Multiplikatiivisen funktion ja faktoraabelin funktion käsitteiden välillä on ha- vaittavissa tietynlainen samankaltaisuus. Seuraavaksi esitellään käsite, jolla vastaavalla tavalla on tietynlaista samankaltaisuutta faktoraabelin funktion käsitteeseen verrattuna.
Määritelmä 6.18. ([12, s. 356]) Olkoon (P,≤) paikallisesti äärellinen pai- kallinen hila. Funktio f ∈I[P/K] on translaatioinvariantti, jos
∀x, z, w∈P :
h
∃u, v ∈P :x, z, w,∈[u, v], x≤z ja x∧w=z∧wi
⇒f(x, z) = f(x∨w, z∨w)
.
Lause 6.73. Olkoon (P,≤) paikallisesti äärellinen paikallinen hila. Jos f ∈ I[P/K] on faktoraabeli, niin se on translaatioinvariantti.
Todistus. Olkoon (P,≤) paikallisesti äärellinen paikallinen hila jaf ∈I[P/K]
faktoraabeli, ja olkoot u, v ∈ P sellaiset, että u ≤ v, ja x, z, w ∈ [u, v] sel- laiset, ettäx≤z ja x∧w=z∧w. Relaation≤ refleksiivisyyden perusteella w≤w. Olkoon y∈P sellainen, että y=w. Näin ollen
x, y, z, w ∈[u, v], x≤z, y≤w ja x∧y =z∧w,
ja täten määritelmän 6.15 perusteellaf(x∨y, z∨w) = f(x, z)·f(y, w). Näin ollen määritelmien 6.15 ja 4.6 perusteella
f(x∨w, z∨w) = f(x∨y, z∨w) =f(x, z)·f(y, w)
=f(x, z)·f(w, w) =f(x, z)·1 = f(x, z), ja täten määritelmän 6.18 perusteella funktiof on translaatioinvariantti.
Lause 6.74. Olkoon (P,≤) paikallisesti äärellinen paikallinen hila. Tällöin ζ ∈I[P/K] on translaatioinvariantti.
Todistus. Seuraa lauseista 6.57 ja 6.73.
Lause 6.75. Olkoon (P,≤) paikallisesti äärellinen paikallinen hila. Tällöin δ ∈ I[P/K] on translaatioinvariantti, jos ja vain jos (P,≤) on paikallisesti modulaarinen.
Todistus. Olkoon (P,≤) paikallisesti äärellinen paikallinen hila.
(1) Oletetaan, että (P,≤) ei ole paikallisesti modulaarinen. Tällöin mää- ritelmien 5.11 ja 5.12 perusteella on olemassa sellaiset u, v ∈ P, että u≤ v, [u, v]∈Lat(P) ja [u, v]∈/LatM(P). Näin ollen lauseen 5.23 perusteella
∃x, y, z∈[u, v] :x < z, xky, y kz, x∨y=y∨z ja x∧y=y∧z.
Määritelmän 3.17 ja lauseen 5.8 perusteella
x, y, z ∈[u, v], x≤z ja x∧y=z∧y.
Määritelmän 3.17 perusteella x 6= z, ja täten määritelmän 6.4 perusteella δ(x, z) = 0. Lauseen 5.8 ja määritelmän 6.4 perusteella
δ(x∨y, z∨y) = δ(x∨y, y∨z) = 1.
Määritelmän 4.28 perusteella 16= 0, ja täten δ(x, z)6=δ(x∨y, z∨y).
Näin ollen määritelmän 6.15 perusteella funktio δ ∈ I[P/K] ei ole translaa- tioinvariantti.
(2) Oletetaan, että (P,≤) on paikallisesti modulaarinen. Määritelmän 6.4 perusteella
∀x∈P :δ(x, x) = 1.
Olkoot u, v ∈P sellaiset, ettäu≤v, ja x, z, w ∈P sellaiset, että x, z, w ∈[u, v], x≤z ja x∧w=z∧w.
Tällöin [u, v]6= ∅, ja täten määritelmän 5.12 perusteella [u, v] ∈ LatM(P).
Relaation ≤ refleksiivisyyden perusteella w ≤ w, ja näin ollen lauseen 5.24 perusteella x∨w= z∨w, jos ja vain jos x =z. (i) Jos x∨w=z∨w, niin x=z, ja täten määritelmän 6.3 perusteella
δ(x, z) = 1 =δ(x∨w, z∨w).
(ii) Jos x∨w6=z∨w, niin x6=z, ja täten määritelmän 6.4 perusteella δ(x, z) = 0 =δ(x∨w, z∨w).
Kohtien (i) ja (ii) perusteellaδ(x, z) = δ(x∨w, z∨w)). Näin ollen määritel- män 6.15 perusteella δ∈I[P/K] on faktoraabeli.
Kohtien (1) ja (2) perusteella lause pitää paikkansa.
Lause 6.76. Olkoon(P,≤)paikallisesti äärellinen paikallinen hila jahK,+,·i kunta, jollacharK = 0. Josτ ∈I[P/K]on translaatioinvariantti, niin(P,≤) on paikallisesti modulaarinen.
Todistus. Olkoon (P,≤) paikallisesti äärellinen paikallinen hila ja hK,+,·i kunta, jolla charK = 0. Oletetaan, että (P,≤) ei ole paikallisesti modu- laarinen. Tällöin määritelmien 5.11 ja 5.12 perusteella on olemassa sellaiset u, v ∈ P, että u ≤ v, [u, v] ∈ Lat(P) ja [u, v] ∈/ LatM(P). Näin ollen lau- seen 5.23 perusteella
∃x, y, z∈[u, v] :x < z, xky, y kz, x∨y=y∨z ja x∧y=y∧z.
Koska x < z, niin lauseen 3.23 perusteella
∃w∈]x, z] :x≺w.
Määritelmien 3.18, 3.17 ja 3.21 perusteella x ≤w ≤ z, ja täten relaation ≤ transitiivisuuden ja määritelmän 3.19 perusteella w ∈ [u, v]. Lauseiden 5.8 ja 5.4 perusteella
z∧y=y∧z =x∧y≤x,
ja täten relaation ≤ transitiivisuuden perusteella z∧y ≤w ≤z. Näin ollen lauseen 5.15 perusteella z∧y=w∧y, ja täten x∧y =w∧y. Näin ollen
x, y, w ∈[u, v], x≤w ja x∧y=w∧y.
Määritelmien 3.18, 3.17 ja 3.19 perusteella |[x, w]| = 2N, ja näin ollen lau- seen 6.45 perusteella
τ(x, w) =|[x, w]| ·1 = 2N·1.
Lauseen 5.4 perusteella
z ≤y∨z =x∨y,
ja täten relaation ≤ transitiivisuuden perusteella x ≤w≤x∨y. Näin ollen lauseen 5.15 perusteella x ∨ y = w ∨ y. Relaation ≤ refleksiivisyyden ja antisymmetrisyyden ja määritelmän 3.19 perusteella |[x∨y, x∨y]| = 1N, ja näin ollen lauseen 6.45 perusteella
τ(x∨y, w∨y) =τ(x∨y, x∨y) =|[x∨y, x∨y]| ·1 = 1N·1.
Koska 1N6= 2N, niin lauseen 4.38 perusteella 1N·16= 2N·1, ja täten τ(x, w)6=τ(x∨y, w∨y).
Näin ollen määritelmän 6.18 perusteella τ ∈ I[P/K] ei ole translaatioinva- riantti.
Edellä olevan perusteella τ ∈ I[P/K] ei ole translaatioinvariantti, jos (P,≤) ei ole paikallisesti modulaarinen. Näin ollen kontrapositioperiaatteen perusteella (P,≤) on paikallisesti modulaarinen, josτ ∈I[P/K] on translaa- tioinvariantti.
Lause 6.77. Olkoon(P,≤)paikallisesti äärellinen paikallinen hila jahK,+,·i kunta, jolla charK = 0. Jos µ ∈ I[P/K] on translaatioinvariantti, niin (P,≤) on paikallisesti modulaarinen.
Todistus. Olkoon (P,≤) paikallisesti äärellinen paikallinen hila ja hK,+,·i kunta, jolla charK = 0. Oletetaan, että (P,≤) ei ole paikallisesti modu- laarinen. Tällöin määritelmien 5.11 ja 5.12 perusteella on olemassa sellaiset
u, v ∈ P, että u ≤ v, [u, v] ∈ Lat(P) ja [u, v] ∈/ LatM(P). Näin ollen lau- seen 5.23 perusteella
∃x, y, z∈[u, v] :x < z, xky, y kz, x∨y=y∨z ja x∧y=y∧z.
Koska x < z, niin lauseen 3.23 perusteella
∃w∈]x, z] :x≺w.
Määritelmien 3.18, 3.17 ja 3.21 perusteella x ≤w ≤ z, ja täten relaation ≤ transitiivisuuden ja määritelmän 3.19 perusteella w ∈ [u, v]. Lauseiden 5.8 ja 5.4 perusteella
z∧y=y∧z =x∧y≤x,
ja täten relaation ≤ transitiivisuuden perusteella z∧y ≤w ≤z. Näin ollen lauseen 5.15 perusteella z∧y=w∧y, ja täten x∧y =w∧y. Näin ollen
x, y, w ∈[u, v], x≤w ja x∧y=w∧y.
Lauseen 5.4 perusteella
z ≤y∨z =x∨y,
ja täten relaation ≤ transitiivisuuden perusteella x ≤w≤x∨y. Näin ollen lauseen 5.15 perusteella x∨y=w∨y. Lauseen 6.40 perusteella
µ(x, w) = −1 ja µ(x∨y, w∨y) = 1.
Lauseen 4.30 perusteella −16= 1, ja täten
µ(x, w)6=µ(x∨y, w∨y).
Näin ollen määritelmän 6.18 perusteella µ ∈ I[P/K] ei ole translaatioinva- riantti.
Edellä olevan perusteella µ ∈ I[P/K] ei ole translaatioinvariantti, jos (P,≤) ei ole paikallisesti modulaarinen. Näin ollen kontrapositioperiaatteen perusteella (P,≤) on paikallisesti modulaarinen, jos µ∈I[P/K] on translaa- tioinvariantti.
Lause 6.78. Olkoon (P,≤) paikallisesti äärellinen paikallinen hila. Jos f ∈ I[P/K] on sellainen distributiivinen translaatioinvariantti funktio, että
∀x∈P :f(x, x)6= 0, niin se on multiplikatiivinen.
Todistus (vrt. [12, s. 357]). Olkoon (P,≤) paikallisesti äärellinen paikallinen hila ja f ∈ I[P/K] sellainen distributiivinen translaatioinvariantti funktio, että
∀x∈P :f(x, x)6= 0.
Lauseen 6.51 perusteella
∀x∈P :f(x, x) = 1.
Olkoot u, v ∈ P sellaiset, että u ≤ v, ja x, z, w ∈ [u, v] sellaiset, että x = z ∧w. Lauseen 5.4 perusteella z ∧w ≤ z ja z ∧w ≤ w, ja täten x ≤ z ja x ≤ w. Lauseen 5.6 perusteella x∧z = x, ja täten lauseen 5.8 perusteella x∧z =w∧z. Näin ollen x≤wja x∧z =w∧z, ja täten määritelmän 6.18 perusteella f(x, w) = f(x∨z, w∨z). Lauseen 5.4 perusteella z ≤ z∨w, ja täten x≤z ≤z∨w. Näin ollen lauseiden 5.6, 5.8 ja 6.48 perusteella
f(x, z)·f(x, w) =f(x, z)·f(x∨z, w∨z) = f(x, z)·f(z, w∨z)
=f(x, z)·f(z, z∨w) = f(x, z∨w).
Näin ollen määritelmän 6.17 perusteella f on multiplikatiivinen.
Lause 6.79. Olkoon(P,≤)paikallisesti äärellinen paikallisesti modulaarinen paikallinen hila. Tällöinf ∈I[P/K]on translaatioinvariantti, jos ja vain jos
∀x, y ∈P :(∃u, v ∈P :x, y ∈[u, v])⇒f(x∧y, x) =f(y, x∨y). Todistus (vrt. [8, s. 322], [12, s. 354–356]). Olkoon (P,≤) paikallisesti äärel- linen paikallisesti modulaarinen paikallinen hila jaf ∈I[P/K].
(1) Oletetaan, että f on translaatioinvariantti. Olkoot u, v ∈P sellaiset, että u ≤ v, ja x, y ∈ [u, v]. Määritelmän 5.1 perusteella x∧y ∈ [u, v], ja lauseen 5.11 perusteella x∧y ≤ x. Lauseen 5.11 perusteella x∧y ≤ y, ja täten lauseen 5.6 perusteella (x∧y)∧y=x∧y. Näin ollen määritelmän 6.18 ja lauseiden 5.8 ja 5.10 perusteella
f(x∧y, x) =f((x∧y)∨y, x∨y) =f(y∨(y∧x), x∨y) = f(y, x∨y).
(2) Oletetaan, että
∀x, y ∈P :(∃u, v ∈P :x, y ∈[u, v])⇒f(x∧y, x) =f(y, x∨y). Olkoot u, v ∈ P sellaiset, että u≤ v, ja x, z, w ∈[u, v] sellaiset, että x≤ z ja x∧ w = z ∧w. Tällöin määritelmän 5.1 perusteella x ∨w ∈ [u, v] ja määritelmän 5.7 ja lauseiden 5.8 ja 5.10 perusteella
(x∨w)∧z =x∨(w∧z) = x∨(z∧w) = x∨(x∧w) = x.
Näin ollen lauseen 5.8, oletuksen ja lauseiden 5.7, 5.8 ja 5.6 perusteella f(x, z) = f((x∨w)∧z, z) = f(z∧(x∨w), z) =f(x∨w, z∨(x∨w))
=f(x∨w,(z∨x)∨w) = f(x∨w,(x∨z)∨w) =f(x∨w, z∨w), ja täten määritelmän 6.18 perusteella f on translaatioinvariantti.
Kohtien (1) ja (2) perusteella lause pitää paikkansa.
Lause 6.80. Olkoon(P,≤)paikallisesti äärellinen paikallisesti modulaarinen paikallinen hila. Jos f ∈I[P/K] on
(i) translaatioinvariantti ja (ii) multiplikatiivinen,
niin se on faktoraabeli.
Todistus (vrt. [8, s. 321], [12, s. 354–356]). Olkoon (P,≤) paikallisesti äärel- linen paikallisesti modulaarinen paikallinen hila ja f ∈ I[P/K] (i) translaa- tioinvariantti ja (ii) multiplikatiivinen. Määritelmän 6.17 perusteella
∀x∈P :f(x, x) = 1.
Olkoot u, v ∈P sellaiset, ettäu≤v, ja x, y, z, w ∈P sellaiset, että x, y, z, w ∈[u, v], x≤z, y≤w ja x∧y =z∧w.
Lauseen 5.4 ja relaation ≤ refleksiivisyyden perusteella z∧w≤z ≤z ja z∧w≤y≤w,
ja täten lauseen 5.17 perusteella z∧y =z∧w eli x∧y =z ∧y. Näin ollen oletuksen (i) ja määritelmän 6.18 perusteella
f(x, z) = f(x∨y, z∨y).
Vastaavasti lauseen 5.4 ja relaation ≤ refleksiivisyyden perusteella z∧w≤x≤z ja z∧w≤w≤w,
ja täten lauseen 5.17 perusteellax∧w=z∧w elix∧y =x∧w. Näin ollen lauseen 5.8 perusteella y∧x = w∧x. Näin ollen oletuksen (i) ja määritel- män 6.18 perusteella
f(y, w) = f(y∨x, w∨x).
Lauseen 5.4 perusteella z ≤ z ∨y, ja täten relaation ≤ transitiivisuuden perusteellax≤z∨y. Näin ollen lauseen 5.8, määritelmän 5.7 ja lauseen 5.10 perusteella
(z∨y)∧(w∨x) = (x∨w)∧(z∨y) =x∨(w∧(z∨y))
=x∨((y∨z)∧w) =x∨(y∨(z∧w))
=x∨(y∨(x∧y)) =x∨(y∨(y∧x))
=x∨y,
ja täten lauseen 5.8, oletuksen (ii), määritelmän 6.17 ja lauseiden 5.7 ja 5.6 perusteella
f(x, z)·f(y, w) =f(x∨y, z∨y)·f(y∨x, w∨x)
=f(x∨y, z∨y)·f(x∨y, w∨x)
=f(x∨y,(z∨y)∨(w∨x)) =f(x∨y,((z∨y)∨w)∨x)
=f(x∨y, x∨((z∨y)∨w)) =f(x∨y, x∨(z∨(y∨w)))
=f(x∨y,(x∨z)∨(y∨w))
=f(x∨y, z∨w).
Näin ollen määritelmän 6.15 perusteella f on faktoraabeli.
Kohtien (1) ja (2) perusteella lause pitää paikkansa.
Lause 6.81. Olkoon (P,≤) paikallisesti äärellinen paikallisesti modulaari- nen paikallinen hila. Jos f ∈ I[P/K] on sellainen distributiivinen translaa- tioinvariantti funktio, että
∀x∈P :f(x, x)6= 0, niin se on faktoraabeli.
Todistus (vrt. [8, s. 322], [12, s. 354–357]). Seuraa lauseista 6.78 ja 6.80.