Tässä opinnäytetyössä insidenssifunktioita tutkitaan yleisenä matemaattisena käsitteenä, joka perustuu edellä mainitun määritelmäjoukon ominaisuuksiin ja ilmaantuvuusfunktiolle asetettuun arvosarjaan. Insidenssifunktion määrittelystä ja arvojoukosta johtuen insidenssifunktioihin liittyvät tulokset perustuvat järjestysjoukon teoriaan ja abstraktiin algebraan. Opinnäytetyö sisältää esityksiä sekä osittain järjestettäviin joukkoihin liittyvistä peruskäsitteistä että abstraktin algebran perusteista siinä laajuudessa kuin se on aiheen käsittelyn kannalta relevanttia.
Opinnäytetyö sisältää riittävän esityksen hilat, jotka ovat osittain järjestäytyneisiin ryhmiin liittyviä rakenteita. Insidenssifunktioiden esittelyn pääaiheet ovat ilmaantuvuusfunktion yleinen käsite, yksittäiset ilmaantuvuusfunktiot, ilmaantuvuusfunktioihin liittyvät binäärioperaatiot, ilmaantuvuusfunktioiden muodostamien algebrallisten rakenteiden tutkiminen sekä ilmaantuvuusfunktion sisäisen rakenteen tutkiminen kautta. hilaan liittyvät ominaisuudet (modulaarinen hila, jakeluhila). Tässä esityksessä ilmaantuvuusfunktioita tarkastellaan yleisenä matemaattisena käsitteenä, joka perustuu edellä mainitun esiintyvyysfunktion määritelmäjoukon ja arvojoukon ominaisuuksiin.
On jo esityksen tässä vaiheessa huomioitava, että ilmaantuvuusfunktioita tarkasteltaessa hila ymmärretään laajemmassa merkityksessä verrattuna varsinaisen hilateorian yleiseen käytäntöön. Luvun pääaiheet ovat ilmaantuvuusfunktion yleinen käsite, yksittäiset insidenssifunktiot, insidenssifunktioihin liittyvät binäärioperaatiot, insidenssifunktioiden muodostamien algebrallisten rakenteiden tutkiminen ja ilmaantuvuusfunktion sisäisen rakenteen tutkiminen hilaan liittyvien ominaisuuksien kautta. .
Suljettu lause ja lausekonnektiivit
Sanaa "tai" käytetään kattavassa merkityksessä, koska "p tai q" tarkoittaa, että "p tai q tai sekä p että q". Luonnollisessa kielessä sanan "tai" merkitys tulee yleensä esiin kontekstista, mutta tarvittaessa se ilmaistaan myös eksplisiittisesti. Merkintä (p⇒q) tarkoittaa lauseista pja q muodostettua implikaatiota ja sen vastineet luonnollisessa kielessä ovat "jos p, niin q", "p vain jos q".
Lause p on implikaatio- tai ehdollisen lauseen (p⇒q) etuosa (tai oletus) ja lause q on takajäsen (eli päätelmä). Merkintä (p⇔q) tarkoittaa lauseista pja q muodostettua ekvivalenssia ja luonnollisen kielen vastineet ovat "p, jos ja vain ifq", "p, ifq ja ponly ifq", "jos ja vain ifq, sittenp" , " qon on riittävä ja välttämätön ehto p:lle", "jos p, niin q, ja jos q, niin p" ja "p ja q ovat samaa mieltä". Suljettu lause on yksinkertainen lause, eli atomilause, jos ja vain jos se ei sisällä lauseyhteyksiä.
Suljettu lause on koherentti lause silloin ja vain, jos se sisältää sekä yksinkertaisia lauseita että lauseliittimiä. Luonnollisella kielellä välitetään lauseiden yksiselitteinen merkitys, ts. lauseyhteyksien vaikutuspiiri ja tulkintajärjestys eri kielellisin keinoin.
Looginen päättely, tautologia ja ristiriita
Joissakin tapauksissa lauseen muodollista esitystapaa voidaan tiivistää vähentämällä siinä olevien sulkeiden määrää. hakasulke konjunktio implikaation etu- tai takajäsenenä. disjunktion sulkumerkit implikaation etu- tai takajäsenenä. suluissa konjunktio vasen tai oikea lauseke vastaavan,. hakasulkeiden disjunktiot vasen tai oikea ekvivalenssitermi,. voidaan jättää merkitsemättä, elleivät esitysasiat toisin vaadi. Lause p∧ ¬p on identtisesti epätosi, joten sen negaatio on identtisesti tosi, eli tautologia:. Toisin sanoen oletukset ovat yhteensopimattomia silloin ja vain, jos niiden konjunktio on yhtä väärä.
Jos tutkittavista oletuksista voidaan päätellä ristiriita, joka on identtisesti väärä väite, niin kyseessä olevat oletukset ovat pätevän päättelyn periaatteiden perusteella yhteensopimattomia. Jos lause p⇒qon on tautologia, niin se on identtisesti tosi, joten ei voi olla, että premissi p on tosi ja johtopäätös qon epätosi. Siksi määritelmästä 1.12 lause q on looginen seuraus lauseista p ja p ⇒ q, joten lauseen q totuus voidaan päätellä lauseiden p ja p⇒q totuudesta.
Kaksi lausetta ovat loogisesti johdonmukaisia, ts. loogisesti vastaavat, jos ja vain jos ne ovat loogisia seurauksia toisistaan. Siksi konjunktion sulut konjunktiona ja disjunktion sulut disjunktiona voidaan jättää merkitsemättä, koska niillä ei ole merkitystä yhdistetyn lauseen tulkinnassa.
Nimi, määrätty kuvaus ja identiteetti
Tämän käytännön tarkka perustelu edellyttää matemaattiseen induktioon perustuvaa todistusta (koskien kaavan pituutta), joka jätetään tässä yhteydessä huomiotta.
Avoin lause ja kvantifiointi
Avoin lause on yhdistetty avoin lause, eli yhdistetty predikaatti, jos ja vain jos se sisältää sekä yksinkertaisia avoimia lauseita että lauseyhteyksiä. Avoimesta lauseesta saadaan suljettu lause, eli lause saa totuusarvon, kun lauseeseen sijoitetaan tietty objekti muuttujan kaikkien esiintymien sijaan (ks. [14, s. 46-47]). Yleinen periaate on, että elleivät sulut toisin ilmoita, sitova lause, jota seuraa suljettu lause, on kvantorin alueen takaraja.
Matemaattinen määritelmä, lause ja todistus
Suoran todistuksen menetelmässä oletus p oletetaan oikeaksi eli tosi, ja käyttämällä oletusta p päätellään, että myös väite q on tosi. Kontrapositiomenetelmässä suoran todistuksen menetelmä todistetaan käyttämällä lausetta "jos ei q, niin ei p", eli implikaatiota ¬q ⇒ ¬p, joka riittää todistamaan loogisesti johdonmukaisen väitteen pätevyyden "jos" p" , sitten q", eli implikaatio p⇒q. Tässä tapauksessa implikation totuusehdon perusteella myös lause p ⇒q on tosi, eli lause "jos p, niin q" on tosi .
Siten konjunktion totuusehdon perusteella lause p∧ ¬q on tosi, joten sitä loogisesti vastaava lause ¬(p⇒q) on myös tosi. Joukkoteorian peruskäsitteiden esittely alkaa karakterisoinnilla, joka kuvaa joukkoteorian keskeisintä termiä "joukko": "Joukko on kokoelma esineitä, jotka ymmärretään yhdeksi objektiksi, ja kokoelmaan kuuluva esine on joukon osa." Tämän yllä olevan karakterisoinnin perusteella joukkoteorian lähtökohtana on otettu seuraavat peruskäsitteet: joukko, joukon alkio ja on joukon alkio.
Joukkomerkintä, jossa yksi tai useampi joukon yksittäinen alkio esiintyy useammin kuin kerran, on sama joukko kuin vastaavia elementtejä sisältävä joukkomerkintä, jossa jokainen joukon alkio esiintyy täsmälleen kerran. Yllä määritellyt numeeriset joukot N, Z ja Q sekä niihin liittyvät laskelmat ja luonnolliset järjestykset voidaan määritellä tarkasti joukkoteorian käsitteitä käyttäen (ks. [3, luvut 4 ja 5]).
Osajoukko ja potenssijoukko
Joukkojen perusoperaatiot
Järjestetty pari ja relaatio
Vaihtoehtoinen lähestymistapa on pitää järjestysparia joukkoteorian peruskäsitteenä, jota ei määritellä muiden käsitteiden kautta. Tässä tapauksessa järjestetyn parin käsite edellyttää vain, että järjestetyt parit hx, yi ja hu ovat samat, jos ja vain jos niiden ensimmäiset jäsenet ovat samat ja toiset jäsenet ovat samat. Jos joukko R on relaatio, niin merkintä xRy tarkoittaa, että hx, yi ∈R. Relaatiotunnisteet voidaan yhdistää seuraavasti: Jos R ja S ovat relaatioita, xRy ja ySz, niin tunnistetta xRySz voidaan käyttää.
Funktio
Erityisen tärkeä on myös funktio, jonka jokainen arvojoukon elementti on kuva vähintään yhdestä määritelmäjoukon elementistä. Jos funktio on sekä injektio että surjektio, se liittää täsmälleen yhden määritelmäjoukon elementin arvojoukon jokaiseen elementtiin ja asettaa määritelmän ja arvojoukon elementit yksi-yhteen vastaavuuteen.
Äärellinen joukko ja ääretön joukko
Merkintä xy tarkoittaa, että hx, yi 6∈ ≤. Jos relaatio ≤ on joukon P osittaisjärjestys, niin se ei refleksiivisesti ole minkään muun joukon osajärjestys. Merkintä x k y tarkoittaa, että elementit x ja y eivät ole vertailukelpoisia, ja merkintä x∦y tarkoittaa, että elementit x ja y ovat vertailukelpoisia.
Maksimaalinen alkio ja minimaalinen alkio
Siten määritelmän 3.1 mukaan relaatio ≤ ei ole P:n osajärjestys, joten määritelmän 3.2 mukaan P ei ole posetti. Koska |S −Smax| = n, silloin vähintään yhden joukon S − Smax alkioista tulee esiintyä vähintään kahdesti yllä olevassa järjestyksessä. Siten määritelmän 3.1 mukaan relaatio ≤ ei ole P:n osajärjestys, joten määritelmän 3.2 mukaan P ei ole posetti.
Suurin alkio ja pienin alkio
Yläraja ja alaraja
Pienin yläraja ja suurin alaraja
Tiukka järjestys
Peiterelaatio
Siksi kohta (ii) on totta. 2) Samoin kuin kohdassa (1), voidaan osoittaa, että kohta (i) on tosi, jos kohta (ii) on tosi.
Väli ja paikallisesti äärellinen poset
Koska äärellisen joukon jokainen osajoukko on äärellinen, niin jokainen posetin (P,≤) väli on äärellinen, ja siten määritelmän 3.23 mukaan poset (P,≤) on paikallisesti äärellinen. Koska | ]a, b] |= n, silloin vähintään yhden välin ]a, b] alkioista tulee esiintyä vähintään kahdesti yllä olevassa järjestyksessä.
Ketju
Luonnollisten lukujen joukko N ja luonnollisten lukujen luonnollinen järjestys muodostavat pussin (N,≤), joka on ketju (ks.
Antiketju
Pituus ja leveys
Binäärioperaatio A:lla (eli A:n binäärioperaatio) on funktio tulojoukosta A × A arvoon A ja yhdistää siten jokaisen joukon. Suluilla ei siis ole merkitystä määritettäessä näitä merkintöjä vastaavaa elementtiä, joten ne voidaan jättää merkitsemättä ja käyttää x-merkintää. Näin ollen alkioiden x, y, z järjestyksellä ei ole merkitystä määritettäessä näitä syötteitä vastaavaa elementtiä, joten niiden järjestys voidaan valita mielivaltaisesti.
Tämän käytännön tarkka perustelu vaatii matemaattisen induktion todistamisen (kaavan pituuden osalta), joka jätetään tässä yhteydessä pois. Yleistyneen distributiivisen ominaisuuden tarkka perustelu vaatii matemaattiseen induktioon perustuvan todistuksen (kaavan pituuden suhteen), joka jätetään tässä yhteydessä huomiotta.
Algebrallinen struktuuri, neutraalialkio ja keskus
Puoliryhmä
Monoidi, kääntyvä alkio, käänteisalkio ja potenssi
Olkoot joukot A ja B sellaiset, että A ⊆B ja A ovat äärellisiä, ja olkoon hM, ?i kommutatiivinen monooidi, e ∈ M neutraali alkio ja f :B →M funktio.
Yhteenlasku ja kertolasku
Jos binäärijoukkooperaatiolle ei ole yleisesti hyväksyttyä merkintää, käytetään seuraavaa käytäntöä: assosiatiivista binäärioperaatiota, joka on kommutatiivinen, merkitään symbolilla . Assosiatiivinen binäärioperaatio, joka ei ole kommutatiivinen tai joka ei välttämättä ole kommutatiivinen, on merkitty symbolilla .
Monikerta
Sigma-merkintä ja pii-merkintä
Ryhmä
Rengas, karakteristika, nollanjakaja ja yksikkö
Kohta (ii) voidaan todistaa samalla tavalla kuin (i). 1) Oletetaan, että renkaalla sahR,+,·iei on nolla jakajaa.
Kunta
Posetin hila ja hila
Hilaoperaatiot sup ja inf
Hilassa yleispäteviä lainalaisuuksia
Modulaarinen hila
Distributiivinen hila
Paikallinen hila
Paikallisesti modulaarinen paikallinen hila
Paikallisesti distributiivinen paikallinen hila
Jos (P,≤) ei ole paikallisesti jakautuva, se ei tarkoita, ettei se ole paikallisesti modulaarinen. Jos L /∈ LatM(P), niin määritelmän mukaan 2.2 LatM(P) 6= Lat(P), joten lauseen 5.36 mukaan (P,≤) ei ole lokaalisti modulaarinen. Kaikki muut tapaukset voidaan käsitellä samalla tavalla, mikä tarkoittaa, että jos jokin yllä olevista ehdoista on totta, niin kaikki ehdot ovat tosia.
Kaikki muut tapaukset voidaan käsitellä samalla tavalla, mikä tarkoittaa, että jos jokin yllä olevista ehdoista on totta, niin kaikki ehdot ovat tosia.
Insidenssifunktioiden yhteenlasku
Siten esiintymisfunktioiden ja neliömatriisien lisäämisellä on joitain yhteisiä tai vastaavia algebrallisia ominaisuuksia.
Insidenssifunktioiden kertolasku
Insidenssifunktioiden konvoluutio
Möbiuksen funktio µ ja kardinaliteettifunktio τ
Distributiivinen funktio
Täydellisesti faktoraabeli funktio
Faktoraabeli funktio
Olkoon (P,≤) lokaalisti äärellinen paikallinen hila ja hK,+,·i kunta, jossa CharK = 0. 1) Oletetaan, että (P,≤) on lokaalidistributiivinen.
Täydellisesti multiplikatiivinen funktio
Multiplikatiivinen funktio
Translaatioinvariantti funktio
