2.4 Limites de la méthodologie
2.4.3 Résultats
CHAPITRE 2. MÉTHODE DE CARACTÉRISATION DE SYSTÈMES MÉCANIQUES
f[n]∗s[n] =γ[n]. (2.70) Afin d’estimers[n], nous appliquons une méthode de déconvolution consistant à estimer un filtreg[n]tel quef[n]∗g[n] =δ. L’équation (2.70) devient alors :
[ˆg∗f[n]]∗s[n] =δ∗s[n] =s[n] = ˆg∗γ[n]. (2.71) De manière pratique, le filtre ˆg est estimé au sens des moindres carrés :
ˆ
g= argmin
ˆ g
gˆ∗f˜−δ 2
2, (2.72)
oùf˜désigne le signal de force bruité. Finalement, la relationsˆ= ˆg∗γ˜permet une estimation des[n]ˆ , oùγ˜ désigne le signal d’accélération bruité.
amortissement) à leur valeur nominale (cf. tableau 2.2) tout au long du test. Les résultats sont reportés sur la figure 2.13. La fréquence maximale d’analyse (F e/2) est fixée de ma- nière arbitraire pour ce test à 2700 Hz. Cette fréquence est proche de celle pour laquelle le facteur de recouvrement modal vaut 100%pour une plaque de densité modalen∞= 0.025 Hz-1et de facteur de perteη= 1%, soit les valeurs nominales des configurations analysées.
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
−20
−10 0 10 20
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0 30 100 200 300
∆K K(%)MOF(%)
n∞ (Mode par Hz) n∞ (Mode par Hz)
y
Figure2.13 – Haut : pourcentage d’erreur sur l’estimation du nombre de modes en fonction de la densité modale de la plaque. Bas : Valeur du facteur de recouvrement modal de la structure àF e/2 en fonction de la densité modale.
Le test confirme la capacité de la méthode à estimer le bon nombre de modes même en cas de fort recouvrement modal. Toutefois, l’estimation se dégrade dès lors que le facteur de recouvrement modal dépasse les 120-130%environ.
2.4.3.2 Influence de l’amortissement
Lorsque le facteur de perteηest le seul paramètre variable au cours du test. Les autres paramètres sont donc fixés à leurs valeurs nominales. Les résultats du test sont représentés sur la figure 2.14.
Ce test confirme celui effectué sur la densité modale : la méthode est performante en basses et moyennes fréquences. En effet, l’estimation du nombre de modes est correcte lorsque le facteur de pertes est tel que le recouvrement modal est inférieure à 100 %.
L’estimation se dégrade lorsque le facteur de pertes est tel que le facteur de recouvrement
CHAPITRE 2. MÉTHODE DE CARACTÉRISATION DE SYSTÈMES MÉCANIQUES
0.05 0.1 1 10
−20
−10 0 10 20
0.05 0.1 1 10
30 100 500
∆K K(%)
η (%) η (%)
MOF(%)
y
Figure2.14 – Haut : pourcentage d’erreur sur l’estimation du nombre de modes en fonction du facteur de pertes de la plaque. Bas : Valeur du facteur de recouvrement modal de la structure àF e/2 en fonction du facteur de pertes.
modal est supérieur à 100%.
2.4.3.3 Influence du rapport signal à bruit
L’influence du rapport signal à bruit sur la performance de la méthode est testée de la manière suivante : tous les paramètres mécaniques et géométriques de la plaque d’épicéa de synthèse sont fixés à leurs valeurs nominales, le rapport signal à bruit est modifié en simulant un signal de force plus ou moins fort. Le signal d’accélération simulé est ainsi plus ou moins bruité. Dans notre cas, le RSB est défini par la relation suivante :
RSB = 20 log10
Aγ
Angamma
, (2.73)
oùAγ est la valeur RMS (Root Mean Square) du signal d’accélération simulé et non bruité (étape 3 du paragraphe 2.4.2) et Anγ est la valeur RMS du signal de bruit enregistré sur l’accéléromètre. Les variations ont lieu surAγ, la valeur deAnγ est constante tout au long de la procédure.
De manière intuitive, le test montre que la méthode est extrêmement performante lorsque le bruit est très faible, l’erreur d’estimation étant quasi-nulle pour des valeurs de
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
−18
−16
−14
−12
−10
−8
−6
−4
−2 0 2
∆K K(%)
SNR (dB)
y
Figure 2.15 – Erreur d’estimation (en pourcentage) du nombre de modes en fonction du rapport signal à bruit.
RSB supérieures à 70 dB. Lorsque le bruit n’est plus négligeable, la performance de la méthode est altérée, mais reste néanmoins très bonne, avec moins de 5%d’erreurs lorsque le rapport signal-à-bruit est d’au moins 40 dB. Nous observons expérimentalement des RSB systématiquement supérieurs à 50 dB.
2.4.3.4 Influence de la position d’observation
Le dernier test effectué concerne la sensibilité de la méthode à la position d’obser- vation. Selon la position d’observation (ou d’excitation), les modes sont plus ou moins excités. Il peut en résulter des erreurs d’estimation : les sinusoïdes de faible amplitude sont rapidement noyées dans le bruit et deviennent ainsi difficilement détectables. Pour le test, tous les paramètres sont fixés à leurs valeurs nominales. Seule la position d’excitation et d’observation sont modifiées, la position suit un maillage sur un quadrant de la plaque de synthèse (les résultats sur les autres quadrants sont identiques par symétrie). Les résultats se présentent sous la forme d’une carte d’erreur sur la figure 2.16.
L’effet des lignes nodales est clairement visible sur la figure 2.16 : les positions pour lesquelles les positions normalisées x/Lx et y/Ly forment des rapport simples (1/2, 2/5, 1/3, 1/4 et 1/5) entrainent les plus fortes erreurs d’estimation. Pour ces positions, un
CHAPITRE 2. MÉTHODE DE CARACTÉRISATION DE SYSTÈMES MÉCANIQUES
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.05
0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
∆K K (%)
x Lx
y Ly
y
Figure2.16 – Pourcentage d’erreur, en valeur absolue sur l’estimation du nombre de modes en fonction de la position d’excitation et d’observation sur un quadrant d’une plaque de synthèse.
grand nombre de modes sont excités sur leurs nœuds, d’où une plus grande difficulté à bien estimer le nombre de modes. En dehors de ces lignes, l’estimation reste très bonne.
Lors d’estimation de densité modale de structures, il faut donc bien veiller à ne pas exciter sur des lignes nodales.
2.4.3.5 Conclusions sur les limites de la méthode
Plusieurs tests ont été effectués sur des signaux de synthèse simulant des réponses im- pulsionnelles de plaques. Ils ont été pensés pour tester les différents paramètres susceptibles d’influer sur les performances de la méthode. La multiplicité de ces facteurs rend difficile la définition de limites précises de la méthode à estimer le bon nombre de modes d’une structure. Cependant, il est possible de dégager certaines tendances :
– le facteur prépondérant semble être le recouvrement modal : en effet, pour des niveaux de bruit nominaux, l’estimation du nombre de modes est précise pour des valeurs de facteur de recouvrement modal inférieure à 100 %. Au-delà de 100 %, l’estimation est d’autant plus dégradée que le recouvrement est important.
– lorsque le recouvrement modal est de 100%, l’estimation est précise pour des valeurs de rapport signal-à-bruit supérieures à 40 dB.
– la méthode est sensible à la position d’excitation et d’observation : l’observation sur des lignes nodales des premiers modes rend difficile la détection des sinusoïdes de faible amplitude correspondant à des nœuds.
Par la suite, les analyses se font essentiellement dans les domaines des basses et moyennes fréquences, assurant un facteur de recouvrement modal inférieur à 100%.