Discussion sur les méthodes proposées et les résultats obtenus

Les thématiques abordées dans ce mémoire ont pour but une meilleure prise en compte de la complexité du milieu naturel. L'objectif de ce paragraphe est de discuter les résultats obtenus.

1. Définition d'un modèle stochastique de fracturation

La partie 3 est consacrée à la définition d'un modèle 3D de la fracturation de sites naturels. Le seul moyen de définir ce modèle est de traiter les données disponibles. On a vu néanmoins que ces données pouvait contenir des biais qui, non corrigés, altèrent la vision que l'on peut avoir des propriétés du milieu naturel. Si la méthode proposée permet de corriger les biais liés à la déconnexion des traces de fracture et à la sous-représentation des plus grandes fracture, on peut légitimement se poser la question de savoir si d'autres sources de biais sont possibles.

Cette question est importante dans la mesure où, en corrigeant les biais identifiés, l'exposant de la loi de puissance a été modifié de l'ordre de 12%. La première cause de biais (biais

« géométrique ») provient d'une incompatibilité entre la géométrie de la surface d'échantillonnage et la géométrie des objets mesurés. S'il existe de nombreuses études portant sur l'influence de ces biais et proposant des méthodes pour les corriger, toutes ses méthodes reposent sur une géométrie supposée des fractures ou sur une propriété statistique assumée.

S'il n'existe aucune méthode universelle, l'objet fracture est en lui-même quelque chose de complexe et il est vraisemblable que les biais d'observation restent mal connus, malgré tous les efforts accomplis. De surcroit, à ces biais géométriques se superposent des « biais environnementaux » plus difficiles à quantifier. Ces biais sont donc plus rarement pris en compte lors de l'analyse des milieux naturels. Dans l'étude présentée à la partie 3, les biais géométriques sont corrigés par des méthodes classiques prenant en compte la distribution et la géométrie supposée des fractures. Cette correction des effets de taille finie compte pour moitié dans la modification de la valeur de l'exposant de la loi de puissance. L'autre moitié provient des biais environnementaux. Ces biais sont, dans notre cas, corrigés par une méthode qui ne fait aucune supposition sur la distribution sous-jacente, ce qui permet de penser que c'est une méthode de correction efficace. Rien n'empêche cependant de penser que d'autres biais restent présents et que leur prise en compte pourrait substantiellement modifier les résultats obtenus. On ne peut malheureusement pas forcément compter sur la quantité de donnée pour compenser les biais inconnus. En effet, si ces biais sont systématiques, en faveur des grandes fractures ou des fractures verticales par exemple, augmenter le nombre de données ne donne pas une vision plus réaliste du phénomène étudié. Les biais non systématiques augmentent la variabilité visible du phénomène qui, par contre, peut être prise en compte lors de la définition du modèle.

Les modèles utilisés pour décrire les données sont des modèles stochastiques, basés sur une loi de probabilité pour les longueurs de fractures et pour les orientations. Les modèles stochastiques permettent généralement de bien reproduire les données observées mais leur pertinence est limitée par le fait qu'ils n'intègrent généralement pas les propriétés organisationnelles du milieu. Par exemple, un modèle stochastique de réseau de fracture peut avoir, en moyenne, une connectivité très différente des réseaux naturels [Andresen et al., 2008] parce qu'il ne prend pas en compte les corrélations entre paramètres. Comme ces corrélations peuvent être indirectes, c'est-à-dire non mesurable par une loi de régression entre deux paramètres, elles sont difficiles à détecter et donc à intégrer au milieu. La loi d'échelle dérivée de [Davy et al., 2009] en est un exemple flagrant. Ce modèle introduit une corrélation entre la position d'une fracture par rapport à ses voisines et sa longueur, corrélation décrite par une loi simple mais difficile à caractériser statistiquement. Elle pourrait en effet se traduire

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Chapitre : Synthèse, discussion et conclusion

par plusieurs types de corrélations statistiques comme une corrélation entre la longueur d'une fracture et la longueur de ses voisines ou une corrélation entre la densité locale autour d'une fracture et sa longueur, etc. C'est pourquoi un modèle stochastique purement descriptif n'est pas forcément pertinent pour modéliser un phénomène, même s'il parvient à reproduire les données observées, dans la mesure où certaines de ses propriétés peuvent ne pas être respectées. Ces propriétés peuvent être liées soit à la structure du milieu étudié, comme sa connectivité, où au rôle joué par certains éléments statistiquement rares mais très influents.

On peut donc supposer que le modèle purement descriptif présenté à la partie 3, basé sur une distribution des longueurs et des orientations, est moins efficace pour caractériser les propriétés hydrauliques que le modèle « amélioré » décrit par [Davy et al., 2009] et qui décrit l'organisation des fractures entre elles.

2. Définitions d'indicateurs sur la chenalisation des écoulements

Utiliser des indicateurs supplémentaires permet d'intégrer, dans un modèle stochastique, les propriétés du milieu qui ne sont pas décrites par les paramètres du modèle. La question est donc de savoir quelles propriétés doivent avoir les indicateurs pour améliorer les capacités de représentation du modèle. Les indicateurs D_ic et D_cc, présentés à la partie 4 ont été définis de manière à caractériser les propriétés géométriques des chenaux d'écoulement. Ils sont donc basés sur l'organisation des écoulements bien que calculés à partir de leur distribution. Il existe en effet des indicateurs uniquement basés sur la distribution de la perméabilité, comme la moyenne, la variance et même le ratio de participation, et des indicateurs basés sur la structure, l'organisation des valeurs de perméabilité. Le premier type d'indicateur a été largement utilisé pour décrire les propriétés physiques des milieux hétérogènes afin d'en déduire les propriétés hydrauliques. L'inconvénient de ces indicateurs est de ne fournir qu'une information à très grande échelle et à négliger toutes les propriétés plus locales qui ont pourtant un rôle déterminant dans les propriétés hydrauliques. C'est pourquoi l'utilisation d'indicateurs du second type est de plus en plus fréquente afin de pallier les limitations des premiers indicateurs. Le principal support théorique pour le développement d'indicateurs sur la structure de la perméabilité est la statistique multipoint, qui cherche à quantifier ses corrélations locales. Cependant, comme l'ont montré différentes études [Western et al., 1998;

Knudby and Carrera, 2005], même la statistique multipoint a ses limitations. En fait, dans l'analyse des propriétés hydrauliques, la direction dans laquelle la statistique est faite joue un rôle important. C'est pourquoi D_ic et D_cc présentent un avantage déterminant. Comme ils sont basés sur les propriétés lagrangienne du flux, ils quantifient des propriétés dans la direction du flux, sans pour autant recourir à des artifices de constructions. Un autre avantage est qu'au contraire de certains indicateurs qui fournissent une grandeur statistique difficilement interprétable, ils peuvent être considérés comme la distance caractéristique entre deux chenaux principaux d'écoulement et la longueur caractéristique des chenaux où les écoulements sont significatifs. Ces valeurs ont une réalité physique et sont donc intimement liées à la structure de la perméabilité. Cette réalité est de plus valable tant pour les milieux poreux et les milieux fracturés. Dic et Dcc peuvent donc servir pour caractériser un milieu, mais également permettre de remplacer un milieu complexe par un modèle simple tout en respectant les propriétés hydrauliques. En effet, si les milieux poreux et les milieux fracturés ont des structures différentes et que leurs propriétés hydrauliques sont gouvernés par des paramètres différent, ils pourraient servir de critères communs permettant de comparer, voir de substituer, une représentation par une autre.

3. Résolution du problème inverse

La nature même des systèmes complexes rend la résolution du problème inverse difficile.

Compte tenu de la quantité d'information disponible, il est nécessaire de bien poser le

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problème et de déterminer quelles sont les caractéristiques du milieu que l'on cherche à identifier et quelles sont les propriétés que l'on va utiliser pour réussir cette identification.

Pour l'identification des structures responsables de la chenalisation des écoulements fracturés (Partie 5), nous avons émis l'hypothèse que les écoulements étaient dominés par certaines structures principales dont l'organisation hiérarchique permettait de négliger les éléments les moins significatifs. C'est sur cette hypothèse qu'ont été conçue à la fois la paramétrisation basée sur les chenaux d'écoulement et la méthode d'identification itérative. Cette hypothèse est appuyée par les simulations d'écoulement dans les milieux chenalisés et par la littérature.

Néanmoins, si la méthode est particulièrement efficace sur les milieux synthétiques qui remplissent les conditions de l'hypothèse, on peut se poser la question de sa justesse dans les milieux où l'hypothèse n'est pas valable. Tout d'abord, si plusieurs structures ont exactement la même importance en termes d'écoulement, la méthode commencera par identifier l'une ou l'autre de ces structures. Si ces structures sont déconnectées, alors l'identification d'une d'entre elle correspond à un minimum local de la fonction-objectif. Dans ce cas, il n'y aura pas de problème et le choix du minimum par la méthode dépendra des conditions initiales. Par contre, si les structures sont connectées ou s'il existe un minimum local intermédiaire correspondant à l'identification d'une structure différente permettant de reproduire les effets des deux structures, il est possible que la méthode commence par ajouter cette structure à la paramétrisation. Dans ce cas, soit le modèle final contiendra cette structure superflue, soit, à l'étape suivante, cette structure sera recalibrée vers une des structures existantes grâce à l'ajout d'un nouveau chenal. Dans ce cas, la quantité respective de chacun des modèles dans les solutions individuelles ainsi que les valeurs de fonction-objectif obtenues détermineront quelles structures seront conservées après la phase de post-traitement. Le même genre de difficulté apparaît si le nombre de structures non négligeables est important. En effet, la méthode proposée peut difficilement identifier simultanément plus de trois ou quatre chenaux d'écoulement. Là encore, si plusieurs chenaux ont une importance similaire, chaque résolution pourra identifier des chenaux différents en fonction des conditions initiales et c'est la méthode d'analyse qui triera les résultats les plus pertinents. Finalement, le modèle proposé remplace toutes les structures considérées comme moins importantes par une matrice homogène.

Néanmoins, il est possible que les structures secondaires, bien que négligeables indépendamment, aient ensemble une influence non-négligeable sur les flux. Dans la méthode proposée, cette influence ajoutera dans le meilleur des cas de l'incertitude aux résultats obtenus et dans le pire des cas provoquera la présence de chenaux superflus destinés à compenser ces effets. Une fois de plus, tout dépendra du nombre de solution individuelle et de la capacité de la méthode d'analyse à ne conserver que les chenaux pertinents. Ces constatations montrent que plus la structure recherchée s'éloigne des hypothèses posées ou devient complexe, plus la méthode d'analyse décrite à la partie 5.3.6 devient critique. La méthode proposée est basée sur une technique d'agglomération des solutions dépendant de la distance physique entre les chenaux identifiés et leur poids respectif. Le poids associé à chaque chenal est ici définit à partir de la valeur de la fonction-objectif obtenue par la solution contenant le chenal et à sa sensibilité. L'utilisation de critères plus proches des propriétés recherchées ou basée sur une étude statistique plus poussée devrait permettre d'améliorer les capacités d'identification des méthodes dans les cas les plus difficiles.

Si, comme le suppose [Knudby and Carrera, 2005], les propriétés de chenalisation sont différentes pour les écoulements et pour le transport, alors toute la pertinence de la méthode repose sur les données utilisées. On a en effet montré que les valeurs de charge hydraulique étaient sensibles aux chemins d'écoulements préférentiels, ce qui permet à la méthode

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d'inversion d'identifier ces chenaux. Si l'objectif du modèle est de simuler le transport de particules et si les structures prépondérantes sont différentes entre les écoulements et le transport, alors il est nécessaire d'utiliser des données supplémentaires sensibles aux propriétés de transports, comme les données de concentration ou de tests de traceurs. Dans ce cas, la méthode proposée devrait permettre d'identifier ces structures à condition qu'elles aient les mêmes propriétés, c'est-à-dire si elles sont connectées aux limites du système et sont importantes sur toute leur longueur. Dans le cas contraire, il serait nécessaire d'adapter la paramétrisation aux nouvelles structures, en utilisant une matrice hétérogène par exemple, mais la méthodologie générale ne serait pas remise en cause.

La question des données est donc essentielle. Les modèles obtenus à la Partie 5 montrent que les données de charge, qui sont également les plus utilisées, sont intégratrices et restent sensibles aux chenaux qui ne sont pas dans leur voisinage immédiat. Ceci indique que l'information qu'elles contiennent peut être considérée comme globale, c'est-à-dire pertinente à l'échelle du site. Cependant, cette information a également une partie locale non négligeable.

En effet, plus le chenal est proche d'un puits, plus les données issues de ce puits sont affectées par ce chenal. De plus, la capacité à identifier certains détails de la structure de chenalisation (voir Figure 5-15 et Figure 5-17) confirme le caractère local d'une partie de l'information. Par comparaison, des mesures de flux apportent une information extrêmement localisée, pertinente uniquement pour le volume immédiatement autour du point de mesure. L'échelle de pertinence des données n'est pas toujours évidente, ce qui est notamment visible sur les cartes des Figure A-3 à Figure A-6. Mais la question de savoir quelles sont les quantités d'information globale et d'information locale contenues dans une donnée et quelle est l'information requise pour résoudre le problème inverse reste un sujet d'étude. En effet, répondre à cette question permettrait d'estimer a priori le type, la quantité et éventuellement la position des données requises pour définir un modèle pertinent. La partie 5 montre que ces critères sont liées à la fois à la structure du milieu sous-jacent et aux conditions aux limites.

Hors les conditions aux limites d'un système sont souvent mal connues. Si la technique consistant à appliquer ces conditions sur des limites éloignées du système étudié est apparemment efficace (voir page 145), l'extrapolation des conditions aux limites à partir des données observées ou l'ajout de ces conditions dans les inconnues du problème pourrait être une solution plus générale et plus robuste.