PRINCIPAUX ÉLÉMENTS BIBLIOGRAPHIQUES
1.3 A PPROCHES RETENUES POUR MODÉLISER LE COMPORTEMENT À COURT TERME DES S.I.R.T
1.3.4 Le critère de rupture de Hoek-Brown
ou encore Gärber (2003) par exemple ont appliqué cette démarche et montré la validité des résultats correspondants.
Le critère de Hoek-Brown, avec ses paramètres dégradés pour le massif rocheux fracturé, a donc dès l’origine été pensé comme une méthode homogénéisée pour représenter le comportement à la rupture des différentes composantes du massif – roche intacte et discontinuités – par assimilation à un milieu isotrope. Hoek & Brown (1980b) ont suggéré que cette condition d’isotropie pouvait être remplie au- delà de quatre systèmes de discontinuités (de propriétés mécaniques équivalentes), et ont proposé de premières relations empiriques pour estimer m et s par type de roche et degré de fracturation.
1 . 3 . 4 .2 D é v e l op p em e n t d u cr i tè r e e t f o r m u l ati on g é n é r al i s é e
L’adoption rapide de ce critère de rupture par la profession, associée à une application large en laboratoire comme sur des projets réels, a conduit ses auteurs à réaliser des développements complémentaires permettant de mieux en quantifier les paramètres. Un historique complet des évolutions apportées au critère est proposé par Hoek & Marinos (2007) auxquels on pourra se référer.
Deux points ont plus particulièrement été approfondis :
- la méthode de calcul des paramètres dégradés du critère pour le massif rocheux ;
- le problème du biais vers les roches dures : du fait de l’origine du critère, la courbure retenue initialement restituait mal la rupture des massifs rocheux les plus fracturés.
Concernant le premier point, diverses relations ont été proposées reliant les valeurs de m et s à plusieurs systèmes de cotation du massif rocheux. Les méthodes RMR (Bieniawski) et Q (Barton), constituant des moyens rationnels de quantification de la qualité du massif rocheux (voir 1.4.3.2), ont été utilisés en première approche. Néanmoins, ces démarches conçues pour les roches dures peinent à retranscrire les caractéristiques des massifs rocheux de très faible qualité et ont nécessité des adaptations pour éviter la double prise en compte de certains facteurs (la présence d’eau en particulier). Hoek et al. (1995) ont donc introduit le GSI pour estimer les paramètres de résistance du massif rocheux en évitant ces difficultés. Initialement défini à partir des indices RMR et Q en considérant un massif rocheux sec et une orientation des joints favorable (GSI ≈ RMR79 - 5 ; GSI ≈ 9 ln(Q) + 44), le GSI a ensuite bénéficié d’une nouvelle approche, plus globale, basée simplement sur la structure du système de discontinuités et sur les conditions de surface des joints. La méthode empirique proposée par Hoek & Brown (1997) et complétée ultérieurement pour les matériaux folliés, est résumée sur la Figure 14. Elle présente l’intérêt d’être souple et adaptable à une large gamme de contextes géologiques (voir ci-après) mais laisse davantage de place à l’expérience de l’ingénieur. Les relations les plus récentes entre le GSI et les paramètres m et s sont proposées par Hoek et al. (2002) :
exp 100
28 14
i
m
m m GSI
D
et 100
exp 9 3 m
s GSI
D
(1.29) où Dm est un paramètre dépendant du niveau de perturbation apporté au massif par une
excavation à l’explosif et par la relaxation des contraintes.
Figure 14 : Table empirique pour la détermination de l'indice GSI à partir de la structure du massif et des conditions de surface des discontinuités (d’après Hoek (2007))
Concernant le biais initial du critère vers les roches dures, Johnston (1985) notait que l’exposant ½ constant du critère de Hoek-Brown constituait vraisemblablement le principal frein à son extension vers les roches les plus tendres. Ainsi, Hoek (1994) a finalement proposé une nouvelle formulation, incluant l’équation originelle (1.28), et permettant de traiter les cas des massifs plus altérés (GSI < 25 en particulier). Ce critère de Hoek-Brown généralisé s’écrit :
'
' ' 3
1 3 ci
ci
m s
(1.30) où est compris entre 0.5 à 0.65 (inclus).
Hoek et al. (2002) proposent pour déterminer la valeur de la relation :
15 20 3
1 1
2 6
e GSI e
(1.31)
Dans sa forme (1.30) le critère de Hoek-Brown généralisé a été appliqué à divers S.I.R.T. Par exemple, Serratrice (2002) ou Ghazvinian et al. (2008) montrent que son utilisation est possible pour décrire le comportement à la rupture des marnes, avec un exposant = ½ pour les échantillons de laboratoire intacts. Dans une approche plus orientée « terrain », Marinos & Hoek (2001) indiquent comment le GSI peut être adapté pour permettre la description de massifs hétérogènes comme les flyschs au moyen des paramètres de Hoek-Brown. Hoek et al. (2005) montrent également une application du critère et de la procédure de calcul des paramètres du massifs via le GSI pour des molasses du Nord de la Grèce.
Par ailleurs, comme cela a été relevé par Johnston (1985), on observe couramment dans le spectre des géomatériaux un phénomène d’évolution progressive depuis un critère linéaire (Mohr-Coulomb e.g.,
= 1 dans l’équation (1.30)) caractérisant les sols meubles jusqu’à un critère parabolique (Hoek- Brown e.g., = ½ dans l’équation (1.30)) caractérisant les roches dures. L’introduction d’un exposant
variable dans le critère de rupture de Hoek-Brown, autorisant une évolution de la courbure, a donc aussi permis de nouvelles interprétations pour les S.I.R.T., dans lesquelles peut prendre toute la gamme de valeurs entre ½ et 1, l’équation (1.31) ne s’appliquant alors plus. Habimana et al. (2002) par exemple, sur la base de nombreux essais de laboratoire, proposent pour les roches cataclastiques de caractériser le degré d’endommagement (tectonisation) en se référant au tableau du GSI et suggèrent diverses formulations pour estimer les paramètres du critère de rupture. Un exemple des résultats obtenus sur des grès quartzitiques est présenté dans le Tableau 5 et sur la Figure 15 ci-contre.
La valeur de se rapproche de 1 (critère linéaire de Mohr-Coulomb) avec l’augmentation de la tectonisation.
Le même type de démarche, visant à reproduire une modification progressive de la forme du critère en passant d’un comportement rocheux à un comportement de sol meuble, avait été proposé antérieurement par Papantonopoulos & Amatzidis (1993). Leur critère de rupture pour les roches tendres, à exposant variable, peut en fait être ramené à une expression semblable à (1.30), pour le cas s = 1.
Degré de tectonisation GSI m s t.ci
Légèrement tectonisé 80 5.32 0.0334 0.5 82
Tectonisé 50 5.66 0.0044 0.55 70
Fortement tectonisé 25 2.27 0.0038 0.65 42
Extrêmement tectonisé 15 2.15 0.0042 0.75 24
Tableau 5 : Paramètres de Hoek-Brown pour quatre degrés de tectonisation d'un grès quartzitique d'après Habimana et al. (2002). La résistance à la compression simple ci est minorée par un
paramètre de tectonisation t caractérisant la dégradation subie par la matrice rocheuse
Critère de rupture de Habim ana (grès quartzitique)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0 5 10 15
Sigma 3' (MPa)
Sigma 1' (MPa)
GSI = 80 GSI = 50 GSI = 25
GSI = 15 Figure 15 : Exemple d'évolution de la forme du
critère de rupture avec la tectonisation pour les grès quartzitiques tectonisés du Tableau 5,
d'après Habimana et al. (2002) :
'
' ' 3
1 3 ci
ci
t m s
t
1 . 3 . 4 .3 D é te r m i n ati o n d e p ar am è tr e s d e M o hr - Co u l o m b
« é q u i v al e n ts »
Pour que l’aperçu donné ici du critère de Hoek-Brown soit complet, il est nécessaire de mentionner l’existence de multiples travaux concernant l’obtention de paramètres de Mohr-Coulomb. Bien qu’il puisse sembler paradoxal de vouloir se ramener à un critère linéaire lorsque les données permettant de définir correctement la courbe parabolique sont disponibles, cette approche reste justifiée dans la pratique car de nombreux modèles analytiques et numériques de la géotechnique ne sont écrits qu’en fonction du critère de Mohr-Coulomb.
La méthode retenue consiste usuellement à choisir une gamme de contrainte principale mineure représentative du projet étudié et à réaliser une régression linéaire dans cette fourchette. Hoek &
Brown (1997) proposent de retenir de manière générale pour caractériser le massif rocheux la gamme 0 < 3’ < 0.25ci et d’effectuer la régression sur huit points également répartis suivant 3’ (simulant huit essais triaxiaux). La Figure 16 donne un aperçu graphique de la méthode, aisément programmable dans une feuille de calcul automatisée. Cette démarche de calcul très générale ne prend toutefois pas assez en compte les spécificités du projet considéré : Hoek et al. (2002) suggèrent donc une approche plus adaptable et tentent de définir des paramètres de Mohr-Coulomb donnant des comportements du terrain équivalents à ceux obtenus avec le critère non linéaire. Des formulations explicites sont fournies pour les paramètres c et , déterminés dans une fourchette t,iso < 3’ < 3max' . Pour les tunnels, 3max' est défini à partir de solutions analytiques de convergence du massif de sorte à obtenir
des courbes caractéristiques du terrain les plus proches possibles de celles correspondant au critère de Hoek-Brown (cas monophasique).
Figure 16 : Détermination des paramètres de Mohr-Coulomb du massif rocheux à partir d’un critère de Hoek-Brown généralisé (d'après Hoek
& Brown (1997)). cm désigne la résistance à la compression simple du massif rocheux obtenue après conversion ; les huit points utilisés pour la
régression sont représentés.
Plus récemment, divers auteurs ont observé que pour le cas des tunnels en conditions axisymétriques, la proposition de Hoek et al. (2002) restait encore trop imprécise, le critère de rupture n’étant en fait sollicité que sur une courte gamme de contrainte principale mineure, comprise entre la contrainte de confinement en paroi i et la pression « critique » à la limite élastique-plastique r*. Sofianos &
Nomikos (2006) présentent par exemple deux approches alternatives issues d’une approximation explicite originale de la valeur de r* (normalement définie implicitement dans les solutions analytiques avec critère de Hoek-Brown, voir partie 2) :
- la méthode « BFe » (Best Fitting in the existing range) propose des expressions explicites issues de régressions par la méthode des moindres carrés sur la gamme i < 3 < r* :
1 1
* 3 3 * 2 2 *
0 * 4 2
2 2
* 2 2 *
4 2
*
4 6
2 cos
1 1 sin
6
2
rN iN rN iN rN iN
N
ci rN iN
rN iN rN iN
rN iN
m s m s m s
C c
m
m s m s
m
(1.32)
1 1
* *
3 2
*
2 2
*
3 2
*
12 6
1 sin
1 sin 1 1
12
2
rN iN rN iN
P
rN iN
rN iN
rN iN
s m m s m s
K m
m s m s
m
(1.33)
où l’indice N désigne la normalisation par ci.
- la méthode « EMR » (Equating Model Responses) recherche les paramètres de Mohr- Coulomb conduisant au même rayon plastique et à la même pression critique que les solutions analytiques en axisymétrie avec critère de Hoek-Brown. Cette technique conduit à des biais faibles lorsque i est connue avec précision mais à une formulation plus complexe utilisant la fonction ou « W de Lambert » (voir partie 2).
Jimenez et al. (2008) indiquent une troisième méthode simplifiée, basée sur une formulation adimensionnelle de critère de Hoek-Brown et une procédure graphique simple, dont la démarche reste toutefois assez similaire à la technique « BFe ».
D’après les tests de performance (« benchmark ») présentés par les auteurs, ces trois méthodes de
« linéarisation », spécifiques au cas des tunnels, fournissent des résultats proches des solutions analytiques de convergence existant dans la littérature en configuration axisymétrique monophasique et apparaissent plus satisfaisantes que la proposition de Hoek et al. (2002). Sofianos & Nomikos (2006) proposent en outre des feuilles de calcul préprogrammées permettant l’application directe de leur démarche de calcul.
1.3.5 Non-linéarité des relations contrainte-déformation et modèle