Canal de Rayleigh et M-PSK

Expression exacte du SEP. La probabilité d’erreur symbole relative auk−ième sous canal d’un signal M-PSK est :

P_sk(E|γ_s) = 1 π

Z (M−1)π/M 0

Z _∞

0

e^{−γkgpsksin2θ} p(γ_k)dγ_kdθ. (3.35) En effectuant le changement de variableγ_k=γγ_s,kdans (3.35) on se ramène à l’intégrale de la MGF d’une loi gamma avec comme paramètre de formen_r−n_t+ 1>0et un paramètre d’échelle égal à 1 :

P_sk(E|γ_s) = 1 π

Z (M−1)π/M 0

1 +γ_s,kg_psk sin²θ

₋(nr−nt+1)

dθ. (3.36)

L’équation (3.36) est similaire à celle obtenue pour un système MIMO STBC [91] mais avec un ordre de diversité den_r−n_t+ 1. En posant q^′=n_r−n_t+ 1∈Non peut montrer que :

P_sk(E|γ_s) =x^q′

( (2q^′)!

2 (2^q′q^′!)^{2 2}F1(q^′,1

2;q^′+ 1;x) +

√z π F1(1

2, q^′,1

2 −q^′;3 2;y, z)

)

, (3.37) avecx= 1/(1 +g_pskγ_s/

Σ⁻_nt¹

kk),y= (1−g_psk)/(1 +g_pskγ_s/ Σ⁻_nt¹

kk),z= 1−g_psk. L’ex- pression dérivée correspond à la probabilité d’erreur relative au sous-canalk, qui correspond à la probabilité d’erreur moyenne globale si on considère qu’en moyenne, la probabilité d’er- reur est la même pour chaque sous canaux.

Une autre grandeur peut-être intéressante : la probabilité d’erreur par pair ("pairwise error probability" en anglais (PwEP)). C’est la probabilité d’avoir au moins une erreur dans la démodulation des symboles d_k. On définit un vecteur symbole d ∈ C^nt×1 formé par l’ensemble des symboles envoyés sur chaque antenne à l’émission, {d_k}_k=1,...,nt. En supposant que lesn_t flux sont détectés de façon indépendante après le traitement linéaire

CHAPITRE 3. SYSTÈMES MIMO

0 5 10 15 20 25 30 35

10⁻⁴ 10⁻³ 10⁻² 10⁻¹ 10⁰

SNRγsdB

PwEP

Exactρ= 0 Approxρ= 0 Exactρ= 0.4 Approxρ= 0.4 Exactρ= 0.8 Approxρ= 0.8

MIMO 2×4

MIMO 2×2

Fig. 3.7 – Probabilité d’erreur par pair d’un signal 8-PSK de deux systèmes MIMO à multiplexage spatial 2×2 et2×4 dans un canal de Rayleigh, pour différentes valeurs de la corrélation.

ZF à la réception, la probabilité d’erreur par pair, noté P(E), se déduit de la probabilité d’erreur symbole par sous canaux P_sk(E) comme suit [100] :

P(E) = 1−

nt

Y

k=1

(1−P_sk(E)). (3.38)

Si on fait l’hypothèse que la probabilité d’erreur moyenne est identique sur chaque sous-canaux, alors la PwEP est approché par :

P(E)≈1−(1−P_sk(E))^nt. (3.39) L’expression en (3.37) est identique à celle obtenue dans les sections précédentes en canal de Nakagami (SISO ou STBC), et s’approche donc exactement de la même manière.

Approximation du SEP. Après avoir approchée la fonction hypergéométrique de Gauss de (3.37) par la méthode de laplace, et lorsqueγ_s→ ∞la probabilité d’erreur sur lek−ième sous canal est très bien approchée par :

P_sk(E|γ_s→ ∞)≈k_psk^mimo x^q′

p1−x₁˜t, (3.40)

avec :

k^mimo_psk = (2q^′)!

2 (2^q′q^′!)² +

√z π ²F₁

1 2,1

2 −q^′;3 2;z

. (3.41)

La figure 3.7 montre la précision de cette approximation pour un signal 8-PSK et deux systèmes MIMO, en fonction de la corrélation entre antennes (ρ = 0,0.4,0.8). Dans le

CHAPITRE 3. SYSTÈMES MIMO

cas particulier où aucune corrélation n’est présente à l’émission (ρ = 0), la matrice de covariance est une matrice identité : Σ= Int, par suite le terme

Σ⁻_nt¹

kk vaut 1 quelque soit k. La probabilité d’erreur par bloc exact est calculé avec (3.36) et (3.38) tandis que l’approximation est obtenue avec (3.40) et (3.39). Pour les deux systèmes MIMO considérés l’approximation est quasiment confondue avec la valeur exacte pour toute la plage de SNR considéré.

Ce résultat appelle toutefois une remarque. Le calcul de PwEP est identique avec (3.38) et (3.39) dans notre cas. Cela est vrai car

Σ⁻_nt¹

kk est constant quelque soit k lorsque n_t= 2. Si le nombre d’antenne à l’émission est plus important cela ne sera plus vrai. Par conséquentP_sk(E) n’est pas identique quelque soitk et cela a donc un impact direct sur la valeur de la probabilité d’erreur par bloc obtenu avec (3.39) qui peut être plus ou moins important selon les valeurs de

Σ⁻_nt¹

kk (voir annexe A.2).

Inversion du SEP et probabilité de coupure bloc. A partir de (3.40), on sort le SNR moyen en fonction de la probabilité d’erreur cible par sous-canaux et des paramètres du système :

γ_s(P_sk^∗ (E)) =c0

P_sk^∗ (E)^−q′1

1−c1P_sk^∗ (E)^q′1_−2q′¹

− k^mimo_{psk −q′}¹

, (3.42)

avec

c₀ =

Σ⁻_nt¹

kk ^q

q′

k_psk^mimo

g_psk , (3.43)

c₁ = t˜

q′

qk^mimo_psk

. (3.44)

On peut également évaluer le SNR moyen par symbole en fonction de la probabilité d’erreur blocP^∗ avec (3.39), mais celui-ci sera une approximation moins bonne qu’avec la probabilité d’erreur par sous-canaux. Les courbes sur la figure 3.8 donnent la probabilité de coupure bloc (BcEO) obtenue avec (3.42) en présence de shadowing pour les deux tailles de systèmes évoquées plus haut et les trois valeurs du coefficient de corrélation ci-dessus ainsi que pour une probabilité d’erreur bloc cible de 10⁻². Les paramètres du shadowing sont ceux utilisés jusqu’à présent. Le BcEO estimé est parfaitement en accord avec la valeur obtenue à partir de l’expression exacte de la probabilité bloc. On constate que la probabilité de coupure est plus faible pour un système 2×4 que 2×2, puisque d’une diversité plus grande. De même, le BcEO augmente à mesure que la corrélation entre antennes augmente.

La corrélation diminue le SNR disponible lors de la réception, diminuant du même coup la diversité. Notons que l’on observe à nouveau un comportement intéressant de la probabilité de coupure en fonction deσ pour un système2×2 et un coefficient de corrélation de0.8.

Le SNR nécessaire pour atteindre la probabilité d’erreur cible étant supérieur à la moyenne du shadowing (30dB), un écart type élevé conduit à une meilleur probabilité de coupure que le contraire.

CHAPITRE 3. SYSTÈMES MIMO

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

10⁻⁴ 10⁻³ 10⁻² 10⁻¹ 10⁰

µ(dB)

BcEO

Exactρ= 0 Approxρ= 0 Exactρ= 0.4 Approxρ= 0.4 Exactρ= 0.8 Approxρ= 0.8

MIMO 2×4

MIMO 2×2

(a) BcEO =f(µdB)

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

10⁻⁴ 10⁻³ 10⁻² 10⁻¹ 10⁰

σ(dB)

BcEO

Exactρ= 0 Approxρ= 0 Exactρ= 0.4 Approxρ= 0.4 Exactρ= 0.8 Approxρ= 0.8 MIMO 2×4

MIMO 2×2

(b) BcEO =f(σdB)

Fig. 3.8 – BcEO d’un signal8−PSK pour deux systèmes MIMO (2×2 et2×4) dans un canal de Rayleigh et en présence de shadowing, en fonction de la moyenne (a) et de l’écart type (b) de la loi log-normale.

CHAPITRE 3. SYSTÈMES MIMO