x t sen t t x t x sen t x sen t b a

1

1. Um pêndulo simples consiste de uma massa

presa a uma corda de 0.6 m que oscila em MHS. A sua máxima velocidade é 0.4 m/s. Determine:

(a) O período e sua máxima amplitude, em graus. (b) sua máxima aceleração tangencial.

2. Um bloco de massa m = 10 kg está preso por

uma mola de constante elástica k = 16 kN/m e oscila na posição vertical. Encontre:

(a) a amplitude do movimento. (b) a máxima velocidade e aceleração.

3. Um bloco de 32 kg está oscilando na vertical

acoplado a uma mola de k = 12 kN/m. Em t = 0 a sua posição inicial é x0 = 0 e sua velocidade inicial é v0 = 250

mm/s. Determine:

(a) o período e a freqüência do movimento resultante.

(b) a amplitude do movimento e a máxima aceleração do bloco.

kg

4. Um pacote A está sobre uma mesa e esta

acoplada a um motor que vibra numa determinada freqüência. A mesa se move em MHS com freqüência idêntica a do motor. O pacote tem uma aceleração máxima de 50 m/s². Sabendo que a amplitude de deformação é de 58

5. Um bloco de A de 5 kg está sobre um bloco B de 20

kg e este preso a uma mola de constante elástica k = 900 N/m. O bloco B se move com uma amplitude de 60 mm. Assumindo que o bloco A não escorregue, determine:

(a) a freqüência e a aceleração máxima do movimento resultante.

(b) o valor do coeficiente de atrito estático s entre o

bloco A e o bloco B.

6. O movimento de um objeto em MHS é descrito pela

equação:

 

0.10

 

2

0.8 cos 2

 

x t





sen

 

t





t

Onde x é medido em ft e t em s.

Determine: (a) o período do movimento. (b) sua amplitude.

(c) sua fase.

Dados:

x t

 



x

_m



sen





 

t









cos

cos

sen

 





sen









sen







Sugestão: Mostre que:

 

_m

cos

 

_m

cos

 

x t



x







sen



 

t

x



sen









t

 

 

cos

 

x t

 

a sen



  

t

b





t

2 2 m

b

arctg

x

a

b

a





 

_{ }







 

2

Onde x é medido em ft e t em s.

Determine: (a) o período do movimento. (b) sua amplitude.

(c) sua fase.

Dados:

x t

 



x

_m



sen





 

t









cos

cos

sen

 





sen









sen







8. Nos sistemas vibrantes abaixo,

determine:

(a) o período e a freqüência. (b) a máxima compressão da mola.

(c) a máxima velocidade e a máxima aceleração.

8.1 8.2

k = 12 kN/m

8.3 8.4

8.5

9. No sistema da figura, ka = 50 kN/m, kb = 100 kN/m e kc = 150 kN/m. O bloco tem uma massa de 50 kg. Determine o período de vibração.

10. Denotando por est a deflexão estática da viga sob

uma dada carga, mostre que a frequência de vibração da carga é:

1

2

est

g

f

 



11. Se h = 700 mm e d = 500 mm e cada mola tem uma

constante k = 600 N/m, determinar a massa m para que o período de pequenas oscilações seja:

(a) 0,50 s, (b) infinito. Negligenciar a massa da haste e assumir que cada mola pode actuar em ambas tensão ou compressão.

3

12. O cursor de 3.00 kg repousa sobre, mas não

está preso a, a mola ilustrada. O cursor é pressionado 0.050 m e liberado. Se o movimento que se segue é harmônico, determine

(a) o valor máximo permissível da constante k da mola

(b) a posição, a velocidade e a aceleração do cursor 0.15 s após ele ter sido solto.

13. Um cursor de 4.00 kg está preso a uma mola

de constante k = 800N/m como ilustrado. Se a ele é dado um deslocamento de 40 mm para baixo de sua posição de equilíbrio, determine

(a) o tempo necessário para o cursor mover-se 60 mm para cima e

(b) a sua aceleração correspondentes.

Se deslocarmos o cursor 63.5 mm para baixo da sua posição de equilíbrio, determine

(a) o tempo gasto pelo cursor para ele se mover 50.8 mm para cima

(b) suas correspondentes velocidade e aceleração.

15. Um motor pesando 1750 N está apoiado por 4

molas, cada uma com constante elástica de 150 kN/m. O desbalanceamento do rotor é equivalente a uma massa de 30 g localizada a 0.15 m do eixo de rotação. Sabendo que o motor é obrigado a mover-se verticalmente, determine:

(a) a freqüência em rpm que ocorrerá a ressonância. (b) a amplitude da vibração do motor na freqüência de 1200 rpm.

16. Um corpo preso a uma mola, de massa 3kg, oscila

com amplitude 4 cm e período 2s.

(a) Qual a energia mecânica total do sistema? (b) Que velocidade máxima tem o corpo?

(c) Em que posição x1 a velocidade é metade da

velocidade máxima?

17. O movimento do pistão no interior do motor de um

carro é aproximadamente um MHS.

(a) Sabendo que o percurso (o dobro da amplitude) é igual a 0.100m e que o motor gira a 3500 rpm, calcule a aceleração do pistão no ponto final do percurso.

(b) Sabendo que a massa do pistão é 0.45 kg, qual é a força resultante exercida sobre ele nesse ponto?

(c) Calcule a velocidade e a energia cinética do pistão no ponto médio do percurso.

(d) Qual é a potência média necessária para acelerar o pistão do repouso até a velocidade calculada no item (c)?

(e) Se o motor gira com 7000 rpm, quais são as respostas dos itens (b), (c) e (d)?

4

18. Um cilindro de 5 kg está suspenso por uma

mola de constante elástica 320 N/m e está submetido a uma força periódica vertical

F



F

_m



sen

 





t

, onde Fm =

14 N. Determine a amplitude do movimento do cilindro para:

(a)  = 6 rad/s (b)  = 12 rad/s.

19. Um pêndulo simples consiste de uma massa m

conectada a um fio de comprimento l que oscila em um plano vertical com um período de 1.3 s. Assumido que o movimento é um MHS e que sua máxima velocidade vale 0.4 m/s, determine:

(a) a amplitude do movimento em graus; (b) a máxima aceleração do corpo.

20. Um pêndulo simples de comprimento l = 40 in

é solto a partir do repouso de um ângulo de 5°. Assumindo que o movimento é um MHS, determine, após 1.2 s:

(a) o ângulo ;

(b) a velocidade e a aceleração nesse instante.

21. Considerando lançamentos a grandes ângulos,

o período é dado por:

 

0

 

0

 

0 2 2 2 2 4 6 2 2 2 1 1 3 1 3 5 2 1 2 2 4 2 4 6 l

T sen sen sen

g                  _{ }  _ _{ } _{  } _      

Determine o período, completando a tabela:

°

T(s)

5

15

45

22. Um pequeno corpo de massa m está preso a um fio

de comprimento l = 1.2 m quando é solto a partir do repouso a um ângulo



_A



5

0. Sabendo que d = 0.6 m, determine:

(a) o tempo requerido para a bola retornar ao ponto A. (b) a amplitude máxima



_C.

23. O sistema abaixo começa a oscilar a 40 mm de sua

posição de equilíbrio. Determine o período de oscilação.

24. No sistema, a oscilação é 2 in a partir da posição de

equilíbrio. Em cada caso, determine o período de oscilação, a freqüência, a máxima velocidade e a máxima aceleração.

5

(a) (b)

25. Um motor de velocidade variável está

rigidamente preso à viga BC. O motor está ligeiramente desbalanceado e faz a viga vibrar com freqüência angular igual à velocidade do motor.

Quando a velocidade do motor é menor que 450 rpm ou mais que 900 rpm, observa-se que um pequeno objeto colocado em A permanece em contato com a viga. Para velocidades entra 450 e 900 rpm o objeto "dança" e realmente perde o contato com a barra. Determine a amplitude do movimento de A quando a velocidade do motor é:

(a) 450 rpm, (b) 900 rpm.

26. Um motor de massa M = 400kg é suportado

por 8 molas, cada uma com constante elástica de 20 kN/m e pode-se mover verticalmente. O desbalanceamento do rotor é causado por uma massa m de 20g colocada a r = 30 mm do eixo de rotação. Numa frequência de vibração de f = 5000 rpm, determine:

(a) a frequência de ressonância f0.

(a) a máxima amplitude de força devida ao desbalanceamento;

(b) a deformação máxima xm causada pelo desbalanceamento?

27. Quando se aumenta lentamente a velocidade de um motor, suportado por molas, de 300 para 500 rpm, a amplitude de vibração devida ao desbalanceamento do rotor aumenta de 1.5 mm para 6 mm. Determine a velocidade (freqüência) para a qual ocorrerá a ressonância.

28. Um cilindro de massa m suspenso por uma mola de

constante k está sob ação de uma força periódica vertical de módulo

F



F

_m



sen

 





t

. Determine a faixa dos valores de

 para os quais a amplitude de vibração excede duas vezes a deflexão estática produzida por uma força de módulo Fm.

29. Um pacote B é colocado sobre uma mesa C que

oscila em MHS com uma frequência de 3 Hz. Sabendo que o coeficiente de atrito estático entre o pacote e a mesa é s = 0.40,

determine a maior amplitude de forma que o pacote não deslize sobre a mesa.

30. Um pêndulo simples composto por uma massa m e

um fio de comprimento l = 40 in é abandonado a um ângulo  = 50. Assumindo MHS, determine após 1.5 s:

(a) o ângulo ( t = 1.5s );

6

31. O período de vibração do sistema indicado na

figura é 1.5 s. Se substituirmos o cilindro B por outro de peso igual a 17.8 N, o período passará a ser de 1.6 s. Determinar

(a) a massa do cilindro A e (b) a constante da mola.

3 lb(f) = 13.3N

32. O período de vibração para o barril flutuante

em água salgada é 0.58 s quando o barril está vazio e 1.8 s, quando ele é preenchido com 55 litros de petróleo bruto. Sabendo-se que a densidade do petróleo é de 900 kg/m3, determinar (a) a massa do cilindro vazio, (b) a densidade da água salgada, s.

Dica:. A força da água na parte inferior do tambor pode ser modelada como uma mola com uma constante

k





s

 

g A

_.

33. Na mecânica dos materiais, é conhecido que,

para uma barra de secção transversal constante de uma carga estática P aplicada na extremidade B irá causar um

desvio dado por:

3

3

B

P L

E I







 

onde L é o comprimento da viga, E é o módulo de elasticidade, e I é o momento de inércia da área da secção transversal do feixe. Sabendo que: L = 10 ft, 6 2 29 10 lb E in   e 4

12.4

I



in

_{, determine:}

(a) a constante da mola equivalente da viga, (b) a freqüência de vibração de um bloco de 520 lb anexado ao fim B do mesmo feixe.

34. O prumo de um pêndulo simples de comprimento l

= 40 in é liberado a partir do repouso, quando θ = 5 °.

Assumindo movimento harmônico simples, determine 1.6 s após o lançamento (a) o ângulo θ, (b) a magnitude da velocidade e aceleração do prumo.

35. Um motor de 125 kg é suportado por uma viga leve

horizontal. O desbalanceamento do rotor é equivalente a uma massa de 25 g localizada a 200 mm do eixo de rotação. Sabendo que a deflexão estática da viga devida ao peso do motor é 6.9 mm, determine

(a) a velocidade (frequencia, em rpm) em que ocorrerá a ressonância

(b) a amplitude do estado estacionário do motor na freqüência de 720 rpm.

36. O sistema da figura oscila com período 0.75 s.

(a) Encontre a massa m do bloco menor. (b) Determine o mínimo valor do coeficiente de atrito estático entre os blocos de forma que não haja escorregamento entre eles.

7

37. No sistema mola-suporte para a plataforma de

pesagem, foi projetado que a frequência de vibração vertical livre na condição sem carga não deve ultrapassar 3 ciclos por segundo. (a) Determinar a máximo constante da mola aceitável k para cada um dos três molas idênticas. (b) Para esta constante da mola, qual seria a frequência natural de vibração vertical da plataforma carregada pelo caminhão de 40 toneladas ?

38. Uma mulher está no centro de uma placa fina e

provoca uma deflexão de 0.9 in. Se ela flexiona seus pés um pouco a fim de provocar uma vibração vertical, qual é a frequência do movimento? Suponha resposta elástica da placa e negligenciar sua massa relativamente pequena.

39. O pára-choque de um carro possui um sistema

de absorção de energia; quando inicialmente não deformado ele tem uma constante de mola equivalente de 3000 lb/in. Se o carro se aproxima de uma parede maciça com uma velocidade de 5 mi/h determinar (a) a velocidade do carro em função do tempo durante o contato com a parede, onde é o começo do impacto, e (b) a deflexão máxima do pára-choques.

40. Um pedaço 3 kg de massa de vidraceiro é

descartado a 2 m sobre o bloco de 28 kg inicialmente estacionário, o qual é suportado por quatro molas, cada um dos quais tem uma constante k = 800 N/m. Determinar o deslocamento x como uma função do tempo durante a vibração resultante, em que x é medido a partir da posição inicial do bloco tal como apresentado.

Dados: Constantes 1 kips = 103 ips = 103.9.81. 0.45359237 N (Kilo Pounds) 1 ft = 0.3048 m = 12 in 1lb = 0.45359237kg 1lb (força) = 4.449 N g = 9.81m/s2 = 386.22 in/s2 = 32.19 ft/s2

1

cv



735

W



1

HP



1.014

CV

1 m3 = 1000 L = 264.172 gal MHS

 



_

0



_

0

cos

m H m

x

t

x

t

x

sen

t











 



 

_

_{ }



2 2 0 0 m

v

x

x



 



_{  }

 

(Amplitude máxima) 0 0

v

arctg

x











_



_







0 0

x

arctg

v









_





_





(Fases) 0 k m   2 2 f T            Oscilações forçadas 2 2 0

1

m m

F

k

x









2 0

1

m m

x















 









8

Gabarito dos Exercícios

n Resposta 1

(a) T = 1.55 s;



_m



9.45

0

(b)

a

_m

1.616

m

₂

s



2

(a)

x

_m



6.13

mm

(b)

v

_m

0.2453

a

_m

9.81

m

₂

s







3

(a)

T



0.3245

s

 

f

3.08

Hz

(b)

x

_m

0.01291

a

_m

4.841

m

₂

s







4

(a)

f



280.4

rpm

(b)

v

_m

18.7329

m

s



5

(a)

5.72

m

2.16

2

m

f

Hz

a

s







(b)



_s



0.22

6

(a)

x

m



0.806

m

(b)





82.87

0 7

(a)

T



0.2

s

(b)

x

_m



0.102

m

(c)





43.025

0 8.1

(a)

T



0.20779

s

 

f

4.8124

Hz

(b)

x

_m



0.01073

m

(c)

m

0.3244

m

9.81

₂

m

m

v

a

s

s







8.2

(a)

T



0.223

s

 

f

4.484

Hz

(b)

x

_m



0.0123

m

(c)

v

_m

0.348

m

a

_m

9.81

m

₂

s

s







8.3

(a)

T



0.4156

s

 

f

2.406

Hz

(b)

x

_m



0.0429

m

(c)

v

_m

0.6488

m

a

_m

9.81

m

₂

s

s







8.4

(a)

T



0.3

s

 

f

3.33

Hz

(b)

x

_m



0.02237

m

(c)

m

0.4684

m

9.81

₂

m

m

v

a

s

s







n Resposta

8.5

(a)

T



1.13

s

 

f

0.884

Hz

(b)

x

_m



1.277

in

(c)

v

_m

7.089

in

a

_m

39.36

in

₂

s

s







9

_T



_0.1038

_s

10

1

2

_est

g

f

 



11

_(a)

_3.56kg

_(b)

_43.7kg

12

Resolvido em sala de aula.

13

(a)

0.15s

(b)

0.49

m

s



(c)

4

2

m

s



14

_(a)

_0.05857s

_(b)

_1.6059m s  (c) 2 54.27m s  

15

_(a)

_554rpm

_(b)

5

3.2 10

m

x







m

16

(a)

2

2.37 10

E







J

(b)

v

_m

0.126

m

s



(c)

x



3.46

cm

17

(a)

2

6716.814

m

a

s



(b)

v

18.326

m

E

_C

75.564

J

s







(c)

P

_1Pistão



17631.59

W



23.98

cv



23.66

hp

18

(a)

x



9.85

cm

(b)

x

 

9.98

cm

19

_(a)

0

0.197

11.29

m

rad







(b)

a

_m

9.34

m

₂

s



20

_(a)

0

(

t

1.2)

0.06232

rad

3.57









(b)

v t

(

1.2)

0.6

m

s



 

21

Complete a tabela.

22

_(a)

_1.8757

ABCBA

T



s

(b)

7.07

0 C m





23

0.3613 s

9

n Resposta

24

(a)

30.43

rad

s





0.2064

4.84

T



s

 

f

Hz

2

60.9

1852

m m

in

in

v

a

s

s







(b)

15.225

rad

s





0.4126

2.42

T



s

 

f

Hz

2

30.45

463.60

m m

in

in

v

a

s

s







25

_(a)

_{x f}





₄₅₀

_rpm





_4.417

_mm

(b)

x f





900

rpm





1.1044

mm

26

(a)

0

135

f



rpm

(b)

F

_m



164.49

N

(c)

x

m

1.5 10

6

m



 

27

783 rpm

28

3

2

2

k

k

m

 



m

29

11 mm

30

(a)

0 (t 1.5) 0.0024rad 0.14      

(b)

v t

(

1.5 )

s

3.71

in

s



 

(c)

a t

(

1.5 )

s

0.106

in

₂

s





31

(a)

m

A



1.973

kg

(b)

87.6

N

k

m



32

(a) m

b

= 21.7 kg(b)

s

1011

₃

kg

m





33

(a) k

e

= 624.3 lb/in

(b)

f

_n



3.43

Hz

34

(a)





1.288

0

(b)

0.874

ft

v

s



2 2 2

0.22894

n

v

ft

a

l

l



s



 



2

0.72433

t

ft

a

   

l



35 (a) 360 rpm (b) 0.71 m 36 (a) m = 2.54 kg (b) s = 0.358 37 (a)

k



474

kN m

(b) f_n 0.905Hz 38 f_n3.3Hz 39 (a)

v t

 



88 cos 21.5







t in s





(b)x_max4.09in 40

 

3





9.3 10

1 cos10.16

x t







 



t

 

3

59.7 10



sen

10.16

t m







