Lista 1 - Revisão em conceitos de Física Matemática

Lista 1 - Revisão em conceitos de Física Matemática

Esta lista serve como uma revisão de conceitos de Física Matemática que serão úteis no decorrer da disciplina. Recomenda-se que o aluno procure alguns dos livros citados nas Referências para a resolução da lista.

I - Entendendo o operador 𝛁⃗⃗ e suas operações (gradiente, divergente, rotacional e laplaciano) Exercício 1 - Considere um campo escalar 𝑓(𝑟 ), o vetor posição 𝑟 (𝑥,𝑦,𝑧) e o operador ∇⃗⃗ :

a) Se nos deslocarmos uma distância 𝑑𝑟 (ainda dentro deste campo escalar), qual a variação de 𝑓(𝑟 ) neste caso (𝑑𝑓)?

b) Compare o resultado com ∇⃗⃗ 𝑓(𝑟 )∙ 𝑑𝑟 , o que isso quer dizer com respeito a ∇⃗⃗ 𝑓(𝑟 )?

Quando este produto (ou a variação 𝑑𝑓) é máximo?

c) Por fim, considere uma superfície constante deste campo escalar (ou seja, todos os pontos dessa superfície possuem o mesmo valor), qual o resultado de ∇⃗⃗ 𝑓(𝑟 )∙ 𝑑𝑟 neste

caso? O que isso significa para ∇⃗⃗ 𝑓(𝑟 )?

Obs. você pode imaginar o campo escalar como representando uma região montanhosa (o campo seria a indicação espacial da altura relativa, por exemplo relativa a nível do ar); portanto 𝒓⃗ (𝒙,𝒚,𝒛) é sua posição nessa região, 𝒅𝒓⃗ representa um passo que você pode dar a

partir de ode você está, e𝒅𝒇te diria o quão inclinada está a montanha na direção que você deu o passo; seguindo nessa lógica e nos exercícios resolvidos, o que 𝛁⃗⃗ 𝒇(𝒓⃗ ) indicaria então? Exercício 2 - Considere um campo vetorial 𝑉⃗ (𝑟 ), o vetor posição 𝑟 (𝑥,𝑦,𝑧) e o operador ∇⃗⃗ . Desenhe

um volume infinitesimal 𝑑𝑉 (para facilitar o cálculo represente o cubo no primeiro octante do sistema cartesiano):

a)

Analisando apenas a direção 𝑦̂ (ou seja, as faces +𝑑𝑥𝑑𝑧𝑦̂ e −𝑑𝑥𝑑𝑧𝑦̂ do cubo), calcule o fluxo de 𝑉⃗ (𝑟 ) através de ambas as faces, ou seja, 𝑉⃗ (𝑟 )∙ 𝑑𝑆 onde 𝑑𝑆 denota +𝑑𝑥𝑑𝑧𝑦̂ ou

−𝑑𝑥𝑑𝑧𝑦̂ dependendo da face. Note que da face mais à esquerda para a face mais à direita houve um deslocamento 𝑑𝑦.

b)

Qual o fluxo total na direção 𝑦̂ (soma do fluxo nas duas faces calculadas no item anterior)? Estendendo o cálculo para as outras direções, qual o fluxo total?

c)

Comparando com o resultado obtido com ∇⃗⃗ ∙ 𝑉⃗ (𝑟 ), qual o significado do divergente de

um campo vetorial?

Obs. imagine que você está em uma caixa permeável e rodeado de vários Squirtles (um Pokémon) que começam a jogar água em você. O fluxo seria o tanto de água que está atravessando as paredes dessa caixa por segundo, de acordo com o seu ponto de vista (neste caso você está vendo tudo chegando em você). O divergente leva em conta tudo que entra e sai e te diz qual o resultado final, neste caso seria divergente positivo ou negativo? E se fosse o contrário, um Squirtle dentro da caixa jogando água para todos os lados, o divergente seria positivo ou negativo?

Exercício 3 - Considere um campo vetorial 𝑉⃗ (𝑟 ), o vetor posição 𝑟 (𝑥,𝑦,𝑧) e o operador ∇⃗⃗ . Desenhe

uma espira retangular infinitesimal de lados 𝑑𝑥 e 𝑑𝑦 (para facilitar o cálculo desenhe a espira no primeiro quadrante do sistema cartesiano 𝑥𝑦):

a)

Especifique como ficam as componentes horizontais e verticais do vetor 𝑉⃗ (𝑟 ) em cada

lado da espira.

b)

A circulação 𝐶 de um vetor 𝑉⃗ (𝑟 ) pode ser entendida como uma integral de linha fechada

entre o vetor 𝑉⃗ (𝑟 ) e o caminho 𝑑𝑟 ′ ao longo de uma curva fechada. Qual seria a

c)

Se fossemos fazer o mesmo procedimento para espiras nos panos 𝑥𝑧 e 𝑦𝑧, qual seria o resultado nestes casos (estenda o resultado obtido no item b)? Compare com o resultado de ∇⃗⃗ × 𝑉⃗ (𝑟 ), e discuta sobre o significado de ∇⃗⃗ × 𝑉⃗ (𝑟 ).

Obs. imagine que você se encontra dentro de uma piscina, e o campo vetorial neste caso indica o movimento da água, por exemplo de um pequeno redemoinho gerado pelas suas mãos. Você carrega consigo uma roda de pá, afunda ela na água e observa que as pás giram no mesmo sentido do redemoinho. Você decide alterar a orientação da pá de maneira perpendicular e percebe que as pás não giram quando orientadas nesse sentido. O rotacional aqui está sendo representado pela pá (lembre-se que o rotacional é um vetor, portanto a direção e sentido são importantes). A magnitude do rotacional seria o tanto de “giro” que o redemoinho (campo vetorial) impõe na pá (caminho fechado) de acordo com a orientação da pá. Sendo assim, você saberia dizer o que significa a orientação da pá?

Exercício 4 - Considere um campo escalar 𝜑(𝑟 ). Neste campo vamos analisar um ponto 𝑃 (por

conveniência vamos colocar este ponto na origem do sistema de coordenadas) envolvendo-o com um cubo de lado 𝑎:

a)

O valor médio do campo escalar dentro do cubo pode ser calculado ao se integrar a função escalar em toda sua vizinhança.

𝜑̅ =

1

𝑆

∮ 𝜑

(𝑟 ′)

𝑑𝑆

𝑆

Onde 𝑆 é uma superfície fechada e 𝑑𝑆 um elemento diferencial da superfície 𝑆. Assumindo que conhecemos a função somente em 𝑃, isto é, conhecemos 𝜑_{(𝑃⃗ )}= 𝜑_{(0⃗⃗ )} podemos aproximar sua vizinhança com uma série de Taylor (até a segunda derivada):

𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)= 𝜑(0)+ 𝜕𝜑(0) 𝜕𝑥 𝑥 + 𝜕𝜑(0) 𝜕𝑦 𝑦 + 𝜕𝜑(0) 𝜕𝑧 𝑧 + 1 2( 𝜕2_𝜑 (0) 𝜕𝑥2 𝑥 2₊𝜕 2_𝜑 (0) 𝜕𝑦2 𝑦 2₊𝜕 2_𝜑 (0) 𝜕𝑧2 𝑧 2₎ + (𝜕 2_𝜑 (0) 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝑥𝑦 + 𝜕2_𝜑 (0) 𝜕𝑥𝜕𝑧 𝑥𝑧 + 𝜕2_𝜑 (0) 𝜕𝑦𝜕𝑧 𝑦𝑧)

Lembrando que para intervalos simétricos a integral de funções ímpares é 0, como fica a integral do valor médio, considerando uma superfície esférica?

b)

Você perceberá que apenas vão restar a função avaliada na origem (𝜑(0)) e o termo de

derivadas segundas, que é o Laplaciano do campo escalar ∇2𝜑(0) no ponto 0. Isole o

termo do Laplaciano.

c)

Com base no resultado obtido no item (b), o que se pode concluir a respeito do Laplaciano? Portanto, se ∇2𝜑(0)= 0, o que se pode concluir sobre essa função no ponto

𝑃 e sua vizinhança? E se ∇2𝜑(0)≠ 0?

Obs. imagine uma membrana flexível, de modo que ao perturbá-la (um peteleco) geramos pequenas ondulações ao longo dela. Três situações podem ocorrer: 1) selecionamos uma pequena região em que não teve o peteleco, apenas a ondulação produzida por ele. A onda aqui será bem suave e dentro da região não vemos máximos ou mínimos (teremos somente nas extremidades), inclusive, o valor central dessa região é igual à média dos pontos vizinhos. Agora, por outro lado, selecionando a região onde ocorre o peteleco vemos que dentro da região vai ter: 2) um ponto mínimo (o ponto central é menor que a média dos vizinhos) ou 3) máximo (o ponto central é maior que a média dos vizinhos). Em ambos os casos o laplaciano não dá zero. Perceba que os casos (2) e (3) a fonte (peteleco) está contida dentro da região observada. Tente interpretar isso em termos da “divergência” de um gradiente.

II - Trabalhando com o operador 𝛁⃗⃗ (algumas propriedades básicas e essenciais)

Exercício 5 - Dados duas funções vetoriais 𝐴 (𝑟 ) e 𝐵(𝑟 ), e duas funções escalares 𝑓(𝑟 ) e

a)

∇

⃗⃗ 𝑓 =

𝑟 𝑟 𝑑𝑓 𝑑𝑟 b)

∇

⃗⃗ ∙ 𝐴 =

𝑟 𝑟

∙

𝑑𝐴 𝑑𝑟 c)

∇

⃗⃗ (𝑓𝑔) = 𝑓(∇⃗⃗ 𝑔) + 𝑔(∇⃗⃗ 𝑓)

d)

∇

⃗⃗ ∙ (𝑓𝐴 ) = 𝑓(∇⃗⃗ ∙ 𝐴 ) + (∇⃗⃗ 𝑓) ∙ 𝐴

e)

∇

⃗⃗ × (𝑓𝐴 ) = 𝑓(∇

⃗⃗ × 𝐴 ) + (∇⃗⃗ 𝑓) × 𝐴

f)

∇

⃗⃗ (𝐴 ∙ 𝐵⃗ ) = 𝐴 × (∇

⃗⃗ × 𝐵⃗ ) + 𝐵⃗ × (∇⃗⃗ × 𝐴 ) + (𝐴 ∙ ∇⃗⃗ )𝐵⃗ + (𝐵⃗ ∙ ∇⃗⃗ )𝐴

g)

∇

⃗⃗ ∙ (𝐴 × 𝐵⃗ ) = 𝐵⃗ ∙ (∇⃗⃗ × 𝐴 ) − 𝐴 ∙ (∇

⃗⃗ × 𝐵⃗ )

h)

∇

⃗⃗ × (𝐴 × 𝐵⃗ ) = 𝐴 ∙ (∇

⃗⃗ ∙ 𝐵⃗ ) − 𝐵⃗ ∙ (∇

⃗⃗ ∙ 𝐴 ) + (𝐵⃗ ∙ ∇⃗⃗ )𝐴 − (𝐴 ∙ ∇⃗⃗ )𝐵⃗

Exercício 6 - Mostre que:

a)

∇⃗⃗ × (∇⃗⃗ 𝑓) = 0⃗ b) ∇⃗⃗ ∙ (∇⃗⃗ 𝑓) = ∇2𝑓 c) ∇⃗⃗ ∙ (∇⃗⃗ × 𝐴 ) = 0

d) ∇⃗⃗ × (∇⃗⃗ × 𝐴 ) = ∇⃗⃗ (∇⃗⃗ ∙ 𝐴 ) − ∇2𝐴

Exercício 7 - Dado o vetor posição 𝑟 = 𝑥𝑥̂ + 𝑦𝑦̂ + 𝑧𝑧̂, calcule:

a) ∇

⃗⃗ 𝑟

b) ∇

⃗⃗ ∙ 𝑟

c) ∇

⃗⃗ × 𝑟

d) ∇

2

_𝑟

e) ∇

⃗⃗ (

1 𝑟2

)

f) ∇

⃗⃗ ∙ (

𝑟 𝑟2

)

g) ∇

⃗⃗ × (

𝑟 𝑟2

)

h) ∇

2

(

1 𝑟2

)

III - Coordenadas Curvilíneas Exercício 8 - Resolva:

a)

Reescreva 𝑥, 𝑦 e 𝑧 em coordenadas cilíndricas, e em coordenadas esféricas.

b)

Escreva 𝑑𝑥, 𝑑𝑦 e 𝑑𝑧 em coordenadas cilíndricas, e em coordenadas esféricas.

c)

Escreva 𝑟, 𝜃 e 𝜙 (das coordenadas esféricas) em termos de 𝑥, 𝑦 e 𝑧.

d)

Escreva 𝑟̂, 𝜃̂ e 𝜙̂ (das coordenadas esféricas) em termos de 𝑥̂, 𝑦̂ e 𝑧̂.

e)

Escreva 𝑠, 𝜙 e 𝑧 (das coordenadas cilíndricas) em termos de 𝑥, 𝑦 e 𝑧.

f)

Escreva 𝑠̂, 𝜙̂ e 𝑧̂ (das coordenadas cilíndricas) em termos de 𝑥̂, 𝑦̂ e 𝑧̂.

g)

Escreva os elementos de área (𝑑𝑎) e de volume (𝑑𝜏) em coordenadas cilíndricas e esféricas.

Exercício 9 – Resolva (não precisa demonstrar!):

a)

Escreva o operador ∇⃗⃗ em coordenadas cilíndricas.

b)

Escreva o operador ∇⃗⃗ em coordenadas esféricas.

Exercício 10 - Considere um campo vetorial do tipo 𝐹 =

𝐴

1

𝑟

𝜙

̂

em torno de um fio longo

orientado sobre o eixo z.

a)

Calcule a seguinte integral:

∫ 𝐹 ∙ 𝑑𝑙

𝐶

Onde

𝑑𝑙

indica uma seção infinitesimal da curva circular fechada 𝐶 em torno do fio longo. Isto é, calcule a circulação de 𝐹 ao longo de 𝐶. Dica. Escolha um sistema de coordenadas (incluindo a escolha da origem do sistema) que facilite seus cálculos.

b)

Aplique o Teorema de Stokes e calcule novamente a integral.

Exercício 11 - Imagine uma função vetorial do tipo 𝐹 =

𝐴

𝑟⃗ −𝑟⃗ ′

|𝑟⃗ −𝑟⃗ ′|3 (uma função radial que decai com o quadrado da distância) onde 𝐴 é uma constante e 𝑟 o vetor posição.

a)

Calcule a seguinte integral:

∫ 𝐹 ∙ 𝑑𝑎′

𝑆

Onde 𝑆 é uma superfície esférica centrada na origem, 𝑑𝑆 ′ um elemento diferencial da superfície esférica a posição 𝑟 ′. Dica. Novamente, utilize um sistema de coordenadas adequado para facilitar suas contas.

b) O resultado obtido no item (a) é válido para todo o espaço? Resolva a mesma integral utilizando o Teorema de Gauss e compare os resultados obtidos pelos dois métodos, os resultados são incoerentes? Explique (Veja o próximo exercício).

V - Função Delta de Dirac, Ângulo Sólido

Exercício 12 - Sobre a distribuição Delta de Dirac:

a) O que é a distribuição Delta de Dirac? Ela é uma função, de acordo com a definição de função?

b) Escreva as propriedades da distribuição Delta de Dirac (integral, propriedade de deslocamento, etc).

c) Como o resultado controverso obtido no Exercício 11 pode ser corrigido com o uso do Delta de Dirac?

Exercício 13 – Determine e escreva a densidade volumétrica de cargas para os seguintes casos usando a distribuição Delta de Dirac:

a) Três cargas puntiformes +𝑞 localizadas sobre o eixo 𝑥 e separadas por uma distância 𝑎 uma da outra.

b) Um dipolo elétrico sobre o eixo 𝑧, onde as cargas −𝑞 e +𝑞 estão separadas por uma distância 𝑑 uma da outra.

c) Uma casca esférica uniforme de raio 𝑅 e carga total 𝑄.

Exercício 14 - Imagine uma curva fechada 𝐴 qualquer e pegue um elemento infinitesimal 𝑑𝐴 dessa curva a uma distância 𝑟 de um ponto 𝑂 localizado no interior da curva fechada. Centralizado no ponto 𝑂 desenhe uma circunferência 𝐶1 de raio unitário, e uma outra

circunferência 𝐶2 de raio 𝑟:

b)

Qual seria o arco 𝑑𝐶 produzido pelo mesmo ângulo ϕ em 𝐶2? Combine com o resultado

do item anterior, chegando em:

𝑑ϕ =𝑑𝐶 𝑟

c) A circunferência 𝐶2 tangencia a curva 𝐴 exatamente na posição do elemento 𝑑𝐴. Dessa

forma é possível calcular a projeção de 𝑑𝐴 sobre 𝑑𝐶. Faça isso e mostre que: 𝑑𝐶 =𝑑𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜃)

𝑟

Em que 𝜃 é o ângulo entre o elemento os versores normais a 𝑑𝐴 e 𝑑𝐶. d) Assim sendo, caso calculássemos uma integral do tipo:

∮

𝑟̂

𝑟

∙ 𝑑𝑙

𝑐

Qual seria o resultado?

Neste aso,

𝑑𝑙 indica o elemento diferencial de uma curva qualquer 𝐶.

Exercício 15 - Vamos seguir no raciocínio do Exercício 14, mas levando para o caso tridimensional. Imagine uma superfície fechada qualquer 𝑆 com um elemento infinitesimal de superfície 𝑑𝑆 a uma distância 𝑅 de um ponto 𝑂 no interior dessa superfície. Desenhe uma esfera 𝛺 de raio unitário, e uma outra esfera 𝐸 de raio 𝑅. Note que o versor normal à 𝛺 e 𝐸 é o versor radial 𝑟̂:

a)

Qual seria a projeção de 𝑑𝑆 sobre 𝑑𝐸? (considere os elementos diferenciais como planos, desprezando sua curvatura).

b)

A relação de proporção em uma esfera é com o inverso do quadrado da distância, ou seja, a proporção entre as esferas 𝛺 e 𝐸 é dada por:

𝑑𝛺 =𝑑𝐸 𝑅2

Assim sendo, escreva 𝑑𝛺 em função de 𝑅, 𝑑𝑆 e do ângulo 𝜃 formado entre as componentes normais de 𝑑𝑆 e 𝑑𝐸.

c. Assim, qual seria o resultado da integral?

∮

𝑟̂

𝑟

2

∙ 𝑑𝑆

𝑆

Obs. o termo 𝒅𝜴 é chamado de Ângulo Sólido, sendo muito útil para simplificar alguns problemas físicos, por exemplo: o fluxo de campo elétrico através de uma superfície fechada qualquer (como veremos na Lista 2). Agora, tentando ir mais além, tente interpretar este resultado no seguinte caso: como seria o fluxo de campo elétrico através de uma superfície esférica envolvendo uma carga pontual? O resultado mudaria caso a superfície não fosse esférica?

Referências:

• Griffiths, D. Introduction to Electrodynamics, Ch. 1, Pearson Education, Cambridge University Press. 4th Edition.

• Reitz, J. R. Fundamentos da Teoria Eletromagnética, Ch. 1, Editora Campus. 3a Edição.

• Arfken, G. B. Mathematical Methods for Physicist, Ch. 1-2, Elsevier Academic Press. 6th Edition.

• Butkov, E. Mathematical Physics, Ch. 1;9.1; Addison-Esley Publishing Company. 1th Edition.

• Boas, M. L. Mathematical Methods in Physical Sciences. Ch. 6 John Wiley & Sons. 3rd Edition.

Obs. Os exercícios não necessariamente foram retirados dos livros, mas recomenda-se ler pelo menos o Griffiths ao resolver a lista.