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Geometria Espacial - Esferas

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Academic year: 2021

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(1)

Geometria Espacial - Esferas

1) (Unicamp) A base de uma pirâmide é um triângulo

eqüilátero de lado L = 6cm e arestas laterais das faces A= 4cm.

a) Calcule a altura da pirâmide.

b) Qual é o raio da esfera circunscrita à pirâmide?

2) (ITA) A circunferência inscrita num triângulo equilátero

com lados de 6cm de comprimento é a interseção de uma esfera de raio igual a 4cm com o plano do triângulo. Então, a distância do centro da esfera aos vértices do triângulo é (em cm) a) 3 3 b) 6. c) 5. d) 4. e) 2 5

3) (AFA) A intersecção de 3 superfícies esféricas distintas

pode ser, somente, ou

a) 1 ponto, ou vazia, ou 1 circunferência. b) 1 ponto, ou vazia, ou 2 circunferências.

c) 1 segmento de reta, ou vazia, ou 1 circunferência. d) 2 pontos, ou 1 ponto, ou vazia, ou 1 circunferência.

4) (Fatec) A intersecção de um plano com uma esfera de

raio R é a base comum de dois cones circulares retos, como mostra a região sombreada da figura abaixo.

Se o volume de um dos cones é o dobro do volume do outro, a distância do plano ao centro O é igual a

a) 5 R b) 4 R c) 3 R d) 5 R 2 e) 3 R 2

5) (Mack) A razão entre a área lateral do cilindro eqüilátero

e da superfície esférica, da esfera nele inscrita, é: a) 3 1 b) 4 1 c) 3 2 d) 1 e) 2 1

6) (Mack) A razão entre a área lateral do cilindro eqüilátero

e da superfície esférica, da esfera nele inscrita, é: a) 3 1 b) 4 1 c) 3 2 d) 1 e) 2 1

7) (Mack) A razão entre os volumes das esferas circunscrita

e inscrita a um mesmo cubo é: a) 3 b) 2 3 c) 3 3 d)

3

3

4

e)

2

3

3

(2)

comprimido. Uma marca de comprimido tem forma cilíndrica, comprimento 2 centímetros, com hemisférios de diâmetro 0,5 centímetro cada extremidade, conforme figura a seguir. Uma segunda marca de comprimido vai ser fabricada em forma cilíndrica, com 0,5 centímetro de altura.

Determine o diâmetro do segundo comprimido de modo que o seu volume seja igual ao do primeiro comprimido. a) 1 b) 12 11 c) 11 3 d) 2 1 e) 4 3

9) (AFA) A relação entre o raio da esfera inscrita, e o da

esfera circunscrita a um tetraedro regular é a) 3 1 b) 4 3 c) 4 1 d) 3 2

10) (UERJ) A superfície de uma esfera pode ser calculada

através da fórmula: 4.π.R2, onde R é o raio da esfera. Sabe-se que

4 3

da superfície do planeta Terra são cobertos por água e

3 1

da superfície restante é coberto por desertos. Considere o planeta Terra esférico, com seu raio de 6.400 Km e use igual a 3.

A área dos desertos, em milhões de quilômetros quadrados, é igual a:

a) 122,88 b) 81,92

c) 61,44 d) 40,96

11) (PUC-SP) A tira seguinte mostra o Cebolinha tentando

levantar um haltere, que é um aparelho feito de ferro, composto de duas esferas acopladas a um bastão cilíndrico.

Suponha que cada esfera tenha 10,5 cm de diâmetro e que o bastão tenha 50 cm de comprimento e diâmetro da base medindo 1,4 cm. Se a densidade do ferro é 7,8 g/cm3, quantos quilogramas, aproximadamente, o Cebolinha tentava levantar? (Use: π = 22/7 )

a) 18 b) 16 c) 15 d) 12 e) 10

12) (Unitau) Aumentando em 10% o raio de uma esfera a

sua superfície aumentará: a) 21%.

b) 11%. c) 31%. d) 24%. e) 30%.

13) (Unicamp) Cada aresta de um tetraedro regular mede

6 cm. Para este tetraedro, calcule:

a) a distância entre duas arestas opostas, isto é, entre duas arestas que não têm ponto comum;

b) o raio da esfera inscrita no tetraedro.

14) (Mauá) Colocou-se uma bola de sorvete esférica, com

raio de 3 cm, numa casquinha com forma de cone reto com raio de base igual a 3 cm e altura 12 cm. Imaginando-se que o sorvete derreta, a casquinha comportará todo o sorvete derretido? Justifique sua resposta.

(3)

15) (Vunesp) Com um recipiente de vidro fino transparente

na forma de um paralelepípedo reto-retângulo, que tem como base um quadrado cujo lado mede 15cm e a aresta da face lateral mede 40cm, Márcia montou um enfeite de natal. Para tanto, colocou no interior desse recipiente 90 bolas coloridas maciças de 4cm de diâmetro cada e completou todos os espaços vazios com um líquido colorido transparente. Desprezando-se a espessura do vidro e usando (para facilitar os cálculos) a aproximação

= 3,

a) dê, em cm2, a área lateral do recipiente e a área da superfície de cada bola.

b) dê, em cm3, o volume do recipiente, o volume de cada esfera e o volume do líquido dentro do recipiente.

16) (Unicamp) Como deve ser alterado o raio de uma cesta

de basquete se o volume da bola for alterado por um fator multiplicativo  ? Não leve em conta a folga existente entre a cesta e a bola.

17) (Unicamp - modificado) Como deve ser alterado o raio

de uma cesta de basquete se o volume da bola for duplicado ? Não leve em conta a folga existente entre a cesta e a bola.

18) (UNIUBE) Considere um cone reto inscrito em uma

semi-esfera de raio R, em que P Qˆ O = π /2 radianos e cuja base do cone tenha diâmetro PO, como na figura abaixo. Se o volume do cone é igual a 18 2 π cm3, então a medida de R é igual a:

a) 12 cm

b) 632cm c) 332cm d) 6 cm

19) (UFPE) Considere um tanque com a forma de um cone

invertido de raio da base 6m e altura 8m. Deixa-se cair dentro do tanque uma esfera de raio 3m. Assinale a alternativa correspondente à distância do centro da esfera ao vértice do cone. a) 4m b) 2m c) 5m d) 10m e) 6m

20) (Fatec) Duas esferas maciças iguais e tangentes entre si

estão inscritas em um paralelepípedo reto-retângulo oco, como mostra a figura abaixo. Observe que cada esfera tangencia as quatro faces laterais e uma das bases do paralelepípedo.

O espaço entre as esferas e o paralelepípedo está preenchido com um líquido. Se a aresta da base do paralelepípedo mede 6 cm, o volume do líquido nele contido, em litros, é aproximadamente igual a a) 0,144

b) 0,206 c) 1,44 d) 2,06 e) 20,6

21) (Vunesp) Em um tanque cilíndrico com raio de base R e

altura H contendo água é mergulhada uma esfera de aço de raio r, fazendo com que o nível da água suba

R 6 1

, conforme mostra a figura.

(4)

a) Calcule o raio r da esfera em termos de R.

b) Assuma que a altura H do cilindro é 4R e que antes da esfera ser mergulhada, a água ocupava

4 3

da altura do cilindro. Calcule quantas esferas de aço idênticas à citada podem ser colocadas dentro do cilindro, para que a água atinja o topo do cilindro sem transbordar.

22) (UNICAMP) Em uma bandeja retangular, uma pessoa

dispôs brigadeiros formando n colunas, cada qual com m brigadeiros, como mostra a figura abaixo. Os brigadeiros foram divididos em dois grupos. Os que estavam mais próximos das bordas da bandeja foram postos em forminhas azuis, enquanto os brigadeiros do interior da bandeja foram postos em forminhas vermelhas.

a) Sabendo que m =

4

3n

e que a pessoa gastou o mesmo número de forminhas vermelhas e azuis, determine o número de brigadeiros da bandeja.

b) Se a pessoa compra a massa do brigadeiro já pronta, em latas de 1 litro, e se cada brigadeiro, antes de receber o chocolate granulado que o cobre, tem o formato de uma esfera de 2cm de diâmetro, quantas latas ela tem que comprar para produzir 400 brigadeiros? (Dica: lembre-se que 1 litro corresponde a 1000 cm3.

23) (Unicamp) Em uma pirâmide de base quadrada, as

faces laterais são triângulos eqüiláteros e todas as oito arestas são iguais a 1.

a) Calcule a altura e o volume da pirâmide.

b) Mostre que a esfera centrada no centro da base da pirâmide, e que tangencia as arestas da base, também tangencia as arestas laterais.

c) Calcule o raio do círculo intersecção da esfera com cada face lateral da pirâmide.

24) (UEL) Na figura a seguir são dados uma esfera de

centro O, uma reta que contém O e intercepta superfície esférica nos pontos A e B e um ponto C na superfície esférica. Em relação às medidas dos segmentos determinados na figura é sempre verdade que:

a) OC < OA b) OB > OA c) AC = OC d) OB = OC/2 e) AB = 2.OC

25) (Fuvest) No jogo de bocha, disputado num terreno

plano, o objetivo é conseguir lançar uma bola de raio 8 o mais próximo possível de uma bola menor, de raio 4. Num lançamento, um jogador conseguiu fazer com que as duas bolas ficassem encostadas, conforme ilustra a figura abaixo. A distância entre os pontos A e B, em que as bolas tocam o chão, é: a) 8 b) 6 2 c) 8 2 d) 4 3 e) 6 3

26) (PUC-SP) Normalmente, quando andamos sob chuva,

as gotas que caem não nos machucam. Isso ocorre porque as gotas d’água não estão em queda livre, mas sujeitas a um movimento no qual a resistência do ar não pode ser desconsiderada.

A resistência do ar é uma força cujo sentido é sempre contrário ao sentido do movimento do objeto e seu valor é tanto maior quanto maior for a velocidade do corpo em

(5)

movimento. Para uma gota em queda, a velocidade aumenta até um valor máximo denominado velocidade

limite. Como as gotas têm, em geral, pequena massa e

baixa velocidade limite - em média 18km/h - o impacto, normalmente, não nos causa sensação dolorosa. Os textos abaixo se relacionam com o descrito. Leia-os com atenção e responda o que se solicita.

TEXTO 1 CORTANDO O AR

“Vencer a resistência do ar ao deslocamento do carro é função da aerodinâmica. A forma ideal de qualquer modelo seria a criada pela natureza na gota d’água”, explica o chefe de Design da Volkswagen do Brasil, Luiz Alberto Veiga (que preparou para o jornal “O Estado de S. Paulo” os desenhos do quadro abaixo).

TEXTO 2 CALCULANDO A FORÇA DE RESISTÊNCIA DO AR

Qualquer objeto em movimento com velocidade v sujeito à resistência do ar (Fres), tem a ele associado um número chamado coeficiente de arrasto aerodinâmico, indicado por Cx. Quanto menor o coeficiente, melhor a

aerodinâmica. O Cxé uma grandeza adimensional e seu valor para automóveis, normalmente, varia entre 0,3 e 0,9.

A área (A) do objeto, voltada para o movimento, também, tem uma influência importante na resistência do ar. Para entender que área é essa, observe-a, por exemplo, na figura ao lado:

Outro fator importante a considerar é a densidade do ar (d). Um mesmo objeto, movimentando-se a uma mesma velocidade, sofre menor resistência em um local em que o ar seja menos denso.

Há uma fórmula que relaciona todas as grandezas que discutimos até aqui e que permite calcular o valor da força de resistência do ar que atua sobre os objetos na maioria das situações:

|Fres| = 2 1

d . A . Cx. v2 QUESTÕES

A) De acordo com as informações contidas nos textos e figuras, analise as ilustrações abaixo e identifique qual dos

veículos possui o maior valor para o coeficiente de arrasto aerodinâmico. Justifique.

B) Suponha uma gota de chuva, em queda livre, após desprender-se de uma nuvem situada a 1280m de altura. Calcule a velocidade da gota ao atingir o solo e determine quantas vezes o valor encontrado é maior do que a velocidade limite citada no texto de introdução. Considere a gota inicialmente em repouso em relação ao solo. C) O fato de as gotas de chuva atingirem a velocidade limite indica uma situação em que foi atingido o equilíbrio dinâmico. Quais forças se equilibram, a partir desse momento? Identifique o tipo de movimento que será executado pela gota a partir desse instante, justificando sua resposta.

D) Considere uma gota de chuva de massa 0,2g, em situação de equilíbrio dinâmico. Para a expressão dada no texto 2, assuma o produto 2

1

-4 (unidades do Sistema Internacional).

Calcule o valor de Cx para a gota de chuva considerando que a velocidade limite em sua queda é de 5m/s. E) Numa boa aproximação, uma gota d’água pode ser considerada como o resultado da união de dois sólidos: uma semi-esfera e um cone (veja a figura seguinte). Calcule a relação entre a altura (h) do cone e o raio (R) da semi-esfera, considerando que seus volumes são iguais.

27) (Fuvest) Numa caixa em forma de paralelepípedo

reto-retângulo, de dimensões 26 cm, 17 cm e 8 cm, que deve ser tampada, coloca-se a maior esfera que nela couber. O

(6)

maior número de esferas iguais a essa que cabem juntas na caixa é: a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

28) (Vunesp) O trato respiratório de uma pessoa é

composto de várias partes, dentre elas os alvéolos pulmonares, pequeninos sacos de ar onde ocorre a troca de oxigênio por gás carbônico. Vamos supor que cada alvéolo tem forma esférica e que, num adulto, o diâmetro médio de um alvéolo seja, aproximadamente, 0,02cm. Se o volume total dos alvéolos de um adulto é igual a 1618cm3, o número aproximado de alvéolos dessa pessoa,

considerando

= 3, é: a) 1618

-

103. b) 1618

-

104. c) 5393

-

102. d) 4045

-

104. e) 4045

-

105.

29) (Unicamp) O volume V de uma bola de raio r é dado

pela fórmula V= 3 4

π r3.

a) Calcule o volume de uma bola de raio r =4

3

cm. Para facilitar os cálculos você deve substituir π pelo número

7 22

.

b) Se uma bola de raio r = 4 3

cm é feita com um material cuja densidade volumétrica (quociente da massa pelo volume) é de 5,6g/cm3, qual será a sua massa?

30) (UFMG) Observe a figura. Nessa figura, um cone reto e

um cilindro de bases comuns estão inscritos em uma esfera. O volume do cilindro é igual ao volume do cone. A distância do centro da esfera à base comum, em função da altura H do cone, é: a) H/2 b) H/3 c) H/4 d) H/5 e) H/6.

31) (SpeedSoft) Obtenha o volume do sólido gerado pela

rotação do semicírculo “furado” da figura abaixo em torno do eixo e:

32) (UFC) Os centros de três esferas não são colineares.

Assinale a opção que corresponde ao maior número possível de planos tangentes a todas elas.

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

33) (UEL) Para representar recipientes de cerâmica

encontrados por arqueólogos em escavações, usa-se fazer a vista lateral dos objetos, tirando-lhes um quarto. Dessa maneira, mostram-se a face interna e externa, bem como o corte transversal da parede do recipiente. Na figura que segue vê-se, em perspectiva, um modelo de tal

representação mostrando um recipiente em forma de hemisfério ou semi-esfera.

(7)

Para pintar as superfícies interna, externa e as bordas do recipiente semi-esférico, a área total a ser coberta de tinta será de: a) 450 cm2 b) 506 cm2 c) 744 cm2 d) 844 cm2 e) 900 cm2

34) (SpeedSoft) Qual o volume, em cm3, da esfera inscrita em um cone reto, cuja altura é 8 cm e diâmetro da base é 10 cm ?

35) (AFA) Qual o volume, em cm3, da esfera inscrita em um cone reto, cuja altura e diâmetro da base são,

respectivamente, 16 cm e 24 cm.? a) 27 b) 500 3 c) 288 d) 686

36) (Mack) Seja 36 π o volume de uma esfera circunscrita a

um cubo. Então a razão entre o volume da esfera e o volume do cubo é: a) 3

2

b) 8

3

c) 2

3

d) 3

4

e) 3

37) (Vunesp) Seja r um número real positivo e P um ponto

do espaço. O conjunto formado por todos os pontos do espaço, que estão a uma distância de P menor ou igual a r,

a) um segmento de reta medindo 2r e tendo P como ponto médio.

b) um cone cuja base é um círculo de centro P e raio r. c) um cilindro cuja base é um círculo de centro P e raio r. d) uma esfera de centro P e raio r.

e) um círculo de centro P e raio r.

38) (UFPB) Sendo o volume de uma esfera de raio R

numericamente igual a 33 vezes a sua área, calcular o valor de R, em unidades de comprimento.

39) (FAZU) Um cilindro circular reto de 3m de raio da base

e 6m de altura está completamente cheio. Uma esfera de 4m de diâmetro é introduzida no seu interior. Determine aproximadamente a porcentagem de água que permanece no interior do cilindro. a) 76,25% b) 82,48% c) 78,36% d) 80,25% e) 80,46%

40) (ITA) Um cone circular reto tem altura 12cm e raio da

base 5cm. O raio da esfera inscrita neste cone mede, em cm: a) 3 10 b) 4 7 c) 5 12 d) 3 e) 2

41) (Fuvest) Um cubo de aresta m está inscrito em uma

semi-esfera de raio R de tal modo que os vértices de uma das faces pertencem ao plano equatorial da semi-esfera e os demais vértices pertencem à superfície da semi-esfera. Então, m é igual a: a) R 3 2 b) R 2 2 c) R 3 3 d) R e) R 2 3

(8)

42) (Mack) Um cubo está inscrito numa esfera. Se a área

total do cubo é 8, o volume da esfera é: a) 8 π /3

b) 4 π /3 c) 16 π /3 d) 12 π e) 8 π

43) (FUVEST) Um fabricante de cristais produz três tipos de

taças para servir vinho. Uma delas tem o bojo no formato de uma semi-esfera de raio r; a outra, no formato de um cone reto de base circular de raio 2r e altura h; e a última, no formato de um cilindro reto de base circular de raio x e altura h.

Sabendo-se que as taças dos três tipos, quando

completamente cheias, comportam a mesma quantidade de vinho, é correto afirmar que a razão

h

x

é igual a a)

6

3

b)

3

3

c)

3

3

2

d) 3 e)

3

3

4

44) (Unifesp) Um inseto vai se deslocar sobre uma

superfície esférica de raio 50cm, desde um ponto A até um ponto B, diametralmente opostos, conforme a figura. O menor trajeto possível que o inseto pode percorrer tem comprimento igual a: a) 2  m b) m c) 2 3 m d) 2 m e) 3 m

45) (Vunesp) Um paciente internado em um hospital tem

que receber uma certa quantidade de medicamento injetável (tipo soro). O frasco do medicamento tem a forma de um cilindro circular reto de raio 2cm e altura 8cm. Serão administradas ao paciente 30 gotas por minuto. Admitindo-se que uma gota é uma esfera de raio 0,2cm, determine:

a) o volume, em cm3, do frasco e de cada gota (em função de π).

b) o volume administrado em cada minuto (considerando a quantidade de gotas por minuto) e o tempo gasto para o paciente receber toda a medicação.

46) (Fuvest) Um recipiente cilíndrico cujo raio da base é

6cm contém água até uma certa altura. Uma esfera de aço é colocada no interior do recipiente ficando totalmente submersa. Se a água subiu 1cm, então o raio da esfera é: a) 1 cm

b) 2 cm c) 3 cm d) 4 cm e) 5 cm

47) (Mack) Um recipiente cilíndrico reto, com raio da base

igual a 4cm, contém água até a metade de sua altura. Uma esfera maciça, colocada no seu interior, fica totalmente submersa, elevando a altura da água em 2cm. O raio da esfera é: a) 233 b) 4 c) 332 d) 2 5 3 e) 2

48) (UFMG) Um recipiente cúbico, sem tampa, cujas

arestas medem 4 dm, contém 56 litros de água. Ao lado desse recipiente, estão os seguintes sólidos, todos de aço maciço:

• uma esfera de raio3

2

dm ;

• um cilindro circular reto com raio da base

2

dm e altura

2

dm ;

• um paralelepípedo retangular de dimensões

3

dm,

3

dm e

7

dm ; e

• uma pirâmide reta de altura

5

dm e de base quadrada com lado

12

dm .

(9)

Qual desses sólidos, quando colocado no recipiente, NÃO fará com que a água transborde?

a) A pirâmide b) O cilindro c) O paralelepípedo d) A esfera

49) (Unifesp) Um recipiente, contendo água, tem a forma

de um cilindro circular reto de altura h = 50cm e raio r = 15cm. Este recipiente contém 1 litro de água a menos que sua capacidade total.

a) Calcule o volume de água contido no cilindro (use π = 3,14).

b) Qual deve ser o raio R de uma esfera de ferro que, introduzida no cilindro e totalmente submersa, faça transbordarem exatamente 2 litros de água?

50) (Mack) Um tanque de gás tem a forma de um cilindro

de 4m de comprimento, acrescido de duas semi-esferas de raio 2m, uma em cada extremidade, como mostra a figura. Adotando

= 3, a capacidade total do tanque, em m3, é

a) 80. b) 70. c) 60. d) 55. e) 50.

51) (UFPE) Um triângulo eqüilátero tem lado 18 3cm e é a base de um prisma reto de altura 48cm. Calcule o raio da maior esfera contida neste prisma.

52) (VUNESP) Um troféu para um campeonato de futebol

tem a forma de uma esfera de raio R = 10cm cortada por um plano situado a uma distância 5 3cm de do centro da esfera, determinando uma circunferência de raio rcm, e sobreposta a um cilindro circular reto de 20cm de altura e raio rcm, como na figura (não em escala).

O volume do cilindro, em cm3, é a) 100 π. b) 200 π. c) 250 π. d) 500 π. e) 750 π.

53) (UFC) Um vaso em forma de cilindro circular reto tem

medida de raio da base 5 cm, altura 20 cm e contém água até a altura de 19 cm (despreze a espessura das paredes do vaso). Assinale a alternativa na qual consta o maior número de esferas de aço, de 1 cm de raio cada, que podemos colocar no vaso a fim de que a água não transborde. a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18

54) (Mack) Uma bóia marítima construída de uma

determinada liga metálica tem o formato de uma gota que, separada em dois sólidos, resulta em um cone reto e em uma semi-esfera, conforme a figura ao lado, na qual r = 50cm. Se o preço do m2da liga metálica é 1200 reais, adotando-se π = 3 , o custo da superfície da bóia é, em reais, igual a

(10)

a) 4200 b) 5700 c) 4500 d) 5200 e) 3800

55) (UERJ) Uma cuba de superfície semi-esférica, com

diâmetro de 8 cm, está fixada sobre uma mesa plana. Uma bola de gude de forma esférica, com raio igual a 1 cm, encontra-se sob essa cuba.

Desprezando a espessura do material usado para fabricar a cuba, determine:

a) a maior área, em cm2, pela qual a bola de gude poderá se deslocar na superfície da mesa;

b) o volume, em cm3, da maior esfera que poderia ser colocada embaixo dessa cuba.

56) (NOVO ENEM) Uma empresa que fabrica esferas de

aço, de 6 cm de raio, utiliza caixas de madeira, na forma de um cubo, para transportá-las.

Sabendo que a capacidade da caixa é de 13.824 cm3, então o número máximo de esferas que podem ser

transportadas em uma caixa é igual a a) 4.

b) 8. c) 16. d) 24. e) 32.

57) (ITA) Uma esfera de raio r é seccionada por n planos

meridianos. Os volumes das respectivas cunhas esféricas contidas em uma semi-esfera formam uma progressão

aritmética de razão 45 r2

. Se o volume da menor cunha for igual a 18 r3  , então n é igual a a) 4. b) 3. c) 6. d) 5. e) 7.

58) (Unitau) Uma esfera de raio R está inscrita em um

cilindro. O volume do cilindro é igual a: a) π r3/3.

b) 2 π r3/3. c) π r3. d) 2r3. e) 2 π r3.

59) (UFPB) Uma esfera rígida é submersa num cilindro, de

9m de altura e 4m de raio, com água até 4 3

de sua altura. Qual o maior raio, em metros, da esfera, de modo que a água não transborde ?

60) (UEL) Uma esfera tem centro O. Um plano , contendo

O, intercepta a esfera. A intersecção é um círculo de área 16 π cm2. O volume da esfera, em centímetros cúbicos, é igual a: a)

3

32

b) 32 π c)

3

64

d) 64 π e)

3

256

61) (Cesgranrio) Uma laranja pode ser considerada uma

esfera de raio R, composta de 12 gomos exatamente iguais. A superfície total de cada gomo mede: a) 2 π R2 b) 4 π R2 c) 4 3 π R2 d) 3 π R2 e) 3 4 π R2

62) (UFRS) Uma panela cilíndrica de 20 cm de diâmetro

está completamente cheia de massa para doce, sem exceder sua altura de 16 cm. O número de doces em

(11)

formato de bolinhas de 2 cm de raio que se podem obter com toda a massa é:

a) 300 b) 250 c) 200 d) 150 e) 100

63) (Vunesp) Uma quitanda vende fatias de melancia

embaladas em plástico transparente. Uma melancia com forma esférica de raio de medida Rcm foi cortada em 12 fatias iguais, onde cada fatia tem a forma de uma cunha esférica, como representado na figura.

Sabendo-se que a área de uma superfície esférica de raio R cm é 4 π R2 cm2, determine, em função de π e de R: a) a área da casca de cada fatia da melancia (fuso esférico); b) quantos cm2 de plástico foram necessários para embalar cada fatia (sem nenhuma perda e sem sobrepor camadas de plástico), ou seja, qual é a área da superfície total de cada fatia.

64) (Fuvest) Uma superfície esférica de raio 13cm é

cortada por um plano situado a uma distância de 12cm do centro da superfície esférica, determinando uma

circunferência.

O raio desta circunferência, em cm é: a) 1.

b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.

(12)

Gabarito 1) a) 2cm b) 4cm 2) Alternativa: C 3) Alternativa: D 4) Alternativa: C 5) Alternativa: D 6) Alternativa: D 7) Alternativa: C 8) Alternativa: B 9) Alternativa: A 10) Alternativa: D 11) Alternativa: E 12) Alternativa: A 13) a) 3 2cm b) r = 2 cm 6

14) Resposta: Os dois volumes são exatamente iguais,

portanto, do ponto de vista puramente matemático, a casquinha é capaz de conter todo o sorvete derretido.

15) a) 2400cm2e 48cm2. b) 9000cm3, 32cm3e 6120cm3. 16) 3 17) 32 18) Alternativa: D 19) Alternativa: C 20) Alternativa: B 21) a) r =

2

R

b) 6 esferas 22) a) m = 6 e n = 8; 48 brigadeiros b) 2 latas 23) a) h = 2 2 e V = 6 2

b) Basta mostrar que a distância do centro da base é a mesma para as 8 arestas. De início, a distância do centro às 4 arestas da base é R =

2 1

. Além disso, a distância do centro da base à qualquer vértice é

2 2

pois essa distância ou é h ou é metade da diagonal do quadrado da base. Assim, as distâncias do centro à qualquer aresta lateral é a altura do triângulo isósceles de lados

2 2 , 2 2 e 1, que além de tudo é retângulo. Essa altura vale

2 1 também. c) R = 6 3 24) Alternativa: E 25) Alternativa: C 26) carro A 32 vezes maior Cx = 0,1 h = 2R 27) Alternativa: D 28) Alternativa: E 29) a) V = 56 99 cm3 b) m = 9,9g

(13)

30) Alternativa: D 31) 36 π – 8 π = 28 π 32) Alternativa: D

Solução: Um plano qualquer divide o espaço em dois semi-espaços. Há, então, duas possibilidades para um plano que tangencie as três esferas:

• planos que deixam as três esferas em um mesmo semi-espaço: como os centros dessas esferas não são colineares, há no máximo 2 tais planos;

• planos que deixam duas esferas em um mesmo semi-espaço e a terceira no outro: para cada possibilidade de escolha de duas das três esferas, há no máximo dois desses planos. Como há três modos de escolhermos duas das três esferas, há no máximo 3 x 2 = 6 tais planos. Somando as possibilidades acima, concluímos que há no máximo 2 + 6 = 8 planos satisfazendo as condições do enunciado.

É imediato verificar que existem várias configurações de três esferas de centros não-colineares

para as quais a cota superior de 8 planos é atingida. Um exemplo é fornecido por três esferas de raio 1, com centros situados nos vértices de um triângulo equilátero de lado 3. 33) Alternativa: D 34) V = 36 π cm3 35) Alternativa: C 36) Alternativa: A 37) Alternativa: D 38) 99 u.c. 39) Alternativa: D 40) Alternativa: A 41) Alternativa: A 42) Alternativa: B 43) Alternativa: E 44) Alternativa: A 45) a) frasco: 32 π cm3 gota: 4 π /375 cm3

b) o volume de medicamento por minuto é de 8 π /25 cm3 e o tempo gasto para administrar todo o medicamento é 100 min (1h 40min) 46) Alternativa: C 47) Alternativa: A 48) Alternativa: C 49) a) 34 325 cm3 b) R = 10. 3 4 9  cm 50) Alternativa: A 51) R = 9cm 52) Alternativa: D 53) Alternativa: E 54) Alternativa: C 55) a) x2 + 12

=

32 x2

=

8 2

cm

8

x

2

Área

b) A maior esfera teria raio igual a metade do raio da cuba r = 2cm 3

cm

3

32

2

3

3

4

V

56) Alternativa: B 57) Alternativa: C 58) Alternativa: E 59) 3m 60) Alternativa: E 61) Alternativa: E 62) Alternativa: D

(14)

63) a) A área da casca será 1/12 da área da esfera, portanto A = 12 R2  4 = 3 R2 

b) Além da área da casca, gasta-se mais 2 semicírculos para

cobrir as laterais da melancia. Assim, A = 3 R2  + 2. 2 R2  = 3 R2  4 64) Alternativa: E

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