Systèmes multi-antennes à codage blocs orthogonaux

Codage STBC. Les systèmes MIMO STBC orthogonaux présentent un compromis op- timal entre diversité (donc qualité du lien radio) et débit. Ils utilisent des symboles com- plexes issus d’une constellation codés à la fois en espace (plusieurs antennes d’émission) et en temps (redondance) suivant une matrice de codage G propre à chaque type de code.

La figure 1.2 illustre une chaîne MIMO STBC. La matrice G ∈C^p×nt et ses colonnes sont orthogonales les unes par rapport aux autres au sens du produit scalaire :

G=









g11 g12 · · · g1nt

g₂₁ g₂₂ ...

... ... ...

g_p1 g_p2 · · · g_pnt









, (1.69)

dont chaque entrée g_k,j,1≤k≤p,1≤j≤n_t, est une combinaison linéaire des symboles {d_n}^N_n=1 et de leur conjugué. A chaque instant k, le vecteur signal{g_k,j}ⁿ_j=1^t est transmis au moyen des n_t antennes d’émission. Pour transmettre N symboles il faut une durée

CHAPITRE 1. MODÈLE DU CANAL ET PRÉREQUIS

équivalente àpsymboles. Le taux de codage du système se définit donc parRc =N/pet il est nécessairement inférieur à 1 si l’on veut garder l’orthogonalité des codes pour une taille de système supérieure à 2 [57].

En 1998, Alamouti est le premier à proposer un code espace-temps orthogonal en blocs pour deux antennes d’émission à rendement unitaire [58]. La matrice de codage spatio- temporel est :

G2 =

d₁ d₂

−d^∗₂ d^∗₁

. (1.70)

Tarokh et al. ont proposé dès 1999 une méthodologie permettant de construire des codes orthogonaux pour un nombre d’antennes à l’émission supérieur à 2 [57]. Ces codes se nommentG3 etG4 pour trois et quatre antennes. Ils ont un rendementRc = 1/2. Des codes de rendement supérieure R_c = 3/4 ont également été trouvés par Tarokh et se nomme H3

etH4 pour 3 et 4 antennes [59].

Tarokh et al. ont également montré qu’il était impossible de construire des schémas de codage spatio-temporel à blocs orthogonaux à rendement unitaire pour plus de deux antennes en émission. A partir de ce constat beaucoup d’auteurs ont cherché à construire des codes permettant d’atteindre un rendement unitaire au détriment de l’orthogonalité.

Les travaux sur la conception de codes quasi-orthogonaux à rendement unitaire sont légion et le sujet continu d’attirer beaucoup d’attention de la part du monde académique et industriel. Cependant, la conclusion de Tarokhet al. est valable pour une construction de codes blocs spatio-temporels basée sur le critère du rang. Le rang de la matrice construite avec les différences entre chaque pair distincte de codes, doit être maximal. Belfioreet al.

ont montré que l’on pouvait construire d’autres codes spatio-temporels aux propriétés très intéressantes [60]. En se basant sur des résultats de la théorie des nombres, les auteurs construisent un code bloc spatio-temporel à diversité maximale et débit maximal pour 2 antennes de transmission et sur 2 périodes symbole. Ils montrent que le code proposé dépasse les performances du code d’Alamouti aux faibles et forts SNR lorsque le nombre d’antennes de réception est supérieur à 1. En [61] les auteurs généralisent l’approche de la construction de codes spatio-temporels basé sur la théorie de Galois, à des systèmes MIMO d’ordre supérieur. En 2004, Belfiore et al. ont découvert le "Golden Code", basé sur le fameux nombre d’Or de l’antiquité ¹⁺₂^√5. Ce code présente une diversité maximale et un débit maximal pour des systèmes 2×2 et surpasse en performance les autres codes connus [62,63]. Bien que ces nouveaux codes soient d’un réel intérêt, le formalisme complexe inhérent à leur manipulation font que nous avons considéré les codes STBC introduits par Tarokh et al.et ce sont eux dont on parle dans la suite.

Bits

d’information Mapping numérique M-PSK/M-QAM

Matrice de codage

STBC

Traitement Spatio-temporel Canal

MIMO ) 1 (

nk

) (nr

nk

1

~r

rN

~ . . .d1

d_N

Fig.1.2 – Schéma bloc d’un système MIMO à codage bloc orthogonaux.

CHAPITRE 1. MODÈLE DU CANAL ET PRÉREQUIS

Traitement en réception. Le signal reçu par lai−ème antenne à l’instant kest : r_k⁽ⁱ⁾=

nt

X

j=1

h_ijg_kj+n⁽ⁱ⁾_k , (1.71)

avec n⁽ⁱ⁾_k est un bruit additif blanc gaussien de densité spectrale mono-latérale N0. Un récepteur à maximum de vraisemblance avec une connaissance parfaite du canal, calcul la métrique suivante [64] :

D= Xp k=1

nr

X

i=1

r⁽ⁱ⁾_k −

nt

X

j=1

hijg_kj

2

, (1.72)

pour tous les mots codes possibles (c’est-à-dire les colonnes de G) et choisit celui qui minimise D. Grâce à l’orthogonalité des colonnes deG, la minimisation de (1.72) est équi- valent à la minimisation de la métrique pour chaque symbole dn,n= 1, .., N séparément.

Ainsi (1.72) est équivalent à [64, 65] :

dˆ_n= arg min

d∈A

κ||H||²Fd_n+η_n

| {z }

,˜rn

−κ||H||²Fd

2

, (1.73)

où r˜_n est la sortie de traitement bloc et η_n ֒→ CN 0, κ||H||²_FN₀

est le bruit gaussien en sortie de traitement bloc [65]. De plus ||H||²F est le carré de la norme de Frobenius² de H.

La constante κ dépend du type de la matrice de codage utilisée et vaut 1 pour G2, H3 et H4 et 2 pourG3 etG4 [64]. EtA est la constellation considérée (M-PSK, M-QAM).

En fait Tarokh a montré que le codage spatio-temporel en blocs orthogonaux et leur décodage par maximum de vraisemblance, permettaient de transformer un canal MIMO en son équivalent SISO ; c’est ce que transcrit l’équation (1.73). De cela on peut tirer le rapport signal à bruit instantané en sortie de traitement [66] :

γ_{ST BC} =κ||H||²F

E_s

N₀, (1.74)

avec E_s l’énergie moyenne par symbole de la constellation. L’énergie moyenne émise par antenne est E_m/n_t, par conséquent la puissance moyenne du signal reçue sur chaque an- tenne est (Em/nt)Pnt

j=1E |hij|²

=Em. Il en résulte que le SNR moyen reçu sur chaque antenne est γ_s=E_m/N₀. Grâce à l’orthogonalité des colonnes deG, on peut lier l’énergie moyenne émise E_m et l’énergie moyenne par symbole E_s [57] :

E_s= E_m ntκRc

. (1.75)

Par conséquent, on peut exprimer le rapport signal à bruit instantané par symbole après décodage en fonction du rapport signal à bruit moyen reçu sur chaque antenne :

γ_{ST BC} = ||H||²_F

n_tR_c γ_s. (1.76)

2Le carré de la norme de Frobenius d’une matriceAp×q est défini comme

||A||²F ,tr(AA^H) = Xp i=1

Xq j=1

|ai,j|²

oùtr(.)etH correspondent à l’opérateur trace et hermitien respectivement.

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