Discussion

only apparent and mostly due to the simultaneous variations ofL and k in our simulation settings. In fact, we have found that Dcc=L⁰depends more onL=kthan onk. The range of variations of Dcc=L⁰is reduced from 0.25 to 0.09 when decreasing the range of variations ofL=kfrom 64 to 8. Disregarding these dummy varia- tions, the sole genuine variation that is not a transition is the in- crease inDcc=L⁰ with smalleravalues for dense networks (FD0).

What fundamentally changes in the latter case is the nature of the correlations.Dcc=L⁰ seems to be more affected by the nature of the correlation than by the variability of permeability. Aside from the large variation ranges due to a transition from porous-like to fracture-like media marked in bold inTable 4, it is the sole case where the variation range ofDcc=L⁰is significant. More precisely, it is of the order of three quarters of the full range of variations in all fracture networks, where all other cases are restricted to one quar- ter. The channel continuity measured byDcc=L⁰is thus much more influenced by the nature of the correlation structure than by the other parameters including the permeability variability, the frac- ture density and the correlation length.Dcc=L⁰ can be considered as an indicator of the nature of correlation. Finally, the absence of correlation between variability andDcc=L⁰ expresses that there is a fundamental limit in channeling related to the local permeabil- ity structure rather than to the permeability variability.

meability zones. Dcc=L⁰>0:5 corresponds to positiveCF1 values indicating flow fields more influenced by the high-permeability zones making up the channels. The advantage ofDcc=L⁰ overCF1

is that the correlation structures are better distinguished. For example, PC+ and PF have very closeCF1values (Fig. 6) but differ by theirDcc=L⁰ values. This difference stems from the more con- trasted channels in the PF configuration relative to the PC+ config- uration, despite the similar channeling intensity. However, it must be noted thatCF1better distinguishes PF from PF2 thanDic=Land Dcc=L. The second advantage ofDcc=L⁰ overCF1is that it provides information on the flow structure in both porous and fracture cases.

Dic=LandDcc=L⁰ could also be readily computed in anisotropic and 3D fields. We expect both anisotropy and 3D to increase Dcc=L⁰ without significantly modifying Dic=L. Dic=L will remain linked to the volume of the low-flow zones, the characteristic size of which will not be strongly modified. However, we expect anisot- ropy to increaseDcc=L⁰just by the effect of the higher velocity cor- relations in the flow direction. 3D could also potentially provide longer and more tortuous channels around the low-flow zones, and hence increaseDcc=L⁰.

The derivation ofDic=LandDcc=L⁰in natural cases is more diffi- cult because of the lack of data that would lead to their direct esti- mate. They could however be inferred from the geometrical and hydraulic characteristics of the permeability field either with the results of this study or with closer simulations. It would be inter- esting, in field cases, to condition the estimation of these indexes on permeability and flow values and thus to lower the non-negli- gible variability displayed inFig. 14.

6. Summary and conclusion

Channeling has been observed both in field and in synthetic contexts. However, its characterization has been essentially quali- tative. We introduce two statistical indicators based on the distri- bution of flow rates and compute them on a wide variety of porous and fracture permeability fields. The tested fields range, in porous media, from multi-Gaussian fields with classical correlation laws (Gaussian and exponential) to permeability fields rearranged to en- hance channeling using the method by Zinn and Harvey and to per- meability fields rearranged to mimic the presence of fractures within the field. The tested fractured media cover a broad range of fracture lengths, densities and transmissivity distributions.

The first indicator, Dic, is related to the characteristic inter- channel distance. It is based on the participation ratioS2applied to the distribution of flow-tube widths. Although statistically de- rived, this ratio can be interpreted as a characteristic scale of the low-flow zones perpendicular to the flow. It is moreover highly sensitive to the variability of the permeability, as well as to the permeability correlation pattern. The second indicator,Dcc, is re- lated to a characteristic extension of channels. It is too computed with the participation ratioS2applied to the Lagrangian derivative distribution of flow rates. It is highly sensitive to the nature of the permeability correlation structure, which is also an important channeling cause. Both indicators consistently characterize flow channeling in porous and fractured media, withDic being more sensitive in fractured media andDccin porous media. As they are weakly correlated, they measure different channeling characteris- tics that are weakly dependent and are complementary to charac- Fig. 14.D_ic=LandD_cc=L⁰versusCF₁andCT₁. This figure shows the variability of the indicators by depicting the 500 values for PG, PC+ and PF2ðr²y¼3;k¼8Þand, if available, FDS0 and FDS2. Small points stand for the 500 results and large points for the associated mean. Error bars stand for the standard deviation.D_icandD_ccare generally less variable in the same configurations thanCF₁, and particularly thanCT₁.

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ARTICLE IN PRESS

Please cite this article in press as: Le Goc R et al. Statistical characteristics of flow as indicators of channeling in heterogeneous porous and fractured media.

Adv Water Resour (2010), doi:10.1016/j.advwatres.2009.12.002

terize channeling in porous and in fractured media. As a result, they are complementary to identify and quantify channeling in various media, from non-channeled fields like multi-Gaussian per- meability fields with common correlation laws to highly-chan- neled media like porous-fractured fields with a large variability and fracture network with large fractures and broadly distributed transmissivity values. We will use the proposed indicators in fur- ther studies to distinguish weakly-, mildly- and highly-channeled media in order to choose the most relevant modeling framework and identification strategies.

Acknowledgements

The French National Research Agency ANR is acknowledged for its financial founding through the MOHINI project (ANR-07-VULN- 008) and for providing for numerical methods and computational means through the MICAS project (ANR-07-CIS7-004). The authors thank two anonymous reviewers for their highly detailed and con- structive reviews.

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ARTICLE IN PRESS

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Chapitre : Analyse statistique des écoulements : définitions d'indicateurs de chenalisation

B. Résultats complémentaires

Les indicateurs de chenalisation présentés dans cette partie reposent sur les propriétés lagrangiennes du flux (tube de courant, ligne de flux) plutôt que sur la distribution des valeurs de flux. Ce paragraphe présente donc les résultats obtenus à partir d'indicateurs plus classiques, comme l'écart type ou la longueur de corrélation.

1. Statistiques sur la distribution des valeurs de flux

La chenalisation des écoulements est provoquée par l'hétérogénéité du milieu et par la structure de corrélation entre les zones de forte transmissivité. Intuitivement, on peut donc supposer que la variabilité des valeurs de flux, mesurée par l'écart-type, ainsi que leur corrélation, mesurée par la longueur de corrélation, sont des outils pertinents pour quantifier le chenalisation des écoulements. De plus, la moyenne des écoulements devrait permettre de mesurer l'importance des chemins d'écoulements préférentiels dans la mesure où si le flux est fortement chenalisé, on peut s'attendre à obtenir une vitesse moyenne plus importante. Nous avons donc calculé ces différentes grandeurs pour certaines des configurations présentées au paragraphe précédent. La figure 4-1 montre les résultats obtenus.

figure 4-1 : Valeurs moyenne du logarithme du flux (a), écarts-type (b) et longueurs de corrélation (c) calculés pour les configurations tests de la figure 4-6. Chaque valeur est prise comme la moyenne de 500 simulations.

Premièrement, on constate sur la figure 4-1-a, qu'une forte connectivité des zones les plus transmissives n'a qu'une incidence marginale sur la valeur moyenne des écoulements. C'est

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particulièrement visible pour les configurations PF, réorganisées pour créer des structures connectées de forte transmissivité similaires à des fractures, qui ont un flux moyen proche de celui des configurations PG qui ne bénéficient pas de cette réorganisation. De la même manière, FDS0 et FTS0, qui diffèrent par leur densité de fracturation, FTS0 étant au seuil de percolation et FDS0 étant 3 fois plus dense, ont également des flux moyens très proches. On ne peut donc pas utiliser la valeur moyenne du flux pour distinguer un milieu chenalisé d'un milieu non chenalisé.

Si la moyenne n'est pas pertinente, on s'attend néanmoins à ce que la variabilité des valeurs de flux soit plus importante dans un milieu chenalisé, avec des écoulements importants dans les chemins préférentiels et des écoulements très faibles en dehors de ces chemins. A partir des résultats de la figure 4-1-b, on observe que si l'écart-type est effectivement légèrement supérieur pour les configurations PF par rapport aux configurations PG, les configurations PC+, réorganisées statistiquement pour favoriser la connectivité des fortes valeurs de perméabilités, ont un écart-type proche de celui des milieux non-réorganisés. Ceci signifie que la localisation des fortes valeurs de perméabilité ne se traduit pas nécessairement par une amplification des écarts entre flux faibles et forts mais plutôt par une plus grande organisation entre ces valeurs. De plus, la variabilité dans les milieux fracturés est nécessairement plus faible que dans les milieux poreux, dans la mesure où les écoulements sont de toute façon localisés à l'intérieur du réseau de fracture. Par conséquent, la variabilité des valeurs de flux ne permet pas non plus de quantifier la chenalisation des écoulements.

Comme illustré à la figure 4-1-c, la longueur de corrélation ne permet pas de distinguer les milieux fortement chenalisés. En effet, cette grandeur est sensible à la fois aux corrélations entre les fortes valeurs de flux, mais également entre les faibles valeurs, ce qui explique la valeur importante, en comparaison, des configurations PC-. De plus les indicateurs basés sur le variogramme de la distribution ne sont pas pertinents pour mesurer la connectivité du milieu, comme l'ont montré [Western et al., 1998] et [Knudby and Carrera, 2005].

2. L'utilisation du ratio de participation S2

Puisque les indicateurs les plus intuitifs ne permettent pas de mesurer le degré de chenalisation d'un milieu, Il est nécessaire d'utiliser des outils plus élaborés comme le ratio de participation S2 [Davy et al., 1995]. Cependant, l'application directe de S2 au champ de flux n'est pas satisfaisante. La figure 4-2 montre les valeurs de S₂(ϕ), où ϕ représente le flux.

S₂ quantifie la surface occupée par les fortes valeurs d'une distribution par rapport à la surface totale. Une valeur proche de 1 signifie que toutes les valeurs de la distribution sont proches les unes de autres alors qu'une valeur proche de 0 signifie que quelques valeurs sont significativement plus fortes que le reste de la distribution. En l'appliquant aux valeurs de flux (figure 4-2-a), on espère donc que les milieux chenalisés, où les fortes valeurs sont localisées dans les chemins préférentiels d'écoulement, présenteront une valeur de S₂ significativement inférieure aux milieux non chenalisés. Si les résultats obtenus conviennent pour la plupart des configurations test, on observe cependant que la valeur de S₂ pour les configurations PC+ est très proche des configurations PG et PE, non organisées. Ceci s'explique par le fait que S₂ n'est pas sensible à l'organisation entre fortes et faibles valeurs, mais uniquement à l'importance relative des unes par rapport aux autres. Par ailleurs, la comparaison entre les valeurs de S₂ des milieux poreux et des milieux fracturés est impossible dans la mesure où le support est différent. Dans les milieux poreux, les écoulements se produisent sur toute la surface du milieu alors que dans les milieux fracturés, ces écoulements sont localisés dans les fractures, ce qui donne des valeurs artificiellement basses. Il est par conséquent très difficile de classifier les milieux fracturés par rapport aux milieux poreux.

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Chapitre : Analyse statistique des écoulements : définitions d'indicateurs de chenalisation

figure 4-2 : valeurs de S₂(ϕϕϕϕ) pour les différentes configurations présentées à la figure 4-6. Les valeurs présentées correspondent à la moyenne calculée à partir de 500 simulations.

Une solution aurait pu être de calculer S₂ sur la distribution lagrangienne des flux (figure 4-2- b). En effet, le champ lagrangien suit les lignes de flux, ce qui résout la question du support tout en favorisant les chemins de fort écoulement. Cependant cette solution présente le même inconvénient que l'utilisation de la longueur de corrélation et on obtient un S2 fort pour certains milieux très chenalisés (PF2 et FTL0 par exemple) dans la mesure où ceux-ci ont des lignes de flux concentrées dans les chemins préférentiels et on donc une distribution plutôt homogène dominée par les fortes valeurs. La valeur de S₂ est dans ce cas proche des valeurs obtenues pour les milieux non chenalisés, où les distributions sont également plutôt homogènes, mais dominées par les faibles valeurs. Le problème vient ici du fait que S₂ n'est pas sensible aux valeurs absolues mais à l'écart relatif entre les faibles et les fortes valeurs, ce qui ne permet pas de distinguer, par exemple une distribution D₁ d'une distribution D₂ dont les valeurs seraient toutes égales à n fois les valeurs de D₁.

En conclusion, quantifier le degré de chenalisation des écoulements dans les milieux poreux et hétérogène nécessite d'utiliser des indicateurs élaborés, appliqués à des propriétés statistiques plus caractéristiques de la chenalisation que la simple distribution des valeurs de flux. C'est pourquoi les indicateurs proposés se basent sur la distribution des largeurs des tubes de courant et sur la dérivée spatiale du champ lagrangien.

C. Conclusion

Les milieux fortement hétérogènes, où les écoulements sont très chenalisés, ont des propriétés hydrauliques particulières, dominées par les structures très transmissives qui forment des chemins préférentiels d'écoulement. Il est donc difficile de remplacer ces milieux par des modèles homogénéisées n'intégrant pas ces caractéristiques. C'est pourquoi il est important d'évaluer le degré de chenalisation des écoulements afin de mettre au point des modèles pertinents. Comme la chenalisation est provoquée par l'hétérogénéité du milieu et par la présence de motifs de corrélation entre zones de forte transmissivité, des indicateurs statistiques simples comme la variabilité des valeurs de flux ne permettent pas de distinguer un milieu chenalisé d'un milieu non chenalisé. C'est pourquoi nous avons mis au point des indicateurs basés sur les propriétés physique des chenaux, c'est-à-dire sur le fait qu'ils localisent les forts écoulements et qu'ils sont continus tout au long du milieu. Les indicateurs présentés dans cette partie évaluent la distance caractéristique entre deux chenaux principaux (D_ic) et la persistance du chenal dans le milieu (D_cc).