Halusin tutkia, miten tieto näistä asioista laajenee siirtyessä alavuosista korkeampiin ja pitääkö matematiikassa yleinen käsitys, että pojat ovat parempia matematiikassa kuin tytöt. Lisäksi oletin, että oppilaat, joilla on korkeammat matematiikan pisteet, suoriutuisivat paremmin geometriasta kuin ne, joilla on huonommat pisteet, ja että pojat suoriutuisivat hieman paremmin kuin tytöt. Lukion matematiikan oppilaat menestyivät tutkimuksessa huonommin, ja heidän kokonaiskeskiarvonsa olivat huonoimmat kaikista luokkatasoista.
J OHDANTO
T UTKIMUSKYSYMYKSET
Geometrian osaaminen
- Kassel -projekti
- Timms -tutkimus
- OPS
Olen samaa mieltä Pehkosen ja Soron kanssa siitä, että geometrian kokonaisvaltainen hallinta suomalaisissa kouluissa ei ole kovin hyvä malli. Tekemääni tutkimusta ei voi suoraan verrata Kassel-projektin tutkimukseen, koska se tehtiin samoilla opiskelijoilla useita vuosia peräkkäin. Timmsin tutkimus tukee oletuksiani siitä, että vaikka geometrian tietämys olisikin hyvällä keskitasolla, ymmärryksessä voi olla aukkoja.
Tyttöjen ja poikien väliset erot matematiikassa
- PISA 2003–tutkimus
Suomessa erot tyttöjen ja poikien välillä olivat pienimmät "tila ja muoto" ja "määrällisen ajattelun" alueilla.
T UTKIMUKSEN TAUSTALLA OLEVA TEORIA
Matemaattinen teoria
- Määritelmät
- Monikulmioiden hierarkia
Yksi monikulmio on siis erikoistapaus niille polygoneille, jotka ovat sen yläpuolella olevassa kaaviossa ja joihin se on yhdistetty segmenteillä. Tämä tarkoittaa myös sitä, että jokaisella polygonityypillä on omien erityispiirteidensä lisäksi myös sitä korkeampien polygonien erityispiirteet, joihin se on liitetty. Jos polygonit ovat vaakasuorassa samassa tasossa ja niiden välinen yhteys on merkitty segmentillä, se tarkoittaa, että polygonit voivat täyttää samalla tasolla olevien polygonien ominaisuudet, mutta tämä ei ole välttämätön ehto.
Van Hielen teoria
Jos neliö valitaan oikein, se voi olla suorakulmio, mikä käytännössä tarkoittaa, että neliö on silloin neliö. Van Hielen teoria sisältää tasojen kuvauksen lisäksi oletuksen, että tasot toistuvat aina poikkeuksetta samassa järjestyksessä, jolloin muodostuu hierarkkinen järjestelmä. Opiskelijan ajattelun laatu voi olla eri tasoilla geometrian eri alueilla ja kehittyä eri nopeuksilla.
A INEISTO
- Lomakkeen laadinta
- Tutkimuslomake
- Aineiston kerääminen
- Tutkimuslomakkeen pisteytys
Väärän väitteen antamisesta opiskelija sai yhden pisteen, jos hän oli tiennyt, että väite ei ollut totta, mutta selitys puuttui tai selitys oli virheellinen. Tehtävä "Määritä suorakulmio" sai kaksi pistettä ja tehtävä "Mikä kolmiossa on vialla" sai yhden pisteen. Tehtävästä "Mikä kolmiossa vikana" sai yhden pisteen, jos pystyit toteamaan, että kolmioiden kulmien asteet eivät olleet oikein.
T UTKIMUSTULOKSET
Tulosten analysointi
Tutkimustuloksiin vaikuttaneita tekijöitä
Ensimmäisen osion tutkimustulokset
- Monikulmioiden nimeämistehtävät
- Monikulmioiden piirtämistehtävät
Oletin saavani hyviä vastauksia kaikilta luokilta, koska tehtävä oli niin yksinkertainen ja opetussuunnitelman perusteella kaikkien olisi pitänyt hallita tämän osan asiat. He osasivat myös nimetä suunnikkaan oikein, vain yksi 9. luokan oppilas oli kutsunut sitä nelikulmioksi, mikä oli myös hyväksyttävä vastaus kaavion perusteella. Vastauksena tehtävään otin puolisuunnikkaan lisäksi myös nelikulmion ja monikulmion, joten todellisuudessa niin moni ei ollut osannut nimetä puolisuunnikkaan aivan oikein.
Tämä on sinänsä yllättävää, sillä kuten edellä mainitsin, yläkoululaiset luulisi tietävänsä esineiden nimet jo paremmin. Oletin selviytyväni tehtävästä ja erityisesti kohdasta a, varsinkin kun edellisessä tehtävässä oli suunnikkaan kuva. Oletin, että osa b olisi hieman vaikeampi, koska sekä oikeat vastaukset, neliö että nelikulmio, sisältävät vaikeuksia.
Lukiolaiset olivat kuitenkin piirtäneet huomattavasti enemmän ruutuja kuin neliöitä, kun taas peruskoulussa asia oli päinvastoin. Suurin osa lyhyttä matematiikkaa opiskelevista oli piirtänyt nimettömän neliön, ja ne, jotka opiskelivat pitkää matematiikkaa, piirsivät ja nimesivät neliön tai neliön. Tytöt olivat piirtäneet eniten neliöitä, joille he olivat myös nimenneet, ja toiseksi eniten nimeämättömiä neliöitä.
Myöskään neljän piirtäminen ei ollut kovin vaikeaa, mutta nimeäminen saattoi jo aiheuttaa ongelmia.
Toisen osion väitetehtävät
- Väite 1: Kolmion kulmien summa on 180º
- Väite 2: Tasakylkisen kolmion kaikki sivut ovat yhtä pitkiä
- Väite 3: Suorakulmainen kolmio ei voi olla tasasivuinen
- Väite 4: Neliö on myös suunnikas
- Väite 5: Neljäkäs on suunnikas, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkät
- Väite 6: Säännöllisen monikulmion kaikki sivut ovat yhtä pitkät, mutta
Pitkän matematiikan opiskelijoista 60 % oli saanut tehtävän täysin oikein ja sama määrä lyhyitä matematiikan opiskelijoita oli saanut tehtävästä yhden pisteen kuin kaksi pistettä, molempia oli 38. Väärin vastanneista pojista kolmella oli eivät voineet sanoa, miksi heidän mielestään ongelma oli väärä. Mielestäni vastaukset lausunnon kolmeen selittävään osaan jaettiin kahteen eri osaan, vastauksiin, jotka osoittivat, että opiskelija ei ollut ymmärtänyt asiaa ollenkaan, ja vastauksiin, jotka osoittivat, että opiskelija oli ymmärtänyt kysymyksen, mutta silti. vastasi väärin.
Jos tarkastellaan väitteen vastausjakaumaa vuosikohtaisesti, nähdään, että ala-asteen 7. luokan oppilaat suoriutuivat tehtävästä huonoimmin ja vanhemmat matematiikan opiskelijat parhaiten. Viides väite oli ollut vaikea lähes puolella opiskelijoista, koska 45 % oli vastannut ongelmaan väärin, 52 % oli vastannut oikein ja 3 % ei ollut vastannut ongelmaan ollenkaan. Lyhyt lukion matematiikan opiskelija oli kirjoittanut, että "sivut eivät välttämättä ole yhdensuuntaiset" ja pitkä lukija oli kirjoittanut, että "jos kaikki sivut ovat samanpituisia, se on neliö".
Arvosanan mukaan väitteeseen vastasi parhaiten syventävän matematiikan lukiolaiset, joista 80 % oli vastannut väitteeseen oikein. Jos selittävää osaa tarkastellaan luokkatasoittain, huomioidaan, että 7. luokkalaiset ja matematiikan lukiolaiset pystyivät parhaiten korjaamaan väitteen ja 9. luokkalaiset olivat huonompia. Selitysosan virheellisistä vastauksista oli helppo huomata, että osa vastaajista ei ollut ymmärtänyt, mitä säännöllinen monikulmio tarkoittaa.
Tutkiessani arvosanan vaikutusta lauseen 7 pätevyyteen, sain tulokseksi, että lukion matematiikan lyhyet opiskelijat onnistuivat tehtävässä parhaiten, kaikki osasivat tehdä tämän tehtävän oikein.
Kolmannen osion suorakulmion määritelmä
- Luokka-asteen vaikutus määritelmän osaamiseen
- Sukupuolen vaikutus määritelmän osaamiseen
Oikeiksi määritelmiksi hyväksyin esimerkiksi vastaukset: "kaikki kulmat ovat 90 astetta" (5); "saman pituiset vastakkaiset sivut ja kulmien suuruus 90 astetta" (6) ja "4 sivua, joiden vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset ja yhtä pitkät. Osittain tämä voi johtua siitä, että opiskelijat ovat ymmärtäneet kysymyksen väärin, minkä monikulmion he ovat mutta sekoitin samanlaisia geometrian nimiä, esimerkiksi sain vastauksen komentoon "suorakulmio on kolmio, jonka kulma on 90 astetta" (3) tai "suorakulmio on 90 asteen kulma, kaksi lävistäjä ja tangentti ".
Suorakulmio ei ollut ainoa asia, johon suorakulmio sekoitettiin, vaan sain myös vastauksia, että suorakulmio oli "90 asteen kulma" (3), jolloin opiskelijat sekoittivat suorakulmion ja suorakulmion on. Lopuksi muutama esimerkki täysin vääristä vastauksista, joita en hyväksynyt: "sivut ovat samanpituiset, päät lyhyemmät", "kuviossa on neljä kulmaa, jotka ovat suuria" ja "vastakkaiset sivut ovat samanpituisia, neljä kulmaa , pinta-ala voidaan laskea kaavalla pohja kertaa korkeus". Kun tarkastellaan arvosanatason vaikutusta määritelmätietoon, prosenttiosuuksia vertaamalla voidaan päätellä, että arvosanatasolla ei ollut kovin suurta vaikutusta, jos lukion lyhyitä matematiikan opiskelijoita ei oteta huomioon analyysissä.
Yllättävää oli mielestäni se, että alakoulun 9. luokkalaiset saivat tehtävän parhaiten oikein ja lukion lyhyen matematiikan lukijat sen huonoiten. Kansakoulun 9. luokkalaisten yllättävän hyvä tulos selittyy ehkä osittain sillä, että olen jo maininnut, että heillä oli geometriakurssi juuri edellisellä jaksolla ja asiat olivat vielä tuoreessa mielessä. Samoin lyhyiden matematiikan opiskelijoiden heikko menestys selittyy sillä, että kokeen aikaan geometriakurssista oli kulunut hyvä vuosi ja asiat olivat siten jo unohtuneet.
Tuloksia tarkastellessani huomasin myös, että lukiolaiset olivat vastanneet tehtävään joko oikein tai väärin, ei ollut puutteellisia vastauksia ja vastauksia, jotka olisivat olleet oikein, mutta jotka olisivat selittäneet asian liian tarkasti.
Tehtävä: Mikä kolmiossa on väärin?
Kun tutkin sukupuolen vaikutusta määrittelykykyyn, huomaan, että pojat onnistuivat tässä tehtävässä paremmin kuin tytöt. Kun luin tehtävän vastauksia sukupuolen mukaan eriteltyinä, huomasin, että poikien tapa määritellä suorakulmio oli hyvin lyhyt, kun taas tytöt olivat yrittäneet tehdä pidempiä, kokonaisia lauseita. Annan esimerkin yhdestä tytön pitkistä vastauksista: "Yhteensä neljä kulmaa, kaksi lyhyempää, samansuuntaista ja yhdensuuntaista sivua ja kaksi pidempää, yhtäläistä ja yhdensuuntaista sivua".
Toisaalta, kun muistaa, että jokainen tutkittava opiskelija oli hallinnut argumentointitehtävien ensimmäisen lauseen, kolmion kulmien summa on 180°, oikein, joten sen perusteella tämän tehtävän tulos ei ole kovin yllättävä . Luokkatasoittain tarkasteltuna voidaan nähdä, että lyhyen matematiikan lukiolaiset tiesivät tehtävän parhaiten, koska kaikki saivat tehtävän oikein ja huonoimmin 9. luokan yläkoululaiset, joista 89 %:lla. vastasi oikein. . Luokkatasojen väliset erot eivät olleet suuria, sillä vastaavat prosenttiosuudet olivat lukion edistyneillä matematiikan opiskelijoilla 90 % ja yläkoulun 7. luokkalaisilla 91 %.
Tämä johtuu luultavasti siitä, että vaikka jokainen tutkittava tiesi, että kolmion kulmien summa on 180°, 7. luokkalaiset eivät ehtineet omaksua tätä asiaa kunnolla eivätkä osaa soveltaa summatietoa. kolmion kulmista. Tarkasteltaessa arvosanatason vaikutusta tehtävän suorituskykyyn on todettava, että arvosanatasolla ei ollut kovin suurta vaikutusta tehtävän suoritukseen. Kuten aiemmin sanoin, oletin, että yläkoululaiset olisivat mitanneet kolmion kulmat kolmioviivaimen avulla, mutta vain yksi 9. luokkalainen oli tehnyt niin.
Testin kokonaispistemäärien vertailu
- Sukupuolen vaikutus kokonaispistemäärään
- Luokka-asteen vaikutus kokonaispistemäärään
- Matematiikan numeron vaikutus kokonaispistemäärään
Toisaalta, jos verrataan vältettävissä olevien pisteiden jakautumista, niin 7. luokkalaiset saivat toiseksi korkeimman nämäkin heikoimmat tulokset. Näin ollen voidaan sanoa, että ryhmän 7 opiskelijat ovat saavuttaneet suhteellisen paljon hyviä ja vältettäviä pisteitä ja suhteellisen vähän tyydyttäviä pisteitä muihin arvosanoihin verrattuna. Olen hieman yllättynyt lyhyiden matematiikan opiskelijoiden huonosta menestyksestä lukiossa, mutta sitten taas lyhyet matematiikan opiskelijat eivät ehkä ole kovin kiinnostuneita matematiikasta, mikä saattaa selittää tämän huonon tuloksen jonkin verran.
Tilastollisesti yksisuuntainen varianssianalyysi osoittaa, että arvosanatasolla ei ole tilastollisesti merkitsevää vaikutusta testistä saatuun kokonaispistemäärään. Tulosten analysoinnin helpottamiseksi jaoin matematiikan pisteet kolmeen eri kategoriaan: hyvä tieto (9-10), tyydyttävä tieto (7-8) ja vältettävä. Hyvän matemaattisen taidon omaavista opiskelijoista 28 % sai kokeesta hyvän arvosanan, 61 % tyydyttävän ja 11 % vältettävän tuloksen.
Minusta on melko yllättävää, että hyvän tiedon omaavat opiskelijat saivat niin paljon tyydyttäviä pisteitä ja suhteellisen vähän hyviä arvosanoja. Jos verrataan hyvän tietämyksen omaavia opiskelijoita tyydyttävästi hallitseviin matematiikan opiskelijoihin, niin tyydyttävästi tietävät opiskelijat saivat yhtä monta hyvää arvosanaa kuin hyvin tietävät opiskelijat, eli 28. Toisaalta tyydyttävästi tietävät opiskelijat saivat merkittävästi vähemmän tyydyttävät pisteet 31 prosentilla ja välttelevät pisteet 41:llä.
Ristitaulukkoa tarkasteltaessa matemaattisella tuloksella näyttää olevan pieni vaikutus testin kokonaistulokseen, mutta kuten kahdessa edellisessä tapauksessa, myös tässä tapauksessa yksisuuntainen varianssianalyysi johti tulokseen, että matematiikan pisteellä ei ollut tilastollisesti merkitsevä vaikutus testistä saatuun kokonaispistemäärään.
Avoimet kysymykset
- Geometria ja arkielämä
- Oppilaiden kokemat vaikeudet
Oppilaat vastasivat mielellään tehtävään, jossa heidän piti sanoa, mikä heidän mielestään oli vaikeaa monikulmion geometrian oppimisessa.
Oppilaiden sijoittuminen van Hielen tasoille
- Oppilaiden sijoittuminen eri tasoille luokka-asteen mukaan
- Oppilaiden sijoittuminen eri tasoille sukupuolen mukaan
Van Hielen teorian mukaan opiskelijan tulee hallita edellisen tason aineet siirtyäkseen seuraavalle tasolle, joten opiskelijan sijoittuminen tasolle kaksi oli mahdollista vain, jos hän hallitsi tason 1 aineet. Vastaavasti opiskelijan sijoittuminen tasolle 3 edellytti, että hän hallitsee myös tason 1 ja 2 aineet. Siksi on huomattava, että kokonaispistemäärä ja van Hiele-taso eivät ole samat, koska opiskelija on saattanut saada monia pisteitä alemmista tasoista, mutta saavuttanut vain tason 1 tai kaksi.
Saamani tulos tukee erittäin hyvin Van Hielen tasoihin liittyvää perusoletusta, että geometrisen ajattelun kehitys on epäjatkuvaa ja etenee harppauksin. Siksi opiskelija voi tietää korkeamman tason asioita, vaikka hän ei olisi sitä vielä tehnyt. täytti täysin alemman tason kriteerit. Oletin, että enemmistö peruskoulun oppilaista on tason kaksi ja että taso 1 oppilaita on enemmän kuin kolmannen tason oppilaita. Lukiolaisten osalta ajattelin, että melkein kukaan ei ole enää tasolla yksi, mutta kaikki lukiolaiset ovat tasolla kaksi tai kolme.
Kun katsoin kutakin luokkaa erikseen, huomasin, että kun siirtyminen perusasteen koulutuksesta lukioon vähenee, tason yksi oppilasmäärä vähenee ja ylempien oppilaiden määrä kasvaa. Ensimmäisellä tasolla oli eniten seitsemännen luokan oppilaita ja tasolla kolme eniten syventävää matematiikkaa. Tein itsenäisyystestin, mutta ei tilastollisesti merkitsevää yhteyttä van Hielen tasojen ja kouluvuosien välillä.
Myös vastoin olettamuksiani suurempi osa tytöistä kuin pojista saavutti tasolle kaksi ja kolme.
J OHTOPÄÄTÖKSET
L ÄHTEET
Argumentti Monikulmion diagonaali on jana, joka yhdistää monikulmion kaksi kärkeä, mutta ei ole monikulmion sivu. Monikulmioiden nimeämistehtävä Suunnikkaalle, jossa on kaikki yhtäläiset sivut, piirrä pisteet arvosanan täyttö ja nimeämistehtävä arvosanatason mukaan.
