Nous venons de montrer que siAest un système sous diagnostic construit à partir d’un système S de la façon décrite précédemment, alorsAetS sont bisimilaires.
Nous allons voir maintenant qu’étant donné un systèmeα, il est possible d’isoler un ensemble de variablesVr pour obtenir, sous réserve de répondre à certaines propriétés, un nouveau système β. Nous allons montrer que le systèmeα est alors un système sous diagnostic obtenu à partir de β, d’un observateurOret d’une relation d’observationRX.
Définissons tout d’abord la notion de système projeté.
Définition 6 (Système projeté) Considérons le LTSα =hX, Xi,Σ,→αi et l’ensemble de va- riablesVα tels que :
- X ⊆ V(Vα)est un ensemble de configurations.
- Xi⊆X est l’ensemble des configurations initiales.
- Σest un ensemble d’événements.
- →α⊆(X×Σ×X) est une relation de transition.
SoitVr⊆Vα un ensemble de variables. Le système projeté représenté par le LTSβ =hY, Yi, Σ, →βiest obtenu par restriction du systèmeαsur Vβ=Vα\Vr :
- Y =X[Vβ].
- Yi=Xi[Vβ]
- Σest le même ensemble d’événements.
- →β ={t∈Y ×Σ×Y | ∃(x, σ, x′)∈→α, t= (x[Vβ], σ, x′[Vβ])}.
On notera β=proj(α, Vβ).
L’idée est maintenant de montrer que α est un système sous diagnostic vis-à-vis du système projetéβ. Mais avant cela nous avons besoin de caractériser certaines propriétés particulières d’un système, qui, nous le verrons, sont nécessaires pour démontrer ce point.
Propriété 1 (Complétude des transitions) Soient un systèmeα=hX, Xi,Σ,→αiet un en- semble de variablesVβ. La propriété de complétude des transitions affirme que toutes les configu- rations deX qui ont la même projection surVβ ont les mêmes transitions entrantes et sortantes.
Elle est représentée par l’équation suivante :
∀(x, x′)∈X2,∀σ∈Σ,(x[Vβ] =x′[Vβ]) =⇒ (∀x′′∈X, x′′→σαx ⇐⇒ x′′→σαx′
∧x→σαx′′ ⇐⇒ x′ →σαx′′) (3.6) Cette propriété est importante car montrer que α = hβ, Or,RXi signifie que lorsque nous calculonsβ =proj(α, Vβ)et que nous construisons le système sous diagnostic à partir deβ,Oret RX, alors nous obtenonsα. Le problème que l’on rencontre lorsque la propriété 1 n’est pas vérifiée est le suivant : en créantβ, il y a des configurations deαayant la même projection qui n’ont pas les mêmes transitions entrantes ou sortantes. Pourtant, la configurationydeβobtenue par projection aura elle l’ensemble de toutes les transitions. Ainsi, si l’on reconstruit un système sous diagnostic à partir deβ, les configurations de α(élévations dey) susmentionnées seront cibles de toutes les transitions entrantes dey, ainsi que sources de toutes les transitions sortantes de y. Le système sous diagnostic obtenu sera alors différent deα.
On peut aussi faire la remarque que cette propriété n’est pas couverte par la notion de bisimi- larité.
Nous allons voir deux exemples qui montrent la nécessité de la propriété précédente. Ces exemples, représentés en figures 3.1 et 3.2, illustrent l’explication que nous avons fournie dans le paragraphe précédent. La première figure (3.1) illustre la nécessité de la propriété pour les transitions entrantes, et la deuxième (3.2) s’intéresse aux transitions sortantes.
{}
x0
{v1} x1
{v1, v2} x2
σ
A. Systèmeα
y0 {}
{v1} y1
σ
B. Système β=proj(α, Vβ)
x′0 {}
{v1} x′1
{v1, v2} x′2
σ σ
C. Systèmehβ, Or,RXi Figure3.1 – Illustration de la propriété 1 – transitions entrantes
Considérons le systèmeαet son ensemble de variablesVα={v1, v2}tels que représentés en A.
On obtient par projection deαsur l’ensemble de variablesVβ={v1}le systèmeβreprésenté en B.
On remarque que les deux configurationsx1 etx2, dont –uniquement– la première est cible d’une transition ayant pour sourcex0, ont la même projectiony1. Finalement, en prenantOr défini par l’ensemble de variablesVr=Vα\Vβ ={v2} et RX ⊆BF(Vα)telle queJRXK=X, le système sous diagnostic hβ, Or,RXi obtenu et représenté en C est différent du système αde départ. On note en outre que les systèmesαetβ sont bisimilaires.
{v1, v2} x2
x0 {}
{v2} x1
σ
A. Systèmeα
y0 {}
{v1} y1
σ
B. Système β=proj(α, Vβ)
{v1, v2} x2
x0 {}
{v2} x1
σ σ
C. Systèmehβ, Or,RXi Figure3.2 – Illustration de la propriété 1 – transitions sortantes
La figure 3.2 donne l’exemple d’un systèmeαne répondant pas à la partie “transitions sortantes”
de la propriété 1. L’idée de cet exemple est identique à celle de l’exemple précédent, adaptée aux transitions sortantes au lieu des transitions entrantes.
Une deuxième propriété est nécessaire pour les mêmes raisons que la propriété 1 précédemment énoncée. C’est une propriété proche de la précédente mais qui concerne les états initiaux plutôt que les transitions.
Propriété 2 (Complétude des états initiaux) Soient un système α =hX, Xi,Σ,→αi et un ensemble de variablesVβ. La propriété de complétude des états initiaux affirme que si une confi- gurationxi deX est initiale, alors toutes les autres configurations qui ont la même projection que xi sur Vβ sont aussi initiales. Elle est représentée par l’équation suivante :
∀(xi, x)∈Xi×X,(xi[Vβ] =x[Vβ]) =⇒ x∈Xi) (3.7) L’importance de cette propriété se justifie d’une façon identique à la propriété précédente, en considérant le caractère initial d’une configuration plutôt que ses transitions entrantes. Derechef, la notion de bisimilarité ne couvre pas cette propriété. On peut voir cette propriété illustrée en figure 3.3.
{v1, v2} x2
x0 {}
{v2} x1
σ σ
A. Systèmeα
y0 {}
{v1} y1
σ
B. Système β=proj(α, Vβ)
{v1, v2} x2
x0 {}
{v2} x1
σ σ
C. Systèmehβ, Or,RXi Figure3.3 – Illustration de la propriété 2
L’exemple que nous présentons maintenant est similaire à l’illustration proposée en figure 3.1 et à sa description. Nous considérons le systèmeαet son ensemble de variablesVα={v1, v2}tels que représentés en A. Par projection deα sur l’ensemble de variables Vβ ={v1}, nous obtenons un nouveau systèmeβ représenté en B. On peut remarquer que les deux configurationsx0etx1, dont –uniquement– la première est initiale, ont la même projection y0 dansβ. De la même façon que pour la propriété précédente, si on prendOrdéfini par l’ensemble de variablesVr=Vα\Vβ ={v2} etRX⊆BF(Vα)telle queJRXK=X, le système sous diagnostichβ, Or,RXiobtenu et représenté en C est à nouveau différent du systèmeαde départ. Là aussi les systèmesαet β sont pourtant bisimilaires.
Les exemples que nous venons de présenter montrent la nécessité des propriétés 1 et 2 pour notre problème. En effet, nous venons de voir que pour un ensemble de variablesVr, le système
hproj(α, Vα\Vr), Or,RXioù Or est défini par l’ensemble de variables Vr et où RX ⊆BF(Vα) est telle queJRXK=X, est un système sous diagnostic (par construction) qui est différent deαsi ce dernier ne respecte pas les propriétés énoncées.
Ayant vu la nécessité de ces propriétés, nous allons maintenant regarder si elles sont suffisantes pour montrer queαest un système sous diagnostic vis-à-vis du système projeté β. Commençons tout d’abord par introduire un nouveau lemme.
Lemme 3 Supposons queαvérifie la propriété 1 pourVβ. Considérons deux configurationsx,x′ de X. Pour toutes configurations y, y′ de Y, projections respectives de x et x′, x →σα x′ ⇐⇒
y→σβy′.
Preuve : Montrons la double implication.
=⇒ ∀(x, x′)∈X2,∀σ∈Σ, x→σαx′
=⇒ ∃(y, y′)∈Y2, y=x[Vβ], y′ =x′[Vβ], y→σβy′ (déf. →β) or les élévationsy ety′ sont uniques donc
=⇒ ∀(y, y′)∈Y2, y=x[Vβ], y′ =x′[Vβ], y→σβy′
⇐= ∀(y, y′)∈Y2,∀σ∈Σ, y→σβy′
=⇒ ∃(x, x′)∈X2, y=x[Vβ], y′ =x′[Vβ], x→σαx′ (déf. →β)
or ∀(x1, x′1)∈X2,
(x[Vβ] =x1[Vβ] x′[Vβ] =x′1[Vβ] =⇒
x→σαx′ x1 σ
→αx′ x→σαx′1 x1 σ
→αx′1
(prop. 1)
=⇒ ∀(x, x′)∈X2, y=x[Vβ], y′ =x′[Vβ], x→σαx′ (éq. 3.6)
♦ Théorème 2 Soient α =hX, Xi,Σ,→αi un système et Vβ un ensemble de variables deα. Soit β = hY, Yi,Σ,→βi le projeté de α sur Vβ. Siα vérifie les propriétés 1 et 2 pour Vβ, alors α= hβ, Or,RXiest un système sous diagnostic.
Preuve : Considérons l’observateur Or défini par l’ensemble de variables Vr = Vα\Vβ et la relationRX ⊆BF(Vα)telle que JRXK=X. Montrons queα=hβ, Or,RXiest un système sous diagnostic.
De manière triviale, la relation vérifieY ⊆JRXK[Vβ] puisque par construction,Y =X[Vβ].
Pour être un système sous diagnostic,α=hX, Xi,Σ,→αidoit respecter les règles de construc- tion suivantes :
1. X =? {x∈JRXK|x[Vβ]∈Y}.
2. Xi
=? {x∈X |x[Vβ]∈Yi}.
3. Σest le même ensemble d’événements.
4. →α
=? {(x, σ, x′)∈X×Σ×X |x[Vβ]→σβx′[Vβ]}.
Vérifions chacune de ces règles :
1. {x∈JRXK|x[Vβ]∈Y} = {x∈X |x[Vβ]∈Y}
= X (déf.Y)
2. {x∈X |x[Vβ]∈Yi}=Xi (déf.Yi (existence) et prop. 2 (complétude)) 3. Trivial.
4. {(x, σ, x′)∈X×Σ×X | x[Vβ]→σβ x′[Vβ]}
= {(x, σ, x′)∈X×Σ×X | ∃(y, y′)∈Y2, y=x[Vβ], y′=x′[Vβ], y→σβy′}
= {(x, σ, x′)∈X×Σ×X | x→σαx′} (lem. 3)
= →α
♦ Corollaire 2 Les systèmesα=hβ, Or,RXiet β=proj(α, Vβ)sont bisimilaires.
Nous pouvons résumer à travers la figure 3.4 les relations entre les différents objets que nous venons d’introduire.
α=hX, Xi,Σ,→αi SYSTÈME
β=hY, Yi,Σ,→βi SYSTÈME PROJETÉ
α′=hX′, Xi′,Σ,→′αi SYSTÈME SOUS DIAGNOSTIC
proj(α, Vβ)
hβ, Or,RXi siprop. 1 et 2
alorsα=α′ βetα′ bisimilaires
Figure3.4 – Relations entre Système, Système Projeté et SUD
Le premier système que nous avons introduit en section 3.1 est représenté par le LTS S = hQ, Qi, E,→i. À partir du système S, d’un observateur O et d’une relation d’observation RO
répondant à certaines propriétés, nous avons montré en section 3.2 comment construire le système sous diagnosticA=hC, I, E, Ti. Cette construction, notée A=hS, O,ROi, assure la bisimilarité des systèmesS et A. Nous retrouvons tout cela représenté sur la partie droite de la figure 3.4.S joue ainsi le rôle de système projeté, etAde système sous diagnostic construit parhS, O,ROi.
Dans la partie 3.3, nous avons montré comment il est possible d’isoler un sous-ensemble de variables Vr d’un système α = hX, Xi,Σ,→αi, et comment obtenir le système projeté β = hY, Yi,Σ,→βi. Finalement nous avons vu que siVrest choisi de telle manière à ce queVβ =Vα\Vr
associé àαrespecte les propriétés de complétude, alors le système obtenu parhβ, Or,RXi, où l’ob- servateurOr est défini par l’ensemble de variables Vr et la relationRX est telle queJRXK=X, n’est autre queα. On peut alors en déduire queαest un système sous diagnostic.
Notation 1 Dans la suite du document, afin d’éviter les lourdeurs dans les définitions, nous utili- serons toujoursSpour désigner le systèmeS=hQ, Qi, E,→ide la définition 1, etApour désigner le système sous diagnosticA=hC, I, E, Ti=hS, O,ROide la définition 3. De même, les ensembles V pourS ainsi que VO et RO pourA seront réutilisés.