Täydellisesti faktoraabelin funktion käsitteen vaativuus ja rajoittavuus ovat melko ilmeisiä. Näin ollen paikallisesti äärellisen paikallisen hilan (P,≤) insi- denssifunktioiden tarkastelussa ensisijaiseksi tarkastelukohteeksi otetaan täy- dellisesti faktoraabelin funktion käsitettä vastaava yleisempi käsite.
Määritelmä 6.15. Olkoon (P,≤) paikallisesti äärellinen paikallinen hila.
Funktio f ∈I[P/K] on faktoraabeli, jos (i) ∀x∈P :f(x, x) = 1,
(ii) ∀x, y, z, w ∈P :
h
∃u, v ∈P :x, y, z, w ∈[u, v], x≤z, y ≤w ja x∧y=z∧wi
⇒f(x∨y, z∨w) = f(x, z)·f(y, w)
.
Huomautus. Määritelmä 6.15 on mukaelma eri yhteyksissä esitetyistä fakto- raabelin funktion määritelmistä (ks.[6, s. 112], [8, s. 304], [10, s. 622]).
Lause 6.55. Olkoon (P,≤) paikallisesti äärellinen paikallinen hila. Jos f ∈ I[P/K] on täydellisesti faktoraabeli, niin se on faktoraabeli.
Todistus. Seuraa relaation≤refleksiivisyydestä ja määritelmistä 6.14 ja 6.15.
Lause 6.56. Olkoon (P,≤) paikallisesti äärellinen paikallinen hila. Jos f ∈ I[P/K] on sellainen, että
(i) ∀x∈P :f(x, x)6= 0, (ii) ∀x, y, z, w ∈P :
h
∃u, v ∈P :x, y, z, w ∈[u, v], x≤z, y≤w ja x∧y=z∧wi
⇒f(x∨y, z∨w) = f(x, z)·f(y, w)
,
niin se on faktoraabeli.
Todistus. Voidaan todistaa vastaavalla tavalla kuten lause 6.53.
Lause 6.57. Olkoon (P,≤) paikallisesti äärellinen paikallinen hila. Tällöin ζ ∈I[P/K] on faktoraabeli.
Todistus. Seuraa lauseista 6.54 ja 6.55.
Lause 6.58. Olkoon (P,≤) paikallisesti äärellinen paikallinen hila. Tällöin δ∈I[P/K] on faktoraabeli, jos ja vain jos (P,≤) on paikallisesti modulaari- nen.
Todistus (vrt. [8, s. 322], [11, s. 17]). Olkoon (P,≤) paikallisesti äärellinen paikallinen hila.
(1) Oletetaan, että (P,≤) ei ole paikallisesti modulaarinen. Tällöin mää- ritelmien 5.11 ja 5.12 perusteella on olemassa sellaiset u, v ∈ P, että u≤ v, [u, v]∈Lat(P) ja [u, v]∈/LatM(P). Näin ollen lauseen 5.23 perusteella
∃x, y, z∈[u, v] :x < z, xky, y kz, x∨y=y∨z ja x∧y=y∧z.
Määritelmän 3.17, relaation ≤ refleksiivisyyden perusteella ja lauseen 5.8 perusteella
x, y, z ∈[u, v], x≤z, y ≤y ja x∧y=z∧y.
Määritelmän 3.17 perusteella x 6=z. Lauseen 5.8 ja määritelmän 6.4 perus- teella
δ(x∨y, z∨y) = δ(x∨y, y∨z) = 1, ja määritelmien 6.4 ja 4.6 perusteella
δ(x, z)·δ(y, y) = 0·1 = 0.
Määritelmän 4.28 perusteella 16= 0, ja täten
δ(x∨y, z∨y)6=δ(x, z)·δ(y, y).
Näin ollen määritelmän 6.15 perusteella funktio δ ∈I[P/K] ei ole faktoraa- beli.
(2) Oletetaan, että (P,≤) on paikallisesti modulaarinen. Määritelmän 6.4 perusteella
∀x∈P :δ(x, x) = 1.
Olkoot u, v ∈P sellaiset, ettäu≤v, ja x, y, z, w ∈P sellaiset, että x, y, z, w ∈[u, v], x≤z, y≤w ja x∧y =z∧w.
Tällöin [u, v]6= ∅, ja täten määritelmän 5.12 perusteella [u, v] ∈ LatM(P).
Näin ollen lauseen 5.24 perusteella x∨y = z∨w, jos ja vain jos x = z ja y=w. (i) Josx∨y=z∨w, niinx=z jay=w. Näin ollen määritelmien 6.3 ja 4.6 perusteella
δ(x, z)·δ(y, w) = 1·1 = 1 =δ(x∨y, z∨w).
(ii) Jos x∨y6=z∨w, niin x6=z tai y6=w, ja täten määritelmän 6.4 perus- teella δ(x, z) = 0 tai δ(y, w) = 0. Näin ollen lauseen 4.21 ja määritelmän 6.4 perusteella
δ(x, z)·δ(y, w) = 0 =δ(x∨y, z∨w).
Kohtien (i) ja (ii) perusteella δ(x∨y, z ∨w) = δ(x, z)·δ(y, w). Näin ollen määritelmän 6.15 perusteella δ∈I[P/K] on faktoraabeli.
Kohtien (1) ja (2) perusteella lause pitää paikkansa.
Lause 6.59. Olkoon(P,≤)paikallisesti äärellinen paikallinen hila. Jos(P,≤) on paikallisesti distributiivinen, niin
∀f, g∈I[P/K] :f ja g ovat faktoraabeleja ⇒f∗g on faktoraabeli.
Todistus (vrt. [8, s. 306–307], [10, s. 623]). Olkoon (P,≤) paikallisesti äärel- linen paikallisesti distributiivinen paikallinen hila, ja olkoot f, g ∈ I[P/K]
faktoraabeleja. Olkoon x∈P. Määritelmien 6.15 ja 4.6 perusteella (f∗g)(x, x) = X
x≤z≤x
f(x, z)·g(z, x) = f(x, x)·g(x, x) = 1·1 = 1.
Näin ollen
∀x∈P : (f∗g)(x, x) = 1.
Olkoot u, v ∈P sellaiset, ettäu≤v, ja x, y, z, w ∈P sellaiset, että x, y, z, w ∈[u, v], x≤z, y≤w ja x∧y =z∧w.
Josr, s∈[u, v] ovat sellaiset, ettäx≤r≤z jay≤s ≤w, niin lauseen 5.11 perusteella x∧y ≤ r∧s ≤ z ∧w. Tällöin relaation ≤ antisymmetrisyyden
perusteella x∧y = r∧s ja r ∧s = z∧w, ja näin ollen määritelmän 6.15 perusteella
f(x∨y, r∨s) =f(x, r)·f(y, s) ja g(r∨s, z∨w) =g(r, z)·g(s, w).
Määritelmän 5.13 perusteella [u, v] ∈ LatD(P). Näin ollen lauseen 5.33 pe- rusteella funktio
h: [x, z]×[y, w]→[x∨y, z∨w] :h(r, s) =r∨s
on sekä injektio että surjektio, ja täten se asettaa joukon [x, z]×[y, w] ja joukon [x∨y, z∨w] alkiot yksi-yhteen vastaavuuteen. Näin ollen määritel- mien 4.2, 4.3 ja 4.4 perusteella
(f∗g)(x∨y, z∨w) = X
x∨y≤t≤z∨w
f(x∨y, t)·g(t, z∨w)
= X
hr,si∈[x,z]×[y,w]
f(x∨y, r∨s)·g(r∨s, z∨w)
= X
x≤r≤z y≤s≤w
f(x, r)·f(y, s)·g(r, z)·g(s, w)
= X
x≤r≤z y≤s≤w
f(x, r)·g(r, z)·f(y, s)·g(s, w)
= X
x≤r≤z
f(x, r)·g(r, z)· X
y≤s≤w
f(y, s)·g(s, w)
= (f ∗g)(x, z)·(f∗g)(y, w).
Näin ollen määritelmän 6.15 perusteella f ∗g ∈I[P/K] on faktoraabeli.
Lause 6.60. Olkoon(P,≤)paikallisesti äärellinen paikallinen hila. Jos(P,≤) on paikallisesti distributiivinen, niin
∀f ∈I[P/K] :f on faktoraabeli ⇒f∗−1 on faktoraabeli.
Todistus (vrt. [8, s. 305–306], [10, s. 623]). Olkoon (P,≤) paikallisesti äärel- linen paikallisesti distributiivinen paikallinen hila jaf ∈I[P/K] faktoraabeli.
Määritelmän 6.15 ja lauseen 6.36 perusteella
∀x∈P :f∗−1(x, x) = 1.
Olkoot u, v ∈P sellaiset, ettäu≤v, ja x, y, z, w ∈P sellaiset, että x, y, z, w ∈[u, v], x≤z, y≤w ja x∧y =z∧w.
Tällöin lauseen 5.11 perusteella x ∨ y ≤ z ∨ w, ja näin ollen määritel- män 3.23, lauseen 3.21 ja määritelmän 3.29 perusteella välin [x∨y, z∨w]
pituusl([x∨y, z∨w]) on määritelty. Osoitetaan matemaattisella induktiol- la välin [x∨y, z∨w] pituuden suhteen, että
f∗−1(x∨y, z∨w) = f∗−1(x, z)·f∗−1(y, w).
(1) Olkoon l([x∨y, z∨w]) = 1. Tällöin määritelmien 3.19 ja 3.29 perus- teella x∨y=z∨w. Määritelmän 5.13 perusteella [x∨y, z∨w]∈LatD(P), ja täten lauseen 5.28 perusteella [x∨y, z∨w] ∈ LatM(P). Näin ollen lau- seen 5.24 perusteella x=z ja y=w, ja täten määritelmän 4.6 perusteella
f∗−1(x, z)·f∗−1(y, w) = 1·1 = 1 =f∗−1(x∨y, z∨w).
(2) Olkoonl([x∨y, z∨w]) = n, missä n >1. Tehdään induktio-oletus, että jos x0, y0, z0, w0 ∈[u, v] ovat sellaiset, että l([x0∨y0, z0 ∨w0])< n,
x0 ≤z0, y0 ≤w0 ja x0∧y0 =z0∧w0 niin f∗−1(x0∨y0, z0∨w0) =f∗−1(x0, z0)·f∗−1(y0, w0).
Koska l([x∨y, z∨w]) > 1, niin määritelmän 3.29 perusteella x∨y 6=
z ∨ w. Näin ollen määritelmän 3.17 perusteella x ∨ y < z ∨ w, ja täten määritelmän 6.15 ja lauseen 6.36 perusteella
f∗−1(x∨y, z∨w) = − X
x∨y≤t<z∨w
f∗−1(x∨y, t)·f(t, z∨w).
Josr, s∈[u, v] ovat sellaiset, ettäx≤r≤z jay≤s ≤w, niin lauseen 5.11 perusteellax∨y≤r∨s≤z∨wja x∧y≤r∧s≤z∧w. Tällöin relaation≤ antisymmetrisyyden perusteella x∧y = r ∧s ja r∧s = z∧w. Jos lisäksi r∨s < z∨w, niin määritelmien 3.19, 3.22 ja 3.29 perusteella
l([x∨y, r∨s])≤l([x∨y, z∨w[)< l([x∨y, z∨w]) = n, ja näin ollen induktio-oletuksen ja määritelmän 6.15 perusteella
f∗−1(x∨y, r∨s) =f∗−1(x, r)·f∗−1(y, s) ja f(r∨s, z∨w) =f(r, z)·f(s, w).
Määritelmän 5.13 perusteella [u, v] ∈ LatD(P). Näin ollen lauseen 5.33 pe- rusteella funktio
h: [x, z]×[y, w]→[x∨y, z∨w] :h(r, s) =r∨s
on sekä injektio että surjektio, ja täten se asettaa joukon [x, z]× [y, w] ja joukon [x∨y, z∨w] alkiot yksi-yhteen vastaavuuteen. Määritelmän 2.21 perusteella h(r, s) = h(z, w) elir∨s =z∨w, jos ja vain jos hr, si=hz, wi.
Näin ollen määritelmien 4.2 ja 4.3, lauseen 2.5, määritelmien 4.6 ja 4.4, lausei- den 4.6 ja 4.21 ja määritelmän 4.12 perusteella
X
x∨y≤t<z∨w
f∗−1(x∨y, t)·f(t, z∨w)
= X
hr,si∈[x,z]×[y,w] hr,si6=hz,wi
f∗−1(x∨y, r∨s)·f(r∨s, z∨w)
= X
x≤r≤z y≤s≤w hr,si6=hz,wi
f∗−1(x, r)·f∗−1(y, s)·f(r, z)·f(s, w)
= X
x≤r≤z y≤s≤w hr,si6=hz,wi
f∗−1(x, r)·f(r, z)·f∗−1(y, s)·f(s, w)
= X
x≤r<z y≤s<w
f∗−1(x, r)·f(r, z)·f∗−1(y, s)·f(s, w)
+ X
y≤s<wr=z
f∗−1(x, r)·f(r, z)·f∗−1(y, s)·f(s, w)
+ X
x≤r<z s=w
f∗−1(x, r)·f(r, z)·f∗−1(y, s)·f(s, w)
= X
x≤r<z y≤s<w
f∗−1(x, r)·f(r, z)·f∗−1(y, s)·f(s, w)
+ X
y≤s<w
f∗−1(x, z)·f(z, z)·f∗−1(y, s)·f(s, w)
+ X
x≤r<z
f∗−1(x, r)·f(r, z)·f∗−1(y, w)·f(w, w)
=h X
x≤r<z
f∗−1(x, r)·f(r, z)· X
y≤s<w
f∗−1(y, s)·f(s, w)i +hf∗−1(x, z)· X
y≤s<w
f∗−1(y, s)·f(s, w)i
+h X
x≤r<z
f∗−1(x, r)·f(r, z)·f∗−1(y, w)i
=h−f∗−1(x, z)·−f∗−1(y, w)i+hf∗−1(x, z)·−f∗−1(y, w)i +h−f∗−1(x, z)·f∗−1(y, w)i
=hf∗−1(x, z)·f∗−1(y, w)i+h−f∗−1(x, z)·f∗−1(y, w)i +h−f∗−1(x, z)·f∗−1(y, w)i
=−f∗−1(x, z)·f∗−1(y, w), ja täten lauseen 4.6 perusteella
f∗−1(x∨y, z∨w) =−h−f∗−1(x, z)·f∗−1(y, w)i=f∗−1(x, z)·f∗−1(y, w).
Kohtien (1) ja (2) ja toisen induktioperiaatteen perusteella f∗−1(x∨y, z∨w) = f∗−1(x, z)·f∗−1(y, w).
Näin ollen määritelmän 6.15 perusteella f∗−1 ∈I[P/K] on faktoraabeli.
Lause 6.61. Olkoon(P,≤)paikallisesti äärellinen paikallinen hila jahK,+,·i kunta, jolla charK = 0. Jos τ ∈I[P/K] on faktoraabeli, niin (P,≤) on pai- kallisesti distributiivinen.
Todistus (vrt. [8, s. 307–308], [10, s. 624]). Olkoon (P,≤) paikallisesti äärel- linen paikallinen hila ja hK,+,·i kunta, jolla charK = 0. Oletetaan, että (P,≤) ei ole paikallisesti distributiivinen. Lauseen 5.41 perusteella (P,≤) joko ei ole paikallisesti modulaarinen tai on paikallisesti modulaarinen.
(1) Oletetaan, että (P,≤) ei ole paikallisesti modulaarinen. Tällöin mää- ritelmien 5.11 ja 5.12 perusteella on olemassa sellaiset u, v ∈ P, että u≤ v, [u, v]∈Lat(P) ja [u, v]∈/LatM(P). Näin ollen lauseen 5.23 perusteella
∃x, y, z∈[u, v] :x < z, xky, y kz, x∨y=y∨z ja x∧y=y∧z.
Koska x < z, niin lauseen 3.23 perusteella
∃w∈]x, z] :x≺w.
Määritelmien 3.18, 3.17 ja 3.21 perusteella x ≤w ≤ z, ja täten relaation ≤ transitiivisuuden ja määritelmän 3.19 perusteella w ∈ [u, v]. Lauseiden 5.8 ja 5.4 perusteella
z∧y=y∧z =x∧y≤x,
ja täten relaation ≤ transitiivisuuden perusteella z∧y ≤w ≤z. Näin ollen lauseen 5.15 perusteella z∧y=w∧y, ja täten x∧y =w∧y. Näin ollen
x, y, w ∈[u, v], x≤w, y≤y ja x∧y=w∧y.
Lauseen 5.4 perusteella
z ≤y∨z =x∨y,
ja täten relaation ≤ transitiivisuuden perusteella x ≤w≤x∨y. Näin ollen lauseen 5.15 perusteella x ∨ y = w ∨ y. Relaation ≤ refleksiivisyyden ja antisymmetrisyyden ja määritelmän 3.19 perusteella |[x∨y, x∨y]| = 1N, ja näin ollen lauseen 6.45 perusteella
τ(x∨y, w∨y) =τ(x∨y, x∨y) =|[x∨y, x∨y]| ·1 = 1N·1.
Määritelmien 3.18, 3.17 ja 3.19 perusteella |[x, w]|= 2N, ja vastaavasti re- laation ≤ refleksiivisyyden ja antisymmetrisyyden ja määritelmän 3.19 pe- rusteella |[y, y]|= 1N. Näin ollen lauseiden 6.45 ja 4.31 perusteella
τ(x, w)·τ(y, y) =|[x, w]| ·1·|[y, y]| ·1
= (2N·1)·(1N·1) = (2N·1N)·1 = 2N·1.
Koska 1N6= 2N, niin lauseen 4.38 perusteella 1N·16= 2N·1, ja täten τ(x∨y, w∨y)6=τ(x, w)·τ(y, y).
Näin ollen määritelmän 6.15 perusteella τ ∈I[P/K] ei ole faktoraabeli.
(2) Oletetaan, että (P,≤) on paikallisesti modulaarinen. Tällöin lau- seen 5.43 perusteella on olemassa sellaiset u, v ∈P, ettäu≤v ja
∃x, y, z ∈[u, v] :x6=y, x6=z, y 6=z,
x∧y≺x≺x∨y, x∧y≺y≺x∨y ja x∧y≺z ≺x∨y.
Relaation ≤ refleksiivisyyden, lauseen 5.4, määritelmän 3.19 ja lauseen 5.9 perusteella
x∧y, x, y ∈[x∧y, x∨y], x∧y≤x, x∧y≤y ja (x∧y)∧(x∧y) =x∧y.
Relaation ≤ refleksiivisyyden, lauseen 5.4 ja määritelmien 3.18, 3.17 ja 3.19 perusteella x, y, z, x∧y, x∨y ∈ [x∧y, x∨y], ja täten | [x∧y, x∨y] | = n+ 5N, missä n ∈N. Näin ollen lauseen 6.45 perusteella
τ(x∧y, x∨y) =|[x∧y, x∨y]| ·1 = (n+ 5N)·1,
ja täten lauseen 5.9 perusteella τ((x∧y)∨(x∧y), x∨y) = (n + 5N)·1.
Määritelmien 3.18, 3.17 ja 3.19 perusteella |[x∧y, x]|=|[x∧y, y]| = 2N. Näin ollen lauseiden 6.45 ja 4.31 perusteella
τ(x∧y, x)·τ(x∧y, y) =|[x∧y, x]| ·1·|[x∧y, y]| ·1
= (2N·1)·(2N·1) = (2N·2N)·1 = 4N·1.
Koska (n+ 5N) 6= 4N, niin lauseen 4.38 perusteella (n+ 5N)·1 6= 4N·1, ja täten
τ((x∧y∨(x∧y), x∨y)6=τ(x∧y, x)·τ(x∧y, y).
Näin ollen määritelmän 6.15 perusteella τ ∈I[P/K] ei ole faktoraabeli.
Kohtien (1) ja (2) perusteellaτ ∈I[P/K] ei ole faktoraabeli, jos (P,≤) ei ole paikallisesti distributiivinen. Näin ollen kontrapositioperiaatteen perus- teella (P,≤) on paikallisesti distributiivinen, jos τ ∈ I[P/K] on faktoraabe- li.
Lause 6.62. Olkoon(P,≤)paikallisesti äärellinen paikallinen hila jahK,+,·i kunta, jolla charK = 0. Jos µ∈I[P/K] on faktoraabeli, niin (P,≤) on pai- kallisesti distributiivinen.
Todistus (vrt. [8, s. 307–308], [10, s. 624]). Olkoon (P,≤) paikallisesti äärel- linen paikallinen hila ja hK,+,·i kunta, jolla charK = 0. Oletetaan, että (P,≤) ei ole paikallisesti distributiivinen. Lauseen 5.41 perusteella (P,≤) joko ei ole paikallisesti modulaarinen tai on paikallisesti modulaarinen.
(1) Oletetaan, että (P,≤) ei ole paikallisesti modulaarinen. Tällöin mää- ritelmien 5.11 ja 5.12 perusteella on olemassa sellaiset u, v ∈ P, että u≤ v, [u, v]∈Lat(P) ja [u, v]∈/LatM(P). Näin ollen lauseen 5.23 perusteella
∃x, y, z∈[u, v] :x < z, xky, y kz, x∨y=y∨z ja x∧y=y∧z.
Koska x < z, niin lauseen 3.23 perusteella
∃w∈]x, z] :x≺w.
Määritelmien 3.18, 3.17 ja 3.21 perusteella x ≤w ≤ z, ja täten relaation ≤ transitiivisuuden ja määritelmän 3.19 perusteella w ∈ [u, v]. Lauseiden 5.8 ja 5.4 perusteella
z∧y=y∧z =x∧y≤x,
ja täten relaation ≤ transitiivisuuden perusteella z∧y ≤w ≤z. Näin ollen lauseen 5.15 perusteella z∧y=w∧y, ja täten x∧y =w∧y. Näin ollen
x, y, w ∈[u, v], x≤w, y≤y ja x∧y=w∧y.
Lauseen 5.4 perusteella
z ≤y∨z =x∨y,
ja täten relaation ≤ transitiivisuuden perusteella x ≤w≤x∨y. Näin ollen lauseen 5.15 perusteella x∨y = w∨ y. Lauseen 6.40 ja määritelmän 4.6 perusteella
µ(x∨y, w∨y) = 1 ja µ(x, w)·µ(y, y) = (−1)·1 =−1.
Lauseen 4.30 perusteella 16=−1, ja täten
µ(x∨y, w∨y)6=µ(x, w)·µ(y, y).
Näin ollen määritelmän 6.15 perusteella µ∈I[P/K] ei ole faktoraabeli.
(2) Oletetaan, että (P,≤) on paikallisesti modulaarinen. Tällöin lau- seen 5.43 perusteella on olemassa sellaiset u, v ∈P, ettäu≤v ja
∃x, y, z ∈[u, v] :x6=y, x6=z, y 6=z,
x∧y≺x≺x∨y, x∧y≺y≺x∨y ja x∧y≺z ≺x∨y.
Relaation ≤ refleksiivisyyden, lauseen 5.4, määritelmän 3.19 ja lauseen 5.9 perusteella
x∧y, x, y ∈[x∧y, x∨y], x∧y≤x, x∧y≤y ja (x∧y)∧(x∧y) =x∧y.
Määritelmien 3.18, 3.17 ja 3.20 perusteella x, y, z ∈ ]x∧y, x∨y[, ja täten
| ]x∧y, x∨y[ |=n+ 3N, missä n ∈N. Näin ollen lauseiden 5.38 ja 6.42 ja määritelmien 4.16, 4.2, 4.12 ja 4.6 perusteella
µ(x∧y, x∨y) = |]x∧y, x∨y[| ·1+ (−1) =(n+ 3N)·1+ (−1)
=(n+ 2N)·1 + 1+ (−1) =(n+ 2N)·1+ (1 + (−1))
=(n+ 2N)·1+ 0 = (n+ 2N)·1,
ja täten lauseen 5.9 perusteella µ((x∧y)∨(x∧y), x∨y) = (n+ 2N)·1.
Lauseiden 6.40 ja 4.21, määritelmän 4.6 ja lauseen 4.15 perusteella µ(x∧y, x)·µ(x∧y, y) = (−1)·(−1) = 1·1 = 1 = 1N·1.
Koska (n+ 2N) 6= 1N, niin lauseen 4.38 perusteella (n+ 2N)·1 6= 1N·1, ja täten
µ((x∧y∨(x∧y), x∨y)6=µ(x∧y, x)·µ(x∧y, y).
Näin ollen määritelmän 6.15 perusteella µ∈I[P/K] ei ole faktoraabeli.
Kohtien (1) ja (2) perusteella µ∈I[P/K] ei ole faktoraabeli, jos (P,≤) ei ole paikallisesti distributiivinen. Näin ollen kontrapositioperiaatteen perus- teella (P,≤) on paikallisesti distributiivinen, jos µ∈I[P/K] on faktoraabe- li.
Lause 6.63. Olkoon(P,≤)paikallisesti äärellinen paikallinen hila jahK,+,·i kunta, jolla charK = 0. Tällöin (P,≤) on paikallisesti distributiivinen, jos ja vain jos
∀f, g∈I[P/K] :f ja g ovat faktoraabeleja ⇒f∗g on faktoraabeli.
Todistus (vrt. [8, s. 308]). Olkoon (P,≤) paikallisesti äärellinen paikallinen hila ja hK,+,·i kunta, jolla charK = 0.
(1) Oletetaan, että (P,≤) on paikallisesti distributiivinen. Tällöin lau- seen 6.59 perusteella
∀f, g∈I[P/K] :f ja g ovat faktoraabeleja ⇒f ∗g on faktoraabeli.
(2) Oletetaan, että
∀f, g∈I[P/K] :f ja g ovat faktoraabeleja ⇒f ∗g on faktoraabeli.
Lauseen 6.57 perusteella ζ ∈ I[P/K] on faktoraabeli, ja täten oletuksen perusteella ζ ∗ ζ on faktoraabeli. Näin ollen määritelmän 6.12 perusteella τ ∈ I[P/K] on faktoraabeli, ja täten lauseen 6.61 perusteella (P,≤) on pai- kallisesti distributiivinen.
Kohtien (1) ja (2) perusteella lause pitää paikkansa.
Lause 6.64. Olkoon(P,≤)paikallisesti äärellinen paikallinen hila jahK,+,·i kunta, jolla charK = 0. Tällöin (P,≤) on paikallisesti distributiivinen, jos ja vain jos
∀f ∈I[P/K] :f on faktoraabeli ⇒f∗−1 on faktoraabeli.
Todistus (vrt. [8, s. 308]). Olkoon (P,≤) paikallisesti äärellinen paikallinen hila ja hK,+,·i kunta, jolla charK = 0.
(1) Oletetaan, että (P,≤) on paikallisesti distributiivinen. Tällöin lau- seen 6.60 perusteella
∀f ∈I[P/K] :f on faktoraabeli ⇒f∗−1 on faktoraabeli.
(2) Oletetaan, että
∀f ∈I[P/K] :f on faktoraabeli ⇒f∗−1 on faktoraabeli.
Lauseen 6.57 perusteella ζ ∈ I[P/K] on faktoraabeli, ja täten oletuksen perusteella ζ∗−1 on faktoraabeli. Näin ollen määritelmän 6.11 perusteella µ∈ I[P/K] on faktoraabeli, ja täten lauseen 6.62 perusteella (P,≤) on pai- kallisesti distributiivinen.
Kohtien (1) ja (2) perusteella lause pitää paikkansa.