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J. A. M. Felippe de Souza 6 Transformadas z. 6 Transformadas z

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Academic year: 2021

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(1)J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. 6 – Transformadas z 6.1 – Introdução às Transformadas z. 4. 6.2 – Transformadas z – definição. 7. 6.3 – Transformadas z da exponencial e do degrau discretos. 8. Sinal x[n] = a ⋅u1[n] (exponencial discreto). 8. Exemplo 6.1. 8. Sinal x[n] = u1[n] (degrau unitário discreto). 9. n. Exemplo 6.2. 10. Exemplo 6.3. 12. 6.4 – Pólos discretos. 13. Exemplo 6.4. 13. 6.5 – Transformadas z da rampa e do impulso discretos. 15. Sinal x[n] = u2[n] (rampa unitária discreta). 15. Sinal x[n] = uo[n] (impulso unitário discreto). 16. Exemplo 6.5. 17. Exemplo 6.6. 17. 6.7 – Transformadas z de outros sinais discretos conhecidos. 18. Exemplo 6.7. 18. Sinais seno e co-seno discretos multiplicados pela exponencial. 19. Sinais seno e co-seno discretos. 20. Exemplo 6.8. 21. 1.

(2) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. 6.8 – Tabela das Transformada z de alguns sinais discretos conhecidos. 22. 6.9 – Propriedades da Transformada z. 24. Homogeneidade (“homogeneity”). 24. Aditividade (“additivity”). 24. Linearidade (“linearity”). 24. Translação (“time shifting”). 24. Mudança de escala no domino z (“z-domain scaling”). 26. Expansão no tempo (“time scaling”). 27. Conjugado (“conjugate”). 27. Convolução (“convolution”). 28. Derivada do domínio de z (“z-domain derivative”). 28. 6.10 – Teorema do Valor Inicial (TVI) e o Teorema do Valor Final (TVF). 29. Teorema do Valor Inicial (TVI). 29. Teorema do Valor Final (TVF). 29. Exemplo 6.9. 29. Exemplo 6.10. 30. 6.11 – Transformada z inversa. 31. Caso 1 – Pólos reais e distintos. 32. Exemplo 6.11. 32. Caso 2 – Pólos complexos conjugados. 33. Exemplo 6.12. 35. Exemplo 6.13. 35. Caso 3 – Pólos múltiplos (duplos, triplos, etc.). 36. Exemplo 6.14. 38. Exemplo 6.15. 38. Exemplo 6.16. 39. Caso 4 – Pólos múltiplos na origem. 39. 2.

(3) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. 6.12 – Solução de equações de diferenças usando Transformadas z. 41. Exemplo 6.17. 42. Exemplo 6.18. 43. Exemplo 6.19. 45. Exemplo 6.20. 47. Exemplo 6.21. 48. Exemplo 6.22. 50. Exemplo 6.23. 52. Exemplo 6.24. 53. Exemplo 6.25. 54. Exemplo 6.26. 55. Exemplo 6.27. 56. Exemplo 6.28. 57. 6.13 – A resposta impulsional h[n] e H(z). 58. Exemplo 6.29. 59. Exemplo 6.30. 60. Exemplo 6.31. 61. Exemplo 6.32. 61. 3.

(4) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. Transformadas z 6.1 – Introdução às Transformadas z. Na análise de sistemas contínuos por vezes é mais vantajoso o uso da frequência complexa ‘s’ (Transformadas de Laplace, capítulo 5). No caso de sistemas discretos, uma ferramenta bastante comum usada para passar um sinal do domínio do tempo para o domínio da frequência é a Transformada z. A Transformada z também faz o uso de uma frequência complexa que neste caso é ‘z’, e portanto, ela é uma espécie de Transformadas de Laplace para sistemas discretos. Entretanto, as Transformadas z são baseadas em séries de potências, nas “Séries de Laurent”, publicadas em 1843 pelo matemático francês Pierre Alphonse Laurent (1813-1854). Mas, tudo indica que, embora não tivessem sido publicadas anteriormente, estas séries já tinham sido desenvolvidas dois anos antes, em 1841, por Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897), um matemático alemão que frequentemente é citado como sendo o pai da análise moderna. As séries de Laurent são uma representação de um sinal por séries de potências, generalizando a conhecida expansão em séries de Taylor para casos em que esta não pode ser aplicada. As séries de Taylor tinham sido criadas pelo matemático inglês Brook Taylor (1685-1731). As transformadas z têm grande importância nos métodos actuais de análise de sistemas de controlo discreto, em processos de amostragem, no processamento de sinais digitais, etc. 4.

(5) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. Fig. 6.1 – Brook Taylor (1685–1731) à esquerda, Karl Weierstrass (1815–1897) ao centro e Pierre Alphonse Laurent (1813–1854), à direita. Da expansão em série de Taylor sabemos os seguintes resultados clássicos: e. ν. =. ∞. ∑ n =0. log (1 + ν) =. ∞. ∑ n =1. νn , n!. ∀ν. (−1) n +1 ⋅ ν n , n. eq. (6.1). ν < 1, ν ≠ −1. eq. (6.2). resultados que serão utilizados mais adiante.. Como trataremos de séries de potência infinitas, será útil relembrar aqui nesta introdução a conhecida fórmula do limite da soma de ‘progressões geométricas’ (P.G.) de razão q ≠ 0, Isto é, se xn = { a1 : a2 : a3 : … : an : … } = { a1 : a1 q: a1 q2 : a1 q3 :… }, ou seja,. ou, equivalentemente. an+1 = an ⋅ q , ∀n = 1, 2, 3, … ; an = a1 ⋅ qn-1 , ∀n = 1, 2, 3, … 5.

(6) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. A soma Sn dos n primeiros termos da P.G. é dada por:. Sn. = a1 + a1 ⋅ q + L + a1 ⋅ q n. n. ∑ ak. =. k =0. =. a 1 ⋅ (q n − 1) , (q − 1). eq. (6.3). enquanto que, se a P.G. for ilimitada (ou infinita) e a razão q satisfaz q < 1 , isto é –1 < q < 1 , então, a soma S de todos os termos é dada por:. S = a1 + a1 ⋅ q + a1 ⋅ q 2 + a1 ⋅ q 3 + L =. ∞. an ∑ n =0. =. a1 , (1 − q ). eq. (6.4). Outro resultado conhecido é o limite da série infinita abaixo:. α + 2 ⋅ α2 + 3⋅ α3 + 4 ⋅ α4 + L =. 6. +∞. n ⋅αn ∑ n =0. =. α . (1 − α ) 2. eq. (6.5).

(7) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. 6.2 – Transformadas z – definição Para representar as transformadas z de um sinal discreto x[n] usa-se seguinte a notação:. Z { x[n] }. X(z). ou. que é semelhante à notação adoptada para as Transformadas de Laplace no capítulo anterior. A definição das Transformada z unilateral de um sinal discreto x[n] é: +∞. Z { x[n ] } = X ( z) = ∑ x[ n ] ⋅ z −n n =0. eq. (6.6). onde z ∈ C é um número complexo. A eq. (6.6) acima é chamada de Transformada z unilateral pois é definida para sinais x[n] onde. x[n] = 0. para n < 0. e é a definição de Transformada z adoptada aqui pois, a exemplo da Transformada de Laplace (capítulo 5), é esta a que tem maior aplicação para sistemas dinâmicos.. Fig. 6.2 – Um sinal x[n] com valor nulo para n < 0 ( x[n] = 0, n = –1, –2, … ). Além desta definição de Transformada z unilateral (para n = 0, 1, 2, …) que adoptamos aqui, há também a Transformada z bilateral (que é definida para ∀n, ou seja: n = 0, ±1, ±2, …). 7.

(8) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. 6.3 – Transformadas z da exponencial e do degrau discretos Nesta secção serão apresentados as Transformadas z do sinal discreto x[n] = an, assim como de x[n] = u1[n] = degrau unitário, partindo da definição de X(z) dada em eq. (6.6). Sinal x[n] = a ⋅u1[n] (exponencial discreto) n. Considere o sinal discreto:. x[ n ] = a n ⋅ u 1[ n ] onde u1[n] é o degrau unitário discreto. Usando a definição eq. (6.6) vemos que a Transformada z deste sinal é:. X(z) = =. ∞. a n ⋅ u [ n ] ⋅ z −n ∑ n =0 1. ∞. ∑ (a ⋅ z n =0. −1. )n. que é uma progressão geométrica com o primeiro termo a1 = 1 e a razão q = a⋅z–1. Usando eq. (6.4), obtém-se:. X(z) =. +∞. 1 , (1 − a ⋅ z −1 ). ∑ (a ⋅ z −1 )n =. n =0. eq. (6.7). ou. Z. { a n ⋅ u1[n ] } =. z , (z − a ). eq. (6.8) . Exemplo 6.1: Considere o sinal x[n] x[ n ] = 5 u o [ n + 1] + 3 u o [ n ] − 2 u o [ n − 1] + 4 u 0 [ n − 2] ou seja, 8.

(9) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. se n = −1  5,  se n = 0  3,  x[n ] = − 2, se n = 1  se n = 2  4,   0, ∀ outro valor de n que se encontra ilustrado na figura 6.3.. Fig. 6.3 – O sinal x[n] do exemplo 6.1.. Agora, usando a definição de Transformada z, eq. (6.6), tem-se que: X(z) =. 3 − 2 z −1 + 4 z −2. Note que o termo com valor 5, para n = –1 desaparece pois está à esquerda da origem [eq. (6.6), definição de Transformada z unilateral]. . Sinal x[n] = u1[n] (degrau unitário discreto) No caso particular de a = 1 no sinal anterior, corresponde ao sinal. x[n] = u1[n] que é o degrau unitário discreto. 9.

(10) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. Logo, do resultado obtido no sinal anterior, obtemos que a Transformada z de u1[n] é:. X (z) =. 1 , (1 − z −1 ). ou,. Z. { u 1[ n ] }. =. z , ( z − 1). eq. (6.9) . Exemplo 6.2: Considere o sinal discreto. n. n. 1 1 x[ n ] = 5 ⋅   ⋅ u 1 [ n ] − 2 ⋅   ⋅ u 1 [ n ] 2 3. A Transformada z deste sinal é:.   1  n Z { x [ n ] } = X ( z ) = ∑ 5 ⋅   ⋅ u 1 [ n ] n = −∞   2 +∞. n  1 2 ⋅   ⋅ u 1 [ n ] ⋅ z − n  3. −. n. +∞. 1 = 5 ∑   ⋅ u 1[ n ] ⋅ z − n n = −∞ 2  +∞. 1  = 5 ⋅ ∑  ⋅ z −1   n =0  2. n. −. −. n. ∞. 1 2 ∑   ⋅ u 1[ n ] ⋅ z −n n = −∞ 3 . ∞. 1  2 ⋅ ∑  ⋅ z −1   n =0  3. n. ou seja,. X (z) =. 5 1 1 − z −1 2. −. 2 1 1 − z −1 3. Usando as equações eq. (6.7) para a = ½ e 1 = 1/3, descobre-se que: 10. eq. (6.10).

(11) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z.  1  n  Z   ⋅ u 1[ n ]  2  . =. 1  1 −1  1 − z  2  . =.  1  n  Z   ⋅ u 1[n ] =  3  . 1  1 −1  1 − z   3 . =. z 1  z −  2 . e que z 1  z −  3 . e logo, o resultado obtido na eq. (6.10) acima significa que: n   1  n  1 Z 5 ⋅   ⋅ u 1[ n ] − 2 ⋅   ⋅ u 1[ n ] =   2    3.  1  n  = 5 ⋅ Z   ⋅ u 1 [n ]  2  . −.  1  n  2 ⋅ Z   ⋅ u 1[ n ]  3  . Este resultado obtido se dá devido à propriedade da linearidade da Transformada z , a semelhança das Transformadas de Laplace no capitulo 5, e será visto mais adiante na secção 6.9 (Propriedades da Transformada z). Agora, continuando os cálculos a partir da eq. (6.10) temos que:. Z { x[ n ] }.  2   3 − z −1  3   =  1 −1  1 −1  1 − z 1 − z   2  3 . que também equivale a:. Z { x[n ] }.  2 z ⋅  3z −  3  =  1  1   z −  z −  2  3 . eq. (6.11) . 11.

(12) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. Exemplo 6.3: Considere a Transformada z do sinal x[n] = a ⋅u1[n] já vista nas eq. (6.7) e eq. (6.8), ou seja, n. X (z) =. 1 z = . z−a 1 − az −1. eq. (6.12). Fazendo a divisão de z por (z – a) temos que:. Logo,. X(z) =. z = 1 + az −1 + a 2 z − 2 + L z−a. Comparando com eq. (6.6), a definição de Transformada z, temos. para n < 0 para n = 0.  0,  1,   a , x[ n ] =  2 a ,   n  a ,. para n = 1 para n = 2 M para ∀ n ≥ 0. e portanto,. x[n] = a n ⋅ u1[n] que de facto corresponde ao sinal x[n] que tem como Transformada z este X(z) da eq. (6.12).  12.

(13) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. 6.4 – Pólos discretos Conforme visto no capítulo anterior [na secção 5.8, eq. (5.20) ], uma fracção racional é uma fracção em que ambos o numerador e o denominador são polinómios: p(s) q (s). p( z ) q ( z). ou. As raízes do polinómio do denominador [ q(s) ou q(z) ] são chamados de “pólos”.. A Transformada z do sinal x[n] do Exemplo 6.2, dada pela eq. (6.11), é uma fracção racional cujos pólos são: z=. 1 2. z=. e. 1 3. As Transformadas z dos sinais x[n] = a ⋅u1[n] e x[n] = u1[n], dadas pelas eq. (6.8) e eq. (6.9) , são fracções racionais cujo único pólo é: n. z=a no caso eq. (6.8), e. z=1 no caso eq. (6.9) .. Exemplo 6.4: Considere o sinal discreto da exponencial truncada. a n , 0 ≤ n ≤ N − 1, 0 < a < 1 x[n ] =   0, ∀n < 0, ∀n ≥ N que encontra-se esboçado na figura 6.4. 13.

(14) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. Fig. 6.4 – O sinal x[n] do exemplo 6.4, 0 < a < 1.. A Transformada z deste sinal é:. X(z) = = =. +∞. ∑ a n ⋅ z−n. =. n =0. N −1. ∑ a n ⋅ z−n. =. n =0. ∑ (a ⋅ z. N −1. −1. n =0. ). n. e portanto X(z) é a soma SN dos N primeiros termos da progressão geométrica com o. (. ). −1 primeiro termo a1 = 1 e a razão q = a ⋅ z . Logo, usando a eq. (6.3) tem-se que. X( z) = = =. (a ⋅ z )N −1. −1 = a ⋅ z −1 − 1. (. ). z −N ⋅ a N − 1 z −1 (a − 1). (z N − a N ) ⋅ (z − a ) 14. 1 z N −1.

(15) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. Em principio esta Transformada z parece ter um pólo em z = a e (N–1) pólos em z = 0 (ou seja, pólos múltiplos na origem). Entretanto, analisando agora o numerador desta Transformada z zN − aN = 0. ou seja. zN = a N que nos dá a seguinte solução: j  2 π k   N  . z = a ⋅e. . ,. k = 0,1, 2,..., N − 1. eq. (6.13). que são N pontos igualmente espaçados no círculo de raio a, e são as raízes (ou zeros) do numerador desta Transformada z. Portanto, para k = 0 na equação eq. (6.13) acima temos que: z = a. Ou seja, z = a é um pólo e um zero do numerador ao mesmo tempo. Logo eles se cancelam e esta Transformada z só tem (N – 1) pólos em z = 0. . 6.5 – Transformadas z da rampa e do impulso discretos Sinal x[n] = u2[n] (rampa unitária discreta). x[ n ] = u 2 [ n ] = n ⋅ u 1[ n ] tem a seguinte Transformada z :. 15.

(16) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. X(z) =. +∞. ∑n ⋅z n =0. −n. =. = 0 + z −1 + 2z −2 + 3z −3 + L que é uma progressão geométrica com o primeiro termo a1 = z–1 e a razão q = z–1 também. Logo, usando a eq. (6.5) temos que:. z −1 Z {n ⋅ u1[n ] } = X(z) = 1 − z −1. (. ). 2. ou. Z { n ⋅ u1[n ] } =. z ( z − 1) 2 . Sinal x[n] = uo[n] (impulso unitário discreto). x[n ] = u o [n ] n=0.  1, =   0,. ∀n≠0. tem a seguinte Transformada z : Z {u o [ n ]} = X (z ) =. +∞. ∑u n= 0. o. [n ] ⋅ z −n = 1 ⋅ z 0 = 1. ou seja,. Z { u o [n ] } = 1 que é um resultado análogo ao obtido com as Transformadas de Laplace no capítulo anterior: L { u o ( t ) } = X (s) = 1 .  16.

(17) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. Exemplo 6.5: Considere o sinal discreto x[n],. x[n] = uo[n −1] que é o impulso unitário discreto transladado (i.e., com um “shift”) de uma unidade de tempo para a direita. A Transformada z deste sinal é:. X (z ) =. +∞. ∑ n =0. u o [ n − 1] ⋅ z −n = 1 ⋅ z −1 = z −1. ou seja,. Z { u o [ n ] } = z −1 =. 1 z. eq. (6.14) . Exemplo 6.6: Considere o sinal discreto x[n], x[n ] = u o [n − m ] ,. m≥0. que é o impulso unitário discreto transladado (i.e., com um “shift”) de m unidades de tempo para a direita. A Transformada z deste sinal é:. X(z) =. +∞. ∑ n =0. u o [ n − m] ⋅ z − n = 1 ⋅ z − m = z − m. ou seja,. Z { u o [ n ] } = z −m =. 1 zm. eq. (6.15). Note que a eq. (6.15) só é válida para m ≥ 0 pois a Transformada z adoptada aqui é a unilateral [eq. (6.6)].  17.

(18) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. A expressão encontrada no Exemplo 6.1 poderia ser obtida usando a Transformada z do impulso uo[n] e o resultado dos exemplo 6.5 e 6.6, dados nas equações eq. (6.14) e eq. (6.15), ou seja, Z {u o [n ] } = 1 ,. Z { u o [n − m] } = z − m , m ≥ 0. e. Z { u o [ n + 1] } = 0. 6.7 – Transformadas z de outros sinais discretos conhecidos Inicialmente vamos ver um exemplo do sinal discreto de uma exponencial multiplicada por um seno.. Exemplo 6.7: Considere o sinal discreto: n. 1 π  x[ n ] =   ⋅ sen  ⋅ n  ⋅ u 1[ n ]  3 4 . Usando a equação de Euler temos: n. n. π π 1  1 j⋅ 4  1  1 − j⋅ 4  x[ n ] = ⋅  e  ⋅ u 1[ n ] − ⋅  e  ⋅ u 1[ n ] 2 j  3 2 j  3 . A Transformada z deste sinal é: n  1  1 j⋅ π  n  − j⋅ π   1 1 4 4  ⋅ u 1[ n ] ⋅ z − n Z {x[ n ]} = X ( z ) = ∑  ⋅  e  ⋅ u 1[ n ] − ⋅  e  2j  3 n = −∞  2 j  3     +∞. π 1 +∞  1 j⋅ 4 −1   = ⋅ ∑ e ⋅ z  2 j n =o 3 . =. n. π 1 + ∞  1 − j⋅ 4 −1   − ⋅∑ e ⋅ z  2 j n =o  3 . 1 1 1 1 ⋅ − ⋅ π 2 j  1 j⋅ 4 −1  2 j  1 − j⋅ π4 −1  1 − e ⋅ z  1 − e ⋅ z   3   3    . ou seja, 18. n.

(19) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. 1 X(z) =. 3 2. ⋅z.  1 jπ   1 − jπ  z − ⋅ e 4 ⋅z − ⋅e 4      3 3    . eq. (6.16). Note que os dois pólos desta Transformada z são: π. 1 ±j z = ⋅e 4 3. . A exemplo da Transformada z do degrau discreto, visto na secção 6.3, em que primeiramente apresentamo-lo multiplicado pela exponencial discreta, também aqui vamos inicialmente apresentar a Transformada z para os casos de seno e co-seno multiplicados por exponenciais discretas an.. Sinais seno e co-seno discretos multiplicados pela exponencial. x[n] = an⋅sen(ωon)⋅u1[n]. x[n] = an⋅ cos(ωon)⋅u1[n]. têm as seguintes Transformadas z :. {. }. Z a ⋅ sen (ωo n ) ⋅ u 1[n ] = X (z) = n. a ⋅ z −1 ⋅ sen (ωo ). 1 − 2 ⋅ a ⋅ cos(ωo ) ⋅ z −1 + a 2 z −2. eq. (6.17). e. 1 − a ⋅ z −1 ⋅ cos(ωo ) Z a ⋅ cos(ωo n ) ⋅ u 1[n ] = X( z) = 1 − 2 ⋅ a ⋅ cos(ωo ) ⋅ z −1 + a 2 z −2. {. n. }. eq. (6.18). que equivalem a. {. }=. X (z) =. a ⋅ z ⋅ sen (ωo ) z 2 − 2 ⋅ a ⋅ z ⋅ cos( ωo ) + a 2. eq. (6.19). {. }=. X(z) =. z ⋅ [ z − a ⋅ cos( ωo )] z 2 − 2 ⋅ a ⋅ z ⋅ cos( ωo ) + a 2. eq. (6.20). Z a n ⋅ sen (ωo n ) ⋅ u 1[ n ] e. Z a n ⋅ cos( ωo n ) ⋅ u 1[ n ]. 19.

(20) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. Note agora que o sinal que tinha sido visto no exemplo 6.7 é x[n] = an⋅sen(ωon)⋅u1[n] com π 1 ωo =   a =   e eq. (6.21) 4  3 e a Transformadas z encontrada naquele exemplo, dada pela eq. (6.16), pode ser reescrita como:.  1     3  3 2 = X(z) = π π −j   j π4 1  j4 1 2 4 z − ⋅  e + e  + 1 e 2 − ⋅ ⋅ z 2 3  9  3  . 1. ⋅z. 2 . ⋅z 2  +e 2. −j. π 4.    1 2 +    3 . eq. (6.22). que, usando as equações de Euler (secção 1.5) e substituindo sen (π / 4 ) = 2 / 2 , a eq. (6.22) se torna em 1 π   ⋅ sen   ⋅ z  3 4 X ( z) = 2 1  π 1 2 z − 2 ⋅ ⋅ cos   +   3  4  3 que corresponde à eq. (6.19) com a e ωo dados em eq. (6.21).. Sinais seno e co-seno discretos. x[n] = sen(ωon)⋅u1[n]. y[n] = cos(ωon)⋅u1[n]. têm as seguintes Transformadas z :. z −1 ⋅ sen (ωo ) Z {sen (ωo n ) ⋅ u 1[ n ] } = 1 − 2 ⋅ cos( ωo ) ⋅ z −1 + z −2. eq. (6.23). 1 − z −1 ⋅ cos( ωo ) Z {cos( ωo n ) ⋅ u 1[ n ] } = 1 − 2 ⋅ cos( ωo ) ⋅ z −1 + z −2. eq. (6.24). e. 20.

(21) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. que equivalem a. Z { sen (ωo n ) ⋅ u 1[ n ] } =. z ⋅ sen (ωo ) z 2 − 2 ⋅ z cos( ωo ) + 1. eq. (6.25). Z { cos( ωo n ) ⋅ u 1[ n ] } =. z ⋅ [ z − cos( ωo )] z 2 − 2 ⋅ z ⋅ cos( ωo ) + 1. eq. (6.26). e. Exemplo 6.8: Considere o sinal x[n]. − ( −λ ) n x[n ] = ⋅ u1[n − 1] n ou seja,.  λn + n 1  x[ n ] = ( −1) ⋅ n ,  0,. n = 1,2,3, L n = 0,−1,−2, L. Pela definição de Transformada z, eq. (6.6), tem-se que: ∞. Z { x[n ] } = X(z) = ∑. n =1. (−1) n +1 ⋅ λn ⋅ z − n n. e da expansão em série de Taylor, eq. (6.2), obtém-se que a Transformada z deste sinal é:. (. ). X (z ) = log 1 + λz −1 ,. z >a. eq. (6.27) . As Transformadas z introduzidas nesta secção assim como nas duas secções anteriores (uo[n], uo[n-m], u1[n], n u1[n], n2 u1[n], sen(ωon), cos(ωon) , an sen(ωon), an cos(ωon), etc.) estão reunidas numa tabela na secção a seguir. 21.

(22) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. 6.8 – Tabela da Transformada z de alguns sinais discretos Da mesma forma que foi feito na secção 5.7 para Transformadas de Laplace, nesta secção apresentamos uma Tabela das Transformadas z de alguns sinais discretos. Tab 6.1 – Tabela da Transformada z de alguns sinais discretos. x[n]. X(z) = Z { x[n] }. x[n] = uo[n]. X(z) = 1. X(z ) = z −m =. x[n] = uo[n – m] , m = 0, 1, 2, …. x[n] = u1[n–1]. = n⋅u1[n] x[n] = n2⋅u1[n]. x[n] = n3⋅u1[n] x[n] = an–1⋅u1[n–1] x[n] = an⋅u1[n]. (1− z ) −1. X(z) =. x[n] = u1[n–2] x[n] = u2[n]. 1. X( z ) =. x[n] = u1[n]. X(z) = X( z ) =. X(z) =. X(z) =. z ( z − 1). =. 1. (1 − z ) −1. (1 − z ) −1. (1− z ). −1 2. z −1 (1 + z −1 ). (1 − z )3 −1. (1 − z ). −1 4. z −1. z. ( z − 1)2. =. =. (1 − a ⋅ z ). =. 1 1 − a ⋅ z −1. =. −1. (. z (z − 1). =. z −1 (1 + 4z −1 + z −2 ). X( z ) =. (z − 1) 1. =. z −1. X(z) =. 22. =. z −1. z −2. 1 zm. ). z ( z + 1). (z − 1)3. z (z 2 + 4z + 1). (z − 1)4. 1. (z − a ) z (z − a ).

(23) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. Tab 6.1 – Tabela da Transformada z de alguns sinais discretos (continuação). X(z) = Z { x[n] }. x[n] x[n] = an⋅u2[n] = an⋅n⋅u1[n] x[n] = a ⋅n ⋅u1[n] n. 2. x[n] = sen(ωon)⋅u1[n]. X( z ) =. a ⋅ z −1. (. 1− a ⋅z. a ⋅ z −1 ⋅ (1 + a ⋅ z −1 ). X(z ) =. (1 − a ⋅ z ). −1 3. ( z − a )2 a ⋅ z ⋅ (z + a ) (z − a ) 3. (. z ⋅ sen(ωo ) z 2 − 2 ⋅ z ⋅ cos(ωo ) + 1. ). (z. z ⋅ [ z − cos(ωo ) ] 2. ). − 2 ⋅ z ⋅ cos(ωo ) + 1. a ⋅ sen(ωo ) ⋅ z −1 X( z ) = 1 − 2 ⋅ a ⋅ cos(ωo ) ⋅ z −1 + a 2 z −2 =. x[n] = an⋅ cos(ωon)⋅u1[n]. =. a ⋅z. 1 − cos(ωo ) ⋅ z −1 X( z ) = 1 − 2 ⋅ cos(ωo ) ⋅ z −1 + z −2 =. x[n] = an⋅sen(ωon)⋅u1[n]. =. z −1 ⋅ sen(ωo ) X( z ) = 1 − 2 ⋅ cos(ωo ) ⋅ z −1 + z −2 =. x[n] = cos(ωon)⋅u1[n]. ). −1 2. (z. a ⋅ z ⋅ sen(ωo ) 2. − 2 ⋅ a ⋅ z ⋅ cos(ωo ) + a 2. ). 1 − a ⋅ cos(ωo ) ⋅ z −1 X( z ) = 1 − 2 ⋅ a ⋅ cos(ωo ) ⋅ z −1 + a 2 z −2 =. 23. (z. z ⋅ [ z − a ⋅ cos(ωo ) ] 2. − 2 ⋅ a ⋅ z ⋅ cos(ωo ) + a 2. ).

(24) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. 6.9 – Propriedades da Transformada z A seguir vamos ver algumas propriedades que são satisfeitas pela Transformada z . Homogeneidade (“homogeneity”) Z  k · x n k · Z  x n k · X

(25) z. eq. (6.28). Aditividade (“additivity”). Z { x 1 [n ] + x 2 [ n ] } = Z { x 1[ n ] } + Z { x 2 [ n ] } eq. (6.29). = X1 ( z ) + X 2 ( z ) Linearidade (“linearity”). Como já vimos em anteriormente, a linearidade é a propriedade da aditividade, eq. (6.29), e da homogeneidade eq. (6.28) juntas:. Z { α ⋅ x1[ n ] + β ⋅ x 2 [n ] } = α ⋅ Z { x1[ n ] } + β ⋅ Z { x 2 [ n ] } eq. (6.30). = α ⋅ X1 ( z) + β ⋅ X 2 ( z). onde α, β ∈ C são constantes e x1[n], x2[n] são dois sinais discretos com Transformadas z dadas por X1(z) e X2(z) respectivamente. Conforme já mencionado anteriormente (no Exemplo 6.2), a propriedade da linearidade da Transformada z permite escrever n   1  n  1 Z 5 ⋅   ⋅ u 1 [n ] − 2 ⋅   ⋅ u 1 [n ] =   2    3.  1  n  = 5 ⋅ Z   ⋅ u 1[ n ] − 2 ⋅ Z  2   = 5⋅. =. 1 1.   1 − z −1   2  5.  1  z −   2. −. 24. −. 2⋅. 2  1  z −  3 . 1 1.  1  n    ⋅ u [ n ]    1   3 .   1 − z −1   3 .

(26) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. Translação (“time shifting”): Se x[n] é um sinal discreto definido apenas para n = 0, 1, 2, … , ou seja x[n] = 0, n < 0, e com Transformada z dada por X(z), uma translação de m = 1 (shift de 1 unidade para direita):. Z { x[n − 1] } = z −1 ⋅ X(z) + x[−1]. eq. (6.31). Para m = 2 (shift de 2 para direita):. Z { x[n − 2] } = z −2 ⋅ X(z) + x[−2] + x[−1] ⋅ z −1. eq. (6.32). e no caso geral, m = 1, 2, 3, … (shift de m > 0 para direita). Z { x[ n − m ] } = z − m ⋅ X ( z ) + x[− m ] + x[− m + 1] ⋅ z −1 + + x[ − m + 2] ⋅ z. −2. + L + x[−2] ⋅ z. −m+ 2. + x[−1] ⋅ z. − m +1. eq. (6.33). Os termos x[–1], x[–1]⋅z-1, x[–2], x[–m+1]⋅z-1, … etc. correspondem aos “resíduos” na propriedade da derivada em Transformadas de Laplace (capítulo 5, secção 5.4). Estes termos aparecem pois estamos considerando a Transformada z unilateral, conforme a definição na eq. (6.6), assim como no capítulo 5 (secção 5.4) consideramos a Transformadas de Laplace unilateral. Note que se x[n] tem condições iniciais nulas (x[n] = 0, n < 0), isto é, se x1 0, x2 0, x3 0,  , etc.. eq. (6.34). então estes termos residuais são todos nulos e uma translação de m > 0 (shift de m m para direita) equivale a multiplicar por z – (no domínio z, da frequência).. Isto é, no caso de condições iniciais nulas [eq. (6.34)], temos que os termos residuais desaparecem e as eq. (6.31), eq. (6.32) e eq. (6.33) se transformam na forma bem mais simplificada, resumidas na eq. (6.35).. 25.

(27) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. Z { x[ n − 1] } = z −1 ⋅ X (z ) = X (z ) z Z { x[ n − 2] } = z −2 ⋅ X ( z) = X (z ) z 2 eq. (6.35) M. Z { x[n − m] } = z − m ⋅ X (z ) = X ( z ) z m. No caso de translação de m = –1 (shift de 1 unidade para esquerda):. Z { x[n + 1] } = z ⋅ X(z) − x[0] ⋅ z. eq. (6.36). para m = –2 (shift de 2 para esquerda):. Z { x[n + 2] } = z m ⋅ X (z) − x[1] ⋅ z − x[0] ⋅ z 2. eq. (6.37). e no caso geral, m = –1, –2, –3, … (shift de |m| para esquerda):. Z { x[n + m] } = z m ⋅ X( z) − x[m − 1] ⋅ z − x[m − 2] ⋅ z 2 + − x[m − 3] ⋅ z 3 − L − x[1] ⋅ z m−1 − x[0] ⋅ z m. eq. (6.38). Mudança de escala no domínio z (“z-domain scaling”):. {. }. z Z α n ⋅ x[ n ] = X   α onde α ∈ C é uma constante e x[n] é um sinal discreto com Transformada z dada por X(z). Portanto, a mudança de escala no domínio z equivale à multiplicação por αn no domínio do tempo. jω. jω. Em particular, se α = e , então, como e  = 1, ∀ ω,. {. Z e. jωn. }. ⋅ x[n ] = X e  26. jω. ⋅ z  .

(28) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. Expansão no tempo (“time scaling”): Para um sinal discreto x[n] considere o sinal expandido x(k)[n] definido abaixo.. x[n / k] , x ( k ) [n] =  0 ,. se n é múltiplo de k se n não é múltiplo de k. o qual está ilustrado na figura 6.5 para k = 2 e x[n] = 1, n = 1, 2, …. Fig. 6.5 – x[n] = 1, ∀ n = 0, 1, 2,… e x ( k ) [n] para k = 2.. Estes sinais expandidos x(k)[n] satisfazem a seguinte propriedade:. {. }. ( ). {. }. ( ). Z x ( k ) [n ] = X z k. Conjugado (“conjugate”). Z x ∗ [ n ] = X∗ z ∗. Onde x[n] é um sinal discreto com Transformada z dada por X(z). Note que, se x[n] for um sinal real (x[n] ∈ R) então: X(z) = X*(z*) logo, se X(z) tem um pólo em z = a também terá em z = a*.. 27.

(29) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. Convolução (“convolution”) Semelhantemente às transformadas de Fourier e de Laplace, também na Transformada z temos que a transformada da convolução é o produto das Transformadas z:. Z { x1[ n ] * x 2 [ n ] } = X1 (z ) ⋅ X 2 ( z ). eq. (6.39). Derivada do domínio de z (“z-domain derivative”). Z. { n ⋅ x[n ] } =. −z⋅. dX(z ) dz. onde x[n] é um sinal discreto com Transformada z dada por X(z). Portanto a derivada do domínio de z equivale à multiplicação por n no domínio do tempo.. Esta propriedade permite generalizar alguns sinais da tabela Tab 6.1 das Transformadas z na secção 6.8. Por exemplo, nessa tabela pode-se ver as Transformadas z dos sinais:. x[n] = u1[n] ,. x[n] = n⋅u1[n]. x[n] = n2⋅u1[n]. e. e com esta propriedade pode-se generalizar para os sinais:. x[n] = n3⋅u1[n] ,. x[n] = n4⋅u1[n] ,. … , etc.. Nessa mesma tabela também se encontram as Transformadas z dos sinais:. x[n] = an⋅u1[n] ,. x[n] = an⋅n⋅u1[n]. e. x[n] = an⋅n2⋅u1[n]. e com esta propriedade pode-se generalizar para os sinais:. x[n] = an⋅n3⋅u1[n] ,. x[n] = an⋅n4⋅u1[n] ,. 28. … , etc..

(30) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. 6.10 – Teorema Valor Inicial (TVI) e Teorema Valor Final (TVF) A exemplo dos teoremas TVI e TVF para Transformadas de Laplace (secção 5.5), estes teoremas para Transformadas z permitem que se descubra o valor inicial x[0] e o valor final x[∞] de um sinal x[n] cujo X(z), a Transformada z, seja conhecida. Teorema do valor inicial (TVI):. x[0] = lim X (z ) z→∞. Teorema do valor final (TVF):. x[∞] = lim ( z − 1) ⋅ X ( z ) z →1. Exemplo 6.9: Considere o sinal discreto do exemplo 6.2, xn 5 ·

(31) 1⁄2  2 ·

(32) 1⁄3  · u n cuja Transformada de Laplace é dada pela eq. (6.11). Aplicando-se os teoremas TVI e TVF obtemos:. 2 &3z '  z( 3 x0 lim X

(33) z lim. 3 1 1 #$% #$% &z  ( &z  ( 2 3 e. 2 &3z '  z( 3 x∞ lim

(34) z  1 · X

(35) z lim

(36) z  1 ·. 0 1 1 #$ #$ &z  ( &z  ( 2 3. que estão de acordo com o esperado pois que como temos x[n], claro, sabemos que neste caso são de facto x[0] = 3 e x[∞] = 0. . 29.

(37) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. Exemplo 6.10: Se tomarmos o sinal degrau unitário discreto xn u n cuja Transformadas z é dada por (tabela Tab 6.1 da secção 6.8) Xz 1⁄

(38) 1  z * , então, aplicando-se os teoremas TVI e TVF para Transformada z, obtemos: x0+  lim X

(39) z lim #$%. #$%. 1. 1

(40) 1  z * . e x∞ lim

(41) z  1 · X

(42) z lim

(43) z  1 · #$. #$. 1. 1

(44) 1  z * . que novamente estão de acordo com o esperado pois, claro, sabemos que para o degrau unitário discreto x0 1 e x∞ 1. Por outro lado, se tomarmos o sinal rampa unitária discreta xn u' n cuja Transformadas z é dada por (tabela Tab 6.1 da secção 6.8) Xz z⁄

(45) z  1' , então, aplicando-se os teoremas TVI e TVF para Transformada z, obtemos: x0+  lim X

(46) z lim #$%. #$%. e x∞ lim

(47) z  1 · X

(48) z lim

(49) z  1 · #$. #$. z. 0

(50) z  1' z z. lim ·. ∞

(51) z  1' #$

(52) z  1. que novamente estão de acordo com o esperado pois, claro, sabemos que para a rampa unitária discreta x0 0 e x∞ ∞. Finalmente, se tomarmos o sinal impulso unitário discreto xn u, n cuja Transformadas z é dada por (tabela Tab 6.1 da secção 6.8) Xz 1, então, aplicando-se os teoremas TVI e TVF para Transformada z, obtemos: x0+  lim X

(53) z lim 1 1 #$%. e. #$%. x∞ lim

(54) z  1 · X

(55) z lim

(56) z  1 · 1 0 #$. #$. que novamente estão de acordo com o esperado pois, claro, sabemos que para o impulso unitário discreto x0 1 e x∞ 0. . 30.

(57) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. 6.11 – Transformada z inversa Nesta secção vamos desenvolver as técnicas de encontrar o sinal x[n] para os quais X(z), a Transformada z, é conhecida. Ou seja, vamos calcular a Transformada z inversa de X(z).. Z*  X

(58) z xn As Transformadas z dos principais sinais de interesse para sistemas lineares invariantes no tempo (SLIT) vêm em forma de uma fracção racional, ou seja, uma fracção do tipo: -

(59) # eq. (6.40) .

(60) # onde p(z) e q(z) são polinómios em z. Conforme podemos observar na tabela Tab 6.1 da secção 6.8, as Transformadas z de muitos sinais vêm todas na forma eq. (6.40) onde p(z) e q(z) são polinómios menores, isto é, do primeiro ou segundo grau, como por exemplo:. #.

(61) #*/. ,. /·#. ou.

(62) #*/0. ,. etc.. De forma semelhante a que é feita para se achar a Transformadas inversas de Laplace (capítulo 5, secção 5.8), aqui também, para se achar a Transformadas z inversa é necessário desmembrar o X(z) na forma eq. (6.40) em fracções menores, ou seja, é preciso fazer a expansão de X(z) em fracções parciais. Assim como nas Transformadas inversas de Laplace da secção 5.8, vamos apresentar aqui, através de exemplos, três casos de expansão em fracções parciais: pólos reais e distintos, pólos complexos e pólos múltiplos. Os demais casos serão apenas combinações destes 3 casos, como veremos nos exemplos das próximas secções.. 31.

(63) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. Caso 1 – Pólos reais e distintos Vamos ilustrar o caso de pólos reais e distintos com um exemplo: Exemplo 6.11: Considere a Transformada z abaixo com 2 pólos distintos: z = 1/3, e z = 1/2,. 18z 2 − 8z 2 z (9 z − 4 ) X(z) = 2 = , 6(z − 1 / 3)(z − 1 / 2 ) 6 z − 5z + 1. eq. (6.41). que, separando-se em duas fracções temos: X(z) z. =. A 1  z −  3 . +. B 1  z −  2 . e, de forma semelhante a que foi feita no capítulo 5, secção 5.8, facilmente calculamos que A = 2 e B = 1. Usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8,. Z. -1 . n.  1 z   =   u1[ n ]  (z − 1 / 3)   3 . Z. -1 . n.  1 z   =   u 1[ n ]  (z − 1 / 2 )   2 . e podemos escrever a Transformada z inversa de X(z). 1 x[n ] = 2 ⋅    3. n. 1 ⋅ u 1[ n ] +   2. n ⋅ u 1[n ]. eq. (6.42). Alternativamente pode-se calcular este x[n] reescrevendo X(z) em eq. (6.41) na forma: 4 −1   3 − z  3   X (z) = ,  1 −1  1 −1  1 − z 1 − z   3  2 . que, separando-se em duas fracções temos:. 32.

(64) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. X(z). =. A  1 −1  1 − z   3 . B  1 −1  1 − z   2 . +. e, novamente calculamos que A = 2 e B = 1. Logo, usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8, podemos escrever a Transformada z inversa de X(z) na forma eq. (6.42), chegando ao mesmo resultado. . Caso 2 – Pólos complexos conjugados Considere X(z), a Transformada z de x[n], dada abaixo:. z2 X(z) = 2 z − (2ρ cos θ)z + ρ 2. eq. (6.43). onde ρ>0. 0<θ<π. e. Note que X(z) tem 2 pólos complexos conjugados:. z = ρ ⋅ e ± jθ = ρ ⋅ (cos θ ± j ⋅ senθ) Para calcular x[n ] = Z. −1. [ X( z)] reescreve-se X(z) na forma,. X (z) =.   1 z ⋅ (ρ ⋅ senθ) ⋅ 2 ⋅z 2 (ρ ⋅ senθ)  z − (2ρ cos θ) ⋅ z + ρ . e, usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8 e a eq. (6.36). x[ n ] =. {. }. 1 ⋅ ρ n +1 ⋅ sen[(n + 1) ⋅ θ] ⋅ u1[n + 1] (ρ ⋅ sen θ). ρ n ⋅ sen[(n + 1) ⋅ θ] = ⋅ u1[n + 1] sen θ que neste caso equivale a 33. eq. (6.44).

(65) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. ρ n ⋅ sen[(n + 1) ⋅ θ] x[n ] = ⋅ u 1[ n ] sen θ. eq. (6.45). pois para n = –1, sen (n+1) = sen(0) = 0, então x[–1 ] = 0.. Alternativamente pode-se calcular este x[n] reescrevendo X(z) em eq. (6.43) na forma: X(z) =. 1 1 − (2ρ cos θ) ⋅ z −1 + ρ 2 z − 2. que pode ser colocado na forma:.   1 (ρ ⋅ senθ) ⋅ z −1 X( z) = ⋅ ⋅z −1 2 −2  (ρ ⋅ senθ) 1 − (2ρ cos θ) ⋅ z + ρ z  e, novamente, usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8, podemos escrever a Transformada z inversa de X(z) na forma eq. (6.45), chegando ao mesmo resultado.. Esta solução da Transformada z inversa de X(z) da eq. (6.43) engloba uma família de X(z) do tipo eq. (6.40) com o denominador. q(z) = z 2 − bz + c que satisfazem. b 2 < 4c. eq. (6.46). ou seja, tal que o polinómio q(z) tem raízes complexas conjugadas. Uma fracção racional do tipo. z2 q( z). =. z2 z 2 − bz + c. =. 1 1 − bz −1 + cz −2. onde a condição eq. (6.46) é satisfeita, i.e., b 2 < 4c , pode sempre ser reescrita na forma da eq. (6.43) com ρ > 0 e 0 < θ < π. 34.

(66) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. Exemplo 6.12: Considere X(z) dado por. 1 z2 X(z) = = 2 1 − z −1 + 4z −2 z −z+4 então a eq. (6.46) é satisfeita pois polinómio q(z) neste caso terá b = 1 e c = 4. Fazendo.  ρ2 = c = 4  2ρ cos θ = b = 1. ⇒.  ρ = 2 cos θ = 1  4. e portanto, 1 θ = arc cos   = 1,318 rad = 75,5º , 4. e claramente ρ e θ satisfazem eq. (6.44). Logo, x[n], Transformada z inversa de X(z), é dada pela eq. (6.45) com ρ = 2 e θ = 1,318 rad, ou seja:. 2 n ⋅ sen[(n + 1) ⋅1,318] x[n ] = ⋅ u 1[ n ] sen (1,318). Exemplo 6.13: Considere X(z) dado por 1 z2 X(z) = = 1 + 5z −1 + 10 z − 2 z 2 + 5z + 10. então a eq. (6.46) é satisfeita pois polinómio q(z) neste caso terá b = –5 e c = 10. Fazendo.  ρ 2 = c = 10   2ρ cos θ = b = −5.  ρ = 10   cos θ = − 5 = − 0,79  2 10. ⇒. 35.

(67) J. A. M. Felippe de Souza. e portanto,. 6 – Transformadas z. θ = arccos ( −0,79 ) = 2, 482 rad = 142,2º ,. e claramente ρ e θ satisfazem eq. (6.44). Logo, x[n], Transformada z inversa de X(z), é dada pela eq. (6.45) com ρ = 3,162 e θ = 2,482 rad, ou seja:. (3,162) n ⋅ sen[(n + 1) ⋅ 2,482] x[n ] = ⋅ u 1[ n ] sen (2,482). Caso 3 – Pólos múltiplos (duplos, triplos, etc.) Para exemplificar este caso de pólos múltiplos vamos considerar primeiramente X(z) com pólos duplos. Vamos nos concentrar nos casos em que os pólos múltiplos são z ≠ 0. No caso 4 trataremos em separado o caso de pólos múltiplos na origem (z = 0). A condição da eq. (6.44) para o caso 2 de pólos complexos conjugados, i.e.,. não inclui. ρ>0. e. 0<θ<π. θ=0. e. θ=π. pois na verdade, para estes dois valores os pólos de X(z) deixam de ser complexos e passam a ser duplos. Note que se θ = 0 ou θ = π, então cos(θ) = ± 1 e portanto X(z) da eq. (6.43) se torna. z2 z2 X(z) = 2 = 2 z − ( 2ρ cos θ) z + ρ 2 z − 2ρz + ρ 2 ou seja,. X( z) =. z2. (z − ρ)2. eq. (6.47). no caso de θ = 0, ou. no caso de θ = π.. z2 X (z) = (z + ρ )2 36. eq. (6.48).

(68) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. Portanto, θ = 0 ou θ = π correspondem aos casos de pólos duplos onde o pólo duplo é z = ± ρ. (contemplando os casos de cos θ = ± 1). Se X(z), a Transformada z de x[n], estiver na forma da eq. (6.47), o pólo duplo é −1 z = ρ e para calcular x[n ] = Z [ X( z)] reescreve-se X(z) como. X(z) =. ρ⋅z 1 ⋅ ⋅z ρ ( z − ρ )2. e, usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8 e a propriedade da translação (time shift), neste caso de m = –1, (1 unidade para esquerda), eq. (6.36), temos. x[n ] =. 1 ρ. ⋅ ρ n +1 ⋅ u 2 [n + 1] = ρ n ⋅ u 2 [n + 1] = ρ n ⋅ (n + 1) ⋅ u 1[n + 1]. que equivale a. x[n ] = (n + 1) ⋅ ρ n ⋅ u 1[n ]. eq. (6.49). pois u1[–1] = 0 e logo u1[n+1] = u1[n]. Alternativamente pode-se calcular este x[n] reescrevendo X(z) em eq. (6.47) na forma: 1 ρ ⋅ z −1 X(z) = ⋅ ⋅z −1 2 ρ (1 − ρ z ) e, novamente, usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8, e a propriedade da translação (time shift), podemos escrever a Transformada z inversa de X(z) na forma eq. (6.49), obtendo o mesmo resultado. Se entretanto X(z), a Transformada z de x[n], estiver na forma da eq. (6.48), então, o −1 pólo duplo é z = –ρ e para calcular x[n ] = Z [ X( z)] reescreve-se X(z) como. 1 ( −ρ) ⋅ z X(z) = − ⋅ ⋅z 2 ρ ( z − (−ρ) ) e, de forma análoga chegamos ao resultado. x[n ] = (n + 1) ⋅ (−ρ) n ⋅ u 1[ n ] 37. eq. (6.50).

(69) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. Esta solução da Transformada z inversa de X(z) da eq. (6.47) ou eq. (6.48) engloba uma família de X(z) do tipo eq. (6.40) com. q(z) = z 2 − bz + c que satisfazem. b 2 = 4c. eq. (6.51). ou seja, tal que o polinómio q(z) tem raízes duplas z = – b/2.. Exemplo 6.14: Considere X(z) dado por. 1 z2 z2 X(z) = = 2 = 1 + 6z −1 + 9z −2 z + 6z + 9 ( z + 3) 2 então o polinómio q(z) neste caso terá b = 6 e c = 9 e a eq. (6.51) é satisfeita. Além disso, ρ = 9 = 3 e o pólo duplo é z = –ρ = –3. Logo, x[n], Transformada z inversa de X(z), é dada pela eq. (6.50), ou seja:. x[n ] = ( n + 1) ⋅ (−3) n ⋅ u 1[n ] . Exemplo 6.15: Considere X(z) dado por. 5 5z 2 5z 2 X( z) = = 2 = 1 − 8z −1 + 16z −2 z − 8z + 16 ( z − 4)2 então o polinómio q(z) neste caso terá b = –8 e c = 16 e a eq. (6.51) é satisfeita. Além disso, ρ = 16 = 4 e o pólo duplo é z = ρ = 4. Logo, x[n], Transformada z inversa de X(z), é obtida pela eq. (6.49), pela propriedade da homogeneidade, eq. (6.28), e a pela propriedade da translação (time shift), eq. (6.36), ou seja:. x[n ] = 5 ⋅ (n + 1) ⋅ 4 n ⋅ u 1[n ]  38.

(70) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. Exemplo 6.16: Considere X(z) dado por. 1 + 6z −1 z 2 + 6z z+6 X(z ) = = = 1 + 4z −1 + 4z − 2 z 2 + 4z + 4 (z + 2) 2 Aqui o polinómio do denominador. q ( z ) = z 2 + 4z + 4 , e novamente a eq. (6.51) é satisfeita pois neste caso b = –4 e c = 4. Além disso, ρ = 4 = 2 e o pólo duplo é z = –ρ = –2. Logo, reescrevemos X(z) na forma. X ( z) =. z ( z + 2) 2. − 6⋅. z ⋅ z −1 2 ( z + 2). que equivale a. ( −2) ⋅ z −1  1  ( −2) ⋅ z X (z) = −   ⋅ − 3⋅ ⋅z 2 2 2 ( z + 2 ) ( z + 2 )   Desta forma x[n], a Transformada z inversa de X(z), é facilmente obtida pela eq. (6.50), pela propriedade da linearidade, eq. (6.30), e a pela propriedade da translação (time shift), eq. (6.31) ou, neste caso, eq. (6.35). ou seja:. x[n ] = −. 1 ⋅ (−2) n ⋅ n ⋅ u1[n ] − 3 ⋅ (n − 1) ⋅ (−2) n −1 ⋅ u1[n − 1] 2. . Caso 4 – Pólos múltiplos na origem O caso particular de pólos múltiplos em z = 0 será considerado separadamente aqui. Já vimos acima, no caso 3, que a condição da eq. (6.44) para o caso 2 de pólos complexos conjugados, i.e., 39.

(71) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. ρ>0. e. 0<θ<π. θ=0. e. θ=π. não inclui. e estes são os casos que temos pólos duplos em z ≠ 0. Mas esta condição da eq. (6.44) também não inclui ρ=0 pois novamente, neste caso, os pólos de X(z) deixam de ser complexos e passam a ser duplos, mas agora em z = 0. Note que se ρ = 0, X(z) da eq. (6.43) torna-se. z2 X (z) = 2 z − ( 2ρ cos θ) z + ρ 2. z2 z2 = = 2 = 1 2 ( z − 0) z. ou seja, pólos duplos na origem (i.e., em z = ρ = 0). Usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8 e facilmente calcular x[n ] = Z −1[ X( z)] é o impulso unitário. x[n ] = u o [n ] Podemos facilmente generalizar para mais pólos múltiplos na origem: No caso de pólos triplos na origem (pólos triplos em z = 0), X(z) terá a expressão:. z2 1 X(z) = = z ( z − 0) 3 e a Transformadas z, pela tabela Tab 6.1 da secção 6.8 fica:. x[n ] = u o [n − 1] No caso de pólos quádruplos em z = 0, X(z) terá a expressão:. z2 1 X(z) = = 2 4 ( z − 0) z 40.

(72) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. e a Transformadas z, pela tabela Tab 6.1 da secção 6.8 será:. x[n ] = u o [n − 2] e assim por diante. Generalizando, se. X(z) =. 1 , k = 0, 1, 2, … zk. então. x[n ] = u o [n − k ]. 6.12 – Solução de equações de diferenças usando Transformadas z A Transformada z é útil para a solução de equações de diferenças, de forma semelhante ao uso da transformada de Laplace na solução de equações diferenciais ordinárias (EDO). Para a resolução de equações de diferenças com o uso da Transformada z, a propriedade da translação (“time shift”) [equações eq. (6.31) – eq. (6.38)] é tão importante como era a propriedade da derivada no caso da Transformada de Laplace na resolução de EDO. Equações de diferenças descrevem a dinâmica de sistemas discretos onde x[n] é a entrada (“input”) e y[n] é a saída (“output”).. Fig. 6.6 – Diagrama de blocos (caixa preta) de um sistema.. Normalmente, a entrada x[n] é conhecida e as condições iniciais da saída y[n], isto é,. y[–1], y[–2], y[–3], etc. 41.

(73) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. O número de condições iniciais necessárias para resolver a equação de diferenças é a ordem da própria equação de diferenças (que é a ordem do sistema). Logo, se for de 1ª ordem, precisa-se de y[–1]; se for de 1ª ordem, precisa-se de y[–1] e y[–2], e assim por diante.. Exemplo 6.17: Considere a equação às diferenças de 1ª ordem.. y[ n ] + 3 y[ n − 1] = x[ n ]. eq. (6.52). com condição inicial nula, y[–1] = 0. Fazendo-se a a Transformada z da eq. (6.52) termo a termo, com o uso da eq. (6.31),. Y[z] + 3z −1 ⋅ Y(z) = X(z) isto é,. Y[z] ⋅ (1 + 3z −1 ) = X(z) e logo,. Y[ z] =. 1 z ⋅ X ( z ) = ⋅ X(z) 1 + 3z −1 z+3. eq. (6.53). e o problema de achar a solução y[n] da equação de diferença da eq. (6.52) se converte no problema de achar a Transformada z inversa de Y(z) da eq. (6.53). Ou seja y[n] = Z. –1. {Y(z)}. Se x[n] = uo[n] (impulso unitário discreto), por exemplo, então X(z) = 1 e, da eq. (6.53):. y[ n ] = Z. -1. { Y[z] } =. Z. -1 . z     z+3 . ou seja,. y[ n] = ( −3) n ⋅ u1[ n]. 42. eq. (6.54).

(74) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. que é a solução da equação de diferenças eq. (6.52) com condição inicial nula, i.e., y[–1] = 0 e entrada x[n] = uo[n] (impulso unitário discreto). n Pode-se facilmente verificar que y[n ] = (−3) ⋅ u1[n ] de facto satisfaz a eq. (6.52) com x[n] = uo[n] e que y[–1] = 0.. Se entretanto x[n] = u1[n] (degrau unitário discreto), então X(z) = 1/(z – 1) e portanto, da eq. (6.53): y[ n ] = Z. -1. { Y[z] } =. Z. -1 . z z  ⋅   = Z  (z + 3) (z − 1) . -1 . Az Bz  +    (z + 3) (z − 1) . e facilmente se calcula que A = ¾ e B = ¼ . Logo,. y[ n ] = Z. -1  3 . z 1 z  +   ⋅   ⋅   4  (z + 3)  4  (z − 1) . e agora, usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8, e pela propriedade da linearidade (secção 6.10) obtém-se:. 3 1 y[n ] =   ⋅ (−3) n +   ⋅ u 1[ n ]  4   4 . eq. (6.55). que é a solução da equação de diferenças eq. (6.52) com condição inicial nula, i.e., y[–1] = 0 e entrada x[n] = u1[n] (degrau unitário discreto). Pode-se facilmente verificar que y[n] dado pela eq. (6.55) de facto satisfaz a eq. (6.52) com x[n] = u1[n] e que a condição inicial, y[–1] = 0, se verifica. . Exemplo 6.18: Considere agora a mesma equação de diferenças eq. (6.52), do exemplo anterior (exemplo 6.17), ou seja,. y[ n ] + 3 y[ n − 1] = x[ n ] mas desta vez com condições inicial dada por: y[–1] = 1 43. eq. (6.56).

(75) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. Portanto aqui temos que utilizar a propriedade da translação (“shift”) eq. (6.31), o que nos dá, para Transformada z desta equação de diferenças: Y ( z) + 3 ⋅ y[ −1] + 3 ⋅ z −1 ⋅ Y (z ) = X ( z ). 1 e portanto,. Y ( z ) ⋅ [1 + 3 ⋅ z −1 ] = − 3 + X ( z ) ou seja, Y (z) =. −3 (1 + 3z −1 ). +. 1 ⋅ X(z) (1 + 3z −1 ). zero input response. eq. (6.57). zero state response. Podemos observar que se x[n] e y[n] forem respectivamente a entrada e a saída de um sistema discreto, então a saída y[n] será composta de duas partes que podemos identificar nas parcelas da sua Transformada z, Y(z). A primeira parcela Y(z) (chamada de “zero input response”), corresponde à saída do sistema apenas pelo efeito das condições iniciais, ou seja, com entrada x[n] = 0. A segunda parcela Y(z) (chamada de “zero state response”), corresponde à saída do sistema apenas pelo efeito da entrada x[n], ou seja, com condições iniciais nulas. Consideremos agora que a entrada x[n] é o sinal:. x[n] = 8⋅u1[n] Logo, X(z) =. 8 8z = e portanto a eq. (6.57) torna-se −1 (1 − z ) (z − 1). Y (z) =. 8 −3 + −1 −1 (1 + 3z ) (1 + 3z )(1 − z −1 ). − 3z 8z 2 = + (z + 3) (z + 3)(z − 1) 44. eq. (6.58).

(76) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. o que permite acharmos a solução y[n] da equação de diferença eq. (6.56) através da sua Transformada z inversa. y[n] = Z −1 {Y(z)} Portanto, fazendo a expansão de eq. (6.58) em fracções parciais, temos. Y (z) =. 3z 2z + ( z + 3) ( z − 1). e logo, com auxílio da tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8, obtemos y[n ] = 3 ⋅ (−3) n ⋅ u 1[n + 1] + 2 ⋅ u 1[ n + 1]. [. ]. = 3 ⋅ (−3) n + 2 ⋅ u 1[n + 1]. eq. (6.59). que é a solução da equação de diferenças eq. (6.56) com condição inicial y[–1] = 1 e entrada x[n] = 8u1[n]. Note que, como a equação de diferenças eq. (6.56) é de 1ª ordem e y[–1] ≠ 0, foi necessário recuar uma unidade de tempo, o que corresponde de u1[n] para u1[n+1]. Pode-se facilmente verificar que y[n] dado pela eq. (6.59) de facto satisfaz a eq. (6.56) com x[n] = 8u1[n] e que a condição inicial, y[–1] = 1, se verifica. . Exemplo 6.19: Considere a equação às diferenças de 1ª ordem. y[ n ] −. 1 1 y[ n − 1] = x[n ] + x[n − 1] 3 2. com condição inicial nula, isto é, y[–1] = 0, onde a entrada x[n] é x[n] = u1[n] = degrau unitário discreto. 45. eq. (6.60).

(77) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. Usando a eq. (6.31) achamos a Transformada z da eq. (6.60) termo a termo Y[z ] −. 1 1 ⋅ ( y[− 1] + z −1 ⋅ Y(z) ) = X(z ) + ⋅ ( x[− 1] + z −1 ⋅ X(z) ) 3 2 0 0. eq. (6.61). Note também X(z) = 1/(1 – z-1) e que x[–1] = u1[–1] = 0. Logo, X(z). 1 − 1 z −1  ⋅ Y[z] = 1 + 1 z −1  ⋅ X(z) = 1 + 1 z −1  ⋅  1           3   2   2   1 − z −1  e portanto,  1 −1  1 + z  2   1  Y[z] =  ⋅   1 −1   1 − z −1  1 − z   3 . eq. (6.62).  2 1   z + z 2  =  1   z −  ⋅ (z − 1) 3 . e mais uma vez pode-se achar a solução y[n] de uma equação de diferenças, neste caso da eq. (6.60), achando-se a Transformada z inversa de Y(z), neste caso da eq. (6.62), ou seja, y[n] = Z –1{Y(z)}. Agora, fazendo a expansão em fracções parciais de eq. (6.62), obtemos:. Y[z] =. − 1,25z 2,25z + (z − 1 / 3) (z − 1). e logo, com auxílio da tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8, obtemos a solução da equação de diferenças eq. (6.60) com condição inicial nula: n   1  y[n] = −1,25⋅   + 2,25 ⋅ u1[n]  3   46. eq. (6.63).

(78) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. que é a solução da equação de diferenças eq. (6.60) com condição inicial nula, i.e., y[–1] = 0 e entrada x[n] = u1[n] (degrau unitário discreto). Pode-se facilmente verificar que y[n] dado pela eq. (6.63) de facto satisfaz a eq. (6.60) com x[n] = u1[n] e que a condição inicial, y[–1] = 0, se verifica. . Exemplo 6.20: Considere novamente a equação de diferenças de 1ª ordem eq. (6.60) do exemplo anterior (exemplo 6.19),. y[ n ] −. 1 1 y[ n − 1] = x[n ] + x[n − 1] 3 2. eq. (6.64). com condição inicial nula, isto é, y[–1] = 0, mas com a entrada x[n] x[n] = impulso unitário discreto = uo[n]. Neste caso X(z) = 1; x[–1] = uo[–1] = 0; e Y(z) é semelhante ao dado pela eq. (6.61) Y[z] −. 1 1 ⋅ ( y[− 1] + z −1 ⋅ Y(z) ) = X(z) + ⋅ ( x[− 1] + z −1 ⋅ X(z) ) 3 2 0 1 0 1. e portanto, 1  1 −1   1 + z  z +  2  2 Y[z] =  =  1  1 −1   1 − z  z −  3  3  . eq. (6.65). e mais uma vez a solução y[n] da equação de diferenças eq. (6.64) é a Transformada z inversa de Y(z) ), neste caso da eq. (6.65), ou seja, y[n] = Z. –1. Reescrevendo Y(z) em eq. (6.65) como 47. {Y(z)}..

(79) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. Y[ z] =. z z − 1   3 . +. 1 2 z − 1   3 . 1 ⋅z z 2 = + ⋅ z −1 z − 1 z − 1     3 3  . e fazendo uso da tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8 e da eq. (6.36), obtemos n. 1 1 1 y[n] =   ⋅ u1[n] + ⋅   2  3  3. n−1. ⋅ u1[n −1]. eq. (6.66). que é a solução da equação de diferenças eq. (6.64) com condição inicial nula, i.e., y[–1] = 0 e entrada x[n] = uo[n]. Pode-se também verificar que y[n] dado pela eq. (6.66) de facto satisfaz a equação de diferenças eq. (6.64) com x[n] = uo[n] e que a condição inicial, y[–1] = 0, se verifica.  Exemplo 6.21: Considere novamente a equação de diferenças de 1ª ordem eq. (6.60) usada nos dois exemplos anteriores (exemplo 6.19 e 6.20),. y[n ] −. 1 1 y[n − 1] = x[n ] + x[n − 1] 3 2. eq. (6.67). com condição inicial y[–1] = 2, e a entrada x[n] dada por x[n] = impulso unitário discreto = uo[n]. Neste caso X(z) = 1; x[–1] uo[–1] = 0; e Y(z) é semelhante ao dado pela eq. (6.61) Y[z] −. 1 1 ⋅ ( y[− 1] + z −1 ⋅ Y(z) ) = X(z) + ⋅ ( x[− 1] + z −1 ⋅ X(z) ) 3 2 2 1 0 1. 48.

(80) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. e portanto, Y[z] −. 1 −1 2 1 ⋅ z ⋅ Y( z) = + 1 + ⋅ z −1 3 3 2. logo, 2 1 + 1 z −1      3 2    + Y[z] = 1 − 1 z −1  1 − 1 z −1       3   3 . eq. (6.68).  2 z z + 1      3  2   = + z − 1 z − 1     3 3  . e a solução y[n] da equação de diferenças eq. (6.67) é uma vez mais a Transformada z inversa de Y(z) ), neste caso da eq. (6.68), ou seja,. y[n] = Z. –1. {Y(z)}.. Reescrevendo Y(z) em eq. (6.68) como. 1  2⋅z   z 2 Y[z] =  3  + + z − 1 z − 1 z − 1        3 3 3    5⋅z 1⋅z     z 3   = + +  2  ⋅ z −1 z − 1 z − 1 z − 1       3 3 3    e fazendo uso da tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8 e da eq. (6.31), obtemos n. n.  5  1 1  1   1 y[n] =   ⋅   ⋅ u1[n +1] +   ⋅ u1[n] +   ⋅    3  3  3  2   3 49. n−1. ⋅ u1[n]. eq. (6.69).

(81) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. que é a solução da equação de diferenças eq. (6.67) com condição inicial y[–1] = 2 e entrada x[n] = uo[n]. Note que, como a equação de diferenças eq. (6.67) é de 1ª ordem e y[–1] ≠ 0, foi necessário recuar uma unidade de tempo, o que corresponde de u1[n] para u1[n+1]. Pode-se verificar que y[n] dado pela eq. (6.69) de facto satisfaz a a equação de diferenças eq. (6.67) com x[n] = uo[n] e que a condição inicial, y[–1] = 2, se verifica. . Exemplo 6.22: Considere a equação às diferenças de 2ª ordem. y[ n ] + 5 y[ n − 1] + 6 y[ n − 2 ] = x[ n ]. eq. (6.70). com condições iniciais nulas, isto é: y[–1] = 0 e y[–2] = 0. Observe que, como a equação de diferenças eq. (6.70) é de 2ª ordem, aqui foi necessário duas condições iniciais: y[–1] e y[–2]. Com o uso da eq. (6.32), achamos a Transformada z da eq. (6.70),. Y[z] + 5z −1 ⋅ Y(z) + 6z −2 ⋅ Y(z) = X(z) logo,. Y[z] ⋅ [1 + 5z −1 + 6z −2 ] = X(z) e portanto, Y ( z) =. 1. (1 + 5z −1 + 6z −2 ) ⋅ X(z). z2 z2 = ⋅ X( z ) = ⋅ X( z ) ( z + 5z + 6 ) ( z + 2)( z + 3). eq. (6.71). e novamente a tarefa de encontrar a solução y[n] da equação de diferença da eq. (6.70) é convertido no problema de achar a Transformada z inversa de Y(z) da eq. (6.71). Isto é, y[n] = Z. -1. 50. {Y(z)}.

(82) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. Se x[n] = uo[n] (impulso unitário discreto), então X(z) = 1 e então, da eq. (6.71):. y[ n ] = Z. -1. { Y[z] } =. Z. -1 .  z2   = Z  ( z + 2)( z + 3) . -1 . Az Bz  +    ( z + 2) ( z + 3) . e facilmente se calcula que A = 0,6 e B = 0,4. Logo, y[ n ] = Z. -1 . z z  + (0,4 ) ⋅ (0,6 ) ⋅ (z + 2 ) (z + 3)  . e agora, usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8, e pela propriedade da linearidade (secção 6.10): y[n ] = [(0,6 ) ⋅ (−2) n + (0,4 ) ⋅ (−3) n ]⋅ u 1[n ]. eq. (6.72). que é a solução da equação de diferenças eq. (6.70) com condições iniciais nulas, e entrada x[n] = uo[n]. Pode-se verificar que y[n] dado pela eq. (6.72) de facto satisfaz a a equação de diferenças eq. (6.70) com x[n] = uo[n] e que as condições y[–1] = 0 e y[–2] = 0, se verificam. Se entretanto x[n] = u1[n] (degrau unitário discreto), então X(z) = 1/(z – 1) e então, da eq. (6.71): y[n ] = Z. -1. { Y[z] } =. Z. -1 . z2 z  ⋅   = Z ( z + 2 )( z + 3 ) z − 1 ( )  . -1 . Az Bz Cz  + +    (z + 2) (z + 3) (z − 1) . e facilmente se calcula que A = 0,25 , B = –0,333 e C = 0,0833 . Logo, y[ n ] = Z. -1 . z z z  − (0,333) ⋅ + (0,0833) ⋅ (0,25) ⋅ (z + 2 ) (z + 3) (z − 1)  . e agora, usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8, e pela propriedade da linearidade (secção 6.10): y[ n ] = (0,25) ⋅ (−2) n ⋅ u 1[ n ] − (0,333) ⋅ ( −3) n ⋅ u 1[n ] + (0,0833) ⋅ u 1[ n ] ou seja,. 51.

(83) J. A. M. Felippe de Souza. y[ n ] =. 6 – Transformadas z. [ (0,25)⋅ (−2) n − (0,333)⋅ (−3) n + (0,0833) ]⋅ u [n] 1. eq. (6.73). que é a solução da equação de diferenças eq. (6.70) com condições iniciais nulas, e entrada x[n] = u1[n]. Pode-se verificar que y[n] dado pela eq. (6.73) de facto satisfaz a a equação de diferenças eq. (6.70) com x[n] = uo[n] e que as condições y[–1] = 0 e y[–2] = 0, se verificam. . Exemplo 6.23: Considere a equação de diferenças de 2ª ordem do exemplo anterior, mas na forma homogénea, isto é,. y[n ] + 5 y[n − 1] + 6 y[n − 2] = 0. eq. (6.74). e com as condições iniciais. y[–1] = 1. y[–2] = 0. e. Equações de diferenças homogéneas representam sistemas livres, ou seja, sistemas que não têm entrada (“input”), i.e., x[n] = 0. A saída (“output”) destes sistemas é apenas pelo efeito das condições iniciais.. Fig. 6.7 – Um sistema livre, a entrada x[n] = 0.. Usando a eq. (6.32) achamos a Transformada z da eq. (6.74) termo a termo Y(z) + 5 ⋅ [ y[−1] + z −1 ⋅ Y(z) ] + 6 ⋅ [ y[−2] + y[−1] ⋅ z −1 + z −2 ⋅ Y(z) ] = 0. 1. 0. 1. ou seja, Y ( z) ⋅ ( 1 + 5z −1 + 6z −2 ) = − 5 − 6z −1 e portanto, 52.

(84) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. − 5 − 6 z −1 Y (z ) = (1 + 5 z −1 + 6 z − 2 ). − 5z 2 − 6 z = ( z 2 + 5z + 6). =. Az Bz + ( z + 2) ( z + 3). onde facilmente calcula-se que A = 4 e B = –9. Logo, usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8, temos que y[n] = Z –1{Y(z)} é dado por. y[n ] = 4 ⋅ (− 2) ⋅ u1[n + 2] − 9 ⋅ (− 3) ⋅ u1[n + 2] n. n. eq. (6.75). = (4 ⋅ 2 n − 9 ⋅ 3n ) ⋅ u1[n + 2]. que é a solução da equação de diferenças eq. (6.74) com condições iniciais y[–1] = 1 e y[–2] = 0, e entrada x[n] = 0. Note que, como a equação de diferenças eq. (6.74) é de 2ª ordem e as condições iniciais são ≠ 0, foi necessário recuar duas unidade de tempo, o que corresponde de u1[n] para u1[n+2], embora aqui bastava uma unidade de tempo pois y[–1] ≠ 0 mas y[–2] = 0. Pode-se verificar que y[n] dado pela eq. (6.75) de facto satisfaz a a equação de diferenças eq. (6.74) com x[n] = 0 e as condições y[–1] = 1 e y[–2] = 0, de facto se verificam. . Exemplo 6.24: Considere a equação de diferenças de 2ª ordem. y[n ] − y[n − 1] − 2 y[n − 2] = x[n ]. eq. (6.76). com condições iniciais y[ −1] = 0. e. y[ −2] = 1. e a entrada x[n] dada por x[n] = u1[n] = degrau unitário discreto. Usando a eq. (6.32) achamos a Transformada z da eq. (6.76) termo a termo Y(z) − [ y[−1] + z −1 ⋅ Y (z) ] − 2 ⋅ [ y[−2] + y[−1] ⋅ z −1 + z −2 ⋅ Y(z) ] = X(z). 0. 1 53. 0. 1/(1 – z-1).

(85) J. A. M. Felippe de Souza. 6 – Transformadas z. ou seja,. Y ( z ) ⋅ (1 − z −1 − 2 z − 2 ) = 2 +. 1 (1 − z −1 ). e portanto, Y ( z) =. 2 1 + −2 −1 (1 − z − 2 z ) (1 − z − 2 z − 2 )(1 − z −1 ) −1. 2z 2 z3 = + ( z 2 − z − 2 ) (1 − z −1 − 2 z − 2 )( z − 1) =. Az Bz Cz + + ( z + 1) ( z − 2) ( z − 1). onde facilmente calcula-se que A = 5/6, B = 8/3 e C = –1/2. Logo, usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8, temos que y[n] = Z -1{Y(z)} é dado por y[ n] =. 5 8 1 ⋅ ( −1) n ⋅ u1[ n + 2] + ⋅ 2 n ⋅ u1[ n + 2] − ⋅ u1[ n + 2] 6 3 2. 8 1 5 =  ⋅ ( −1) n + ⋅ 2 n −  ⋅ u1[ n + 2] 3 2 6. eq. (6.77). que é a solução da equação de diferenças eq. (6.76) com condições iniciais y[–1] = 0 e y[–2] = 1, e entrada x[n] = u1[n]. Note que, como a equação de diferenças eq. (6.76) é de 2ª ordem e as condições iniciais são ≠ 0, foi necessário recuar duas unidades no tempo, o que corresponde de u1[n] para u1[n+2]. Pode-se verificar que y[n] dado pela eq. (6.77) de facto satisfaz a equação de diferenças eq. (6.76) com x[n] = u1[n] e as condições y[–1] = 0 e y[–2] = 1, de facto se verificam. . Exemplo 6.25: Considere a equação de diferenças abaixo com condições iniciais nulas: y[–1] = 0 e y[–2] = 0, e entrada x[n] = uo[n] = impulso unitário discreto, (logo X(z) = 1), 54.

Referências

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