Partie 1 État de l'art sur les modèles de perméabilité intégrant la chenalisation des
B. Calibration des modèles de perméabilité : le problème inverse
2. Exemple de résolutions du problème inverse en hydrogéologie
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Chapitre : État de l'art sur les modèles de perméabilité intégrant la chenalisation des écoulements
Une fonction de décroissance de la température associée à ce type de parcours aléatoire qui permet d'atteindre le minimum global s'écrit alors, toujours selon Ingber [Ingber, 1993b]:
n($) = n[exp s−z ∙ $9?u (1-12)
où T0 est la température initiale, D la dimension de l'espace des paramètres, k le nombre de configurations acceptées lors du recuit simulé et c un paramètre « libre » servant à ajuster l'algorithme.
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figure 1-8 : Problème inverse appliqué à un modèle de zones. (1) conductivité hydraulique du milieu de référence (m/d). (2) à (6) : modèle obtenu après résolution du problème inverse contenant de 1 à 5 zones. Les valeurs de RE correspondent à la valeur de la fonction-objectif (eq.
(1-4)). D'après [Tsai et al., 2003b].
b) Modèles par interpolation
Si le modèle de zone est trop restrictif, de part les discontinuités fortes qu'il induit, la technique qui repose sur l'identification de certaines valeurs de perméabilité pour modéliser l'ensemble du milieu est largement utilisé en hydrogéologie. Au lieu de découper le milieu en zones homogènes, l'autre possibilité est de définir une fonction d'interpolation qui, à partir des valeurs identifiées, reconstruit l'ensemble du champ de perméabilité. Par exemple, Tsai et al [Tsai et al., 2005] ont appliqué la même méthode d'inversion que [Tsai et al., 2003b] sur un exemple similaire. Au lieu d'utiliser une zonation, ils ont modélisé le champ de perméabilité par une interpolation linéaire entre les valeurs des paramètres et ont obtenu des résultats bien meilleurs en termes d'accord entre les données observées et les données simulées (figure 1-9).
figure 1-9 : Problème inverse avec interpolation. (1) conductivité hydraulique du milieu de référence (m/d). (2) à (5) : modèle obtenu après résolution du problème inverse contenant de 2 à 5 perméabilités de référence. Les valeurs de RE correspondent à la valeur de la fonction-objectif (eq. (1-4)). D'après [Tsai et al., 2005].
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Chapitre : État de l'art sur les modèles de perméabilité intégrant la chenalisation des écoulements
La méthode des points-pilotes, initialement conçue par de Marsily [de Marsily et al., 1984] et appliquée à l'identification d'un champs de perméabilité par [LaVenue et al., 1995; RamaRao et al., 1995], repose sur un principe similaire. Elle considère que la propriété hydraulique recherchée, comme la perméabilité k, est composée d'une tendance générale kD et d'une perturbation kp :
$( ) = $9( ) + ${( ) (1-13)
La tendance générale peut par exemple être déduite par krigeage à partir des valeurs mesurées sur le site afin qu'elle respecte les propriétés géophysiques supposées du milieu. La perturbation quant à elle est déduite par interpolation à partir de points de référence définis par le modélisateur. Le nombre de ces points peut être fixe ou augmenter de manière itérative au cours de la modélisation. La position et la perméabilité de ces points, dits points-pilotes, sont optimisées par la résolution d'un problème inverse, généralement par une méthode de gradient. Cette méthode a par exemple été utilisée par Alcolea et ses co-auteurs [Alcolea et al., 2006] sur un champ synthétique 2D de transmissivité. Ils ont utilisés 13 valeurs de transmissivité pour calculer kD et plusieurs séries de valeurs de charges en transitoire (936 valeurs au total). La fonction-objectif donnée à l'équation (1-4) a été optimisée par une méthode de gradient (Levenberg–Marquardt). Ils ont montré que si le nombre de points- pilotes est suffisamment grand et si les valeurs a priori sont bien pondérées (coefficient α de l'équation (1-4)) alors le champ estimé était très proche du champ réel (figure 1-10).
figure 1-10 : Résultat de l'inversion via la méthode des points pilotes. (1) champs de références et emplacement des points de mesure, (2) tendance générale calculée par krigeage à partir des 13 valeurs de transmissivité accessibles. (3) résultat du problème inverse à partir de 241 points pilotes. La valeur de correspond à α-1 dans l'équation (1-4). D'après [Alcolea et al., 2006].
c) Autres méthodes de résolution
Si les méthodes décrites précédemment font partie des méthodes standards, il existe une multitude de méthode de résolution du problème inverse. Ces méthodes se distinguent par la paramétrisation sous-jacente, discrète ou statistique, la manière d'incorporer les données hydrauliques dans la fonction-objectif et la méthode de résolution. Une description exhaustive de toutes ces méthodes n'est pas l'objectif de cette partie. Il est par contre important de bien comprendre les points clefs qui vont permettre à une méthode d'être efficace ou non. Ainsi, plusieurs méthodes géostatistiques ont été utilisées pour modéliser un certains nombres de configurations test lors de la fameuse étude du WIPP (Waste Isolation Pilot Plant) [Zimmerman et al., 1998]. Il s'agissait de comparer les capacités de prédiction de sept méthodes géostatistiques, dont les points pilotes, sur des milieux synthétiques présentant divers degrés de complexité. Si toutes les méthodes avaient des performances équivalentes sur
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les milieux peu hétérogènes, des différences sont apparues pour les prédictions liées au transport de particules dans les milieux hétérogènes. Les méthodes s'appuyant sur une linéarisation du problème inverse ont en effet montré des difficultés sur les milieux présentant des « anomalies » ou des zones très transmissives. Dans les méthodes non linéaires, la capacité à prendre en compte les particularités du milieu test, comme la connectivité des fortes perméabilités, s'est révélé déterminante dans les configurations présentant des discontinuités.
Il semble donc que le plus important, dans la résolution du problème inverse, est la capacité du modèle sous-jacent à gérer les hétérogénéités du milieu et particulièrement ses discontinuités. Ainsi, concernant les milieux où les écoulements sont très chenalisés, l'effort de modélisation et notamment l'accent mis sur les paramètres les plus sensibles semblent être plus important que la méthode d'optimisation utilisée.