2.2.1 Taux de déformation
On définit par e le vecteur repérant les taux de déformations à prendre en compte pour définir la torsion et la flexion du filament :
e= ∂ω(S, t)
∂S . (2.23)
On notera que lorsqu’une tige se comporte comme un corps rigide alors par définitionω ne dépend plus deS et on vérifie bien e= 0.
Le principe de ligne brisée sera introduit plus tard au paragraphe 2.4, et on aura l’oc- casion de revenir sur ce qui va être écrit maintenant : j’explique de façon un peu anticipée la raison du travail qui va suivre. La simulation numérique directe des filaments visqueux passe par l’évaluation discrète des efforts visqueux de torsion et flexion. Imaginons que nous cherchons à mettre en place cette simulation. Alors la tige est représentée par une ligne brisée comme une succession de sommets reliés par des segments (voir le § 2.4 ).
D’après (2.23) ceci pourrait se faire par différence finie des vitesses de rotation ωi entre deux segments adjacents. Cette quantité serait alors définie sur un sommet. Une fois éva- luée il s’agirait de reconstruire les forces de flexion et torsion. Cette construction passe par la projection de ∂ω∂S sur la direction tangente (pour évaluer la torsion) au sommet : problème, cette direction n’est pas définie sur les sommets. On peut s’accommoder de cette difficulté mais ce schéma numérique n’est pas très naturel. Il faut donc trouver une alter- native à l’expression (2.23). C’est ce que l’on commence à mettre en place dans la suite et plus généralement par le truchement des potentiels de dissipation au paragraphe 2.2.3.
Pour commencer on décomposeeet introduit sa composante tangente et et normale eb :
e(S, t) =et(S, t)t(S, t) +eb(S, t), eb(S, t)·t(S, t) = 0. (2.24) La première est reliée à la torsion (twist en anglais) et la seconde à la torsion en flexion (bending en anglais). On cherche maintenant à les exprimer en usant du fait que e =
∂π(S,t)˜
∂t˜ par (2.21) et que :
et(S, t) =e(S, t)·t(S, t) (2.25a) eb(S, t) =P⊥(t(S, t), e(S, t)) (2.25b) La dérivée entraînée commute avec l’opérateur projection1; la décomposition deπ dans l’équation (2.19) donne donc :
et(S, t) = ∂τ(S, t)
∂t (2.26a)
eb(S, t) = ∂K(S, t)˜
∂t˜ . (2.26b)
On notera qu’en élasticité on mesure la déformation par τ etK alors qu’avec des fluides visqueux, il y a une dérivée (entraînée) de plus. On rappelle ici que la description de l’étirement de la tige est plus simple : (cf. eq (2.8)) :
d(S, t) = ∂�(S, t)
∂t . (2.27)
2.2.2 Lien entre déplacement x(S,t) et torsion
On explique ici – par une identité géométrique – le lien entre le déplacement de la ligne centrale (au travers des dérivées dex(S, t)) et la torsion mesurée parτ. Dans des travaux antérieurs [14] une identité similaire a été utilisée pour parvenir à une discrétisation naturelle des tiges élastiques. Nous poursuivons ici une stratégie similaire. Revenons dans un premier temps à la définition de et, à savoir (2.23). On utilise alors l’expression de ω fournie par la condition de compatibilité (2.21) ce qui donne :
et=t·∂ω
∂S = ∂(t·ω)
∂S − ∂t
∂S ·ω. (2.28)
L’équation (2.16), nous donne une expression alternative de(t·ω)qui n’est autre que la vitesse de rotation ; ce qui donne finalement :
et= ∂v(S, t)
∂S −(π×t)·ω. (2.29)
1. Cela dérive du fait que ∂d˜∂t˜i = 0
On remplace π dans le membre de droite par sa décomposée K +τ t. En développant ensuite le produit mixte on montre que :
et= ∂v(S, t)
∂S +K(S, t)·∂t(S, t)
∂t . (2.30)
Cette équation revêt une importance particulière. D’un point de vue pratique il apparaît que l’on peut paramétriser la tige avec comme variables principales la positionx(S, t)et la vitesse de rotation scalaire v(S, t) et pour autant construire le taux de déformation en torsion en combinant les relations K = t×t� et t = x�. Plus important encore l’équation (2.30) démontre le couplage existant entre le déplacement de la ligne centrale et la torsion. La torsion est une fonction de v mais aussi de la courbure et de dérivée la temporelle de t par le second membre de (2.30). C’est ce terme qui est responsable de la non linéarité de ces filaments. Cette équation peut être vue comme une variante du théorème de Călugăreanu-White-Füller (CWF) qui n’est pas discuté ici mais dont une revue peut être trouvée dans [16]. Il a particulièrement été utilisé pour décrire l’ADN super-enroulée [17, 18, 19, 20] et la dynamique des filaments élastiques dans un fluide visqueux [21, 22] ou la mécanique des protéines [23].
2.2.3 Proposition de potentiels de Rayleigh
Dans le formalisme Lagrangien on peut décrire la dynamique des tiges visqueuses par l’intermédiaire de potentiels de Rayleigh [24]. Ces potentiels peuvent être exprimés pour une configuration donnéex(S) à un temps donnéten fonction des vitesses u(S)ˆ etv(S)ˆ . Ici les notationsˆ·marquent le fait que ces potentiels peuvent être évalués formellement pour des vitesses virtuelles. Le schéma numérique visera à sélectionner les deux vitesses u(S) etv(S) parmi ces vitesses virtuelles permettant de passer det àt+δt.
Le potentiel de dissipation a trois contributions dues à l’étirement (s pour "strect- ching"), à la flexion (b pour "bending")et la torsion (t pour "twist") :
D(x; ˆu,ˆv) =Ds(x; ˆu) +Db(x; ˆu,v) +ˆ Dt(x; ˆu,v)ˆ . (2.31) Chacune de ces contributions est proportionnelle au carré du taux de déformation qui lui correspond. On commence par donner l’expression des coefficients de proportionnalité qui lient potentiel et déformation ; les expressions complètes des potentiels sont données plus loin en (2.35). Ces coefficients de proportionnalité sont directement dérivés de la loi comportementale newtonienne.
La composante d’étirement (ou de compression) est proportionnelle au module de Trouton [25] :
D(�) = 3µ A(�) = D0
�2 , (2.32)
où on noteµ la viscosité dynamique du fluide. Ici D0 = 3µ A0 = 3µ(π a20) est la valeur du coefficient d’étirement de la configuration de référence. Les coefficients de torsion C et de flexionB ont pour expression [26, 27]
C(�) = 2µ I(�) = C0
�2 , B(�) = 3µ I(�) = B0
�2 , (2.33)
oùC0 = 2µ I0 etB0 = 3µ I0 sont les modules respectifs de la configuration de référence.
Ici l0 = 1. Avant de proposer les expressions des potentiels il est utile de définir les opérateursV etW.
V(x; ˆu;S) = 1
�(S)P⊥�
t(S),uˆ�(S)�
. (2.34a)
W(x; ˆu,v;ˆ S) = ˆv(S)t(S) +t(S)× V(x; ˆu;S). (2.34b)
On notera qu’en injectant les vitesses actuelles dans ces opérateurs on retrouve alors u etω respectivement par (2.10) et (2.16).
Nous proposons a priori les expressions des potentiels de dissipation de Rayleigh :
Ds(x; ˆu) =
� S+ S−
D(�(S)) 2�(S)
�
t(S)·ˆu�(S))�2
dS (2.35a)
=
� S+ S−
D(�(S)) 2�(S)
�Ls(x; ˆu;S)�2
dS, Dt(x; ˆu,v) =ˆ
� S+
S−
C(�(S)) 2�(S)
�
t(S)·dW(x; ˆu,v;ˆ S) dS
�2
dS (2.35b)
=
� S+
S−
C(�(S)) 2�(S)
�Lt(x; ˆu,v;ˆ S)�2
dS, Db(x; ˆu,ˆv) =
� S+ S−
B(�(S)) 2�(S)
�P⊥
�
t(S),dW(x; ˆu,v;ˆ S) dS
�2
dS (2.35c)
=
� S+ S−
B(�(S)) 2�(S)
�Lb(x; ˆu,ˆv;S)�2
dS.
Les notations S− etS+ repèrent les coordonnées Lagrangiennes des bords de la tige qui peuvent dépendre du temps. Ls, Lt et Lb sont les formes linéaires associées aux trois types de déformations définies implicitement par ce jeu d’équations. Cette formulation permet d’évaluer la dissipation pour tout champ de vitesse (ˆu,ˆv), chaque opérateur L permettant de reconstruire le taux de déformation. On notera que les préfacteurs1/�(S) témoignent des aller-retour entre le formalisme Eulérien et Lagrangien.
Cette mise en équation permet de mettre les équations de la dynamique des tiges sous forme variationelle. Comme l’ont remarqué Batty et Bridson [28] les méthodes variatio- nelles permettent une discrétisation naturelle dans les problèmes de fluides 3D à surface libre. Le détail de la dérivation de ces potentiels est donné dans [2] on en rappelle ici les principaux résultats.
Figure 2.3 – Discrétisation : la ligne centrale est représentée par une ligne polygonale.
On note que les quantités indicées sont basées sur les sommets alors que celles avec exposants sont basés sur les segments.