relaation ≤ transitiivisuuden perusteella x ≤ y. Näin ollen x ≤ y ja x y, mikä on ristiriita, ja täten z y. Näin ollen y z ja z y, ja täten määritelmän 3.4 perusteella ykz.
(4) Lauseen 5.4 perusteella z ≤ z∨w. Näin ollen x ≤z ja z ≤ x∨y, ja täten lauseiden 5.15 ja 5.8 perusteella x∨y=y∨z.
(5) Relaation ≤ refleksiivisyyden ja lauseiden 5.11 ja 5.4 perusteella z∧y≤z∧w=x∧y≤x,
ja täten relaation≤transitiivisuuden perusteella z∧y≤x. Näin ollenx≤z ja z∧y≤x, ja täten lauseiden 5.15 ja 5.8 perusteella x∧y =y∧z.
Kohtien (1)–(5) perusteella
∃x, y, z ∈L:x < z, xky, y kz, x∨y =y∨z ja x∧y=y∧z, ja näin ollen lauseen 5.23 perusteella L /∈ LatM(P). Vastaavalla tavalla voi- daan osoittaa, että L /∈LatM(P), josy 6=w. Edellä osoitetun ja kontraposi- tioperiaatteen perusteella
∀x, y, z, w ∈L: (x≤z, y ≤w ja x∧y=z∧w)
⇒x∨y=z∨w⇔(x=z ja y=w), jos L∈LatM(P).
Lause 5.25. Olkoon (P,≤) poset ja L∈Lat(P). Jos L∈LatM(P), niin
∀x, y, z, w∈L: (x≤z, y≤w ja x∨y=z∨w)
⇒x∧y=z∧w⇔(x=z ja y=w). Todistus. Voidaan todistaa vastaavalla tavalla kuten lause 5.24.
Määritelmä 5.10. ([2, s. 131]) Poset (P,≤) on distributiivinen hila, jos P ∈LatD(P).
Esimerkki 5.2. ([2, s. 131].) Joukon X potenssijoukon P(X) ja osajoukko- relaation ⊆ muodostama poset (P(X),⊆) (ks. esimerkki 3.1) on distributii- vinen hila (ks. esimerkki 5.1).
Lause 5.26. Olkoon (P,≤) poset ja L ∈ Lat(P). Tällöin seuraavat kohdat ovat yhtäpitävät:
(i) ∀x, y, z ∈L:x∨(y∧z) = (x∨y)∧(x∨z).
(ii) ∀x, y, z ∈L:x∧(y∨z) = (x∧y)∨(x∧z).
Todistus (vrt. [2, s. 130–131]). Olkoon (P,≤) poset ja L∈Lat(P).
(1) Oletetaan, että kohta (i) pitää paikkansa. Olkoot x, y, z ∈L. Tällöin lauseiden 5.8, 5.10 ja 5.7 perusteella
(x∧y)∨(x∧z) = ((x∧y)∨x)∧((x∧y)∨z)
= (x∨(x∧y))∧(z∨(x∧y))
=x∧(z∨(x∧y))
=x∧((z∨x)∧(z∨y))
=x∧((x∨z)∧(y∨z))
= (x∧(x∨z))∧(y∨z)
=x∧(y∨z), ja näin ollen kohta (ii) pitää paikkansa.
(2) Kohtaa (1) vastaavalla tavalla voidaan osoittaa, että kohta (i) pitää paikkansa, jos kohta (ii) pitää paikkansa.
Kohtien (1) ja (2) perusteella kohdat (i) ja (ii) ovat yhtäpitävät.
Lause 5.27. Olkoon (P,≤) poset. Tällöin Chain(P)⊆LatD(P).
Todistus (vrt. [2, s. 131], [8, s. 299]). Olkoon (P,≤) poset ja C ∈Chain(P).
Tällöin lauseen 5.2 perusteella C ∈ Lat(P). Olkoot x, y, z ∈ C. Määritel- män 3.24 ja lauseen 5.6 perusteella muodostettu taulukko
x, y, z y∧z x∨y x∨z x∨(y∧z) (x∨y)∧(x∨z)
x≤y≤z y y z y y
x≤z≤y z y z z z
y≤x≤z y x z x x
y≤z ≤x y x x x x
z ≤x≤y z y x x x
z ≤y≤x z x x x x
osoittaa, että alkioiden x, y ja z keskinäisestä järjestyksestä riippumatta x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z). Näin ollen määritelmän 5.9 perusteella C ∈LatD(P), ja täten määritelmän 2.7 perusteella Chain(P)⊆LatD(P).
Lause 5.28. Olkoon (P,≤) poset. Tällöin LatD(P)⊆LatM(P).
Todistus (vrt. [2, s. 130–131]). Olkoon (P,≤) poset ja L ∈ LatD(P), ja ol- koot x, y, z ∈ L sellaiset, että x≤ z. Tällöin määritelmän 5.9 ja lauseen 5.6 perusteella
x∨(y∧z) = (x∨y)∧(x∨z) = (x∨y)∧z.
Näin ollen määritelmän 5.7 perusteella L ∈ LatM(P), ja täten määritel- män 2.7 perusteella LatD(P)⊆LatM(P).
Lause 5.29. Olkoon (P,≤) poset ja L∈Lat(P). Jos L /∈LatM(P) tai
∃x, y, z ∈L: xky, xkz, ykz,
x∨y=x∨z =y∨z ja x∧y=x∧z=y∧z.
niin L /∈LatD(P).
Todistus (vrt. [2, s. 132]). Olkoon (P,≤) poset ja L ∈ Lat(P). Jos L /∈ LatM(P), niin lauseen 5.28 ja määritelmän 2.7 perusteella L /∈ LatD(P).
Jos x, y, z∈L ovat sellaiset, että
xky, xkz, ykz, x∨y=x∨z =y∨z ja x∧y=x∧z =y∧z, niin lauseen 5.10 perusteella
x∨(y∧z) =x∨(x∧z) =x ja lauseen 5.9 perusteella
(x∨y)∧(x∨z) = (x∨y)∧(x∨y) =x∨y.
Koska x k y, niin määritelmän 3.4 perusteella y x ja täten lauseen 5.6 perusteella x∨y 6= x. Näin ollen x∨(y∧z) 6= (x∨y)∧(x∨z), ja täten määritelmän 5.9 perusteella L /∈LatD(P).
Huomautus. Lauseessa 5.29 esiintyvien posetin (P,≤) hilan Lalkioidenx,y, z, x∧yja x∨y muodostama joukonL osajoukko muodostaa posetin (P,≤) hilan, jossa on täsmälleen viisi (5) alkiota. Kyseisen rakenteen omaavista hiloista käytetään nimitystä M-kolme ja merkintää M3. (Ks. [2, s. 132]).
Lause 5.30. Olkoon(P,≤)poset jaL∈Lat(P). JosL /∈LatD(P), niin siitä ei seuraa, että L /∈LatM(P).
Todistus. Määritellään joukko P ja relaatio≤ joukossa P seuraavasti:
P ={a, b, c, d, e} (|P |= 5), ≤={ ha, ai,ha, bi,ha, ci,ha, di,ha, ei,hb, bi, hb, ei,hc, ci,hc, ei,hd, di,hd, ei,he, ei}.
Määritelmän 3.1 perusteella relaatio ≤ on joukon P osittainen järjestys, ja täten määritelmän 3.2 perusteella (P,≤) on poset. Määritelmän 5.1 perus- teella P ∈Lat(P). Määritelmien 3.15, 3.16, 5.5 ja 5.6 perusteella
b∨(c∧d) =b∨a =b ja (b∨c)∧(b∨d) =e∧e=e.
Koska b 6= e, niin b∨(c∧d) 6= (b ∨c)∧(b∨d), ja täten määritelmän 5.9 perusteella P /∈ LatD(P). Jos x, y, z ∈ P ja x < z, niin määritelmien 3.17 ja 3.4 perusteella x ∦ y tai y ∦ z, ja näin ollen lauseen 5.23 perusteella P ∈LatM(P). Näin ollen P /∈LatD(P), mutta P ∈LatM(P).
Lause 5.31. Olkoon (P,≤) poset ja L ∈ Lat(P). Jos L /∈ LatD(P), niin L /∈LatM(P) tai
∃x, y, z ∈L: xky, xkz, ykz,
x∨y=x∨z =y∨z ja x∧y=x∧z=y∧z.
Todistus (vrt. [2, s. 134–136]). Olkoon (P,≤) poset ja L∈Lat(P) sellainen, että L /∈ LatD(P). Tällöin lauseen 5.30 perusteella joko L /∈ LatM(P) tai L∈ LatM(P). Oletetaan, että L ∈LatM(P). KoskaL /∈LatD(P), niin mää- ritelmän 5.9 perusteella
∃x0, y0, z0 ∈L:x0∨(y0∧z0)6= (x0∨y0)∧(x0∨z0).
Olkoot a, b, c ∈ L sellaiset, että a∨(b ∧c) 6= (a∨b)∧(a∨ c). Asetetaan x= (a∨(b∧c))∧(b∨c),y= (b∨(a∧c))∧(a∨c) jaz = (c∨(a∧b))∧(a∨b), ja osoitetaan, että näin valitut x, y, z ∈L täyttävät vaaditut ehdot.
(1) Lauseiden 5.8 ja 5.4, määritelmän 5.7 ja lauseiden 5.7, 5.11, 5.6 ja 5.20 perusteella
x∨y =(a∨(b∧c))∧(b∨c)∨(b∨(a∧c))∧(a∨c)
=((b∧c)∨a)∧(b∨c)∨((a∧c)∨b)∧(a∨c)
=(b∧c)∨(a∧(b∨c))∨(a∧c)∨(b∧(a∨c))
=h(b∧c)∨(a∧(b∨c))∨(a∧c)i∨(b∧(a∨c))
=h(a∧c)∨(a∧(b∨c))∨(b∧c)i∨(b∧(a∨c))
=h(a∧c)∨(a∧(b∨c))∨(b∧c)i∨(b∧(a∨c))
=(a∧c)∨(a∧(b∨c))∨(b∧c)∨(b∧(a∨c))
= (a∧(b∨c))∨(b∧(a∨c))
= ((a∨b)∧(a∨c))∧(b∨c).
Vastaavalla tavalla voidaan osoittaa, että
x∨z = ((a∨b)∧(a∨c))∧(b∨c) ja y∨z = ((a∨b)∧(a∨c))∧(b∨c).
Näin ollenx∨y =x∨z =y∨z.
(2) Lauseiden 5.7, 5.8, 5.4, 5.11, 5.6 ja 5.20 perusteella
x∧y =(a∨(b∧c))∧(b∨c)∧(b∨(a∧c))∧(a∨c)
= (a∨(b∧c))∧h(b∨c)∧(b∨(a∧c))∧(a∨c)i
= (a∨(b∧c))∧h(a∨c)∧(b∨(a∧c))∧(b∨c)i
= (a∨(b∧c))∧h(a∨c)∧(b∨(a∧c))∧(b∨c)i
=(a∨(b∧c))∧(a∨c)∧(b∨(a∧c))∧(b∨c)
= (a∨(b∧c))∧(b∨(a∧c))
= ((a∧b)∨(a∧c))∨(b∧c).
Vastaavalla tavalla voidaan osoittaa, että
x∧z = ((a∧b)∨(a∧c))∨(b∧c) ja y∧z = ((a∧b)∨(a∧c))∨(b∧c).
Näin ollenx∧y =x∧z =y∧z.
(3) Osoitetaan, että x 6= x∨y ja y 6= x∨y, mistä seuraa, että x k y.
(i) Osoitetaan, että x6=x∨y. Lauseen 5.14 ja relaation ≤ refleksiivisyyden perusteella perusteella
a∨(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c) ja b∨c≤b∨c.
Lauseiden 5.7, 5.4 ja 5.6 perusteella
(a∨(b∧c))∨(b∨c) =a∨((b∧c)∨(b∨c)) = a∨(b∨c), ja lauseen 5.4, määritelmän 5.7 ja lauseiden 5.7, 5.8 ja 5.10 perusteella
((a∨b)∧(a∨c))∨(b∨c) = (a∨(b∧(a∨c)))∨(b∨c)
=a∨((b∧(a∨c))∨(b∨c))
=a∨(((b∧(a∨c))∨b)∨c)
=a∨((b∨(b∧(a∨c)))∨c)
=a∨(b∨c).
Koska a∨(b∧c)6= (a∨b)∧(a∨c), niin lauseen 5.25 perusteella x= (a∨(b∧c))∧(b∨c)6= ((a∨b)∧(a∨c))∧(b∨c) =x∨y.
(ii) Osoitetaan, että y6=x∨y. Lauseen 5.14 ja relaation ≤ refleksiivisyyden perusteella perusteella
a∨(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c) ja c≤c.
Lauseiden 5.7, 5.8 ja 5.10 perusteella
(a∨(b∧c))∨c=a∨((b∧c)∨c) = a∨(c∨(c∧b)) =a∨c,
ja lauseen 5.4, määritelmän 5.7 ja lauseiden 5.8, 5.7 ja 5.10 perusteella ((a∨b)∧(a∨c))∨c= (a∨(b∧(a∨c)))∨c
=c∨(a∨(b∧(a∨c)))
= (c∨a)∨(b∧(a∨c))
= (a∨c)∨((a∨c)∧b)
=a∨c.
Koska a∨(b∧c)6= (a∨b)∧(a∨c), niin lauseen 5.25 perusteella (a∨(b∧c))∧c6= ((a∨b)∧(a∨c))∧c.
Lauseiden 5.7, 5.8 ja 5.10 perusteella
((a∨b)∧(a∨c))∧c= (a∨b)∧((a∨c)∧c)
= (a∨b)∧(c∧(c∨a))
= (a∨b)∧c, ja näin ollen
(a∨(b∧c))∧c6= (a∨b)∧c.
Lauseen 5.11 perusteella
(a∨(b∧c))∧c≤((a∨b)∧(a∨c))∧c= (a∨b)∧c,
ja relaation ≤ refleksiivisyyden perusteella (a∨c)∧b ≤ (a∨c)∧b. Lausei- den 5.7, 5.8 ja 5.10 perusteella
((a∨(b∧c))∧c)∧((a∨c)∧b) = (a∨(b∧c))∧(c∧((a∨c)∧b))
= (a∨(b∧c))∧((c∧(a∨c))∧b)
= (a∨(b∧c))∧((c∧(c∨a))∧b)
= (a∨(b∧c))∧(c∧b)
= (b∧c)∧((b∧c)∨a)
=b∧c ja
((a∨b)∧c)∧((a∨c)∧b) = (a∨b)∧(c∧((a∨c)∧b))
= (a∨b)∧((c∧(a∨c))∧b)
= (a∨b)∧(b∧(c∧(c∨a)))
= (a∨b)∧(b∧c)
= ((a∨b)∧b)∧c
= (b∧(b∨a))∧c
=b∧c.
Koska (a∨(b∧c))∧c6= (a∨b)∧c, niin lauseen 5.24 perusteella ((a∨(b∧c))∧c)∨((a∨c)∧b)6= ((a∨b)∧c)∨((a∨c)∧b).
Lauseiden 5.8 ja 5.4, määritelmän 5.7 ja lauseiden 5.7 ja 5.10 perusteella ((a∨(b∧c))∧c)∨((a∨c)∧b) = (c∧(a∨(b∧c)))∨(b∧(c∨a))
= ((c∧(a∨(b∧c)))∨b)∧(c∨a)
= (b∨(((b∧c)∨a)∧c))∧(a∨c)
= (b∨((b∧c)∨(a∧c)))∧(a∨c)
= ((b∨(b∧c))∨(a∧c))∧(a∨c)
= (b∨(a∧c))∧(a∨c), ja lauseiden 5.8, 5.20 ja 5.7 perusteella
((a∨b)∧c)∨((a∨c)∧b) = (c∧(b∨a))∨(b∧(c∨a))
= ((c∨b)∧(c∨a))∧(b∨a)
= (c∨b)∧((c∨a))∧(b∨a))
= ((a∨b)∧(a∨c))∧(b∨c), ja täten
y= (b∨(a∧c))∧(a∨c)6= ((a∨b)∧(a∨c))∧(b∨c) = x∨y.
Kohtien (i) ja (ii) perusteella x6=x∨y jay 6=x∨y. Näin ollen lauseiden 5.6 ja 5.7 perusteellaxy ja yx, ja täten määritelmän 3.4 perusteellaxky.
(4) Kohtaa (3) vastaavalla tavalla voidaan osoittaa, että xkz.
(5) Kohtaa (3) vastaavalla tavalla voidaan osoittaa, että ykz.
Kohtien (1)–(5) perusteella todetaan, että valitut x, y, z ∈ L täyttävät vaaditut ehdot.
Lause 5.32. Olkoon (P,≤) poset ja L ∈Lat(P). Tällöin L /∈ LatD(P), jos ja vain jos L /∈LatM(P) tai
∃x, y, z ∈L: xky, xkz, ykz,
x∨y=x∨z =y∨z ja x∧y=x∧z=y∧z.
Todistus (vrt. [2, s. 134–136]). Seuraa lauseista 5.29 ja 5.31
Lause 5.33. Olkoon (P,≤) poset ja L ∈ LatD(P). Jos x, y, z, w ∈ L ovat sellaiset, että
x≤z, y≤w ja x∧y=z∧w, niin funktiot
f : [x, z]×[y, w]→[x∨y, z∨w] :f(r, s) =r∨s, g : [x∨y, z∨w]→[x, z]×[y, w] :g(t) =hz∧t, w∧ti ovat sekä injektioita että surjektioita.
Todistus (vrt. [8, s. 321], [10, s. 623]). Olkoon (P,≤) poset ja L ∈ LatD(P), ja olkoot x, y, z, w ∈L sellaiset, että
x≤z, y≤w ja x∧y =z∧w.
Lauseen 3.21 perusteella [x, z]6=∅ja [y, w]6=∅. Lauseen 5.11 perusteella x∨y≤z∨w, ja täten lauseen 3.21 perusteella [x∨y, z∨w]6=∅.
Olkoon hr, si ∈ [x, z]×[y, w]. Tällöin määritelmien 2.16 ja 3.19 perus- teella
x≤r≤z ja y≤s≤w.
Näin ollen lauseen 5.11 perusteella
x∨y≤r∨s≤z∨w,
ja täten määritelmän 3.19 perusteella r∨s∈[x∨y, z∨w]. Näin ollen lau- seen 3.11 ja määritelmän 2.18 perusteella
f : [x, z]×[y, w]→[x∨y, z∨w] :f(r, s) = r∨s on funktio.
Olkoon t ∈ [x∨y, z∨w]. Tällöin määritelmän 3.19 perusteella x∨y ≤ t≤z∨w. Näin ollen lauseiden 5.10, 5.11, 5.8 ja 5.4 perusteella
x=x∧(x∨y)≤z∧t≤z ja y=y∧(y∨x) = y∧(x∨y)≤w∧t≤w, ja täten määritelmien 3.19 ja 2.16 perusteellahz∧t, w∧ti ∈[x, z]×[y, w].
Näin ollen lauseen 3.13 ja määritelmän 2.18 perusteella
g : [x∨y, z∨w]→[x, z]×[y, w] :g(t) = hz∧t, w∧ti on funktio.
Olkoon hr, si ∈ [x, z]×[y, w]. Tällöin lauseen 5.4 ja määritelmän 3.19 perusteella
z∧w=x∧y≤x≤r≤z ja z∧w=x∧y≤y≤s≤w, ja täten relaation ≤ transitiivisuuden perusteella
z∧w≤r≤z ja z∧w≤s≤w ja relaation ≤ refleksiivisyyden perusteella
z∧w≤z ≤z ja z∧w≤w≤w.
Näin ollen lauseen 5.17 perusteella
z∧w=r∧w=s∧z.
Lauseen 5.28 perusteellaL∈LatM(P), ja täten lauseen 5.8, määritelmän 5.8 ja lauseen 5.10 perusteella
g(f(r, s)) = g(r∨s) =hz∧(r∨s), w∧(r∨s)i
=h(r∨s)∧z,(s∨r)∧wi=hr∨(s∧z), s∨(r∧w)i
=hr∨(r∧w), s∨(s∧z)i=hr, si. Näin ollen
∀ hr, si ∈[x, z]×[y, w] :g(f(r, s)) =hr, si, ja täten lauseen 2.6 perusteella f on injektio jag on surjektio.
Olkoon t ∈ [x∨y, z∨w]. Tällöin määritelmän 3.19 perusteella x∨y ≤ t≤z∨w. Lauseen 5.8, määritelmän 5.10 ja lauseiden 5.26 ja 5.6 perusteella
f(g(t)) =f(z∧t, w∧t) = (z∧t)∨(w∧t) = (t∧z)∨(t∧w) = t∧(z∨w) = t.
Näin ollen
∀t∈[x∨y, z∨w] :f(g(t)) = t,
ja täten lauseen 2.6 perusteella g on injektio ja f on surjektio.