Méthodologie

Deux approches de degrés de finesse différents sont mises en œuvre : l’une s’intéresse à la relation entre allure générale du spectre et caractéristiques globales de la mobilité, donc de la mobilité moyenne. La deuxième est une analyse fine. Elle s’intéresse aux relations entre les variations locales de la mobilité et les amplitudes relatives des harmoniques du son stationnaire.

Ces deux analyses s’effectuent sur des signaux similaires, à savoir des glissandi réalisés sur la corde la plus grave du Ré (292 Hz) au Sol (195 Hz). Cela permet d’obtenir des amplitudes d’harmoniques sur un continuum de fréquences très large.

4.2.1.1 Poursuite d’harmoniques

Dans le but de relier les variations d’amplitude des harmoniques de sons de violons en fonction de leurs fréquences et les courbes de mobilité des violons, il est nécessaire d’estimer ces amplitudes et fréquences de manière précise et robuste, que le signal soit stationnaire (une seule note jouée), ou non (unglissandopar exemple). Une solution directe consisterait

CHAPITRE 4. INSTRUMENTS DU QUATUOR

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

VO₄ VO₆ VO₇

C∞

= −24 dB

C∞

= −22 dB

C∞

= −14 dB C∞

= −20 dB

C∞

= −18 dB C∞

= −16 dB

DEq(N.m)

G G G

G G G

M_Eq (kg)

y

Figure 4.12 – Représentation dans un plan masse-raideur équivalente des trois violons V O₄, V O₆ et V O₇. Les courbes d’isomobilité en pointillés représentent les valeurs de mobilité d’un panneau plan infini ayant les mêmes masses volumique et même raideur que la table d’harmonie.

à détecter les pics, correspondant aux harmoniques, de la transformée de Fourier discrète (TFD) de chaque section temporelle, et ensuite extraire les amplitudes et fréquences corres- pondantes. Cette méthode présente l’avantage d’être rapide et facilement implémentable.

Cependant, elle présente l’inconvénient d’être limitée en termes de résolution, du fait de la TFD. En effet, les points de la TFD sont espacés d’une fréquence égale àF_e/N, oùF_e est la fréquence d’échantillonnage, etN est la taille de la TFD. Si les harmoniques tombent entre deux points de la TFD, ce qui est fort probable, l’estimation sera alors biaisée du fait que l’on ne peut pas savoir ce qu’il se passe exactement entre eux.

Pour contourner ce problème, nous utiliserons la techniqueQIFFT (Quadratically In- terpolated Fast-Fourier Transform) proposée par Abe et al. [1], qui consiste à interpoler par un polynôme d’ordre 2 les premiers points autour de chaque pic du logarithme népé- rien de la transformée de Fourier du signal, préalablement fenêtré à l’aide d’une fenêtre gaussienne. Connaissant les coefficients du polynôme, la fréquence, l’amplitude et la phase de chaque harmonique est aisément déductible. Cette méthode est valide lorsque les har- moniques sont bien isolés et que leur amortissement est nul, ce qui est le cas dans notre étude.

Pour le suivi d’harmoniques, le signal est d’abord découpé en sections temporelles

comportantN_f échantillons et se recouvrant légèrement. La méthode s’applique à chaque section de signal comme suit :

a la fréquence fondamentale de la tranche du signal est estimée à l’aide d’une méthode d’auto-corrélation [115],

b le spectre du signal préalablement multiplié par une fenêtre gaussienne de longueur N_f est calculé,

c l’interpolation quadratique du pic correspond au fondamental est effectuée, puis la fréquence et l’amplitude du fondamental sont estimées,

d l’interpolation quadratique du pic correspond au deuxième pic est effectuée, ainsi que la fréquence et l’amplitude du deuxième pic sont estimées,

e l’étaped.est répétée en passant d’un harmonique à l’autre jusqu’à ce que la fréquence de Nyquist F e/2soit atteinte.

4.2.1.2 Enveloppe spectrale : analyse formantique

Dans un modèle source-filtre, le signal de sortiey(t)est vu comme la convolution d’un signal d’entrée x(t) par la réponse impulsionnelle d’un système linéaire invariant h(t), jouant le rôle de filtre :

y(t) =x(t)∗h(t). (4.1)

Si la sourcex(t)est harmonique, telles que les cordes vocales ou les cordes de violons, le signal de sortie y(t) est aussi harmonique, mais son spectre Y(ω) est alors perturbé par la réponse en fréquence du filtre H(ω). En effet, les variations lentes de Y(ω) (i.e.

son enveloppe spectrale) suit la forme générale de H(ω). Les résonances de H(ω) sont alors détectables dans l’enveloppe spectrale de Y(ω). Les pics de la courbe enveloppe du signal de sortie d’un modèle source-filtre sont communément appelésformants [8, 53]. En acoustique de la parole, le modèle source-filtre est régulièrement utilisé pour la détection de ces formants [53], responsable de la perception et de la production de voyelles [86,109]. Les méthodes classiques incluent les modèlesauto-regressifs (AR) etLinear Predictive Coding (LPC) [97], ou on utilise des coefficients cepstraux [113]. Dans notre cas, nous avons choisi d’utiliser la LPC, pour son utilisation commune pour le traitement de signaux de la parole, mais aussi parce que cet algorithme semble mieux adapté à notre cas. L’algorithme LPC est basé sur l’estimation depcoefficients d’un filtre AR d’ordre p du signal de sortiey[n]. Le filtre obtenu est celui minimisant au sens des moindres carrés l’erreur de prédiction. La prédiction est basée sur les échantillons passés dey[n].

Soity[n]ˆ la valeur prédite, elle est définie par :

CHAPITRE 4. INSTRUMENTS DU QUATUOR

ˆ y[n] =

Xp k=1

a_ky[n−k], (4.2)

où p est l’ordre du modèle, a_k sont les coefficients de prédiction, et y[n−k] sont les échantillons précédents. Les coefficients de prédiction sont ensuite estimés par minimisation au sens des moindres carrés de la fonction d’erreure[n] =y[n]−y[n]ˆ , soit :

a= argmin

a

y[n]−

Xp k=1

a_ky[n−k]

2

2

, (4.3)

oùa∈R^p est le vecteur contenant lesp coefficients de prédiction.