COLÉGIO SINGULAR
LISTA 5 – SISTEMAS LINEARES – 2C17/2C27 PROF. GUSTAVO TONDINELLI RESUMO:
ESCALONAMENTO: Consiste em multiplicar uma linha por um número de forma que ao somar essa linha com outra uma das incógnitas seja zerada (método aditivo)
REGRA DE CRAMER: Calcular determinantes(ver caderno)
01.(GV Adm.2008) Como se sabe, no jogo de basquete exista uma linha chamada linha dos três pontos . Cada arremesso convertido de dentro dessa linha vale 2 pontos e, de fora dessa linha, vale 3 pontos. Um time combinou com seu clube que receberia R$ 50,00 para cada arremesso convertido de 3 pontos e R$ 30,00 para cada arremesso convertido de 2 pontos. Ao final do jogo, o time fe z 113 pontos e recebeu R$ 1.760,00. Então, a quantidade de arremessos convertidos de 3 pontos foi :
a ) 13 b ) 15 c ) 16 d ) 17 e ) 18
02.(Unicamp 2008) Em um sistema de piscicultura superintensiva, uma grande quantidade de peixes é cultivada
em tanques-rede colocados em açudes, com alta densidade populacional e alimentação à base de ração. Os tanques-rede têm a forma de um paralelepípedo e são revestidos com uma rede que impede a fuga dos peixes, mas permite a passagem da água. Um grupo de 600 peixes de duas espécies foi posto em um conjunto de tanques-rede. Os peixes consomem, no total, 800 g de ração por refeição. Sabendo-se que um peixe da espécie A consome 1,5 g de ração por refeição e que um peixe da espécie B consome 1,0 g por refeição, calcule quantos peixes de cada espécie o conjunto de tanques-rede contém.
03.(Mack 2008) O diretor de uma empresa, o Dr. Antonio, convocou todos os seus funcionários para uma reunião. Com a chegada do Dr. Antonio à sala de reuniões, o numero de homens presentes na sala ficou quatro vezes maior que o número de mulheres també m presentes na sala. Se o Dr. Antonio não fosse à reunião e enviasse sua secretária, o número de mulheres ficaria a terça parte do número de homens. A quantidade de pessoas, presentes na sala, aguardando o Dr. Antonio é:
a ) 20 b ) 19 c ) 18 d ) 15 e ) 14
04.(Mack 2007) Em cada uma das salas de aulas de uma escola existem 30 carteiras. Distribuídos os alunos da escola nas salas, uma delas fica com exatamente 20 carteiras vazias e, as demais salas, totalmente ocupadas. Utilizando 4 salas a menos, e acrescentando 10 carteiras em cada uma delas, todas ficam totalmente ocupadas. O número de alunos da escola é :
a ) 370 b ) 380 c ) 400 d ) 410 e ) 440
05.(Mack 2006) Trezentos estudantes foram classificados, quanto à inteligência, em muito inteligentes e normais . Sabe-se que 40% dos muitos inteligentes e 5% dos normais são míopes, totalizando 50 estudantes. O número de estudantes normais e sem miopia é : a ) 90 b ) 110 c ) 140 d ) 170 e ) 190
06.(GV Econ. 2007) O capital de R$ 12.000,00 foi dividido em duas partes (x e y), sendo que a maior delas (x) foi aplicada à taxa de juros de 12% ao ano, e a menor (y), à taxa de 8% ao ano, ambas aplicações feitas em regime de
capitalização anual. Se, ao final de um ano, o montante total resgatado foi de R$ 13.300,00, então y está para x assim como 7 está para :
a ) 15 b ) 16 c ) 17 d ) 18 e ) 19
07.(Ibmec 2008) Todos os candidatos inscritos num vestibular escolheram na ficha de inscrição que preencheram uma única entre as três seguintes situações prévias (em relação ao ano anterior) : freqüentou um cursinho, acabou de sair do ensino médio ou estudou sozinho. Por um erro no processamento dos dados, foi gerado um relatório sobre essas respostas apenas com as seguintes informações :
I. 800 não fizeram cursinho,
II. 1200 não acabaram de sair do ensino médio,
III. 1500 não ficaram estudando sozinhos durante o último ano. Com isso, conclui-se que o número total de inscritos foi igual a : a ) 1250 b ) 1750 c ) 2500 d ) 3500 e ) 4750
08.(Fuvest 2008) João entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambúrgueres, 1 suco de laranja e 2 cocadas, gastando R$ 21,50. Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8 hambúrgueres, 3 sucos de laranja e 5 cocadas, gastando
R$ 57,00. Sabendo-se que o preço de um hambúrguer, mais o de um suco de laranja, mais o de uma cocada totaliza R$ 10,00, calcule o preço de cada um desses itens.
09.(Fuvest 2009) Considere o sistema de equações nas variáveis x e y, dado por
10.(Ibmec 2009) Renato decidiu aplicar R$ 100.000,00 em um fundo de previdência privada. O consultor da empresa responsável pela administração do fundo sugeriu que essa quantia fosse dividida em três partes x, y e z, que seriam aplicadas em três investim entos A, B e C, respectivamente. Em seguida, mostrou a Renato duas simulações do desempenho da aplicação, considerando dois cenários distintos, para um período de 5 anos.
Com essas informações, determine os valores de x, y e z sugeridos pelo consultor.
11.(Unesp 2008) Uma lapiseira, três cadernos e uma caneta custam, juntos, 33 reais. Duas lapiseiras, sete cadernos e duas canetas custam, juntos, 76 reais. O custo de uma lapiseira, um caderno e uma caneta, juntos, em reais, é :
a ) 11 b ) 12 c ) 13 d ) 17 e ) 38
12. (Ufscar 2008) Uma loja vende três tipos de lâmpada (x, y e z). Ana comprou 3 lâmpadas tipo x, 7 tipo y e 1 tipo z, pagando R$ 42,10 pela compra. Beto comprou 4 lâmpadas tipo x, 10 tipo y e 1 tipo z, o que totalizou R$ 47,30. Nas condições dadas, a compra de três lâmpadas, sendo uma de cada tipo, custa nessa loja : a ) R$ 30,50 b ) R$ 31,40 c ) R$ 31,70 d ) R$ 32,30 e ) R$ 33,20
13.(Unifesp 2007) Em uma lanchonete, o custo de 3 sanduíches, 7 refrigerantes e uma torta de maçã é R$ 22,50. Com 4 sanduíches, 10 refrigerantes e uma torta de maçã, o custo vai para R$ 30,50. O custo de um sanduíche, um refrigerante e uma torta de maçã, em reais, é :
a ) 7,00 b ) 6,50 c ) 6,00 d ) 5,50 e ) 5,00
14.(Unicamp 2009) Pedro precisa comprar x borrachas, y lápis e z canetas. Após fazer um levantamento em duas papelarias, Pedro descobriu que a papelaria A cobra R$ 23,00 pelo conjunto de borrachas, lápis e canetas, enquanto a papelaria B cobra R$ 25,00 pelo mesmo material. Em seu levantamento, Pedro descobriu que a papelaria A cobra R$ 1,00 pela borracha, R$ 2,00 pelo lápis e R$ 3,00 pela caneta e que a papelaria B cobra R$ 1,00 pela borracha, R$ 1,00 pelo lápis e R$ 4,00 pela caneta.
a ) forneça o número de lápis e de borrachas que Pedro precisa comprar em função do número de canetas que ele pretende adquirir.
b ) Levando em conta que x ≥ 1, y ≥ 1 e z ≥ 1, e que essas três variáveis são inteiras, determine todas as possíveis quantidades de lápis, borrachas e canetas que Pedro deseja comprar.
15. Resolva: a)
5
2
3
2
2
z
y
x
z
y
x
b)
0
3
2
3
z
y
x
z
y
x
16.(Mack 2006) O sistema a ) admite solução única para a = - 2b ) admite infinitas soluções para a - 2 c ) não admite solução para a = - 2
d ) admite solução única, qualquer que seja a real. e ) admite solução, qualquer que seja a real
17.(GV Econ. 2008) Sendo n um número real, então o sistema de equações
não possui solução se, e somente se, n é igual a :
a ) 1 b ) 0 c ) 1/4 d ) 1/2 e ) 1
18.(ITA 2006) A condição para que as constantes reais a e b tornem incompatível o sistema linear
é :
a ) a – b ≠ 2 b ) a + b = 10 c ) 4a - 6b = 0 d ) a/b = 3/2 e ) a.b = 24
19.(GV Adm. 2009) Considere o sistema linear
de incógnitas x, y e z. Sendo k um parâmetro real, então :
a ) o sistema será impossível se k = - 1 ou k = 1 b ) o sistema será determinado se k = 1 c ) o sistema será impossível se k = 0 ou k = - 1 d ) o sistema será indeterminado se k = 0 ou k = - 1 e ) o sistema será determinado se k = 0 ou k = - 1
20.(UFJF-02) Em uma vídeo locadora, o acervo de filmes foi dividido, quanto ao preço, em três categorias: Série Ouro (SO), Série Prata (SP) e Série Bronze (SB). Marcelo estava fazendo sua ficha de inscrição, quando viu Paulo alugar dois filmes SO, dois filmes SP e um filme SB e pagar R$13,50 pela locação dos filmes. Viu também Marcos alugar quatro filmes SO, dois filmes SP e um film e SB e pagar R$20,50 pela locação dos filmes. Então, nesta locadora, o preço da locação de três filmes, um de cada categoria, é igual a:
a) R$7,50 b) R$8,00 c) R$8,00 d) R$9,00 e) R$10,00
21. (UNESP-03) A agência Vivatur vendeu a um turista uma passagem que foi paga, à vista, com cédulas de 10, 50 e 100 dólares, num total de 45 cédulas. O valor da passagem foi 1.950 dólares e a quantidade de cédulas recebidas de 10 dólares foi o dobro das de 100. O valor, em dólares, recebido em notas de 100 pela agência na venda dessa passagem, foi:
A) 1.800 B) 1.500 C) 1.400 D) 1.000 E) 800
22.(ULBRA- 03) Determinando os valores de a e b, a fim de que o sistema
seja indeterminado, o produto ab é: A) 36 B) 24 C) 18 D) 12 E) 6
23. (UFRGS-03) Se a terna ordenada (a, b, c) satisfaz o sistema de equações
então a+b+c vale:
A) 2 B) 1 C) 0 D) -1 E) -2
24. (FGVRJ-03) Se 5x + 7y + 2z = 33 e 2x + 3y + z = 12, então x + y é igual a: A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
25. (UFC-03) Se um comerciante misturar 2 kg de café em pó do tipo I com 3 kg de café em pó do tipo II, ele obtém um tipo de café cujo preço é R$ 4,80 o quilograma. Mas, se misturar 3 kg de café em pó do tipo I com 2 kg de café do tipo II, a nova mistura custará R$ 5,20 o quilograma. Os preços do quilograma do café do tipo I e do quilograma do café do tipo II são respectivamente:
A) R$ 5,00 e R$ 3,00 B) R$ 6,40 e R$ 4,30 C) R$ 5,50 e R$ 4,00 D) R$ 5,30 e R$ 4,50 E) R$ 6,00 e R$ 4,00
26. (UPE-03) Discuta o sistema:
Segundo os valores de m, m Є IR A) m = 6, o sistema é impossível B) m ≠ 6, o sistema é indeterminado C) m = 6, o sistema é determinado D) m ≠ 6, o sistema é determinado
E) qualquer que seja o m pertencente a R, o sistema é possível.
27. (PUC) Relativamente ao sistema
dizemos: I. que admite uma única solução se a ≠ 2/3;
II. que admitirá infinitas soluções se a = 2/3 e b ≠ -3; III. que não admitirá soluções se a = 2/3 e b = -3. São corretas as afirmações:
28. (UFPR - 2006) Certa transportadora possui depósitos nas cidades de Guarapuava, Maringá e Cascavel. Três motoristas dessas empresas, que transportam encomendas apenas entre esses três depósitos, estavam conversando e fizeram as seguintes afirmações: 1º motorista: Ontem eu saí de Cascavel, entreguei parte da carga em Maringá e o restante em Guarapuava. Ao todo, percorri 568 km. 2º motorista: Eu saí de Maringá, entreguei uma encomenda em Cascavel e depois fui para Guarapuava. Ao todo, percorri 522 km. 3º motorista: Semana passada eu sai de Maringá, descarreguei parte da carga em Guarapuava e o restante em Cascavel, percorrendo ao todo 550 km.
Sabendo que os três motoristas cumpriram rigorosamente o percurso imposto pela transportadora, quantos quilômetros percorreriam um motorista que saísse de Guarapuava, passasse por Maringá, depois por Cascavel e retornasse a Guarapuava?
a) 832 km b) 820 km c) 798 km d) 812 km e) 824 km
29. (PUC - 2010) Como está aproximando-se o término do desconto do IPI para a linha branca dos eletrodomésticos, uma determinada loja de departamentos, para vender uma geladeira, uma máquina de lavar e uma secadora, propôs a seguinte oferta: a geladeira e a máquina de lavar custam juntas R$ 2200,00; a máquina de lavar e a secadora, R$ 2100,00; a geladeira e a secadora R$ 2500.
Quanto pagará um cliente que comprar os três produtos anunciados?
a) R$ 3400,00 b) R$ 2266,00 c) R$ 6800,00 d) R$ 3200,00 e) R$ 4800,00
30. (UFPR -2009) Numa empresa de transportes, um encarregado recebe R$ 400,00 a mais que um carregador, porém cada encarregado recebe apenas 75% do salário de um supervisor de cargas. Sabendo que a empresa possui 2 supervisores de cargas, 6 encarregados e 40 carregadores e que a soma dos salários de todos esses funcionários é R$ 57.000,00 , qual é o salário de um encarregado?
a) R$ 2000,00 b) R$ 1800,00 c) R$ 1500,00 d) R$ 1250,00 e) R$ 1100,00
31. (UEPG) Considere os dados da tabela apresentados que relaciona o consumo de sanduíches, refrigerantes e porções de fritas em três mesas – I,II e III – de uma lanchonete. Sabendo-se que o gasto da mesa I foi R$ 8,00, da mesa II, R$ 10,00 e da mesa III, R$ 14,00.
Mesa sanduíches refrigerantes Porções de fritas
I 1 0 2
II 2 1 1
III 2 2 2
a) Quanto pagará um consumidor, em reais, por dois sanduíches e quatro porções de fritas?
b) Quanto pagará um consumidor, em reais, por um sanduiche, um refrigerante e uma porção de fritas?
32. (CEFET) Alice comprou dois tics, dois tacs e dois tocs, pagando 10 reais. Berenice comprou um tics, dois tacs e dois tocs pagando 9 reais. Crenddice pagou 8 reais por um tic, três tacs e um toc. Para comprar um tic, um tac e três tocs, Dirce vai gastar, em reais: a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 11
33. (VUNESP) Maria tem em sua bolsa R$ 15,60 em moedas de 10 centavos e de 25 centavos. Dado que o número de moedas de 25 centavos é o dobro do número de moedas de 10 centavos, o total de moedas na bolsa é:
a) 68 b) 75 c) 78 d) 81 e) 84 34. (UEL) O sistema é a) homogêneo e indeterminado b) impossível e indeterminado c) possível e determinado d) impossível e determinado e) possível e indeterminado
35. (UFSM) Considere o seguinte sistema de equações lineares:
Então pode-se afirmar que:
a) existem exatamente dois valores reais de α para os quais o sistema não tem solução. b) existe um único valor real de α para o qual o sistema admite infinitas soluções. c) o sistema não tem solução para todo α R.
d) o sistema não tem solução para α = 1/2 e) o sistema admite solução para todo α ≠ 1/2
36. (FUVEST) Considere três números inteiros tais que as somas de dois a dois deles, distintos, resultam 20, 15 e 19. A diferença entre o maior e o menor desses números é:
a) 7 b) 4 c) 3 d) 6 e) 5
Gabarito
01. A 02. Espécie B 200 peixes; Espécie A 400 peixes 03. B 04. C 05. E 06. C 07. B 08. Cocada R$ 3,50; Suco R$ 2,50; Hambúrguer R$ 4,00 09.
10. Z = R$ 20.000,00; y = R$ 30.000,00; x R$ 50.000,00 11. C 12. C 13. B 14. a ) y = z - 2 e x = 27 - 5z b ) (12,1, 3) , (7, 2, 4) , ( 2, 3, 5)
15. a) S = {(1+5k, 1-4k, k)} b) S = {(9-2k, k-6, k)}
16. E 17. A 18. A 19. C 20. A 21. 22. D 23. B 24. D 25. E 26. C 27. 28. B 29. A 30. C 31. a) R$ 16,00 b) R$ 7,00 32. A 33. C 34. B 35. B 36. E
