Geometria para entender o Universo

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Conceitos fundamentais Classificação de variedades Conjectura de Poincar é Conjectura da Geometrização Id éias da demonstraç ão

Conjectura de Poincar ´e

Geometria para entender o Universo

Marcelo Viana

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Conceitos fundamentais Classificação de variedades Conjectura de Poincar é Conjectura da Geometrização Id éias da demonstraç ão

Outline

1 Conceitos fundamentais

2 _{Classificac¸˜ao de variedades}

3 _{Conjectura de Poincar ´e}

4 _{Conjectura da Geometrizac¸ ˜ao}

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Conceitos fundamentais

Classificação de variedades Conjectura de Poincar é Conjectura da Geometrização Id éias da demonstraç ão

Variedades Motivac¸ ˜oes

Problema da classificac¸˜ao

Outline

1 Conceitos fundamentais

2 _{Classificac¸ ˜ao de variedades}

3 Conjectura de Poincar ´e

4 _{Conjectura da Geometrizac¸ ˜ao}

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Variedades

Motivac¸ ˜oes

Variedades

Definic¸ ˜ao

Umavariedade é um espaço que pode ser descrito localmente atrav és de coordenadas. O n úmero de coordenadas que s ão

necess árias é chamadodimens ãoda variedade.

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Variedades

Motivac¸ ˜oes

Variedades

Definic¸ ˜ao

Umavariedade é um espaço que pode ser descrito localmente atrav és de coordenadas. O n úmero de coordenadas que s ão

necess árias é chamadodimens ãoda variedade.

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Variedades

Motivac¸ ˜oes

Variedades abertas

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Variedades

Motivac¸ ˜oes

Variedades fechadas

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Variedades

Motivac¸ ˜oes

Porqu ˆe variedades s ˜ao importantes ?

Em geral, o conjunto dos estados poss´ıveis de um sistema experimental ´e uma variedade. Por exemplo:

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Variedades

Motivac¸ ˜oes

Porqu ˆe variedades s ˜ao importantes ?

θ

ω

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Variedades

Motivac¸ ˜oes

Porqu ˆe variedades s ˜ao importantes ?

θ

ω

Cada estado do p ˆendulo simples corresponde a um par(θ, ω).

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Variedades

Motivac¸ ˜oes

Porqu ˆe variedades s ˜ao importantes ?

O Universo é uma variedade, de dimens ão 4 (espaço-tempo

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Problema da classificac¸ ˜ao

Problema

Podemos listar todas as variedades de qualquer dimens ˜ao d ?

Em dimens ão 1 é f ácil: a única curva aberta é a reta e a única curva fechada é o c´ırculo. Como assim, “ única” ?

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Problema da classificac¸ ˜ao

Problema

Em dimens ão 1 é f ácil: a única curva aberta é a reta e a única

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Problema da classificac¸ ˜ao

Problema

Em dimens ão 1 é f ácil: a única curva aberta é a reta e a única

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Equival ˆencia de variedades

Definic¸ ˜ao

Duas variedades s ãoequivalentesse h á uma correspond ência

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Equival ˆencia de variedades

Definic¸ ˜ao

cont´ınua um-a-um entre os pontos de uma e da outra.

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Equival ˆencia de variedades

Definic¸ ˜ao

cont´ınua um-a-um entre os pontos de uma e da outra.

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Classificac¸˜ao de variedades

Conjectura de Poincar é Conjectura da Geometrização Id éias da demonstraç ão

Classificação das superf´ıcies Dimens ões superiores

Variedades simplesmente conexas

Outline

1 Conceitos fundamentais

2 _{Classificac¸˜ao de variedades}

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Classificac¸˜ao das superf´ıcies

Dimens ˜oes superiores

Teorema de classificac¸ ˜ao das superf´ıcies

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Teorema de classificac¸ ˜ao das superf´ıcies

H ´a duas sequ ˆencias fundamentais de superf´ıcies fechadas:

Superf´ıcies orient ´aveis

S2 T2

B2

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Teorema de classificac¸ ˜ao das superf´ıcies

H ´a duas sequ ˆencias fundamentais de superf´ıcies fechadas:

Superf´ıcies n ˜ao orient ´aveis

P2 K2

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Teorema de classificac¸ ˜ao das superf´ıcies

Teorema

Toda a superf´ıcie fechada ´e equivalente a uma destas. Duas destas superf´ıcies nunca s ˜ao equivalentes.

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Dimens ˜

oes superiores

Problema

Para d >2, tamb ´em podemos listar (a menos de equival ˆencia)

todas as variedades de dimens ˜ao d ?

Em dimens ão 4 ou maior a resposta é negativa: o conjunto de todas as variedades é demasiado “complexo” para que possa ser listado de modo expl´ıcito.

A prova deste fato usa id ´eias da teoria da complexidade que remontam ao famoso Teorema da Indecidibilidade de G ¨odel.

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Dimens ˜

oes superiores

Problema

Para d >2, tamb ´em podemos listar (a menos de equival ˆencia)

todas as variedades de dimens ˜ao d ?

Em dimens ão 4 ou maior a resposta é negativa: o conjunto de todas as variedades é demasiado “complexo” para que possa ser listado de modo expl´ıcito.

A prova deste fato usa id ´eias da teoria da complexidade que remontam ao famoso Teorema da Indecidibilidade de G ¨odel.

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Variedades simplesmente conexas

Definic¸ ˜ao

Uma variedade ´e simplesmente conexase todo lac¸o nela pode

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Porqu ê esta noç ão é importante ?

Toda a variedade pode ser constru´ıda, como um “quociente”, a partir de uma variedade simplesmente conexa.

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Conceitos fundamentais Classificac¸˜ao de variedades

Conjectura de Poincar ´e

Conjectura da Geometrização Id éias da demonstraç ão

Conjectura de Poincar ´e Dimens ˜oes superiores

A Conjectura de Poincar ´e e a Medalha Fields

Outline

3 _{Conjectura de Poincar ´e}

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Conjectura de Poincar ´e

Conjectura

Toda variedade fechada simplesmente conexa de dimens ão 3 é equivalente à esfera 3-dimensional.

Proposta por Henri Poincar ´e no in´ıcio do s ´eculo XX (1900-04). Demonstrada cem anos depois por Grigori Perelman, seguindo um roteiro iniciado por Richard Hamilton.

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Henri Poincar ´e

29 de abril de 1854 - 17 de julho de 1912 ´

Ultimo dos grandes matem áticos universalistas. Os seus trabalhos abarcam a maioria das áreas da Matem ática e da F´ısica Te órica (geometria, álgebra, an álise, eletromagnetismo, topologia, equaç ões diferenciais, mec ânica celeste, teoria dos n úmeros).

Foi um dos art´ıfices da Teoria da Relatividade e o fundador da ´area de Sistemas Din ˆamicos.

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Grigori Perelman

13 de junho de 1966 (S ão Petersburgo, R ússia) Especialista de fama internacional com diversos trabalhos not áveis na área de Geometria, tais como a prova da Conjectura da Alma.

A partir de nov/2002, publicou na internet uma s érie de artigos contendo a prova da Conjectura de Poincar é e da Conjectura da Geometrizaç ão. Em 2006 a Uni ão Matem ática Internacional (IMU) concedeu-lhe a Medalha Fields. No entanto, Perelman recusou, se demitiu do Instituto Steklov, e se afastou do meio acad êmico.

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Conjectura de Poincar ´e

A conjectura de Poincar ´e faz sentido em qualquer dimens ˜ao:

se uma variedadepareceser a esfera ent ˜ao ela ´ea esfera ?

Conjectura

Para qualquer d >2, toda variedade fechada que tem o tipo de

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Steven Smale

15 de julho de 1930 (Flint (Michigan), USA) Deu not áveis contribuiç ões fundamentais à topologia, sistemas din âmicos, economia matem ática e teoria da computaç ão.

Causou controv ´ersia no seu pa´ıs ao afirmar: ”os meus melhores trabalhos foram feitos nas praias do Rio de Janeiro”.

Em 1960 provou a Conjectura de Poincar ´e em dimens ˜ao maior ou igual a 5. Por este trabalho, recebeu a Medalha Fields em 1966.

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Michael Freedman

21 de abril de 1951, Los Angeles, USA

Adquiriu renome internacional por seus trabalhos em topologia, particularmente sobre variedades de dimens ão quatro. Atualmente trabalha em computaç ão qu ântica nos Laborat órios Microsoft. Em 1982 provou a Conjectura de Poincar é em dimens ão quatro. Por este trabalho, recebeu a Medalha Fields em 1986.

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A Conjectura de Poincar ´e e a Medalha Fields

At é hoje, j á foram concedidas 44 Medalhas Fields. Tr ês foram para trabalhos sobre a Conjectura de Poincar é. Algumas mais (por exemplo, Thurston e Yau) foram para t ópicos correlatos.

A Conjectura de Poincar é tamb ém é um dos 7 Problemas do Mil ênio, distinguidos pelo Instituto Clay de Matem áticas com pr êmio de 1 milh ão de d ólares.

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A Conjectura de Poincar ´e e a Medalha Fields

At é hoje, j á foram concedidas 44 Medalhas Fields. Tr ês foram para trabalhos sobre a Conjectura de Poincar é. Algumas mais (por exemplo, Thurston e Yau) foram para t ópicos correlatos.

A Conjectura de Poincar é tamb ém é um dos 7 Problemas do Mil ênio, distinguidos pelo Instituto Clay de Matem áticas com pr êmio de 1 milh ão de d ólares.

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Conceitos fundamentais Classificação de variedades Conjectura de Poincar é

Conjectura da Geometrizac¸˜ao

Id éias da demonstraç ão

As geometrias elementares

Outline

4 _{Conjectura da Geometrizac¸ ˜ao}

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Geometrizac¸ ˜ao das superf´ıcies

Poincar é e K öbe aprofundaram a classificaç ão das superf´ıcies: toda a superf´ıcie de g ênero g >1 é uma colagem de “calças”.

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Conjectura da Geometrizac¸ ˜ao de Thurston

Conjectura

Toda a variedade de dimens ão 3 é uma colagem de variedades de 8 tipos geom étricos b ásicos.

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Conjectura da Geometrizac¸ ˜ao de Thurston

As “peças” s ão quocientes de 8 variedades simplesmente conexas localmente homog êneas:

1 S3_{(curvatura constante positiva)}

2 R3(curvatura constante nula)

3 _H3_{(curvatura constante negativa)}

4 S2_{× R}

5 H2_{× R}

6 SL(f ₂, R)

7 variedade Nil (geometria do grupo de Heisenberg)

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William Thurston

30 de outubro de 1946 (Washington DC, USA) Fez profundas contribuiç ões à teoria dos n ós, geometria, teoria das folheaç ões e topologia das variedades, revelando a import ância da

geometria hiperb ´olica no estudo das variedades de dimens ˜ao 3.

Formulou a Conjectura da Geometrizaç ão e provou que ela é v álida no caso das variedades de Haken (Teorema “Monstro”). Por este e outros trabalhos, recebeu a Medalha Fields em 1982.

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Conjectura da Geometrizac¸ ˜ao de Thurston

A Conjectura da Geometrizaç ão implica a Conjectura de Poincar é e aponta para a classificaç ão de todas as variedades de dimens ão 3.

As duas conjecturas foram provadas por Perelman em 2003, seguindo um programa iniciado por Hamilton.

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Conceitos fundamentais Classificação de variedades Conjectura de Poincar é Conjectura da Geometrização

Estrat ´egia Fluxo de Ricci Singularidades

Outline

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Estrat ´egia

Fluxo de Ricci Singularidades

Estrat égia da demonstraç ão

No in´ıcio dos anos 80, Hamilton prop ôs a seguinte estrat égia: Começando com uma variedade de dimens ão 3 com uma m étrica qualquer, deform á-la para aumentar a curvatura onde ela é pequena e diminuir a curvatura onde ela é grande. A

deformac¸ ˜ao deveria convergir para uma geometria “uniforme”.

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Estrat ´egia

Fluxo de Ricci Singularidades

Estrat égia da demonstraç ão

Se a variedade inicial é simplesmente conexa ent ão a deformaç ão deveria convergir para a esferaS3_{. Isto}

provaria a Conjectura de Poincar ´e.

Em geral, a deformaç ão deveria convergir para as 8 geometrias de Thurston. Isto provaria a Conjectura da Geometrizaç ão.

Em dimens ão 2 esta estrat égia funciona: a deformaç ão converge para uma superf´ıcie com curvatura constante.

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Estrat ´egia

Fluxo de Ricci

Singularidades

Fluxo de Ricci

A formulaç ão exata desta estrat égia é dada pelo fluxo de Ricci:

∂

∂tgi,j = −2Ri,j

onde gi,j é a m étrica, Ri,j é o tensor da curvatura de Ricci, e t é

o par âmetro (“tempo”) de deformaç ão.

O fluxo de Ricci é uma vers ão n ão linear da Equaç ão do Calor: ele provoca “difus ão” da curvatura na variedade. O tensor de Ricci é fundamental na Relatividade Geral: equaç ão de campo de Einstein: 8πTi,j=Ri,j−

R

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Estrat ´egia

Fluxo de Ricci

Singularidades

Fluxo de Ricci

∂

O fluxo de Ricci é uma vers ão n ão linear da Equaç ão do Calor: ele provoca “difus ão” da curvatura na variedade.

O tensor de Ricci é fundamental na Relatividade Geral: equaç ão de campo de Einstein: 8πTi,j=Ri,j−

R

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Estrat ´egia

Fluxo de Ricci

Singularidades

Fluxo de Ricci

∂

O fluxo de Ricci é uma vers ão n ão linear da Equaç ão do Calor: ele provoca “difus ão” da curvatura na variedade. O tensor de Ricci é fundamental na Relatividade Geral: equaç ão de campo de Einstein: 8πTi,j=Ri,j−

R

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Estrat ´egia

Fluxo de Ricci

Singularidades

Fluxo de Ricci normalizado

O fluxo de Riccin ˜aopreserva o volume da variedade:

Por isso, precisamos utilizar o fluxo de Ricci normalizado: ∂

∂tgi,j = −2Ri,j+ λgi,j ondeλ´e chamada constante cosmol ´ogica.

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Estrat ´egia

Fluxo de Ricci

Singularidades

Fluxo de Ricci normalizado

O fluxo de Riccin ˜aopreserva o volume da variedade:

Por isso, precisamos utilizar o fluxo de Ricci normalizado:

∂

∂tgi,j = −2Ri,j+ λgi,j

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Estrat ´egia

Fluxo de Ricci

Singularidades

Richard Hamilton

Nascido em 1943.

Formulou o programa do fluxo de Ricci e provou que esta estrat ´egia realmente funciona quando a variedade inicial tem curvatura de Ricci positiva:

Teorema

Toda variedade fechada simplesmente conexa de dimens ão 3 que admite m étrica com curvatura de Ricci positiva é equivalente à esferaS3.

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Estrat ´egia Fluxo de Ricci

Singularidades

Singularidades

No caso geral, quando a curvatura de Ricci n ˜ao ´e positiva, o fluxo de Ricci pode desenvolver singularidades:

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Singularidades

Singularidades

(59)

Singularidades

Singularidades

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Singularidades

Singularidades

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Singularidades

Prova das Conjecturas de Poincar ´e e Thurston

Grigori Perelman explicou como o fluxo pode ser modificado (fluxo de Ricci com cirurgia) de modo a manter este fen ômeno sob controle, evitando os piores tipos de singularidades. Para isso, introduziu diversas t écnicas originais revolucion árias.