Características Geométricas dos Corpos

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Professor: Márcio André Araújo Cavalcante

Características Geométricas dos Corpos

Universidade Federal de Alagoas – UFAL

Campus Rio Largo

Engenharia de Energias Renováveis

Mecânica dos Sólidos I

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Principais Objetivos do Assunto

 Apresentar e discutir os seguintes conceitos:

Centro de Gravidade, Centro de Massa, Centróide e

Momento de Inércia de uma Área.

 Mostrar como determinar a localização do

Centro de Gravidade e do Centróide de um corpo

de formato arbitrário.

 Estudar metodologias para a determinação do

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Centro de Gravidade de um Corpo

Definição:

O Centro de Gravidade

G

é um ponto no

qual se localiza o peso resultante de um sistema de

pontos materiais.

Um corpo rígido é composto de um infinito número de partículas com peso dW, formando um sistema de forças aproximadamente paralelo.

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Centro de Gravidade de um Corpo

A resultante deste sistema é o peso total do corpo:

A equivalência de momentos em torno dos eixos x e y leva as seguintes relações:

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Centro de Gravidade de um Corpo

A resultante deste sistema é o peso total do corpo:

A equivalência de momentos em torno dos eixos x e y leva as seguintes relações:

Imaginando um giro de 90° em torno do eixo y, a equivalência de momentos em torno do eixo y resulta em:

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Centro de Gravidade de um Corpo

Desta forma, a localização do Centro de Gravidade pode ser avaliada como segue:

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Centro de Massa de um Corpo

A localização do Centro de Massa C_m torna-se importante no estudo da resposta dinâmica ou de movimentos acelerados do corpo.

Esta localização pode ser determinada fazendo-se dW = g.dm, e admitindo-se

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Centróide de um Volume

Se o corpo é feito de material homogêneo, então a sua densidade

r

será constante.

A localização do centro geométrico do corpo pode ser determinada fazendo-se dm =

r

.dV (onde dV é um elemento de volume infinitesimal).

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Exemplo 1: Localize o centróide do cone de revolução mostrado abaixo.

Centróide de um Volume

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Centróide de uma Área

Para uma área no plano x-y e delimitada pela curva y = f(x), o

centróide pode ser determinado da seguinte forma:

Avaliação do centróide por integrais simples, adotando-se

faixas como elementos infinitesimais de área:

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Centróide de uma Área

Exemplo 1: Determine a coordenada vertical y do centróide da área do triângulo abaixo.

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Centróide de uma Área

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Centróide de uma Linha

Se um segmento de linha se encontra dentro do plano x-y e pode ser descrito por uma linha curva y = f(x), então seu

centróide pode ser determinado por:

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Centróide de uma Linha

Exemplo 1: Localize o centróide da haste dobrada na forma de um arco parabólico mostrada abaixo.

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Centróide de Áreas Compostas

Uma área composta consiste de uma série de áreas com formatos mais simples (retângulos, triângulos, círculos, etc.).

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Centróide de Áreas Compostas

Uma área composta consiste de uma série de áreas com formatos mais simples (retângulos, triângulos, círculos, etc.).

1

2

3

4

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Centróide de Áreas Compostas

Contanto que a área e o centróide de cada uma dessas partes sejam conhecidos, podemos eliminar a necessidade de integração.

Ao invés de um número infinito de áreas infinitesimais, nós passamos a ter somatórias envolvendo um número finito de áreas:

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Centróide de Áreas Compostas

Forma Área Triângulo Quarto de círculo Quarto de elipse Semi-elipse Semi-parábola Parábola Semi-círculo

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Centróide de Áreas Compostas

Exemplo 1: Localize o centróide da área abaixo.

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Centróide de Linhas Compostas

Forma Comprimento

Quarto de círculo

Semi-círculo

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Centróide de Linhas Compostas

Exemplo 2: Localize o centróide do arame dobrado mostrado abaixo.

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Centróide de Volumes Compostos

Forma Volume Forma Volume

Hem is féri o Sem i-el ips ó ide de rev o luçã o P a ra bo ló ide de rev o luçã o C o ne de rev o luçã o

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Centróide de Volumes Compostos

Exemplo 1: Localize o centróide do volume mostrado ao lado composto por um tronco de cone e um hemisfério. O tronco de cone apresenta um furo cilíndrico com 25 mm de raio.

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Exemplos de Aplicação do Conceito de Centróide

Localização da linha de ação de uma carga concentrada equivalente

de carregamentos distribuídos:

Determinação da excentricidade de cargas concentradas longitudinais:

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Momentos de Inércia de Áreas

Os momentos de inércia de uma área A (no plano x-y) em relação aos eixos x e y são definidos da seguinte forma:

Os momentos de inércia assumem sempre valores positivos, e quantificam o distanciamento da distribuição da matéria em relação aos eixos x e y.

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Momentos de Inércia de Áreas

Quanto maior o momento de inércia da seção transversal de um elemento prismático (viga ou coluna), maior a rigidez à flexão do mesmo.

Desse modo, vigas e colunas mais eficientes são projetadas com a maior parte da seção transversal longe dos eixos principais do centróide da seção. Seções de abas largas com perfis em I, em U, cantoneiras, etc. são melhores que seções maciças e retangulares.

Colunas com seções ocas (como os tubos) são mais econômicas que as maciças.

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Momentos de Inércia de Áreas

Na maioria dos casos o momento de inércia pode ser calculado com uma integração simples.

dA = y.dx dA = x.dy

Oriente o elemento infinitesimal de forma que a comprimento fique paralelo ao eixo em relação ao qual está sendo calculado o momento de inércia.

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Momentos de Inércia de Áreas

Exemplo 1: Determine o momento de inércia para a área retangular em relação ao eixo x’ que passa pelo centróide.

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Momentos de Inércia de Áreas

Exemplo 2: Determine o momento de inércia em relação ao eixo x para a área circular mostrada abaixo.

(solução I)

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Momento de Inércia

Polar

O momento de inércia polar de uma área A (no plano x-y) em relação à origem O do sistema de coordandas é definido da seguinte forma:

O momento de inércia polar assume sempre valores

positivos, e quantifica o distanciamento da distribuição da matéria em relação à origem O do sistema de coordandas.

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Momento de Inércia

Polar

O momento de inércia polar J₀ pode ser calculado em termos dos momentos de inércia I_x e I_y, como segue:

Uma vez que:

Tem-se:

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Raio de Giração de uma Área

 Tem-se uma área A com momento de inércia I_x em relação ao

eixo-x.

 Considere uma faixa de área A paralela ao eixo-x com mesmo

momento de inércia I_x.

 O raio de giração em relação ao eixo-x k_x é a distância desta faixa ao eixo-x.

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Raio de Giração de uma Área

De forma análoga, pode-se definir os raios de giração k_y e k₀ :

Pode-se demonstrar que:

Os raios de giração estão presentes na definição dos índices de esbeltez (que são empregados no projeto de colunas).

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Teorema dos Eixos Paralelos

O Teorema dos Eixos Paralelos pode ser usado para encontrar o momento de inércia em relação a um eixo qualquer paralelo a um eixo centroidal (cujo momento de inércia é conhecido).

Tem-se:

Como: Logo:

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Teorema dos Eixos Paralelos

O Teorema dos Eixos Paralelos pode ser usado para relacionar o momento polar de inércia em relação à origem O

do sistema de coordanadas (J₀) com o momento polar de inércia em relação ao centróide da área (J_C).

Como: Tem-se:

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Momento de Inércia de Áreas Compostas

Uma vez conhecido os momentos de inércia de todas as partes que compõem a área composta em relação a um eixo comum, o momento de inércia da área composta em relação a este eixo será a soma algébrica dos momentos de inércia de todas as partes que a compõem.

Exemplo 1: Determine o momento de inércia da área de seção transversal abaixo em relação ao eixo x.

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Momento de Inércia de Áreas Compostas

Triângulo Retângulo

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Momento de Inércia de Áreas Compostas

Exemplo 2: Determine o momento de inércia em relação ao eixo x para a área composta mostrada abaixo.

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Momento de Inércia de Áreas Compostas

Exemplo 3: Determine os momentos de inércia da seção transversal do componente estrutural mostrado abaixo em relação aos eixos centroidais x e y.

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