6.3.1 Equilibre au honda
Dans ce paragraphe nous nous penchons sur le rôle du frottement dans la mécanique du lasso. Jusqu’ici la boucle était maintenue par un "bout de scotch", c’est-à-dire que toutes les forces exercées par le honda sur la corde étaient admissibles. Maintenant on remplace ce "bout de scotch" par un noeud coulant : le honda est donc libre de bouger si le frottement n’est pas suffisant pour l’en empêcher.
Avant d’aller plus en avant dans cette démarche il nous faut remarquer que la prise en compte du frottement nous oblige à considérer la raideur en flexion de la corde.
Raisonnons par l’absurde pour le démontrer : on considère une corde de rayon fini qui n’a pas de résistance en flexion. Cette corde serait en appui sur elle même au niveau du honda, où la courbure de l’ordre de 1/rest bien supérieure au seuil1/lg fixé précédemment. On doit donc considérer la résistance en flexion de la corde. En revanche, cette résistance ne sera utile que dans une région de taille faibleσ�lg limitée autour du nœud coulant (lg � L). Pour résoudre ce problème nous mettons en place un développement asymptotique raccordé dont la solution externe est celle calculée avec le modèle précédent (voir fig.6.7- A). Elle fixe le comportement asymptotique du problème interne (voir fig.6.7–B) que l’on va maintenant résoudre. Notons que la résolution du contact ne change pas la dynamique globale du lasso mais on s’attend à ce qu’il autorise ou interdise un certain nombre de ces configurations1.
1. C’est d’ailleurs le rôle habituel du frottement. Par exemple lorsqu’une charge est posée sur un plan incliné, seul un intervalle d’angles d’inclinaison est admissible au sens de la statique.
A. B. C. s
Figure 6.7 – (A)- Equilibre des forces au honda pour une solution donnée. La boucle est représentée en marron et le spoke en gris. La force exercée par le honda est notée en rouge. L’angle2α sépare les directions respectives des forcesnl etnh imposées par la solution externe. (B)- Zoom sur la région du honda. Le contact est ponctuel et la normale à ce point là k est calculée en résolvant la forme détaillée de la corde passant à travers le honda. Ce calcul est fait en se basant sur la solution externe nl, ns connue. Alors φ indique l’angle de contact. (C) Chaque bout de la corde de (B) (marron et gris) est décrit par la solution de pendule homocline pour l’Elastica dont on rappelle ici la forme. On introduit les variables essentielles à la résolution.
Le problème interne est celui d’un Elastica soumis à deux tensions données à ses extrémités nl et ns (voir fig.6.7–B). Pour le résoudre il nous faut encore le séparer en deux problèmes indépendants qui seront raccordés ultérieurement. Pour se faire on résout le problème modèle suivant. Considérons un Elastica semi-infini encastré à une extrémité et dont l’autre extrémité située à l’infini subit une force imposée. Le choix de la taille infinie se justifie par le fait que la couche limite a une taille très inférieure à la dimension du lasso. La force appliquée à l’infini est notée de façon génériquen0ey (Fig 6.7-C). Elle joue en fait alternativement le rôle denl ouns selon quelle branche on considère. Notons que pour la résolution et sans que ceci n’est de conséquence physique on a fait le choix d’orienter cette force le long de l’axe ey. On introduit θ(s) comme l’angle séparant la tangente à l’Elastica et ey. On donne alors les équations de ce nouveau problème :
x,s = sinθ (6.10)
y,s = cosθ (6.11)
−EIθ,s =m (6.12)
m,s+nsinθ= 0 (6.13)
où nreprésente l’effort interne qui a été imposé par la solution externe et m le moment interne agissant sur la tige. Ce problème s’accompagne des conditions de bord suivantes : n(∞) =n0ey etm(∞) = 0 ce qui en faisant usage de (6.10) et (6.12) donne :
θ(∞) = 0 (6.14)
θ�(∞) = 0 (6.15)
On note que l’on a pas d’information surθ0=θ(0)qui une inconnue du problème (fig.6.7- C). En combinant les équations (6.12) et (6.13) on retrouve celle décrivant le mouvement d’un pendule :
θ¯,ss−sin ¯θ= 0 (6.16)
avec les paramètres d’adimensionnement suivants s¯=�
EI/m,m¯ =√
m EI etN¯ =n. Les notations surmontées d’une barre telles que x¯ correspondent aux variables adimen- sionnées ainsi formées. Par intégration on parvient à l’intégrale première de l’énergie :
1
2θ¯2,s+ cos ¯θ= 1 (6.17) qui satisfait les conditions aux limites (6.14) et (6.15). Cette solution est donc condi- tionnée pour satisfaire aux conditions de raccord entre solution interne et externe. Cette équation se résout analytiquement, et on donne :
θ(¯¯s) = 4 arctan(exp (¯s−s¯0)) (6.18) oùs¯0encapsule l’inconnue θ¯0 = ¯θ(¯s= 0). Il s’agît maintenant d’identifier cette inconnue.
On le fait en raccordant les deux demis-problèmes internes (respectivement gris et marron en Figure 6.7-B). En effet au point de raccordement entre ces deux solutions il y a une
discontinuité de forces (égale à la force ponctuelle exercée par le honda), mais il ne doit subsister aucune discontinuité de moments. Ceci équivaut à écrireEI�θ,s�= 0ce qui par (6.17) et en restaurant les dimensions donne :
nl(1−cosθl) =ns(1−cosθs) (6.19) On a introduit les notations θl etθs qui sont les angles θ0 respectifs des côtés spoke et loop (fig.6.7-C). En ajoutant le fait quens/nl= 2 cosαon transforme cette équation en : (1−cosθl) = 2 cosα(1−cosθs) (6.20) On peut obtenir une deuxième équation indépendante liant ces trois angles. Par construc- tion l’angleξ qui séparensetnlest égal àπ−α(rappel en figure 6.7-B). La courbure au point raccord est elle continue ce qui conduit à la relationθs+ξ+θl=π. En combinant les deux dernières équations on obtient :
θs+θl=α (6.21)
En pratique on s’intéresse à l’angle de contact φentre la normale à la corde au point de contact et la forcenh (Figure 6.7-B). Cet angle s’obtient par φ= 2α−π/2−θl (Figure 6.7-B). Combiné au couple d’équations (6.20) et (6.21) il s’exprime de la sorte :
φ= arccos(2 cosα−1)−π/2 (6.22) Cet angle n’est autre que l’angle de friction tel que défini en Figure 6.7-B. Dans une situation physique sa tangente doit être inférieure au coefficient de friction entre deux brins de corde. On a donc un critère pour évaluer la viabilité d’une configuration de lasso que l’on peut formaliser de la sorte :
tanφ < µrr (6.23)
avecµrr le coefficient de friction de la corde sur elle même. Ce critère va nous permettre de clore ce chapitre.