HOEK-BROWN GÉNÉRALISÉ
2.3 É TUDE DU CAS ÉLASTIQUE LINÉAIRE PARFAITEMENT PLASTIQUE EN SITUATION MONOPHASIQUE
2.3.5 Mise en œuvre des solutions analytiques et validation
2 . 3 . 5 .1 M i s e e n œ u vr e d’ u n s ch é m a d e r é so l u ti on
Le principal intérêt du développement de solutions analytiques exactes ou semi-analytiques intégrables par une méthode simple à un pas (Runge-Kutta e.g.) est de disposer de méthodes de calcul facilement accessibles à l’ingénieur de bureau d’étude désireux d’effectuer des prédimensionnements de tunnel.
Les solutions présentées ici sont suffisamment simples pour faire l’objet d’une implantation dans une feuille de calcul (tableur Microsoft Excel par exemple). Ce travail de mise en forme a été réalisé dans le cadre du doctorat de sorte à ce que les résultats produits soient directement utilisables à l’issue de la thèse. La feuille de calcul est fournie avec le présent mémoire.
Le schéma de résolution du problème est le suivant dans le cas élastoplastique :
1- Calcul des valeurs adimensionnelles : S0, Si, , H à partir des données initiales du problème telles que représentées sur la Figure 29 et des paramètres du critère de rupture m, s, ci et ;
2- Calcul de la contrainte à la limite élastique-plastique Sr* en résolvant l’équation (2.42), soit analytiquement (cas = ½), soit avec la méthode de Newton-Raphson (implantée par défaut dans le solveur du tableur). Calcul du rayon plastique R. par (2.43) ;
3- Vérification de la présence d’un régime d’arête par le critère (2.60) (résolution exacte pour
= ½, approchée sinon) et si nécessaire calcul du rayon d’arête R. par (2.61) ;
4- Calcul des contraintes, déplacements et déformations dans la zone élastique par les relations (2.33) à (2.37) ;
5- Discrétisation de la zone plastique en régime de face avec un pas h, de la zone plastique en régime d’arête avec un pas ˆh. Calcul des valeurs de = r/(R) à chaque pas de rayon ; 6- Calcul des contraintes adimensionnelles dans la zone plastique :
o Sr est obtenu par (2.39) pour tout r inférieur à R
o S est obtenu par S = Sr + Sr pour tout r inférieur à R ;
o Sx est obtenu par (2.40) pour R r R et par Sx = S pour tout r inférieur à R
7- Calcul des déplacements dans la zone plastique en régime de face. Pour = ½ les solutions exactes peuvent être utilisées (expressions (2.57) et (2.59) respectivement pour les potentiels plastiques de Mohr-Coulomb et Hoek-Brown). Pour les autres valeurs de , on calcule g() en utilisant une méthode de Runge-Kutta d’ordre 4 telle que décrite en annexe A1 avec (pour un pas de discrétisation h, régulier) :
t = t0 = 1 hj = h y = g dg y d
2 2
y d g d
y0 g
1 y0g'
1
2 11 1
2 3 3
, , 2
2 r r
dg A dg A R
f g g A A S A S
d d
Les valeurs du déplacement u sont obtenues à chaque pas de rayon par u = .g().
8- Calcul des déplacements dans la zone plastique en régime d’arête. Pour = ½ les solutions exactes peuvent être utilisées (expressions (2.68) et (2.70) respectivement pour les potentiels plastiques de Mohr-Coulomb et Hoek-Brown). Pour les autres valeurs de , on calcule g() en utilisant une méthode de Runge-Kutta d’ordre 4 telle que décrite en annexe A1 avec (pour un pas de discrétisation ˆh, régulier) :
t = t0
ˆ
hj h y = g dg
yd
2 2
y d g d
y0 g
'
y0 g
2 11 1
2 3 3
2
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
, ,dg A dg A R r r
f g g A A S A S
d d H
Les conditions aux limites y0 et y0 en sont issues de la phase 7-.
Les valeurs du déplacement u sont obtenues à chaque pas de rayon par u = .g().
9- Calcul des déformations dans la zone plastique (régime de face et d’arête) par (2.6) et (2.55), pour chaque pas de rayon.
2 . 3 . 5 .2 V al i d ati o n d es s o lu ti o n s ob te n u e s
Les solutions obtenues ont été validées par plusieurs méthodes :
- pour les cas recoupant les calculs de Carranza-Torres (2004) (régime de face, potentiel plastique de Mohr-Coulomb et potentiel plastique de Hoek-Brown sans résolution analytique), en comparant les expressions des contraintes ou les valeurs de déplacement après intégration ;
- pour les cas non traités par la littérature, par comparaison avec des calculs effectués par le code d’éléments finis CESAR-LCPC, dans lequel la programmation du critère de Hoek- Brown généralisé a été récemment améliorée.
Les calculs CESAR-LCPC ont été effectués sur un simple modèle 1D-axisymétrique, dans lequel l’excavation est simulée par application de forces de déconfinement à la paroi du tunnel, à partir d’une situation de contraintes initiales isotropes. À l’extrémité du modèle, des « éléments infinis », dont les caractéristiques élastiques simulent une extension infinie du massif, ont été positionnés, permettant d’éliminer les effets de bord. Le modèle utilisé dans les comparaisons ci-après est présenté sur la Figure 31. Le maillage est constitué d’éléments quadrangulaires avec interpolation quadratique ; les
éléments au voisinage de la paroi du tunnel ont une extension radiale de 10 cm, ceux à l’extrémité du modèle d’un mètre.
Massif
Éléments infinis Blocage latéral
Forces de déconfinement
5 m 45 m
Figure 31 : Structure du modèle 1D-axisymétrique CESAR-LCPC utilisé pour la validation des solutions analytiques dans le cas monophasique (le blocage latéral correspond physiquement à des
rouleaux)
Rayon plastique, rayon d’arête et valeurs des contraintes
À la normalisation (2.16) des contraintes près, les expressions du rayon plastique et des valeurs de contraintes radiale r et tangentielle sont identiques à celles fournies par Carranza-Torres (2004) ce qui permet de les valider directement. Les éléments nouvellement développés correspondent au calcul de la contrainte intermédiaire x et du rayon d’arête R.. Des comparaisons concluantes ont pu être effectuées avec les calculs produits par CESAR-LCPC.
La Figure 32 ci-après présente un exemple de résultats, obtenus pour le cas décrit dans le Tableau 10.
Les paramètres du critère de rupture sont ceux d’un grès quartzitique très tectonisé, tels que décrits par Habimana (1999) pour des échantillons du lot D de la galerie de Cleuson-Dixence. Les autres paramètres ont été fixés arbitrairement.
On note l’excellente correspondance entre les valeurs « analytiques » et « numériques », ainsi que la bonne description du rayon plastique et du passage en régime d’arête.
Rayon du tunnel R 5 m Résistance à la compression simple ci 42 MPa Contrainte initiale isotrope 0 40 MPa Exposant de Hoek-Brown 0.64
Contrainte en paroi i 1.5 MPa Module d’Young E 3 GPa
Coefficient de Hoek-Brown m 2.48 Coefficient de Poisson 0.3
Coefficient de Hoek-Brown s 0.00024 Dilatance 10°
Tableau 10 : Jeu de paramètres pour la validation des solutions analytiques monophasiques (potentiel plastique de Mohr-Coulomb, présence d'un régime d'arête)
Contraintes radiale - tangentielle - longitudinale
0 10 20 30 40 50 60 70
0 5 10 15 20 25 30
Distance au centre du tunnel (m)
Contrainte (MPa) Rayon d'arête Rayon plastique
r
x
Solutions analytiques + Calculs CESAR
Figure 32 : Comparaison des valeurs de contraintes entre les calculs analytiques et numériques pour un cas de tunnel en milieu monophasique
Valeurs de déplacements
Le Tableau 11 présente quelques valeurs de déplacement obtenues à partir du jeu de paramètres du Tableau 10, amendé de la façon suivante : vaut soit 0.5 soit 0.64, la dilatance n’est utilisée que pour le potentiel plastique de Mohr-Coulomb (le potentiel de Hoek-Brown étant associé). Comme le montre la Figure 32, il s’agit de cas dans lesquels un régime d’arête se manifeste. Les sigles utilisés dans le tableau sont les suivants :
- FR-RK : calcul avec les méthodes analytiques présentées dans le présent mémoire, schéma d’intégration final de Runge-Kutta ;
- FR-E : calcul avec les méthodes analytiques présentées dans le présent mémoire, solutions exactes (limité au cas = 0.5) ;
- CCT : calcul avec le tableur proposé par Carranza-Torres (2004) ; - CESAR : calcul CESAR-LCPC, à partir du modèle décrit en Figure 31.
Potentiel plastique de Mohr-Coulomb ( = 10°) Potentiel plastique de Hoek-Brown (associé)
= 0.5 = 0.64 = 0.5 = 0.64
Valeurs en m
FR-E FR-RK CESAR FR-RK CCT CESAR FR-E FR-RK CESAR FR-RK CESAR R. 9.076 9.076 9.068 9.856 9.856 9.838 9.076 9.076 9.068 9.856 9.839 R. 5.833 5.833 5.845 6.527 - 6.496 5.833 5.833 5.787 6.527 6.496 u(15 m) 0.052 0.052 0.052 0.062 0.062 0.062 0.052 0.052 0.052 0.062 0.062 u(R.) 0.086 0.086 0.086 0.094 0.094 0.094 0.086 0.086 0.086 0.094 0.094 u(R.) 0.168 0.168 0.168 0.176 0.176 0.178 0.229 0.229 0.233 0.254 0.257 u(R) 0.220 0.220 0.220 0.280 0.278 0.280 0.391 0.391 0.378 0.668 0.648
Tableau 11 : Valeurs de déplacements, rayon plastique et rayon d'arête calculés par différentes méthodes (cas monophasique)
Les valeurs en italique dans le tableau ont été obtenues par interpolation linéaire entre deux points de calcul. La valeur grisée (0.278) n’a pas de sens mathématiquement puisque les solutions de Carranza- Torres (2004) ne prennent pas en compte le régime d’arête. Elle permet toutefois de constater que l’étude en régime d’arête apporte au final assez peu d’écart sur les valeurs de déplacement en paroi.
Cette observation a pu être confirmée sur diverses configurations étudiées dans le cadre de ce travail, y compris avec un potentiel plastique associé : les solutions de la littérature négligeant le régime d’arête pourront donc généralement être considérées comme valables à quelques pourcents près.
De manière générale, la correspondance entre les différentes méthodes de calcul apparaît excellente.
Les valeurs « exactes » et « approchées par la méthode de Runge-Kutta d’ordre 4 » correspondent généralement entre elles à 10-7 m près (le Tableau 11 a été limité à trois chiffres significatifs). Les valeurs numériques obtenues par CESAR-LCPC s’écartent peu de la valeur théorique, en particulier pour le cas du potentiel plastique de Mohr-Coulomb. Dans le cas du potentiel plastique associé, les déformations plastiques apparaissent légèrement sur-évaluées par le logiciel en régime de face, mais plutôt sous-évaluées en régime d’arête ce qui pourrait indiquer un biais supplémentaire dans la prise en compte de la combinaison convexe des règles d’écoulement. Les valeurs de déplacement obtenues restent toutefois globalement satisfaisantes (erreurs de 2 à 3 % sur la convergence en paroi). Diverses raisons peuvent être invoquées pour expliquer ces écarts. Notamment, la dérivée du critère ou du potentiel étant estimée dans le logiciel au niveau de l’estimateur élastique (qui diffère légèrement du point précis de contact avec la limite d’élasticité) on introduit ainsi dans le calcul une erreur supplémentaire pour un potentiel plastique non linéaire, qui n’existait pas dans le cas du potentiel de Mohr-Coulomb. On note également que l’incertitude augmente avec la taille de la zone plastique, qui est ici relativement importante (environ un rayon de tunnel) ; une amélioration pourrait éventuellement être recherchée avec un critère de convergence plus restrictif pour chaque incrément de chargement (ici la tolérance relative était fixée à 10-3 dans CESAR-LCPC), ou avec un maillage encore plus fin.
Enfin, il est intéressant de remarquer dans le Tableau 11 les fortes différences de convergence en paroi qui peuvent exister entre le potentiel plastique associé et le potentiel plastique de Mohr-Coulomb. Ces résultats sommaires mettent clairement en exergue l’importance du potentiel plastique considéré et de ses paramètres pour le dimensionnement, le point d’équilibre massif-soutènement se situant à l’intersection des courbes de convergence et de confinement.
2.3.6 Conclusion sur le cas élastique linéaire parfaitement plastique