Comparaison et optimisation du monitoring
Dans le chapitre 4 précédent, nous avons caractérisé les performances d’un système sous diagnos- tic à travers les notions de détectabilité et de diagnosticabilité. Mais le travail que nous souhaitons effectuer ne s’arrête pas à la mesure des performances de diagnostic. L’étape suivante est d’amé- liorer nos systèmes sous diagnostic. Nous pouvons les améliorer d’un point de vue performances en les modifiant, et nous pouvons aussi chercher à optimiser le monitoring en réduisant l’ensemble des capteurs utilisés tout en s’assurant que l’on conserve les performances de diagnostic.
Pour savoir si les modifications que nous avons appliqué à un système l’ont rendu meilleur, il est nécessaire d’introduire la notion de comparaison de systèmes. La première section de ce chapitre s’intéresse donc à la comparaison des systèmes sous diagnostic du point de vue des performances de diagnostic.
Ensuite, nous nous intéressons à la possibilité qu’une partie du monitoring du système sous diagnostic puisse être supprimé tout en maîtrisant les performances de diagnostic du système. La notion de superfluité de monitoring qui décrit cela est introduite dans la seconde section de ce chapitre.
les événements, la diagnosticabilité évalue la qualité du système à bien les isoler. Les deux notions fondamentales pour caractériser la qualité d’un système sous diagnostic sont donc la détectabilité et la diagnosticabilité. Ce sont sur elles que nous allons nous appuyer pour comparer différents systèmes sous diagnostic.
L’idée maintenant est de définir une relation de comparaison basée sur ces notions. Le problème est qu’il est difficile de combiner les notions de détectabilité et de diagnosticabilité pour comparer deux systèmes sous diagnostic en toute objectivité. En effet, il faudrait définir l’importance de la détectabilité par rapport à la diagnosticabilité. Il n’y a pas réellement de vérité objective là- dessus, par contre, les pratiques actuelles dans le monde avionique peuvent aiguiller certains choix concernant l’importance de ces deux notions.
Aujourd’hui, la détectabilité et notamment le ratio de “couverture” est une mesure connue et fréquemment utilisée dans le domaine avionique. C’est une mesure clé pour caractériser les systèmes sous diagnostic, et les systèmes sous surveillance en général. Cette notion apparaît même dans les documents de description des systèmes. Lors de la spécification de systèmes avioniques, les avionneurs incluent souvent la détectabilité comme une qualité du système à atteindre dans le contexte de la maintenance.
La détectabilité est une notion primordiale pour le diagnostic, qui est, dans sa version la plus simple, déjà utilisée dans la maintenance avionique. Elle doit prendre une part importante dans la comparaison de systèmes sous diagnostic. En parallèle, la diagnosticabilité n’a pas encore franchi ces étapes dans le même contexte. Il n’y a pour l’instant pas de mesures similaires intégrées dans les processus industriels pour la diagnosticabilité. Le seul type de mesure se rapprochant de la diagnosticabilité que l’on voit apparaître est la notion de “diagnostic en trois coups”, que nous pourrions énoncer comme représentant la proportion des pannes qui peuvent être isolées en au maximum trois tentatives. Mais la diagnosticabilité dans son ensemble comme nous l’avons définie reste une mesure encore confidentielle.
Nous pouvons néanmoins remarquer que les notions de détectabilité et de diagnosticabilité ont une certaine proximité, et que, dans la pratique, un système sous diagnostic dont la détectabilité est médiocre aura une qualité de diagnosticabilité médiocre elle aussi. En effet, généralement en pratique, les événements non détectables sont les événements qui vont n’avoir aucun effet visible, cela signifiant bien souvent qu’ils se confondent avec l’état nominal (initial) du système sous diag- nostic. De ce fait, tous ces événements non détectables vont être non discriminables entre eux.
Ainsi le degré de diagnostic de tous ces événements sera élevé, le degré de diagnosticabilité moyen sera élevé, et la qualité de diagnosticabilité du système sera médiocre.
Malgré cela, de manière générale, il est faux de dire que si un système sous diagnostic a une performance de détectabilité meilleure qu’un autre système sous diagnostic, alors il aura aussi forcément une meilleure performance de diagnosticabilité. La seule chose que l’on peut dire est que dans la pratique, un système qui a une performance de détectabilité médiocre alors qu’un deuxième en a une bonne n’aura pas une performance de diagnosticabilité meilleure que celle du deuxième.
Néanmoins, cela ne permet pas de trouver comment combiner détectabilité et diagnosticabilité dans une seule mesure de performances de manière objective.
Dans un premier temps, nous allons donc conserver les deux comparaisons dissociées, celle du point de vue de la détectabilité et celle du point de vue de la diagnosticabilité.
Définition 38 (Relation d’ordre de détectabilité pour SUD) SoientA1=hC1, I1, E1, T1i etA2=hC2, I2, E2, T2ideux systèmes sous diagnostic. La relation d’ordre<de compareA1 etA2
selon leur détectabilité.
A1<deA2 ⇐⇒ A1.RDFC1 < A2.RDFC2 (5.1) Remarque Si niA1<deA2 niA2<deA1 alors on aA1=deA2.
Exemple:
En utilisant la table A.3 on obtient :{γ1, γ2}<de{γ3, γ4, Aex}.
◦
On peut bien entendu, selon le contexte dans lequel on est, effectuer une comparaison de la détectabilité de deux systèmes sous diagnostic en regardant non pas le ratio de détectabilité forte, mais le ratio de détectabilité globale (forte et faible) ou les autres ratios définis dans les métriques de détectabilité (4.1.2), ou bien dans un contexte avionique, les métriques qui y sont adaptées (4.3.1.2).
Les métriques les plus représentatives de la qualité de diagnosticabilité d’un système sous diagnostic sont le degré de diagnosticabilité moyen (mét. 10) et les autres métriques qui en dérivent (pondération et adaptées au contexte avionique). Ainsi nous pouvons introduire une relation d’ordre pour systèmes sous diagnostic pour la diagnosticabilité.
Définition 39 (Relation d’ordre de diagnosticabilité pour SUD) Soient A1 = hC1, I1, E1, T1i et A2 = hC2, I2, E2, T2i deux systèmes sous diagnostic. La relation d’ordre <di com- pareA1 etA2 selon leur diagnosticabilité.
A1<di A2 ⇐⇒ A1.DDMC1 > A2.DDMC2 (5.2) Remarque Si niA1<diA2 niA2<diA1 alors on a A1=di A2.
Exemple:
En utilisant la table A.5, on obtient :γ1<diγ2<di{γ3, γ4, Aex}.
◦
Comme nous l’avons exprimé en début de section, les relations d’ordre de détectabilité et de diagnosticabilité pour SUD ne sont pas compatibles. Il n’y a donc pas d’ordre logiquement objectif que l’on peut déduire qui combine les deux notions de détectabilité et de diagnosticabilité.
Prenons l’exemple de deux systèmes simples A1 =hC1, I1, E1, T1i et A2 =hC2, I2, E2, T2ien figures 5.1 et 5.2 pour illustrer la non-compabilité de ces deux ordres que nous venons de définir.
{}
{o1} e1, e2
Figure 5.1 – SystèmeA1
{}
{} {o1}
e1
e3
Figure5.2 – SystèmeA2
En considérant queObsOK ={{}}, nous avonsA2<deA1puisque tous les événements deA1
sont détectables (A1.RDFC1 = 100%) alors que pourA2, e1 n’est pas détectable (A2.RDFC2 = 50%).
Or, pour A1, e1 et e2 ayant les mêmes effets, ils sont tous les deux dans le même groupe d’ambiguité et sont de degré 2, alors que pourA2, l’événemente1, qui partage ses effets avec l’état initial, est de degré 2 (groupe d’ambiguité{e1, eI}) quand l’événement e2 est lui diagnosticable.
Nous avons doncA1.DDMC1 > A2.DDMC2 et ainsiA1<diA2.
Nous remarquons à travers cet exemple que les relations d’ordre de détectabilité et de diagnos- ticabilité ne sont pas compatibles. Une simple combinaison des deux ordres n’est pas possible, et il faudra donc départager ces deux notions pour départager deux systèmes sous diagnostic.
De la même façon que précédemment avec la détectabilité, selon le contexte, les métriques de degré de diagnosticabilité pondérées et adaptées à l’avionique peuvent être utilisées à la place de la métrique de degré de diagnosticabilité moyen simple.
Nous pouvons aussi utiliser la notion de profondeur de systèmes pour définir une relation d’ordre sur les systèmes sous diagnostic pour la diagnosticabilité. Cette relation compare la diagnostica- bilité des systèmes pour une profondeur de 1 événement bornant, puis pour une profondeur de 2 événements bornants, etc.
Définition 40 (Relation d’ordre de diagnosticabilité pour SUD avec profondeur) SoientA1=hC1, I1, E1, T1i,A2=hC2, I2, E2, T2ideux systèmes sous diagnostic etn un entier positif représentant la profondeur dans le système. La relation d’ordre<ndi compareA1 etA2 selon leur diagnosticabilité dans le système réduit en profondeur.
A1<ndi A2 ⇐⇒
_n
i=0
A1.DDMCi
1 > A2.DDMCi
2∧
i−1^
j=0
A1.DDMCj
1 =A2.DDMCj
2
(5.3)
Remarque Si niA1<ndiA2 niA2<ndiA1 alors on a A1=ndi A2.
Exemple:
En utilisant les tables A.5 et A.7, on obtient :γ1<2diγ2<2diγ3<2di{γ4, Aex}.
◦
Une façon qui semble répondre de manière la plus objective possible à la mise en commun des deux mesures de détectabilité et de diagnosticabilité pour comparer des systèmes, s’appuie sur l’utilisation actuelle de ces notions que nous avons décrite précédemment. En utilisant le fait que la détectabilité est utilisée lors de la spécification d’un système comme une qualité à atteindre, pour définir une comparaison globale entre systèmes sous diagnostic, on peut fixer une valeur minimale pour la détectabilité et comparer ensuite les valeurs de diagnosticabilité. La valeur de détectabilité minimale correspond alors à cette valeur de couverture fournie dans le cadre de la spécification du système sous diagnostic.
Introduisons donc larelation d’ordre pour systèmes sous diagnosticutilisée pour comparer des systèmes sous diagnostic.
Définition 41 (Relation d’ordre pour systèmes sous diagnostic) SoientA1=hC1, I1, E1, T1i, A2 = hC2, I2, E2, T2i deux systèmes sous diagnostic et K le pourcentage de détectabilité minimum à atteindre pour les SUD. La relation d’ordre<K compare les systèmes sous diagnostic A1 etA2.
A1<K A2 ⇐⇒ A1.RDFC1 < K∧A2.RDFC2 ≥K∨
A1.RDFC1 < K∧A2.RDFC2 < K∧A1<diA2∨ A1.RDFC1 ≥K∧A2.RDFC2 ≥K∧A1<diA2
(5.4)
Remarque Si niA1<K A2 niA2<K A1 alors on aA1=K A2.
Exemple:
En utilisant les tables A.3 et A.5 on obtient :γ1<70%γ2<70%{γ3, γ4, Aex}.
◦
Il est possible d’affiner la comparaison de systèmes en utilisant la notion de profondeur.
Définition 42 (Relation d’ordre pour systèmes sous diagnostic avec profondeur) SoientA1=hC1, I1, E1, T1i,A2=hC2, I2, E2, T2ideux systèmes sous diagnostic, K le pourcen- tage de détectabilité minimum à atteindre pour les SUD, et n un entier positif représentant une profondeur du système. La relation d’ordre<nK compare les systèmes sous diagnosticA1 etA2 en utilisant leur profondeur.
A1<nK A2 ⇐⇒ A1.RDFC1 < K∧A2.RDFC2 ≥K∨
A1.RDFC1 < K∧A2.RDFC2 < K∧A1<ndiA2∨ A1.RDFC1 ≥K∧A2.RDFC2 ≥K∧A1<ndiA2
(5.5)
Remarque Si niA1<nK A2 niA2<nK A1 alors on aA1=nK A2.
Exemple:
En utilisant les tables A.3, A.5 et A.7 on obtient :γ1<270%γ2<270%γ3<270%{γ4, Aex}.
◦
Comme nous l’évoquions en début de section, les objets qui ont une réelle raison d’être comparés, ce sont différentes stratégies de monitoring (observateur et relation d’observation) pour un même système, afin de savoir quelle est celle qui permet les meilleures performances au système sous diagnostic.
La considération de la comparaison de différents couples (O,RO) pour un même système S plutôt que la comparaison plus globale de systèmes sous diagnostic différents apporte une spécificité qui permet de donner des versions supplémentaires des définitions précédentes. En effet, dans ce cas- là, nous pouvons poser ces définitions pour un ensemble de configurations, et non pour l’ensemble des configurations total des systèmes sous diagnostic. Donnons l’exemple avec la version adaptée depuis la définition 39.
Définition 43 (Relation d’ordre de détectabilité pour observateurs) Soient S =hQ, Qi, E,→iun système, Q′ un ensemble de configurations deQ, etm1= (O1,RO1)etm2= (O2,RO2) deux stratégies de monitoring pour S. Considérons C1′ et C2′, deux ensembles de configurations respectivement de A1 = hS, O1,RO1i et A2 = hS, O2,RO2i tels que C1′[V] = C2′[V] = Q′. La relation d’ordre Q<′de compare m1 etm2 pour S selon leur détectabilité forte respectivement dans C1′ etC2′.
m1 Q′
<dem2 ⇐⇒ A1.DDMC1′ > A2.DDMC2′ (5.6) Remarque Si nim1
Q′
<dem2 nim2 Q′
<dem1 alors on am1 Q′
=dem2.
Exemple:
Pour les γj ∈ Γ,γj.Zex1 j[V] = Q1expour toute profondeur n. Considérons pour j ∈ J1. . .4K, les couples (Oj,ROj); l’observateurOj est défini par l’ensemble de variablesVO\ {oj}et la relation d’observationROj ⊆BF(Vγj)est telle queJROjK=JROK[Vγj].
En utilisant la table A.8, on obtient : {(O1,RO1),(O2,RO2)}Q
1
<exde {(O3,RO3),(O4,RO4),(O,RO)}.
◦
On peut de la même façon dériver les versions pour observateurs et dans un ensemble de configurations particulier pour les définitions 39, 40, 41 et 42.
5.1.2 Métriques
Dans cette partie nous allons donner quelques métriques qui peuvent caractériser les diffé- rences entre deux systèmes. Ces métriques sont le reflet de l’évolution de la détectabilité et de la diagnosticabilité entre deux systèmes.
Introduisons tout d’abord le degré d’évolution de la détectabilité entre deux systèmes. La détectabilité étant déclinée en versions forte et faible, on peut identifier deux métriques associées.
Nous n’explicitons ici que la version “forte” de la métrique.
Métrique 21 (Degré d’évolution de détectabilité forte) Soient A1 = hC1, I1, E1, T1i et A2 =hC2, I2, E2, T2i deux systèmes sous diagnostic. Le degré d’évolution de détectabilité forte entreA1 etA2, notéDEDFA1→A2, représente l’évolution (positive ou négative) du ratio de détec- tabilité forte deA1 vis-à-vis de celui deA2.
DEDFA1→A2 = A2.RDFC2
A1.RDFC1
−1 (5.7)
Exemple:
A′ DEDFγ1→A′ DEDFγ2→A′ DEDFγ3→A′ DEDFγ3→A′ DEDFAex→A′ γ1 0% 4/74/7−1 = 0% 5/74/7−1 = 25% 5/74/7−1 = 25% 5/74/7−1 = 25%
γ2 4/7
4/7−1 = 0% 0% 5/74/7−1 = 25% 5/74/7−1 = 25% 5/74/7−1 = 25%
γ3 4/7
5/7−1 =−20% 4/75/7−1 =−20% 0% 5/75/7−1 = 0% 5/75/7−1 = 0%
γ4 4/7
5/7−1 =−20% 4/75/7−1 =−20% 5/75/7−1 = 0% 0% 5/75/7−1 = 0%
Aex 4/7
5/7−1 =−20% 4/75/7−1 =−20% 5/75/7−1 = 0% 5/75/7−1 = 0% 0%
◦
Le degré d’évolution de détectabilité est un ratio qui s’il est négatif, caractérise une perte de détectabilité en passant deA1àA2. Si au contraire il est positif, il représente le gain de détectabilité qu’entraîne le fait de passer du systèmeA1 au systèmeA2.
Nous pouvons caractériser de la même manière l’évolution de la diagnosticabilité entre deux systèmes.
Métrique 22 (Degré d’évolution de diagnosticabilité) Soient A1 = hC1, I1, E1, T1i et A2 = hC2, I2, E2, T2i deux systèmes sous diagnostic. Le degré d’évolution de diagnosticabilité entreA1 et A2, noté DEDA1→A2, représente l’évolution (positive ou négative) du degré de diag- nosticabilité moyen deA1 vis-à-vis de celui deA2.
DEDA1→A2 = A1.DDMC1
A2.DDMC2
−1 (5.8)
Exemple:
A′ DEDγ1→A′ DEDγ2→A′ DEDγ3→A′ DEDγ3→A′ DEDAex→A′ γ1 0% 21/719/7−1≃11% 21/716/7−1≃31% 21/716/7−1≃31% 21/716/7−1≃31%
γ2 19/7
21/7−1≃ −10% 0% 19/716/7−1≃19% 19/716/7−1≃19% 19/716/7−1≃19%
γ3 16/7
21/7−1≃ −24% 16/719/7−1≃ −16% 0% 16/716/7−1 = 0% 16/716/7−1 = 0%
γ4 16/7
21/7−1≃ −24% 16/719/7−1≃ −16% 16/716/7 −1 = 0% 0% 16/716/7−1 = 0%
Aex 16/7
21/7−1≃ −24% 16/719/7−1≃ −16% 16/716/7 −1 = 0% 16/716/7−1 = 0% 0%
◦
De même que précédemment, un résultat positif représentera un gain, et un résultat négatif, une perte dans le passage deA1 à A2au niveau de la diagnosticabilité.
Nous n’expliciterons pas ces versions, mais il est possible, de la même manière que pour la définition 43, de baser les définitions sur les observateurs plutôt que sur les systèmes sous diagnostic et d’ajouter le paramètre de l’ensemble de configurations considéré.