π) (∑ c∈C ω(c), ∑ c∈C ω(c)2,⋯) .

Observe que na f´ormula acima, primeiro somar e depois subtituir fornece o mesmo resultado de primeiro substituir e depois somar.

Como CG=_∣G∣1 ∑π∈Gct(π), ent˜ao Ip= CG(∑ c∈C ω(c), ∑ c∈C ω(c)2,⋯) .

2.6 Alguns Exemplos

O Teorema de Pólya tem inúmeras aplica¸cões. Esta se¸cão é dedicada a apresentar três destas aplica¸cões.

2.6.1 Faces do Cubo

Para encontrar o inventário padrão das colora¸cões das faces de um cubo o primeiro passo ´

e definir quem ´e o grupo de simetrias do cubo.

Observe que um cubo possui três tipos de eixos de simetria. O eixo que conecta o centro de faces opostas, o eixo que conecta vértices opostos e o eixo que conecta ponto médio de arestas

(34)

opostas. Existem três eixos conectando faces opostas, seis eixos conectando arestas opostas e quatro eixos conectando vértices opostos. Para cada eixo de face, aplicando rota¸cões de π,π₂,2π₃ obtêm-se cubos distintos do original, isto é, cada eixo de face tem ordem 4. Cada eixo de vértice tem ordem 3 e cada eixo de aresta tem ordem 2. Logo, o grupo de simetrias do cubo possui 24 elementos. Denotamos o grupo de simetrias do cubo por Gc.

Numerando as faces do cubo de 1 a 6, onde a face 1 está no topo do cubo e a 6 é sua face oposta, e dado que são conhecidos todos os elementos do grupo de simetrias do cubo então só falta computar o cicle index de Gc para aplicarmos o Teorema de Pólya. Para isso

´

e necess´ario computar o tipo c´ıclico da a¸c˜ao de cada elemento de Gc no cubo, como segue

na tabela abaixo.

Elemento de Gc Tipo c´ıclico

identidade x6 1 face + rota¸cão de ±π₂ x4x21 face + rota¸cão de π x2 1x22 arestas x3 2 vértice + rota¸cão de ±π₃ x2 3

Desta forma, o cicle index de Gc´e:

CGc =

1 24(x

6

(35)

Agora considere o conjunto de r cores, C, e o conjunto de s´ımbolos S= {c1, c2, . . . , cr} que

são os pesos de cada cor. Logo, pelo Teorema de Pólya, o inventário padrão das colora¸cões das faces do cubo com r cores é:

CGc( r ∑ i=1 ci, r ∑ i=1 c2_i, r ∑ i=1 c3_i, r ∑ i=1 c4_i, r ∑ i=1 c5_i, r ∑ i=1 c6_i) . Ou seja, Ip= 1 24(( r ∑ i=1 ci)6+ 3(( r ∑ i=1 ci)2( r ∑ i=1 c2 i)2+ 2( r ∑ i=1 ci)2( r ∑ i=1 c4 i)) + 6( r ∑ i=1 c2 i)3+ 4(2( r ∑ i=1 c3 i)2)) .

Para ilustrar melhor esta idéia, se o conjunto das cores fosse composto somente das cores preto e branco com pesos {b, w}, onde ω(preto) = b e ω(branco) = w, então o inventário padrão seria:

Ip= w6+ w5b+ 2w4b2+ 2w3b3+ 2w2b4+ wb5+ b6.

2.6.2 Colar de Pedras

Considere o seguinte problema:

Maria está usando um colar com n pedras, onde cada pedra é colorida com uma cor do conjunto C que possui r cores. Dois colares pertencem ao mesmo padrão se um pode ser levado no outro por uma rota¸cão. Quantos padrões distintos existem? E quantos padrões possuem exatamente aj pedras da cor j?

O primeiro passo ´e determinar o grupo de simetrias dos colares, G.

Observe que para um colar com quatro pedras, onde as pedras são coloridas de preto ou branco, os seguintes colares pertencem a padrões distintos, pois não existe nenhuma rota¸cão que possa ser aplicada no colar I que o leve no colar II.

I II

Para o problema dos colares com n pedras o grupo de simetrias em questão, G, é o grupo formado pelas rota¸cões gi ∶ a → a + i(modn), i = 0, 1, . . . , n − 1 e o produto em G é a

(36)

seja, G ´e o grupo gerado por g1. Como a ordem de g1 ´e n, denote G= Cn, o grupo c´ıclico de

ordem n.

Seja N = {1, . . . , n} o conjunto das pedras e C = {c1, c2, . . . , cr} o conjunto das cores. Uma

colora¸cão de um colar é uma aplica¸cão f ∶ N → C, portanto existem rn _colora¸c˜_{oes. Denote}

RN = {conjunto de todas as aplica¸c˜oes de N para C}.

Cada colar corresponde a uma colora¸cão. Logo, se dois colares, a e b, são equivalentes então as aplica¸cões correspondentes, fa e fb são equivalentes, ou seja, existe g ∈ Cn tal que

fb= fa○ g. Denote esta rela¸c˜ao de equivalˆencia por ∼ .

Assim, responder à primeira pergunta é contar as classes de equivalência de RN _por ∼,

ou seja, basta aplicar o Teorema de Burnside.

No intuito de responder `a segunda pergunta, para cada cor cj associe um s´ımbolo yj, que

´

e o peso da cor cj.

Agora, para aplicar o Teorema de P´olya s´o falta descrever o cicle index de Cn.

Seja N o conjunto das pedras e gi uma rota¸c˜ao de Cn. Por simetria, pode-se observar

que gi decomp˜oe N em ciclos de mesmo comprimento, d, para algum d. Portanto, o tipo

c´ıclico de gi ´e ct(gi) = x

n d

d, em particular d é divisor de n. A a¸cão de gi leva cada posi¸cão a

em a+ i(modn), ent˜ao d ´e o menor inteiro tal que a + di ≡ a(modn). Logo, n∣di.

Existem examente φ(d) inteiros i tais que mdc(n, i) = n_d, onde φ é a fun¸cão de Euler. Então, o cicle index de Cné descrito por:

CCN = 1 n ⎛ ⎝∑d∣n φ(d)x n d d ⎞ ⎠. Observa¸c˜ao 2.6.1. ∑_d∣nφ(d) = n.

Logo, o inventário padrão é:

Ip= 1 n ⎛ ⎝∑d∣n φ(d)( r ∑ i=1 yid) n d⎞ ⎠.

Para responder `a segunda pergunta basta tomar o coeficiente do termo que possui y_jj. Para ilustrar melhor, considere o caso n = 4, C = { preto, branco}, ω(preto) = b e ω(branco) = w.

O grupo que age nos colares ´e C4, o conjunto do divisores de 4 ´e {1, 2, 4}. Logo, o cicle

index de C4 ´e: CC4 = 1 4 ⎛ ⎝∑d∣4 φ(d)x 4 d d ⎞ ⎠ =1 4(φ(1)x 4 1+ φ(2)x22+ φ(4)x4) =1 4(x 4 1+ x22+ 2x4).

Portanto, o inventário padrão é: Ip=1

4((b + w)

4_{+ (b}2_{+ w}2₎2_{+ 2(b}4_{+ w}4₎₎

(37)

Assim, por exemplo, o número de padrões de colares com duas pedras pretas e duas pedras brancas é 2.

2.6.3 Grafos Simples

Este exemplo ilustra como o Teorema de Pólya pode ser usado para contar o número de grafos simples distintos com n vértices. Para ilustrar melhor a generaliza¸cão serão contados explicitamente os casos com três e cinco vértices.

O termo grafo simples está sendo usado para expressar grafos sem arestas múltiplas e sem la¸cos. Observamos que, quando são consideradas arestas múltiplas, com apenas dois vértices é poss´ıvel obter infinitos grafos.

Para aplicar o Teorema de Pólya a este problema é necessário olhar para os grafos em termos de colora¸cões, isto é, em termos de aplica¸cões de um conjunto N em um conjunto C. Considere, por exemplo o seguinte grafo com cinco vértices.

3 4

5 1 2

´

E conveniente supor que o conjunto dos vértices é o conjunto dos cinco primeiros inteiros positivos {1, 2, 3, 4, 5}. Um grafo é determinado pelos subconjuntos de dois elementos {i, j} de {1, 2, 3, 4, 5}, onde os vértices i e j são unidos ou não no grafo. Desta forma, um grafo ´

e descrito por uma fun¸c˜ao cujo dom´ınio ´e o conjunto de todos os subconjuntos de dois elementos. Denote este conjunto por En.

E5 = {{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}

Um grafo com n v´ertices pode ser descrito por uma apli¸c˜ao

f ∶ En→ {0, 1}tal quef({i, j}) = 1 ⇔ i e j s˜ao ligados por uma aresta. (2.6.1)

Assim, o grafo da figura acima coresponde `a aplica¸c˜ao f definida pela seguinte tabela: Em geral, para cada inteiro positivo, n, seja En o conjunto de todos os subconjuntos de

dois elementos de {1, 2, . . . , n}. Este conjunto é chamado de conjunto de todas as poss´ıveis arestas. Logo, um grafo com n vértices é definido por uma aplica¸cão f ∶ En → C, onde

(38)

{i, j} f({i, j}) {1, 2} 1 {1, 3} 1 {1, 4} 1 {1, 5} 0 {2, 3} 0 {2, 4} 0 {2, 5} 0 {3, 4} 1 {3, 5} 1 {4, 5} 1

Uma fun¸c˜ao peso conveniente ´e a definida por: ω∶ C → {1, c}

ω(0) = 1 ω(1) = c.

Com esta fun¸c˜ao peso, um grafo com k arestas tem peso ck_.

O próximo passo é descobrir qual é o grupo de permuta¸cões que age em En. Considere

o seguinte exemplo de grafos isomorfos:

2 1 3 g1 1 3 2 g2

Estes grafos correspondem `as colora¸c˜oes f1 e f2 que possuem as seguintes tabelas:

{i, j} f1({i, j}) {1, 2} 1 {1, 3} 0 {2, 3} 1 {i, j} f2({i, j}) {1, 2} 1 {1, 3} 1 {2, 3} 0

(39)

A aplica¸c˜ao π∶ {1, 2, 3} → {1, 2, 3} definida por: π(1) = 3 π(2) = 1 π(3) = 2

´

e um isomorfismo entre estes dois grafos.

Reinterpretando este isomorfismo em termos de colora¸c˜oes do conjunto En, conclui-se

que existe uma permuta¸c˜ao π∗ _{de poss´ıveis arestas que corresponde a permuta¸c˜}_{ao π. Como}

π(1) = 3 e π(2) = 1, ent˜ao a poss´ıvel aresta {1, 2} ´e associada por π∗ _`_{a poss´ıvel aresta}

{3, 1} = {1, 3}. A tabela abaixo mostra a a¸c˜ao da permuta¸c˜ao de poss´ıveis arestas, π∗_,

correspondente `a permuta¸c˜ao π.

{i, j} π∗({i, j})

{1, 2} → {1, 3} {1, 3} → {2, 3} {2, 3} → {1, 2}

Como π ´e um isomorfismo entre dois grafos e comparando a tabela de π∗ _{com as tabelas}

das colora¸cões f1 e f2, então as poss´ıveis arestas associadas por π∗ têm a mesma colora¸cão

de f1 e f2, ou seja,

f2(π∗({i, j})) = f1({i, j}) , ∀ {i, j} ∈ E3.

Desse modo,

f1 = f2○ π∗.

Portanto,

f2 = f1○ π∗ −1. (2.6.2)

A a¸c˜ao de π∗ _{nas colora¸c˜}_{oes que definem os grafos ´}_{e exatamente a mesma que a a¸c˜}_{ao de}

grupo considerada no Teorema de P´olya.

Generalizando esta ideia, ent˜ao, dada uma permuta¸c˜ao π de {1, 2, . . . , n} (π ∈ Sn) existe

um permuta¸c˜ao correspondente, π∗_{, de E}

n definida por:

π∗({i, j}) = {π(i), π(j)} , ∀ {i, j} ∈ E n.

Logo, o grupo de simetrias em questão é o grupo de todas as permuta¸cões π∗

correspon-dentes às permuta¸cões π∈ Sn. Denote este grupo por Sn∗, então Sn∗= {π∗ tal que π∈ Sn}.

O grupo S∗

n age no conjunto X de aplica¸c˜oes de En em C = {0, 1} da forma desejada.

Isto ´e, para π∗∈ S∗

n e f ∈ X

π∗⋅ f = f ○ π∗ −1

.

A aplica¸c˜ao que leva π em π∗ _´_{e um isomorfismo entre S}

n e Sn∗, portanto Sn∗ tem n!

permuta¸cões. Como o conjunto En contém (n₂) elementos, então Sn∗ consiste, em geral, de

um subconjunto de todas as permuta¸c˜oes de En.

Agora, é poss´ıvel utilizar o Teorema de Pólya para efetuar o cálculo do inventário padrão dos grafos com n vértices. Como exemplo, considere os casos em que n= 3 e n = 5.

(40)

i) n= 3 ´

E conveniente simplificar a nota¸cão utilizada até agora para efetuar os cálculos de tipo c´ıclico. Então escreva E3= {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}} como E3 = {12, 13, 23}.

O primeiro c´alculo a ser realizado ´e o cicle index de S∗

3. Para isso tome as permuta¸c˜oes

de S3 com seus respectivos tipos c´ıclicos e encontre o tipo c´ıclico da permuta¸c˜ao

as-sociada em S∗

3. Se duas permuta¸cões, π1 e π2, têm o mesmo tipo c´ıclico, então as

permuta¸c˜oes associadas, π∗ 1 e π

∗

2, tamb´em possuem o mesmo tipo c´ıclico. Logo, basta

considerar apenas uma permuta¸c˜ao de cada tipo c´ıclico em S3.

Se π é a identidade de S3, que tem tipo c´ıclico x31, então π∗ é a identidade de S ∗ 3.

Excepcionalmente, como ∣E3∣ = 6 = ∣S3∣ ent˜ao π∗ tem o mesmo tipo c´ıclico de π.

Suponha que π tem tipo c´ıclico x1x2, como por exemplo π= (12), ent˜ao a nota¸c˜ao de

bracket para π∗ _´_e

(12 13 23_{12 23 13)}.

A nota¸c˜ao de bracket para π∗ _{foi obtida listando os elementos de E}

3 na primeira linha

da matriz e escrevendo abaixo de cada elemento o par π(i)π(j). Portanto, π∗ _tamb´_em

pode ser denotada na seguinte nota¸c˜ao:

π∗= (13 23).

Logo, π∗ _tamb´_{em tem tipo c´ıclico x} 1x2.

Finalmente, considere o caso em que π tem tipo c´ıclico x3 por exemplo, π = (123),

ent˜ao:

π∗= (12 13 23

23 12 31) = (12 23 13) e, portanto, π∗ _tamb´_{em tem tipo c´ıclico x}

3.

Resumindo os c´alculos acima, obt´em-se a seguinte tabela.

tipo c´ıclico em S3 n´umero de permuta¸c˜oes tipo c´ıclico em S3∗

x3

1 1 x31

x2x2 3 x1x2

x3 2 x3

Segue que o cicle index de S∗ 3 ´e: CS₃∗= 1 6(x 3 1+ 3x1x2+ 2x3).

Agora, para usar o Teorema de Pólya e obter o inventário padrão, basta substituir no cicle index de S∗

(41)

Portanto,

Ip= 1

6((1 + c)

3_{+ 3(1 + c)(1 + c}2_{) + 2(1 + c}3_)).

Para saber o número de grafos distintos basta substituir c = 1 no inventário padrão. E, para classificar estes grafos pelo número de arestas, basta expandir o inventário padrão. Nesta expansão o coeficiente de ci _´_{e o n´}_{umero de grafos distintos com i arestas}

(i= 1, 2, 3). Fazendo a expans˜ao,

1+ c + c2+ c3.

O que mostra que existe, a menos de simetria, um grafo com nenhuma aresta, um grafo com uma aresta, um grafo com duas arestas e um grafo com trˆes arestas. Estes grafos s˜ao:

ii) n= 5

Assuma que o conjunto de vértices dos grafos com cinco vértices é{1, 2, 3, 4, 5}. Então o conjunto E5das poss´ıveis arestas tem dez elementos. Usando uma nota¸cão simplificada,

como a do caso anterior, E5 pode ser expresso como:

E5 = {12, 13, 14, 15, 23, 24, 25, 34, 35, 45}.

Como no exemplo anterior, para cada permuta¸c˜ao, π ∈ S5, de um tipo c´ıclico ser´a

calculado o tipo c´ıclico da permuta¸c˜ao, π∗_{, correspondente.}

Suponha que π tem tipo c´ıclico x2x3, por exemplo π = (123)(45), ent˜ao a permuta¸c˜ao

π∗ _{correspondente ´}_{e denotada em bracket por:}

π∗= (12 13 14 15 23 24 25 34 35 45

23 12 25 24 31 35 34 15 14 45) = (12 23 13)(14 25 34 15 24 35)(45). Assim, π∗ _{tem tipo c´ıclico x}

1x3x6.

Repetindo este processo para cada um dos outros tipos c´ıclicos das permuta¸c˜oes de S5,

obt´em-se a seguinte tabela: Segue que o cicle index de S∗

5 ´e dado por: CS∗₅ = 1 120(x 10 1 + 10x41x32+ 20x1x33+ 15x21x42+ 30x2x24+ 20x1x3x6+ 24x25).

(42)

tipo c´ıclico em S5 n´umero de permuta¸c˜oes tipo c´ıclico em S5∗ x5 1 1 x101 x3 1x2 10 x41x32 x2 1x3 20 x1x33 x1x2₂ 15 x2₁x4₂ x1x4 30 x2x24 x2x3 20 x1x3x6 x5 24 x2₅

E, portanto, o inventário padrão é: Ip= 1

120((1 + c)

10_{+ 10(1 + c)}4_{(1 + c}2₎3_{+ 20(1 + c)(1 + c}3₎3_{+ 15(1 + c)}2_{(1 + c}2₎4

+ 30(1 + c2_{)(1 + c}4₎2_{+ 20(1 + c)(1 + c}3_{)(1 + c}6_{) + 24(1 + c}5₎2₎

= 1 + c + 2c2_{+ 4c}3_{+ 6c}4_{+ 6c}5_{+ 6c}6_{+ 4c}7_{+ 2c}8_{+ c}9_{+ c}10_.

Desta forma, o número de grafos distintos com cinco vértices e k= 0, 1, . . . , 10 arestas é descrito na próxima tabela .

(43)

n○ _{de arestas} _n○ _{de grafos} 0 1 1 1 2 2 3 4 4 6 5 6 6 6 7 4 8 2 9 1 10 1

(44)

Cap´ıtulo 3

Teoria de Parti¸

c˜

oes

Teoria de Parti¸cões é um assunto que, por um lado, se encaixa naturalmente com o estudo de q-séries e, por outro lado, é altamente combinatório em seus métodos. Neste cap´ıtulo será discutida uma pequena variedade de tratamentos deste tema. Os resultados e demonstra¸cões encontrados neste cap´ıtulo foram baseados em [AnS].

3.1 Breve Introdu¸

c˜

ao a Parti¸

c˜

oes

Uma parti¸cão de um inteiro positivo n é uma decomposi¸cão de n como soma de inteiros positivos. Cada inteiro que compõe uma parti¸cão de n é chamado de parte. Duas parti¸cões de n são ditas iguais se uma é apenas uma reordena¸cão da outra. Neste sentido, a ordem não é importante em uma parti¸cão. Por exemplo, o número 4 possui cinco parti¸cões:

4 3+ 1 2+ 2 2+ 1 + 1 1+ 1 + 1 + 1

No exemplo acima, 3+ 1 é uma parti¸cão de 4 que possui como partes 3 e 1 e, conforme foi observado, 1+ 3 não é uma nova parti¸cão de 4, mas apenas uma reordena¸cão da parti¸cão 3+ 1.

Uma fun¸cão que conta o número de parti¸cões de n, com ou sem restri¸cões, é chamada fun¸cão de parti¸cão. Estas fun¸cões constituem um importante objeto da Teoria de Parti¸cões. Alguns exemplos de fun¸cões de parti¸cão são:

(i) p(n): o n´umero de parti¸c˜oes de n;

(45)

(iii) p(1)

N (n): o n´umero de parti¸c˜oes de n em partes distintas.

Durante o desenvolvimento da Teoria de Parti¸cões, um passo muito importante foi obter fórmulas para as fun¸cões de parti¸cão. Para este fim, o estudo de fun¸cões geradoras se tornou fundamental, pois com esta ferramenta é poss´ıvel encontrar, por exemplo, o número de parti¸cões de n restrito a um dado subconjunto.

Suponha que A é um subconjunto de números inteiros positivos, então uma parti¸cão de n em elementos de A é uma decomposi¸cão de n como soma de elementos de A. Isto é, n= a1+a2+. . .+ar , onde ai ∈ A. Para garantir a unicidade desta decomposi¸cão basta tomar

a1 ≥ a2≥ . . . ≥ ar.

Seja p_A(n) o número de parti¸cões de n em elementos de A, então a fun¸cão geradora para p_A(n) é dada por

∞ ∑ n=0 p_A(n)qn= ∏ a∈A (1 + qa_{+ q}2a_{+ . . .).} _(3.1.1)

A igualdade na equa¸c˜ao (3.1.1) fica clara uma vez que o produto seja realizado e os termos de mesmo expoente agrupados. De uma forma geral o expoente de q ´e da forma

f1a1+ f2a2+ . . . + frar+ . . .

A expressão acima se refere a uma parti¸cão arbitrária em elementos de A, onde a1 aparece

f1 vezes, a2 aparece f2 vezes, e assim sucessivamente. Logo, usando s´eries geom´etricas em

cada termo do produto na equa¸c˜ao (3.1.1), obtemos

∞ ∑ n=0 p_A(n)qn= ∏ a∈A 1 1− qa. (3.1.2)

Restringindo o número de vezes que cada elemento de A pode aparecer em uma deter-minada parti¸cão no máximo s vezes e definindo pA(s)(n) como o número destas parti¸cões de

n, ent˜ao ∞ ∑ n=0 p(s) A (n)q n_{= ∏} a∈A (1 + qa_{+ q}2a_{+ . . . + q}sa₎ = ∏ a∈A 1− q(s+1)a 1− qa . (3.1.3)

Note que para obter a equa¸c˜ao (3.1.3) basta fazer um truncamento em cada termo do produto em (3.1.1).

Observe que quando s = 1 então pA(1)(n) é o número de parti¸cões de n em elementos

distintos de A e ∞ ∑ n=0 p_A(1)(n)qn= ∏ a∈A 1− q2a 1− qa = ∏ a∈A (1 − qa)(1 + qa) 1− qa = ∏ a∈A (1 + qa_). _(3.1.4)

(46)

A partir destes resultados, segue a demonstra¸c˜ao do seguinte teorema que foi provado por Euler.

Teorema 3.1.1. Seja O o conjunto dos números ´ımpares. Então o número de parti¸cões de n em elementos de O é igual ao número de parti¸cões de n em partes distintas. Mais sucintamente,

p_O(n) = p(1)

N (n).

Demonstra¸c˜ao. Basta observar que:

∞ ∑ n=0 p_O(n)qn= ∞ ∏ k=1 1 1− q2k−1 = 1 (1 − q)(1 − q3) . . . = (1 − q2)(1 − q4)(1 − q6) . . . (1 − q)(1 − q2)(1 − q3)(1 − q4)(1 − q5) . . . =∏∞ k=1 1− q2k 1− qk =∑∞ n=0 p(1) N (n)q n_.

Proposi¸cão 3.1.2. O número de parti¸cões de n em partes não divis´ıveis por 3 é igual ao número de parti¸cões de n onde cada parte ocorre no máximo duas vezes, isto é,

∞ ∑ n=0 p(2) N = ∞ ∑ n=0 p_Dc 3.

Demonstra¸c˜ao. Seja Dc

3 o conjunto dos números não divis´ıveis por 3, então ∞ ∑ n=0 p_Dc 3q n₌ ∞ ∏ n∈Dc 3 1 (1 − qn) = 1 (1 − q)(1 − q2)(1 − q4)(1 − q5) . . . = (1 − q3)(1 − q6) . . . (1 − q)(1 − q2)(1 − q3)(1 − q4) . . . =∏∞ n=1 (1 − q3n) (1 − qn) =∏∞ n=1 (1 − q(2+1)n) (1 − qn) =∑∞ n=0 p(2) N q n_.

(47)

Para diminuir a dificuldade em estudar Teoria de Parti¸cões, foram desenvolvidos alguns métodos para encontrar fun¸cões geradoras para as fun¸cões de parti¸cão. Estes métodos são o objeto de estudo de Partition Analisys.

3.2 Partition Analisys

Como encontrar uma fun¸c˜ao geradora para

∞

∑

n=0

pm(n)q

n _?

Observe que ´e poss´ıvel escrever esta fun¸c˜ao geradora como uma soma multinomial, isto ´ e, ∞ ∑ n=0 pm(n)q n₌ _∑ n1≥n2≥...≥nm≥0 qn1+n2+...+nm_. _(3.2.1)

Para garantir que cada parti¸cão seja escrita de forma única como soma de uma sequência não crescente é que assumimos

n1 ≥ n2 ≥ . . . ≥ nm≥ 0.

A ideia para resolver este problema ´e de MacMahon e consiste em introduzir na soma multinomial alguns parˆametros λ1, λ2, . . . , λm−1para controlar as desigualdades que as partes

nj, j= 1, . . . , m, devem satisfazer, deixando as variav´eis nj, j = 1, . . . , m, livres. Logo, (3.2.1)

fica: ∑ n1,n2,...,nm≥0 qn1+n2+...+nm_λn1−n2 1 λ n2−n3 2 . . . λ nm−1−nm m−1 . (3.2.2)

Selecionando nesta soma somente os termos com o expoente de λi, i = 1, . . . , m − 1 n˜ao

negativo, então o expoente de q correspondente se refere a uma parti¸cão de n em no máximo m partes.

O método de Partition Analysis consiste em aplicar um operador linear, chamado ope-rador ômega e denotado por Ω≥, na série dada pela equa¸cão (3.2.2) que age nos parâmetros

λ1, λ2, . . . , λm−1. Este operador anula os termos com expoente negativo e faz λi = 1 nos

demais termos. Portanto,

∞ ∑ n=0 pm(n)q n_{= Ω} ≥ ∑ n1,n2,...,nm≥0 qn1+n2+...+nm_λn1−n2 1 λ n2−n3 2 . . . λ nm−1−nm m−1 = Ω≥ ∑ n1≥0 (qλ1)n1 ∑ n2≥0 (qλ2 λ1 )n2⋯ ∑ nm−1≥0 (qλm−1 λm−2 )nm−1 _∑ nm≥0 (q 1 λm−1 )nm = Ω≥ 1 (1 − qλ1)(1 − qλ_λ2₁) . . . (1 − q_λλm−1_m−2)(1 − q_λ_m−11 ) . (3.2.3)

O pr´oximo passo ´e descobrir como Ω≥ age em (3.2.3). Para isso algumas propriedades

(48)

Lema 3.2.1. Ω≥ 1 (1 − λx)(1 −y λ) =_{(1 − x)(1 − xy)}1

Demonstra¸c˜ao. Observe que, Ω≥ 1 (1 − λx)(1 − y λ) = Ω≥∑ n≥0 (λx)n _∑ m≥0 (y λ) m = Ω≥ ∑ n,m≥0 xnymλn−m = Ω≥ ∑ n≥m≥0 xnym.

Observe que na primeira igualdade foi realizado o processo no sentido inverso do desenvol-vimento de (3.2.3).

Agora, tome k= n − m. Ent˜ao ∑ k,m≥0 xm+kym= ∑ k≥0 xk ∑ m≥0 (xy)m = 1 (1 − x)(1 − xy).

Repetindo o resultado obtido pelo Lema 3.2.1 pode-se obter uma fun¸c˜ao geradora para p_m(n). Teorema 3.2.2. ∞ ∑ n=0 p_m(n)qn= 1 (1 − q)(1 − q2) . . . (1 − qm−1)(1 − qm).

Demonstra¸c˜ao. Usando o fato de que o operador omega pode ser usado primeiro em λ1,

depois em λ2, . . . , e finalmente a λn ent˜ao a demonstra¸c˜ao deste teorema segue do uso

recursivo do Lema 3.2.1.

No primeiro passo, tome x1 = q e y1= qλ2;

Ω≥ 1 (1 − qλ1)(1 − qλ_λ2₁) . . . (1 − q_λλm−1_m−2)(1 − q_λ_m−11 ) = Ω≥ 1 (1 − x1)(1 − x1y1) . . . (1 − qλ_λm−1_m−2)(1 − q_λ_m−11 ) = Ω≥ 1 (1 − q)(1 − q2_λ 2) . . . (1 − qλ_λm−1_m−2)(1 − q_λ_m−11 ) .