Nous pr´esentons ici deux types de tests de validation pour ´evaluer la qualit´e de notre outil num´erique. D’une part, nous proposons des comparaisons avec des solutions issues de l’analyse de stabilit´e lin´eaire temporelle. D’autre part, une simulation de la transition d’une couche de m´elange temporelle et de son rayonnement acoustique est r´ealis´ee, pour valider le calcul direct du champ acoustique.
3.9.1 Tests en stabilit´e lin´eaire
Sch´ematiquement, pour r´ealiser une ´etude de la phase de croissance exponentielle des perturbations avec un code de calcul r´esolvant les ´equations de Navier-Stokes, il suffit de bloquer l’´elargissement visqueux du profil de vitesse moyenne. Consid´erons un ´ecoulement cisaill´e unidirectionnel de la forme U = (U(y),0,0), seuls les termes responsables de l’´elargissement visqueux vont agir sur l’´ecoulement. Ces termes sont µ∂∂y2u2 et µu∂∂y2u2, µ³
∂u
∂y
´2
dans les ´equations de conservation de la quantit´e de mouvement et de l’´energie respectivement. La suppression de ces termes dans les ´equations de conservation permet d’assurer la conservation des profils moyens pendant toute la dur´ee de la phase lin´eaire.
On peut maintenant observer l’´evolution au cours du temps de perturbations de faible amplitude superpos´ees au profil moyen.
72
3.9. Validations du code de calcul Le champ de vitesse initial est de la forme
u= ∆U 2 tanh
µ2y δω
¶
+ ˜u(x, y) v= ˜v(x, y)
w= 0
(3.70)
avec
˜
v(x, y) =Ae−σy2cos µ2π
Lxx
¶
(3.71) Le champ de perturbation (˜u,˜v) est suppos´e incompressible,A= 10−6∆U/2 etσ= 0,05.
Les champs de temp´erature, de pression et de masse volumique sont uniformes.
On s’int´eresse tout d’abord `a la variation des taux d’amplification avec le nombre de Reynolds de l’´ecoulement. Ces tests sont effectu´es `a Mc = 0,1, pour des nombres de Reynolds de 160, 400, 1600 et 16000. Les dimensions du domaine de calcul sont (Lx;Ly) = (7; 14) et la simulation utilise une discr´etisation uniforme comportant 33 points de grille dans la direction longitudinale x et 129 dans la direction transver- sale y. La figure 3.5 montre l’´evolution temporelle du maximum de la fluctuation de vitesse transversale vmax′ . On assiste `a une croissance exponentielle de la perturba- tion. L’utilisation de l’´echelle logarithmique permet la mesure du taux de croissance (la pente de la droite) de la perturbation, qui fournit une ´evaluation du taux d’am- plificationαci du mode le plus amplifi´e pr´edit par l’analyse de stabilit´e lin´eaire temporelle.
Dans le premier cas (figure 3.5-a) pourRe = 160, on obtient pour approximation de αci une valeur de 0,31, qui correspond exactement `a la valeur incompressible trouv´ee par Betchov & Szewczyk [10], par r´esolution de l’´equation de Orr-Sommerfeld. Remarquons que le nombre de Mach semble suffisamment faible pour que son effet soit imperceptible sur la phase de d´eveloppement lin´eaire de l’´ecoulement.
On peut ´egalement confronter nos r´esultats `a ceux de Blumen [11], qui obtient par une analyse de stabilit´e compressible non-visqueuse un taux d’amplification de 0,374 `a Mc= 0,1. La figure 3.5-b montre la phase lin´eaire de l’´evolution temporelle du maximum de la vitesse transversale observ´ee pour des valeurs de nombre de Reynolds de 400, 1600 et 16000. Le tableau 3.1 regroupe les r´esultats obtenus pour les taux d’amplification, qui tendent vers la valeur calcul´ee par Blumen, au fur et `a mesure de l’augmentation du nombre de Reynolds.
Dans un deuxi`eme temps, nous utilisons notre code pour acc´eder aux fonctions propres associ´ees aux perturbations. Dans le cas bidimensionnel, nous comparons les amplitudes des fonctions propres des vitesses longitudinales et transversales ˆuet ˆv `a celles obtenues par Sandham & Reynolds [100], avec un code de stabilit´e lin´eaire compressible non-visqueuse, pour deux valeurs de nombres de Mach.
Chapitre 3. Pr´esentation de l’outil num´erique
1
10-1
10-2
10-3
10-4
10-5
10-6
10-7
10-8
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
v’max
t
10-3
10-4
10-5
10-6
10-7
10-8
0 5 10 15 20 25
v’max
t
a) b)
Fig. 3.5 – ´Evolution temporelle du maximum de la fluctuation de vitesse transver- sale `a Mc = 0,1 ; a) calcul num´erique `a Re = 160 (—), stabilit´e lin´eaire e0,31t (- - -) ; b) calculs num´eriques `a Re = 400 (· · ·), Re = 1600 (- · -), Re = 16000 (—), stabilit´e lin´eairee0,374t (- - -).
Re αci 400 0,34 1600 0,37 16000 0,374
Tab. 3.1 – Variation du taux d’amplification avec le nombre de Reynolds.
74
3.9. Validations du code de calcul Les simulations sont effectu´ees avec un nombre de Reynolds ´egal `a 1000. La taille du domaine dans la direction longitudinale est Lx = 7 pour le calcul `a Mc = 0,01 et Lx = 9,52 pour le calcul `a Mc = 0,6. Le maillage utilise le mˆeme nombre de points (33×129) que celui employ´e pour les calculs pr´ec´edents. Les tests r´ealis´es avec un nombre de points de grille plus important nous ont montr´e l’insensibilit´e des r´esultats vis `a vis de la r´esolution.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-7 0 7
u
y
‹
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-7 0 7
v
y
‹
‹
a) b)
Fig. 3.6 – Amplitude des fonctions propres pour les vitesses longitudinales a) et trans- versales b) ; pr´esentes simulations `a Mc = 0,01 (· · ·), Mc = 0,6 (- - -) ; simulations de Sandham `a Mc= 0,01 (¥),Mc= 0,6 (×), d’apr`es Sandham & Reynolds [100].
On observe l’amplitude des fonctions propres ˆu et ˆv sur la figure 3.6. Ces amplitudes sont normalis´ees, comme l’ont fait Sandham & Reynolds [100] par le maximum d’ampli- tude de la fonction propre de la vitesse longitudinale. La forme des fonctions propres que nous obtenons est tr`es similaire `a celle des fonctions fournies par un code de stabilit´e lin´eaire. Quelques diff´erences apparaissent dans les zones o`u les gradients de vitesse sont
´elev´es. Nous attribuons ces ´ecarts `a un effet du nombre de Reynolds de l’´ecoulement, puisque les fonctions propres « th´eoriques» sont fournies par un code de stabilit´e non-visqueuse.
En dehors de l’aspect validation proprement dit, notons que les fonctions propres pr´esentent globalement la mˆeme allure pour les deux nombres de Mach consid´er´es ici. Il est ´egalement int´eressant de constater que la d´ecroissance de l’amplitude des fonctions propres en dehors de la zone de l’´ecoulement n’est pas tr`es rapide, en particulier lorsque le nombre de Mach est assez ´elev´e. En effet, dans le cas Mc = 0,6, l’amplitude de la fonction propre de la vitesse longitudinale atteint encore 3% de sa valeur maximale `a la fronti`ere du domaine de calcul. Ces informations se r´ev`elent tr`es utiles pour ajuster le param`etreσ de la gaussienne pilotant la concentration des perturbations initiales dans la zone de cisaillement.
Chapitre 3. Pr´esentation de l’outil num´erique
3.9.2 Rayonnement acoustique d’une couche de m´elange
Apr`es l’´etude de la phase lin´eaire du d´eveloppement des instabilit´es, nous nous pen- chons sur la phase d’´evolution non-lin´eaire de l’´ecoulement. Afin de valider l’usage de notre code pour l’investigation du rayonnement sonore ´emis par l’´ecoulement, nous avons reproduit une ´etude du champ acoustique d’une couche de m´elange temporelle r´ealis´ee par Lele & Ho [62].
Le profil de vitesse moyenne est de type tangente hyperbolique comme dans les simula- tions pr´ec´edentes. On lui ajoute un champ de perturbation incompressible (˜u,v) de forme˜ sinuso¨ıdale :
˜
v(x, y) =A e−
y
δω
2· cos
µ4π Lx
x
¶ + cos
µ2π Lx
x
¶¸
(3.72) o`uAest un facteur d’amplitude dont la valeur est 0.00125∆U. La simulation est effectu´ee sur un domaine de calcul (Lx, Ly) = (25,150) utilisant 151×601 points de grille.
Apr`es une phase de d´eveloppement de l’instabilit´e primaire, nous assistons `a l’en- roulement tourbillonnaire, aboutissant `a la formation de deux tourbillons, puis `a leur appariement. La figure 3.7 montre les champs de vorticit´e³
ωz = ∂v∂x−∂u∂y´
et de dilatation
³
du= ∂u∂x− ∂v∂y´
d’une couche de m´elange `a Mc = 0,4 `a un instant caract´eristique de l’´evolution temporelle t = 63,6. Le trac´e des iso-contours de la dilatation permet d’observer la propagation des ondes acoustiques ´emises au cours de chacune des phases de la transition. La comparaison de ces r´esultats dynamiques et acoustiques avec ceux de Lele [62] montre une concordance remarquable, en d´epit d’une l´eg`ere diff´erence entre les sch´emas utilis´es.