Grandeurs calcul´ees

La validation du mod`ele s’est faite par la comparaison de l’´evolution en fonction du d´eplacement de l’impacteur des diff´erentes grandeurs mesur´ees lors de l’essai par rapport

`a celle retrouv´ee `a partir de la simulation num´erique.

Force de r´eaction post´erieure

La force de r´eaction post´erieure est calcul´ee au point de r´ef´erence de l’ensemble d’´el´ements rigides rempla¸cants les vert`ebres. Cette force est trac´ee en fonction du d´eplacement de l’impacteur (sens positif dans le sens du chargement). Sur la courbe exp´erimentale Force-D´eplacement, Vezin et Berthet [Vez09] identifient trois phases distinctes :

– une premi`ere phase d’une faible pente jusqu’`a un d´eplacement de 15 mm environ

qui correspond `a environ 9% de compression,

– une deuxi`eme pente plus ´elev´ee entre 15 et 40 mm de d´eplacement ´equivalents `a 9 et 24% de compression respectivement,

– une troisi`eme partie avec diminution de pente vers la fin du chargement.

Nous calculons sur la deuxi`eme partie de la courbe, o`u la pente est la plus forte, la raideur dynamique telle qu’elle est d´efinie par Vezin et Berthet [Vez09] (Figure 1.35).

Matrice de Rotation

Le chargement impos´e au niveau du sternum g´en`ere une rotation des cˆotes au niveau de la liaison costo-vertebrale. Nous consid´erons qu’un petit segment de la partie post´erieure subit au cours du chargement de la cage thoracique un mouvement en corps rigide autour de la liaison costovertebrale sans subir de d´eformation. Cette hypoth`ese nous permet de d´eterminer la rotation de la cˆote autour de l’articulation costovertebrale `a partir des triplets de mires post´erieures li´es rigidement `a la cˆote `a une distance d’environ 3 cm de l’articulation. Le mouvement d’une mire (A) entre deux pas de temps cons´ecutifs (t) et (t+dt) peut-ˆetre d´ecompos´e en une rotation et une translation selon l’´equation :

A(t~ +dt) = R∗A(t) +~ T~ (3.6) O`uA~ est le vecteur position de la mireAdans le rep`ere global, R= [αij] est la matrice de rotation (3 x 3) etT~ le vecteur translation. La matrice de rotation correspondante `a un triplet de mires est calcul´ee en utilisant la m´ethode d´ecrite par Challis [Cha95] qui donne une approximation par moindres carr´es des ´el´ements de la matrice.

Axe de Rotation

A partir de la matrice de rotation R dont les ´el´ements sont d´esign´es par αij, nous pouvons d´efinir le mouvement dans l’espace du triplet en utilisant le concept de ^≪vis-

sage^≫utilis´e par Woltring et al. [Wol83] : tout d´eplacement d’un solide dans l’espace peut ˆetre repr´esent´e par une rotation et une translation autour d’un seul axe qu’on appelle par la suite axe de rotation. Le vissage est caract´eris´e par :

– l’amplitude de la rotation θ autour de l’axe d´etermin´ee `a partir de l’´equation : cosθ = α11+α22+α33−1

2 (3.7)

– un vecteur unitaire~k dont les composantes sont d´efinies par :











kx = ^α32_2sinθ^−α23 ky = ^α13_2sinθ^−α31 kz = ^α21_2sinθ^−α12

(3.8)

Figure 3.6 – Repr´esentation de l’axe h´elico¨ıdal `a partir de la position de 3 mires [Vez09]

– les coordonn´ees d’un point I d´efinissant la position de l’axe. En consid´erant les points O1 et O2 comme ´etant le barycentre des extr´emit´ees du triplet de mires respectivement aux instants t et t+dt les coordonn´ees du point I sont calcul´ees par :

OI~ =~k× O1~O2−tg(^θ₂)~k×O1~O2

2tg(^θ₂) (3.9)

– et l’amplitude de la translation est donn´ee par :

t=O1~O2.~k (3.10)

Nous tra¸cons les axes de rotation calcul´es `a un niveau costal donn´e dans un rep`ere anatomique relatif `a la vert`ebre correspondante, appel´e rep`ere vert´ebral. Ce rep`ere est d´efini tel que les plans (xz) et (xy) sont le plan sagittal et le plan transverse du corps vert´ebral.

Angles lat´eraux et d´eplacements r´esiduels

Afin de faire la diff´erence entre la rotation pure de la cˆote et sa d´eformation, nous fai- sons la diff´erence, comme d´ecrit chez Vezin et Berthet [Vez09], entre deux transformations distinctes `a partir de la position initiale :

– la transform´ee par rotation pure (T R) : en appliquant `a la cˆote en sa position initiale (P I), et `a chaque pas de calcul, la rotation d´efinie par la matrice de rotation R et le vecteur translation T~,

– la d´eform´ee totale de la cˆote (DT) obtenue `a partir de ABAQUS ^R.

Nous calculons pour chacune des cˆotes 2, 4, 6 et 8 le plan moyen en position initiale (P I) et sa position apr`es transformation par rotation pure (T R). Ensuite nous calculons pour chaque plan l’angle lat´eral d´efini par Dansereau et al. [Dan88]. La variation de l’angle lat´eral entre les deux positions nous donne la rotation de la cˆote dans le plan sagittal.

Finalement, nous d´efinissons les d´eplacements r´esiduels Dx, Dy et Dz. Ces d´eplacements nous renseignent sur le taux de la d´eformation morphologique de la cˆote. Ils sont calcul´es comme ´etant la diff´erence entre la d´eform´ee r´eelle de la cˆote et la position de sa trans- form´ee par rotation pure (T R) : toutes les deux sont exprim´ees dans le rep`ere vert´ebral.

Dx et Dz sont calcul´es au niveau du nœud de l’extr´emit´e costo-chondrale. Dy est calcul´e sur le nœud le plus ´eloign´e du plan de sym´etrie de la cage thoracique.