Kolmannen osion suorakulmion määritelmä

Tehtävään määrittele suorakulmio sain erittäin mielenkiintoisia vastauksia. Käsittelen ensin tehtävän yleisesti, jonka jälkeen käsittelen vastauksia kahdesta eri näkökulmasta, kuinka eri luokka-asteella olevat oppilaat osasivat tehtävän ja kuinka sukupuoli vaikutti tehtävän osaamiseen. Tehtävän yleinen vastausjakauma oli seuraava: 41 % väärin, 43 % oikein, 5 % puutteellisia vastauksia, 9 % oikeita vastauksia, mutta joissa oppilaat olivat selittäneet liikaa ja 2 %, joissa ei ollut vastausta lainkaan [Liite 12, kuva 1].

Merkittävin tutkimustulos, joka tehtävässä tuli esille oli, että oppilaat eivät olleet oikein sisäistäneet, mikä matematiikassa on määritelmä. Osa oppilaista oli kirjoittanut kaikki ne tiedot, mitkä he suorakulmiosta tiesivät. Osaan vastauksista oli liitetty myös kuva ja kuvatekstiä. Tämä tulos ei kuitenkaan yllätä minua. Vaikka kouluissa käydään läpi, mitä matematiikassa määritelmällä tarkoitetaan, niin omien havaintojeni mukaan varsinkaan peruskoulussa, määritelmää ei painoteta kovin paljon. Lukiossa määritelmä käsitettä käytetään jo hieman enemmän ja varsinkin pitkän matematiikan tunneilla määritelmä tuli omana opettajaharjoitteluvuotena usein esille.

Käytännössä täysin oikeita vastauksia tuli hyvin vähän (4), mutta hyväksyin oikeiksi vastauksiksi myös hieman epätäsmällisempiä vastauksia, mikäli huomasin, että oppilas oli ymmärtänyt asian kuitenkin aivan oikein. Hyväksyin oikeiksi määritelmiksi esimerkiksi vastaukset: ”kaikki kulmat ovat 90 astetta” (5); ”vastakkaiset sivut yhtä pitkiä ja kulmien suuruus 90 astetta” (6) ja ”4 sivua, joista vastakkaiset on yhdensuuntaiset ja yhtä pitkät. Kaikki kulmat ovat suoria kulmia” (9). Kaikista edellisistä määritelmistä puuttui yksi erittäin tärkeä tieto nimittäin se, että suorakulmio on nelikulmio. Mikäli tarkastelisin kaikkia niitä geometrisia monikulmioita, jotka täyttäisivät esimerkiksi ensimmäisen edellä mainitun määritelmän ehdot, voisin muodostaa erittäin mielenkiintoisia kuvioita, jotka eivät käytännössä vastaisi ollenkaan suorakulmiota.

Täysin vääriä vastauksia tuli mielestäni yllättävän paljon (24). Osaltaan tämä saattoi johtua siitä, että oppilaat eivät olleet lukeneet kysymystä huolellisesti, mikä monikulmio heidän piti määritellä, vaan olivat sekoittaneet samankaltaisia geometrian nimiä keskenään. Monet vastaajista olivat sekoittaneet suorakulmion ja suorakulmaisen kolmion keskenään. Sain tehtävään vastaukseksi esimerkiksi, että ”suorakulmio on kolmio, jossa yksi 90 asteen kulma” (3) tai että ”suorakulmio on yksi 90 asteen kulma, kaksi kateettia ja yksi tangentti”. Suorakulmainen kolmio ei ollut ainoa asia mihin suorakulmio sekoitettiin, vaan sain myös vastauksia, että suorakulmio on ”90 asteen kulma” (3), jolloin suorakulmio ja suorakulma olivat menneet oppilaita sekaisin. Tämä on sikäli mielenkiintoinen havainto, että mikäli matematiikanopettaja puhuu esimerkiksi suorakulmiosta ja sen ominaisuuksista, niin osa oppilaista ajattelee suorakulmaista kolmiota ja osa suorakulmaa, ja liittää opettajan kertomat ominaisuudet tähän monikulmioon. Opettajan onkin siis tärkeä havainnollistaa oppilailleen hyvin esimerkiksi piirtämällä, mistä monikulmiosta on oikein kysymys. Lopuksi vielä esimerkkejä täysin vääristä vastauksista, joita en hyväksynyt: ”sivut ovat samanpituiset, päädyt ovat lyhyempiä”, ”kuviossa neljä kulma, jotka ovat suuret” ja ”vastakkaiset sivut yhtä pitkät, neljä kulmaa, ala voidaan laskea kaavalla kanta kertaa korkeus”.

5.5.1 Luokka-asteen vaikutus määritelmän osaamiseen

Tutkittaessa luokka-asteen vaikutusta määritelmän osaamiseen voi prosenttimääriä vertailemalla todeta, että luokka-asteella ei ollut kovinkaan suurta vaikutusta, mikäli lukion lyhyen matematiikan opiskelijoita ei tarkastelussa oteta huomioon. Nimittäin ainoastaan yksi lukion lyhyen matematiikan opiskelijoista oli määritellyt suorakulmion oikein. Loput 88 % oli vastannut väärin. Peruskoulun 7-luokkalaisista 41 % oli vastannut tehtävään oikein ja 32 % väärin ja 9-luokkalaisista 56 % oikein ja 28 % väärin. Pitkän matematiikan opiskelijoista puolet oli vastannut oikein ja puolet väärin [Liite 12, taulukko 1]. –testillä testattuna sain tuloksen, että luokka-asteella ei ole tilastollisesti merkittävää riippuvuutta suorakulmion määritelmän osaamisessa.

Peruskoulun oppilaat onnistuivat lukiolaisia paremmin [Liite 12, taulukko 2].

Yllättävää mielestäni oli se, että peruskoulun 9–luokkalaiset olivat saaneet enemmistönä tehtävän oikein ja lukion lyhyen matematiikan lukijat taas vähiten oikein.

Peruskoulun 9–luokkalaisten yllättävän hyvä tulos selittyy ehkä osittain sillä asialla, minkä olen jo aikaisemmin maininnut, että heillä geometrian kurssi oli ollut juuri edellisessä jaksossa ja asiat olivat vielä tuoreessa muistissa. Vastaavasti olisiko lyhyen matematiikan opiskelijoiden huono menestyminen selitettävissä sillä, että heillä geometrian kurssista oli testaushetkellä kulunut reilu vuosi ja asiat olivat näin ollen päässeet jo unohtumaan. Lukion lyhyen matematiikan opiskelijat eivät ehkä ole myöskään kovin motivoituneita matematiikan opiskelussa. Heitä saattaa kiinnostaa aineena enemmän esimerkiksi kielten opiskelu, jolloin matematiikka sivuutetaan pakollisena niin vähällä lukemisella kuin mahdollista.

Tutkiessa tuloksia huomasin myös, että lukion opiskelijat olivat vastanneet tehtävään joko oikein tai väärin, puutteellisia vastauksia ja vastauksia, jotka olisivat oikein, mutta joissa oli selitetty asiaa liian tarkasti, ei ollut yhtään. Lukiossa siis tiedettiin jo paremmin mitä määritelmällä matematiikassa tarkoitetaan. Peruskoulussa puutteellisia vastauksia oli 5 % ja vastauksia, missä oli liikaa selitystä, oli yhteensä 9 %.

Peruskoululaisilla määritelmän käsite ei siis ole yhtä hyvin selvillä kuin lukiolaisilla.

Tämä voi osittain johtua juuri siitä, että lukiossa määritelmiä käsitellään tarkemmin kuin yläasteella, jossa määritelmät tulevat kyllä esille, mutta niihin ei paneuduta mielestäni kovin syvällisesti.

5.5.2 Sukupuolen vaikutus määritelmän osaamiseen

Tutkittaessa sukupuolen vaikutusta määritelmän osaamiseen, voin todeta, että pojat olivat osanneet tyttöjä paremmin tämän tehtävän. Pojista 54 % ja tytöistä 34 % oli saanut tehtävän täysin oikein. Pojista 35 % ja tytöistä 47 % oli vastannut tehtävään väärin. Puutteellisia vastauksia oli pojilla 4 % ja tytöillä 6 %. Pojista 8 % olivat määritelleet suorakulmion oikein, mutta vastauksessa oli liikaa selitystä matemaattista määritelmää ajatellen. Vastaava luku tytöillä oli 9 %. Ainoastaan yksi tyttö oli jättänyt kokonaan vastaamatta tehtävään [Liite 13, taulukko 1]. –testillä testattuna sain kuitenkin tuloksen, että tilastollisesti erot poikien ja tyttöjen välillä eivät olleet merkitseviä [Liite 13, taulukko 2].

Lukiessani tehtävän vastauksia sukupuolen mukaan jaoteltuna havaitsin, että poikien tyyli määritellä suorakulmio oli hyvin lyhytsanainen, kun tytöt taas olivat yrittäneet tehdä pidempiä, kokonaisia lauseita. Tytöt olivat luultavasti kertoneet kaiken, minkä he suorakulmiosta tiesivät, eivätkä olleet sen tarkemmin miettineet, mitä määritelmällä tarkoitetaan. Annan esimerkin eräästä pitkästä tytön vastauksesta: ”Yhteensä neljä kulmaa, kaksi lyhyempää, keskenään yhtä pitkää ja samansuuntaista sivua ja kaksi pidempää, keskenään yhtä pitkää ja samansuuntaista sivua”. Vastaavasti poikien tyypillinen vastaus oli taas: ”kaikki kulmat 90 astetta”.