Résultats théoriques

Comme expliqué dans l’introduction il existe une multitude de systèmes où un fil répond à un forçage périodique. Le plus proche du lasso est sans doute le cas des "whirling string", c’est à dire des fils en résonance. Dans ce paragraphe on rapporte les similitudes et différences notables entre les modes de "whirling" habituels et le lasso. Pour ce faire on établit le diagramme de bifurcation du lasso en plaçant la main du cowboy sur l’axe de rotation. On choisit les paramètres numériques suivants :

π₁=∞, π₂= 0.29. (6.7)

Eqns!! x '"s#"tx"s#, y '"s#"ty"s#, z '"s#"tz"s#,

tx"s#²#ty"s#²#tz"s#²"1, D"T"s#tx"s#, s#" $x"s#, D"T"s#ty"s#, s#" $y"s#, D"T"s#tz"s#, s#$g"0

$;

ShootAlongLoop"

tensionAtMidLoop_ ? NumericQ, gravity_ ? NumericQ, sMax_ ? NumericQ, sEpsilon_ ? NumericQ

#:!

Block"%x, y, z, tx, ty, tz, T, s, g&, Module"

%initConds, sol, sRoots, sRootsPlus, sC, hondaPos&,

%g&!%gravity&;

initConds!% x"0#" $1, y"0#"0, z"0#"0, tx"0#"0, ty"0#" $1, tz"0#"0,

T"0#"tensionAtMidLoop'%ml!mid$loop%(

&;

sol!Join"Eqns, initConds# ))

NDSolve"&, Funcs,%s, 0, sMax&#&))First;

sRoots!Map"s).&&, RootSearch"'y). sol("s#"0,

%s, sEpsilon, sMax&##;

sRootsPlus!Select"sRoots,'x). sol("&#'0 &#;

If"Length"sRootsPlus#(1, sC!First"sRootsPlus#;

hondaPos!%x"sC#, y"sC#, z"sC#& ). sol;

Join"%keySuccess)True, keyHalfLoopLength)sC, keyHondaPos)hondaPos&, sol#,

%keySuccess)False&

##

IntegrateAlongSpoke"#

rHonda_List ? IsANumericVector3D, forceHondaSpoke_List ? IsANumericVector3D, gravity_ ? NumericQ,

sMax_ ? NumericQ

#:!Block"%x, y, z, tx, ty, tz, T, s, g&, Module"%initConds, T0, t0, sol, rArm, armForce&,

g!gravity;

T0!Norm"forceHondaSpoke#;

t0!forceHondaSpoke)T0;

initConds!% x"0#"rHonda*1+, y"0#"rHonda*2+, z"0#"rHonda*3+, tx"0#"t0*1+, ty"0#"t0*2+, tz"0#"t0*3+, T"0#"T0

&;

sol!Join"Eqns, initConds# ))

NDSolve"&, Funcs,%s, 0, sMax&#&))First;

rArm!%x"sMax#, y"sMax#, z"sMax#& ). sol;

armForce!

T"sMax#%%tx"sMax#, ty"sMax#, tz"sMax#& ). sol;

Join"%keySMax)sMax, keyArmPos)rArm, keyArmForce)armForce&, sol#

#;#

-1.0 - 0.5 0.0 0.5 1.0

- 0.5 0.0

0.5

0.0 0.5 1.0 1.5 Differential Algebraic Equations

Shooting along the loopIntegration along the spoke

Starting Point

Shooting along loop

Obtained by symmetry

Integrate alo ng sp

oke

3D PLOT OF A LASSO

honda (2)

(1)

Tml BC1

BC2

loop in excess

Figure 6.4 – Schéma d’intégration du lasso. Les équations algébro-différentielles (DAE) pour un fil (encadré marron), l’algorithme de tir le long de la boucle (encadré rouge) et celui le long du spoke (vert) sont donnés. Le tracé 3D du lasso est représentatif de ces fonctions. La zone bleue de la boucle est obtenue par symétrie.

A a1

a0

a3 a2 B

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.5

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0 10 20 30 40 50

0.00 0.05 0.10 0.15 C 0.20

Figure6.5 – (A) Quatre types de solutions au système d’équations du paragraphe (6.2.1) sont obtenues par continuation (lasso) et tirs (autres) : (a0) solution non flambée verticale (la boucle est fermée), (a1) lasso en boucle plate, (a2) solutions de type "whirling" avec la boucle complètement fermée, (a3) solutions en cintres. Diagramme de bifurcation en fonction de la fréquence( ˜Ω,˜b= max

s∈loopx(s),˜c= max

s∈loopy(s))lorsque la main du cowboy est sur l’axe de rotation (R = 0) ˜b et c˜repèrent l’envergure des solutions respectivement sur l’axey etx. (B) Fréquences d’apparitions des modes de cintres (noir) et de whirling (rose) à partir de la solution non flambée verticale en fonction de la taille relative de la boucle1−π2. Le ligne en pointillés rouges verticale repère les conditions du diagramme (A). Les branches rose-pale correspondent à d’autres modes de whirling qu’on ne discute pas ici. (C) Branches de solutions du lasso dans le plan( ˜Ω,˜b) pour deux valeurs de1/π₁.

Les paramètres de continuation sont : Ω = 1/˜ √

π₃, ˜b= 1 L max

s∈[Ls,L]y(s), ˜c= 1 L max

s∈[Ls,L]x(s) (6.8) En pratique, cela signifie simplement que l’on opère avec un "honda" fixé, avec la main de l’opérateur maintenue sur l’axe de rotation en variant la vitesse de rotation. On rend compte des configurations observées en mesurant les points extrémaux de l’enveloppe de la boucle˜b (sury) et ˜c(sur x).

Lorsque l’on résout l’équation (6.4) avec les conditions aux limites spécifiées ci-dessus nous trouvons une zoologie de résultats dont le lasso en "flat loop" fait partie. Ces familles sont exposées en figure 6.5-A. En plus de la boucle de lasso classique (A-a1) il existe des modes très proches du "whirling" (A-a2) où la boucle du lasso est refermée sur elle-même, et des modes dits en cintre (A-a3) où la boucle est plane et ressemble à la partie basse d’un cintre de penderie. Notons que de ces modes dits de "whirling" étaient prévisibles.

En effet un lasso fermé peut être vu comme un fil unique de densitéρ sur une sa partie haute puis 2ρ plus loin.

La courbe bleue représente les états de lasso classiques et se trouve encadrée entre les états de "whirling" contraints au plan ( ˜Ω,˜b) et de cintres contraints au plan ( ˜Ω,c)˜. La formation du lasso peut être vue comme une combinaison de ces deux instabilités.

On montre ici que la bifurcation vers les états de lasso se fait uniquement à partir de ces états en cintre. Dans ce cas particulier la branche des états en cintre bifurque depuis l’axe( ˜Ω,0,0)avant l’apparition des états de "whirling". On note que l’ordre d’apparition relative des bifurcations en cintre et de "whirling" est une fonction de la taille de la boucle.

Ces fréquences sont tracées en fonction de 1−π₂ en figure 6.5-B. La ligne en pointillés rouges repère la valeur de ce paramètre correspondant au diagramme A. Ces solutions sont toutes en compétitions les unes les autres.

Bien sûr il est aussi possible de faire varier la position de la main du cowboy. L’effet de ce déplacement se mesure par la valeur du paramètre1/π₁ est montré en figure 6.5-C.

La courbe obtenue pour 1/π₁ = 10⁻⁴ sert de référence et on mesure l’effet de π₁ en observant la branche de solution en ligne pointillée obtenues pour 1/π1 = 3.2×10⁻². En particulier en arrivant des larges vitesses on observe la branche des solutions se finir avant d’atteindre l’axe : à ce point la boucle du lasso se referme et devient une solution en "whirling".

Les résultats exposés ci-dessus sont purement théoriques et numériques. Dans le but de valider notre modèle nous proposons l’expérience suivante.