Então, O que é Inferência Bayesiana?

Ent ˜ao, O que ´e Infer ˆencia Bayesiana?

Aluno: Fernando G. Moro Supervisor: Henrique A. Laureano

Universidade Federal do Paran ´a

Teorema de Bayes

Thomas Bayes(≈ 1702-1761)

Estudou Teologia na Universidade de Edimburgo(Esc ´ocia). ´

Unico livro publicado The doctrine of fluxions1em 1736.

Entrou para a Real Society em 1752.

Ap ´os sua morte, Richard Price apresentou artigo de Bayes An essay towards solving a problem in the doctrine of

chances 2.

1_{fluxion: derivada de uma func¸ ˜ao cont´ınua (fluent).}

2_{Traduc¸ ˜ao: Ensaio buscando resolver um problema na doutrina das}

probabilidades.

Id ´eias Teorema de Bayes

Utilizac¸ ˜ao de informac¸ ˜oes pr ´evias al ´em dos dados. Atualizac¸ ˜ao probabil´ıstica com base em experimentos passados.

Exemplo: Probabilidade de cara em lanc¸amentos de uma moeda:

Frequentista: 0.5 para qualquer lanc¸amento.

Id ´eias Teorema de Bayes

Suponha:

Probabilidade do c ˆancer de mama de 1%.

Mamografia com probabilidade 80% em mulheres com c ˆancer e 9.6% em mulheres sem cˆancer.

Ent ˜ao:

Probab. Tem c ˆancer N ˜ao tem c ˆancer

` A priori 0.01 0.99 Condicional 0.8 0.096 Conjunta 0.8x0.01 = 0.008 0.99x0.096 = 0.09504 ` A posteriori 0.008/0.10304=0.0776 0.09504/0.10304 = 0.922243 3_{Normalizac¸ ˜ao: (0.008 + 0.09504 = 0.10304)}

Conceitos infer ˆencia bayesiana

F ´ormula de bayes

π[θ | Y] = π[Y | θ]π[θ]_π[Y] (1)

π[Y] =R

θπ[Y | θ]π[θ]dθ

Conceitos infer ˆencia bayesiana

Caracter´ısticas

Informac¸ ˜ao `a priori por meio de distribuic¸ ˜ao de

probabilidade paraθ.

Combinac¸ ˜ao entre a informac¸ ˜ao `a priori e a dos dados. Infer ˆencias realizadas com a distribuic¸ ˜ao `a posteriori [θ | Y].

Probabilidades subjetivas.

Conceitos infer ˆencia bayesiana

P ´os

Infer ˆencias mais naturais e intuitivas.

Baseia-se em um simples teorema de probabilidade, onde [θ | Y] ´e uma f.d.p.

N ˜ao necessita conhecimento das propriedades assint ´oticas dos estimadores.

Contras

Utilizac¸ ˜ao de m ´etodos computacionais intensivos. Especificac¸ ˜ao da priori.

Prioris

V ´arias formas de definir prioris.

prioris conjugadas: posteriori com soluc¸ ˜ao anal´ıtica. Casos sem soluc¸ ˜ao anal´ıtica:

Aproximando o integrando: Quadratura Gaussiana. Aproximando a func¸ ˜ao: Laplace.

Simulac¸ ˜ao: Monte Carlo.

prioris impr ´orias: n ˜ao garatem que posteriori seja uma f.d.p.

prioris vagas: n ˜ao adicionam informac¸ ˜ao a verossimilhanc¸a.

Pacotes

SamplerCompare- Amostragem MCMC em variadas

distribuic¸ ˜oes e gr ´aficos de visualisac¸ ˜ao.

MCMCpack- Metodologia MCMC para modelos mais

utilizados.

rjags- MCMC via JAGS.

OpenBUGSe WinBUGS - MCMC.

INLA- Aproximac¸ ˜ao de laplace para modelos com efeitos

latentes gaussianos.

Exemplos no R

Vamos ao R!

Refer ˆencias bibliogr ´aficas

J. Albert. Bayesian computation with r. Springer, 2, 2009. URL http://bookzz.org/book/921568/050ecc.

S. Coles. Introduc¸ ˜ao a infer ˆencia bayesiana. Laborat ´orio de Estat´ıstica e Geoinformac¸ ˜ao, 2014. URL

http://www.leg.ufpr.br/lib/exe/fetch.php/

disciplinas:ce227:inferenciabayesiana.pdf. traduc¸ ˜ao Ribeiro, P.J.

S. Jackman. Bayesian inference for simple problems. Stanford University, 2012. URL

http://jackman.stanford.edu/classes/BASS/ch2.pdf. P. Ribeiro, W. Bonat, E. Krainski, and W. Zeviani. Metodos

computacionais em infer ˆencia estat´ıstica. Simp ´osio Nacional de Probabilidade e Estat´ıstica, 20:179–274, 2012. URL