II. SIMULATION NUMERIQUE : UTILISATION DU LOGICIEL FLUENT
II.3. TRANSFERTS PAR CONVECTION
II.3.3. Résolution d’un problème de convection
II.3.3.a. Résolution par l’utilisation d’un coefficient d’échange thermique
Le coefficient d’échange thermique est fonction d’une multitude de paramètres liés à l’écoulement, aux propriétés thermiques du fluide et à la géométrie du système.
La méthode la plus classique pour calculer un coefficient d’échange thermique utilise l’analyse dimensionnelle couplée aux expérimentations. Le principe est simple : définir les grandeurs caractérisant le coefficient d’échange afin de déterminer des grandeurs adimensionnelles prenant en compte des coefficients définis expérimentalement. Dans le cas le plus courant, on peut écrire
) , , , , ,
(Dh vf cp f f f f
h , avec :
-Dh : diamètre hydraulique caractérisant l’écoulement [m]
-v : vitesse du fluide [m.s-1]
- f : viscosité dynamique du fluide [Pa.s]
Le théorème de Buckingham permet ainsi de définir 3 grandeurs adimensionnelles caractéristiques de l’écoulement :
- Le nombre de Reynolds:
visqueuses forces
inertie d
forces Re vD
f h
f '
, représentant l’aspect hydraulique (nature de l’écoulement) (Bianchi et al., 2004).
- Le nombre de Prandlt :
thermique diffusion
visqueuse diffusion
Pr c
f p
f , qui représente l’aspect
purement thermique de l’écoulement.
- Le nombre de Nusselt :
échangé conductif
flux
échangé convectif
hD flux Nu
f
h , définissant le rapport entre
les transferts thermiques par convection et ceux par conduction au sein d’un système.
Chapitre II. Simulation numérique : utilisation du logiciel FLUENT pour la réfrigération magnétique.
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Ainsi, l’équation d’Hilpert (Janna, 2000) relie le nombre de Nusselt aux nombres de Reynolds et de Prandlt par l’introduction de deux constantes généralement notées C et m :
p m f
h A CRe Pr
Nu hD (II. 13)
La littérature actuelle permet aujourd’hui de définir les valeurs des coefficients des corrélations empiriques liant ces grandeurs adimensionnelles.
Prenons le cas de la convection externe sur une plaque plane en régime laminaire, Eckert and Drake (1972) ont défini des valeurs de coefficient C et m permettant le calcul du Nusselt local Nux (Tableau II. 1) :
Coefficients Valeurs du Prandlt
C m p
0.5 < Pr < 10 0.332 0.5 0.33
Pr > 10 0.339 0.5 0.33
TABLEAU II.2- Exemples de valeurs des coefficients liant le nombre de Nusselt, Reynolds et Prandlt, pour de la convection forcée sur une plaque plane.
A noter que pour l’eau, la valeur du nombre de Prandlt à 20°C est d’environ 7. La résolution d’un problème convectif basée sur cette méthode consiste à :
- Calculer le coefficient d’échange thermique le plus représentatif de l’étude par le biais des nombres adimensionnels. Pour cela, il est impératif de déterminer le type de convection (libre ou forcée), le type d’écoulement étudié (laminaire, turbulent, mixte), et les corrélations les mieux appropriées à l’étude.
- Déterminer et calculer la température caractéristique de l’écoulementTc. Cette variable est à déterminer selon les grandeurs définies précédemment.
II.3.3.b. Résolution par le calcul du champ de température.
Afin de calculer les champs de vitesse et de température dans un système, il est nécessaire d’écrire les trois bilans principaux régissant un problème de mécanique des fluides :
- Le bilan de masse
- Le bilan de quantité de mouvement - Le bilan d’énergie interne
Ces trois bilans seront écrits pour notre cas d’étude, à savoir un régime d’écoulement laminaire.
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- 48 - Bilan de masse
En considérant un domaine de fluide D et S l’une de ses faces ; et considérant que la masse contenue dans ce volume au cours de son mouvement reste constante, le bilan de masse total peut s’écrire sous sa forme intégrale (Padet 2005) :
0
S D
dS n v
tdD (II. 14)
Soit sous forme local, appelée généralement équation de continuité : 0
div v
t (II. 15)
Bilan de quantité de mouvement
C’est l’équation fondamentale représentative de la dynamique d’un fluide newtonien. Elle représente le bilan des forces (extérieures et intérieures) dans un domaine D :
g F v
v p
v t v
v .grad grad grad div (II. 16)
Avec p la pression dans le fluide [Pa] ; F le champ de force volumique [N.m-3]. gradv le tenseur gradient du champ des vitesses. Considérant les composantes du vecteur vitesse v par U,V,W, le terme v gradv est un vecteur de composantes v.gradU, v.gradV, v.gradW .
Dans le cas d’un fluide isochore et sans pesanteur et considérant la viscosité cinématique [m².s-1], l’équation (II. 16) devient :
v 1 p
v t v
v .grad grad (II. 17)
L’équation vectorielle de (II. 17) s’écrit suivant trois équations scalaires : x U
U p t v
U 1
d a gr
. (II. 18)
y V V p
t v
V 1
d a gr
. (II. 19)
z W W p
t v
W 1
d a gr
. (II. 20)
Le bilan de quantité de mouvement nous permet donc de déterminer le champ de vitesse en tout point du fluide.
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- 49 - Bilan d’énergie interne
De la même manière que pour la conduction, le premier principe de la thermodynamique décrit les sources d’énergie du domaine D, à savoir la variation d’énergie interne et cinétique, le travail reçu et la quantité de chaleur échangée par diffusion. En soustrayant le bilan mécanique (obtenu par le bilan de quantité) au bilan d’énergie total et en définissant El’énergie interne par unité de volume [J.m-3] et P la puissance thermique produite ou absorbée [W.m-3], le bilan d’énergie interne global peut s’écrire :
S D
S D
dS n T dD
v p P
dS n v E t dD
E div grad
(II. 21)
Variation d’énergie interne
Variation d’énergie cinétique
Travail reçu par D Flux de chaleur transféré
représente la fonction de dissipation, c'est-à-dire l’énergie dissipée de façon irréversible du fait de la viscosité. est donc fonction du tenseur des contraintes et de la vitesse. Dans le cadre de cette étude, il est inutile de développer plus amplement cette fonction, du fait des faibles régimes d’écoulement.
En considérant Esous forme enthalpique : h p
E (II. 22)
Et en introduisant la chaleur spécifique cp ainsi que le coefficient de dilatation volumique : T
cp h (II. 23)
p T
h 1 1
(II. 24)
L’équation (II. 21) devient alors en tenant compte de l’égalité div v 0
t due à l’équation de
continuité :
T P
p T v
T p T t v
cp T grad grad (II. 25)
Cette équation régit le champ de température en tout point du domaine. Certaines hypothèses simplificatrices permettent de réduire les termes de l’équation. Considérant le fluide comme incompressible, peu visqueux, l’équation (II. 25) se ramène à :
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T c a
T P t v
T
p
d a
gr (II. 26)
Avec cp
a le coefficient de diffusivité thermique en [m2.s-1]
La résolution d’un problème de convection basé sur cette méthode consiste donc à résoudre les équations (II. 15), (II. 16) et (II. 25) ainsi qu’une relation entre ,p,T dite équation d’état. Dans cette étude, les écoulements sont toujours considérés en régime laminaire et en convection forcée. La masse volumique et la viscosité sont considérées comme indépendantes de la température, le champ de vitesse est donc découplé du champ de température. Ainsi, la vitesse peut être calculée à l’aide des deux premières équations, pour ensuite être utilisée dans la troisième afin de déterminer le champ de température. Ce type de résolution nécessite l’utilisation de méthodes numériques. Pour cela, nous avons opté pour un logiciel numérique spécialisé en Mécanique des Fluides et Thermique : FLUENT 6.3™